Dezvoltarea după o linie sau o coloană: pe scurt

Definiția cu permutări cere $n!$ termeni. Dezvoltarea după o linie coboară ordinul cu o unitate: un determinant de ordin $4$ devine o combinație de determinanți de ordin $3$, pe care îi știi calcula.

Minorul elementului $a_{ij}$, notat ${\Delta }_{ij}$, este determinantul de ordin $n-1$ obținut din $A$ prin eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$. Indicii minorului sunt indicii elementului, nu ai matricei rămase, iar în minor nu apare niciun număr de pe linia $i$ sau de pe coloana $j$.

Complementul algebric (sau cofactorul) este minorul înmulțit cu semnul poziției: ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$. Semnul se citește dintr-o tablă de șah care începe cu $+$ în colțul din stânga sus: $+$ când $i+j$ este par, $-$ când este impar.

Teorema de dezvoltare. Cu $i$ fixat, $\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$; cu $j$ fixat, $\det A=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$. Toate cele $2n$ dezvoltări dau același număr — că merge și pe coloane vine din $\det ({}^{t}A)=\det A$.

Strategia este simplă: alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, pentru că fiecare zero șterge din calcul un determinant întreg de ordin $n-1$. De aici și regula pentru matricele triunghiulare: determinantul lor este produsul elementelor de pe diagonala principală, deci $\det I_n=1$.

Ultimul rezultat al lecției pregătește inversa: elementele unei linii înmulțite cu complemenții altei linii dau întotdeauna $0$, pentru că suma obținută este dezvoltarea unui determinant cu două linii identice.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 1\\ 3& 5& 0\\ -1& 2& 6\end{array}\right)$, cât este complementul algebric ${\delta }_{23}$?

   • a) $6$
   • b) $-6$
   • c) $26$
   • d) $-26$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-6$

   Tăiem linia $2$ și coloana $3$: ${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 2\end{array}\right|=8-2=6$. Semnul poziției este $(-1{)}^{2+3}=-1$, deci ${\delta }_{23}=-6$. Varianta a) este minorul, lăsat fără semn — greșeala cea mai frecventă; variantele c) și d) provin din tăierea liniei și coloanei $3$, adică din calculul lui ${\Delta }_{33}$.

2. La dezvoltarea unui determinant de ordinul al patrulea după linia a treia, șirul semnelor care însoțesc minorii este:

   • a) $-,+,-,+$
   • b) $+,+,-,-$
   • c) $-,-,+,+$
   • d) $+,-,+,-$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $+,-,+,-$

   Semnul poziției $(3,j)$ este $(-1{)}^{3+j}$: pentru $j=1,2,3,4$ se obține $(-1{)}^4=+$, $(-1{)}^5=-$, $(-1{)}^6=+$, $(-1{)}^7=-$. Linia a treia fiind impară, șirul începe cu $+$, la fel ca pe linia întâi. Varianta a) este șirul liniilor pare.

3. Cât este $\left|\begin{array}{cccc}3& 0& 1& 2\\ -1& 0& 4& 5\\ 2& 7& 0& 1\\ 6& 0& 3& -2\end{array}\right|$?

   • a) $665$
   • b) $-665$
   • c) $0$
   • d) $-95$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $665$

   Coloana a doua are un singur element nenul, $a_{32}=7$, deci dezvoltarea după ea are un singur termen: $7{\delta }_{32}$. Tăind linia $3$ și coloana $2$ rămâne ${\Delta }_{32}=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ -1& 4& 5\\ 6& 3& -2\end{array}\right|=-95$ (cu regula lui Sarrus, permisă aici pentru că minorul are ordinul $3$). Semnul poziției $(3,2)$ este $(-1{)}^5=-1$, deci ${\delta }_{32}=95$ și rezultatul este $7\cdot 95=665$. Varianta b) apare când se uită semnul poziției.