Derivatele în fizică și în alte domenii: pe scurt

Derivata este viteza de variație a unei mărimi față de alta, iar unitatea ei se citește imediat: unitatea mărimii derivate împărțită la unitatea variabilei. Metri pe secundă, litri pe kilometru, lei pe bucată — controlul unităților este cea mai ieftină verificare a unui model aplicat.

În mișcarea pe o dreaptă, dacă $x(t)$ este poziția, atunci $v(t)=x^{\prime }(t)$ este viteza și $a(t)=x^{\prime \prime }(t)$ este accelerația. Semnul lui $v$ dă sensul, iar momentele cu $v(t)=0$ sunt cele în care mobilul se oprește, eventual ca să se întoarcă. Mobilul accelerează când $v$ și $a$ au același semn și frânează când au semne contrare.

Deplasarea este diferența $x(t_2)-x(t_1)$ și poate fi negativă sau nulă; distanța parcursă se obține tăind intervalul în punctele unde $v$ se anulează și adunând modulele variațiilor. Teorema lui Lagrange leagă cele două lumi: există un moment în care viteza instantanee egalează viteza medie a parcursului — este chiar principiul radarului pe tronson.

La vitezele de variație corelate se scrie întâi relația dintre mărimi, se derivează în raport cu timpul (funcții compuse), și abia la final se înlocuiesc valorile momentului cerut. Inversarea acestor pași dă zero.

Aceeași metodă rezolvă consumul minim pe kilometru — $c(v)=\frac{Q(v)}{v}$, exact structura costului mediu —, concentrațiile din farmacologie și curbele de populație, unde punctul de inflexiune este momentul de ritm maxim, nu de valoare maximă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un mobil se deplasează pe o dreaptă după legea $x(t)=2t^3-9t^2+12t$ metri, cu $t\in [0,3]$ secunde. Distanța parcursă este:

   • a) $9$ m
   • b) $5$ m
   • c) $13$ m
   • d) $11$ m
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $11$ m

   $v(t)=6t^2-18t+12=6(t-1)(t-2)$ se anulează în $t=1$ și $t=2$, deci intervalul se taie acolo. Valorile sunt $x(0)=0$, $x(1)=5$, $x(2)=4$, $x(3)=9$, iar distanța este $|5-0|+|4-5|+|9-4|=11$ m. Deplasarea, adică $x(3)-x(0)=9$ m, este alt număr: mobilul a mers înainte, s-a întors un metru, apoi a pornit din nou.

2. Pentru mobilul cu legea $x(t)=2t^3-9t^2+12t$, la momentul $t=3$:

   • a) mobilul accelerează, pentru că $v$ și $a$ au același semn
   • b) mobilul frânează, pentru că $v$ și $a$ au semne contrare
   • c) mobilul stă pe loc
   • d) mobilul își schimbă sensul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) mobilul accelerează, pentru că $v$ și $a$ au același semn

   $v(3)=6\cdot 2\cdot 1=12$ m/s, iar $a(t)=x^{\prime \prime }(t)=12t-18$, deci $a(3)=18$ m/s². Ambele sunt pozitive, deci mărimea vitezei crește: mobilul accelerează, mergând în sensul pozitiv. Schimbarea de sens ar cere anularea vitezei, iar aceasta se întâmplă doar în $t=1$ și $t=2$.

3. Raza unui balon sferic crește cu $2$ cm pe secundă. Viteza de creștere a volumului $V=\frac{4\pi r^3}{3}$, în momentul în care raza este de $5$ cm, este:

   • a) $100\pi$ cm³/s
   • b) $200\pi$ cm³/s
   • c) $40\pi$ cm³/s
   • d) $50\pi$ cm³/s
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $200\pi$ cm³/s

   Se derivează relația în raport cu timpul, tratând raza ca funcție de $t$: $V^{\prime }(t)=4\pi r(t{)}^2{r}^{\prime }(t)$. Abia acum se înlocuiesc valorile momentului: $r=5$ și $r^{\prime }=2$, deci $V^{\prime }=4\pi \cdot 25\cdot 2=200\pi$ cm³/s. Dacă ai fi înlocuit $r=5$ înainte de derivare, ai fi derivat o constantă și ai fi obținut zero.