Acasă · Lecții · clasa a X-a · Funcția logaritmică: grafic și proprietăți

Funcția logaritmică: grafic și proprietăți

O foaie de hârtie obișnuită are grosimea de aproximativ $0, 1$ mm. Dacă ai putea să o îndoi în două de $n$ ori, grosimea ar deveni $0, 1 \cdot 2^{n}$ mm — o creștere amețitoare, descrisă pe larg în lecția creșterea exponențială. Dar întrebarea inversă este cel puțin la fel de interesantă: de câte ori trebuie să îndoi foaia ca să ajungă la un metru? Aici nu mai ai de calculat o putere, ci de găsit un exponent. Iar funcția care „citește exponenții" are un nume: funcția logaritmică.

Până acum ai lucrat cu logaritmul ca număr: $lo g_{2} 8$ este $3$ , pentru că $2^{3} = 8$ . În această lecție facem pasul decisiv — privim $lo g_{a} x$ ca pe o funcție de variabila $x$ și îi studiem tot ce se studiază la o funcție: domeniul, graficul, monotonia, semnul, injectivitatea. Vei descoperi că nu trebuie să înveți nimic pe de rost: graficul funcției logaritmice este pur și simplu oglinda graficului exponențialei față de prima bisectoare, iar toate proprietățile se citesc din această oglindire. De aici încolo, ecuațiile și inecuațiile logaritmice devin aplicații directe ale monotoniei.

Ce vei învăța

Vei ști să definești funcția logaritmică $f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ , și să explici de ce domeniul este exact $(0, \infty)$ , iar codomeniul, tot $R$ .
Vei ști să construiești graficul funcției logaritmice din tabelul de valori și, mai rapid, prin simetrie față de prima bisectoare $y = x$ , pornind de la graficul exponențialei.
Vei ști să demonstrezi monotonia: strict crescătoare pentru $a > 1$ , strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ — și să folosești monotonia la comparări.
Vei ști că funcția logaritmică este bijectivă, deci injectivă, și vei folosi consecința $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Rightarrow u = v$ la rezolvarea ecuațiilor.
Vei ști să stabilești semnul funcției logaritmice și punctul ei fix, $(1, 0)$ , prin care trec toate graficele, indiferent de bază.
Vei ști să determini domeniul maxim de definiție al unei funcții care conține un logaritm, inclusiv atunci când baza însăși depinde de $x$ .

Hai să descoperim împreună

1. De ce are voie logaritmul să fie funcție

Fixăm o bază $a > 0$ , $a \neq = 1$ , și privim funcția exponențială $g : R \to (0, \infty)$ , $g (x) = a^{x}$ . Din lecția Proprietățile funcției exponențiale știi două lucruri esențiale despre ea: este strict monotonă (crescătoare dacă $a > 1$ , descrescătoare dacă $0 < a < 1$ ) și ia toate valorile strict pozitive.

Prima proprietate spune că $g$ este injectivă; a doua, că este surjectivă pe $(0, \infty)$ . Împreună: $g$ este bijectivă, deci — conform criteriului studiat la Funcția inversă — este inversabilă, iar inversa ei are domeniul $(0, \infty)$ și codomeniul $R$ . Această inversă este exact funcția logaritmică: a inversa pe $g$ înseamnă a răspunde la întrebarea „dat fiind $y > 0$ , care este $x$ cu $a^{x} = y$ ?", adică fix întrebarea la care răspunde logaritmul.

Definiție. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ . Funcția $f : (0, \infty) \to R, f (x) = lo g_{a} x$ se numește funcția logaritmică de bază $a$ . Ea este inversa funcției exponențiale de bază $a$ .

Reține de aici două egalități, pe care le vei folosi la fiecare pas: $a^{l o g_{a} x} = x (\forall x > 0), lo g_{a} (a^{x}) = x (\forall x \in R) .$ Ele nu sunt formule noi de memorat, ci traducerea faptului că $f$ și $g$ sunt funcții inverse: aplicate una după alta, se anulează reciproc.

✏️Ilustrație: două cutii legate prin săgeți — cutia „exponențială: x ↦ aˣ" trimite din ℝ în (0, ∞), iar cutia „logaritm: x ↦ log_a x" trimite înapoi din (0, ∞) în ℝ; sub desen, textul „inverse una alteia"

2. Domeniul: de ce nu există logaritm din numere negative sau din zero

Domeniul funcției logaritmice nu este o convenție, ci o consecință. Codomeniul exponențialei este $(0, \infty)$ : oricât de mare sau de mic ai lua exponentul, $a^{x}$ rămâne strict pozitiv. Prin urmare nu există niciun exponent care să dea $0$ sau un număr negativ, deci $lo g_{a} 0$ și $lo g_{a} (- 5)$ nu au sens.

Această observație va deveni, în lecțiile următoare, condiția de existență pe care o scrii înaintea oricărei rezolvări: în scrierea $lo g_{a} E$ trebuie să ai simultan $E > 0, a > 0, a \neq = 1.$

De ce se exclude baza $1$ ? Pentru că $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ : funcția ar fi constantă, deci neinversabilă.

Exemplu. Domeniul maxim al funcției $h (x) = lo g_{3} (x - 2)$ se obține din $x - 2 > 0$ , deci $D = (2, \infty)$ . Pentru $h (x) = lo g_{5} (9 - x^{2})$ punem $9 - x^{2} > 0$ , adică $x^{2} < 9$ , deci $D = (- 3, 3)$ .

3. Tabelul de valori și primul grafic

Să luăm baza $a = 2$ și să completăm un tabel. Alegem pentru $x$ puteri ale lui $2$ , ca valorile să fie exacte:

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$lo g_{2} x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

Citim tabelul cu atenție, pentru că el conține deja toată lecția:

valorile lui $x$ se înmulțesc cu $2$ de la o coloană la alta, iar valorile funcției cresc cu $1$ — logaritmul transformă înmulțirea în adunare, exact cum ai văzut la proprietățile logaritmilor;
pentru $x = 1$ obținem $0$ , oricare ar fi baza (fiindcă $a^{0} = 1$ ), iar pentru $x$ subunitar valorile sunt negative;
ca să obții valoarea $- 10$ , trebuie să mergi până la $x = \frac{1}{1024}$ : graficul se lipește de axa $O y$ fără să o atingă niciodată.

Merită subliniat, pentru că e sursa unei greșeli frecvente: creșterea logaritmică este lentă. Ca $lo g_{2} x$ să treacă de $20$ , ai nevoie de $x > 2^{20} = 1048576$ . Comparată cu exponențiala, care explodează, funcția logaritmică pare că abia se târăște — și totuși crește nemărginit.

✏️Ilustrație: graficul funcției log₂ x în sistem de axe, cu punctele (1/4, −2), (1/2, −1), (1, 0), (2, 1), (4, 2), (8, 3) marcate; curba se apropie asimptotic de axa Oy în jos și crește lent spre dreapta

4. Graficul ca oglindă a exponențialei

Există o proprietate generală, valabilă la orice pereche de funcții inverse: graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta de ecuație $y = x$ . Motivul e simplu de spus: punctul $(u, v)$ aparține graficului lui $g$ exact atunci când $v = a^{u}$ , adică atunci când $u = lo g_{a} v$ , adică atunci când punctul $(v, u)$ aparține graficului lui $f$ . Iar $(v, u)$ este simetricul lui $(u, v)$ față de dreapta $y = x$ .

Nu ai deci de desenat nimic nou: iei graficul exponențialei din lecția Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică și îl „îndoi" peste prima bisectoare.

Exponențială $a^{x}$	Logaritmică $lo g_{a} x$
domeniul $R$	domeniul $(0, \infty)$
valorile în $(0, \infty)$	valorile în $R$
trece prin $(0, 1)$	trece prin $(1, 0)$
se apropie de axa $O x$	se apropie de axa $O y$
crește foarte repede	crește foarte încet

Verificare pe un punct. Punctul $(3, 8)$ este pe graficul lui $2^{x}$ , fiindcă $2^{3} = 8$ . Simetricul lui față de $y = x$ este $(8, 3)$ — și, într-adevăr, $lo g_{2} 8 = 3$ . ✓

5. Ce se schimbă când baza este subunitară

Pentru $0 < a < 1$ tabelul se răstoarnă. Iată-l pentru $a = \frac{1}{2}$ :

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$lo g_{1/2} x$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$	$- 2$	$- 3$

Valorile sunt exact opusele celor de la baza $2$ — nu din întâmplare, ci prin formula $lo g_{1/ a} x = - lo g_{a} x$ , obținută din formula de schimbare a bazei. Graficul este simetricul celui de la baza $2$ față de axa $O x$ .

Punctul comun al tuturor graficelor rămâne însă același: toate trec prin $(1, 0)$ , fiindcă $lo g_{a} 1 = 0$ indiferent de bază.

✏️Ilustrație: patru grafice logaritmice în același sistem de axe — log₂ x și log₃ x crescătoare, log_{1/2} x și log_{1/3} x descrescătoare — toate trecând prin punctul (1, 0), marcat cu roșu și etichetat „punctul comun"

6. Monotonia — enunț și demonstrație

Monotonia este proprietatea din care decurg, mai târziu, toate rezolvările de ecuații și inecuații. Merită enunțată și demonstrată riguros.

Teoremă. Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ și $f (x) = lo g_{a} x$ pe $(0, \infty)$ .

Dacă $a > 1$ , atunci $f$ este strict crescătoare.
Dacă $0 < a < 1$ , atunci $f$ este strict descrescătoare.

Demonstrație. Fie $0 < x_{1} < x_{2}$ și notăm $u = lo g_{a} x_{1}$ , $v = lo g_{a} x_{2}$ . Din definiția logaritmului avem $x_{1} = a^{u}$ și $x_{2} = a^{v}$ , deci ipoteza $x_{1} < x_{2}$ se scrie $a^{u} < a^{v} .$ Aplicăm acum ceea ce știi despre compararea puterilor cu aceeași bază:

dacă $a > 1$ , exponențiala este strict crescătoare, deci $a^{u} < a^{v}$ este echivalent cu $u < v$ ; prin urmare $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2}$ , adică $f$ este strict crescătoare;
dacă $0 < a < 1$ , exponențiala este strict descrescătoare, deci $a^{u} < a^{v}$ este echivalent cu $u > v$ ; prin urmare $lo g_{a} x_{1} > lo g_{a} x_{2}$ , adică $f$ este strict descrescătoare. $■$

Observă structura demonstrației: nu am inventat nimic, ci am transportat proprietatea exponențialei prin relația de inversare. Aceasta e metoda standard când lucrezi cu funcții inverse.

Aplicație (compararea a două valori). Care e mai mare, $lo g_{2} 5$ sau $lo g_{2} 9$ ? Baza este $2 > 1$ , deci funcția e crescătoare; din $5 < 9$ rezultă $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 9$ . Dar $lo g_{0, 3} 4$ și $lo g_{0, 3} 11$ ? Aici baza $0, 3$ este subunitară, funcția e descrescătoare, deci din $4 < 11$ rezultă $lo g_{0, 3} 4 > lo g_{0, 3} 11$ . Ordinea se inversează.

7. Injectivitate, bijectivitate și consecința pentru ecuații

O funcție strict monotonă este injectivă. Cum funcția logaritmică este, în plus, inversa unei bijecții, ea este ea însăși bijectivă de la $(0, \infty)$ la $R$ . Din injectivitate obținem regula pe care o vei folosi la fiecare ecuație logaritmică:

Consecință. Pentru $u > 0$ și $v > 0$ : $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v .$

Implicația „ $\Leftarrow$ " e evidentă; „ $\Rightarrow$ " este exact injectivitatea. Atenție însă la ipoteza scrisă cu litere mici, dar decisivă: $u > 0$ și $v > 0$ . Fără ea, „regula" duce la răspunsuri false, cum vei vedea în lecția Ecuații logaritmice.

Din bijectivitate rezultă și că ecuația $lo g_{a} x = b$ are, pentru orice $b \in R$ , exact o soluție: $x = a^{b}$ .

Exemplu. Rezolvăm $lo g_{2} x = lo g_{2} (3 x - 4)$ . Condițiile de existență: $x > 0$ și $3 x - 4 > 0$ , deci $x > \frac{4}{3}$ . Prin injectivitate, $x = 3 x - 4$ , de unde $2 x = 4$ și $x = 2$ . Cum $2 > \frac{4}{3}$ , soluția convine. Verificare: $lo g_{2} 2 = 1$ și $lo g_{2} (3 \cdot 2 - 4) = lo g_{2} 2 = 1$ . ✓

8. Semnul funcției logaritmice

Semnul se citește imediat din monotonie și din faptul că funcția se anulează în $x = 1$ .

Pentru $a > 1$ : funcția e crescătoare, deci este negativă înainte de $1$ și pozitivă după: $lo g_{a} x < 0 pentru x \in (0, 1), lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} x > 0 pentru x \in (1, \infty) .$

Pentru $0 < a < 1$ totul se inversează: funcția e pozitivă pe $(0, 1)$ și negativă pe $(1, \infty)$ .

Reține tiparul: la orice discuție de semn compari argumentul cu $1$ , nu cu $0$ . Compararea cu $0$ îți dă domeniul; compararea cu $1$ îți dă semnul. De pildă, $lo g_{2} (x - 1)$ există pentru $x > 1$ , este negativ pe $(1, 2)$ , se anulează în $x = 2$ și este pozitiv pentru $x > 2$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Domeniul maxim de definiție

Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{5} (x^{2} - 5 x + 6)$ .

Rezolvare. Condiția de existență este ca argumentul să fie strict pozitiv: $x^{2} - 5 x + 6 > 0.$ Rădăcinile trinomului sunt $2$ și $3$ , iar coeficientul dominant este pozitiv, deci — după regula semnului de la funcția de gradul al doilea — expresia e pozitivă în afara rădăcinilor: $D = (- \infty, 2) \cup (3, \infty) .$ Verificare: pentru $x = 4$ argumentul este $16 - 20 + 6 = 2 > 0$ ✓, iar pentru $x = 2, 5$ este $6, 25 - 12, 5 + 6 = - 0, 25 < 0$ , deci $2, 5$ e corect exclus. ✓

Exemplul 2 — Domeniul când baza depinde de $x$

Determinați domeniul maxim al funcției $f (x) = lo g_{x - 2} (5 - x)$ .

Rezolvare. Aici avem trei condiții, nu una: argumentul strict pozitiv, baza strict pozitivă și baza diferită de $1$ . $⎩ ⎨ ⎧ 5 - x > 0 x - 2 > 0 x - 2 \neq = 1 ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x < 5 x > 2 x \neq = 3$ Intersectând: $D = (2, 3) \cup (3, 5)$ .

Este exemplul care arată de ce condiția asupra bazei nu e o formalitate: valoarea $x = 3$ se află „în mijlocul" intervalului și ar scăpa neobservată dacă ai verifica doar argumentul.

Exemplul 3 — Ordonarea unor logaritmi

Ordonați crescător numerele $lo g_{2} 3$ , $lo g_{2} 1$ , $lo g_{2} 8$ și $lo g_{2} \frac{1}{2}$ .

Rezolvare. Baza este $2 > 1$ , deci funcția e strict crescătoare: ordinea logaritmilor urmează ordinea argumentelor. Cum $\frac{1}{2} < 1 < 3 < 8$ , rezultă $lo g_{2} \frac{1}{2} < lo g_{2} 1 < lo g_{2} 3 < lo g_{2} 8$ , adică $- 1 < 0 < lo g_{2} 3 < 3$ , unde $lo g_{2} 3$ este între $1$ și $2$ (fiindcă $2 < 3 < 4$ ).

Exemplul 4 — Determinarea bazei din grafic

Graficul funcției $f (x) = lo g_{a} x$ trece prin punctul $A (16, 2)$ . Determinați baza $a$ .

Rezolvare. „Trece prin $A$ " înseamnă $f (16) = 2$ , adică $lo g_{a} 16 = 2$ . Din definiția logaritmului, $a^{2} = 16$ . Ecuația $a^{2} = 16$ are soluțiile $a = 4$ și $a = - 4$ , dar baza trebuie să verifice $a > 0$ și $a \neq = 1$ , deci $a = 4.$ Verificare: $lo g_{4} 16 = 2$ , fiindcă $4^{2} = 16$ . ✓ Reține respingerea lui $a = - 4$ : la logaritmi, jumătate din munca de rezolvare este eliminarea valorilor care nu respectă condițiile.

Exemplul 5 — Semnul unei expresii logaritmice

Studiați semnul expresiei $E (x) = lo g_{1/3} (x - 1)$ .

Rezolvare. Domeniul: $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ .

Semnul: baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare și își schimbă semnul acolo unde argumentul trece prin $1$ :

$E (x) > 0$ când $0 < x - 1 < 1$ , adică $x \in (1, 2)$ ;
$E (2) = lo g_{1/3} 1 = 0$ ;
$E (x) < 0$ când $x - 1 > 1$ , adică $x \in (2, \infty)$ .

Verificare: $E (4) = lo g_{1/3} 3 = - 1 < 0$ ✓, fiindcă $(\frac{1}{3})^{- 1} = 3$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{3} x$ . a) Calculați $f (1) + f (9) + f (\frac{1}{3})$ . b) Arătați că $f (3 x) - f (x) = 1$ pentru orice $x > 0$ . c) Determinați $x > 0$ pentru care $f (x) = f (2 x - 6)$ .

Rezolvare.

a) $f (1) = lo g_{3} 1 = 0$ ; $f (9) = lo g_{3} 9 = 2$ (fiindcă $3^{2} = 9$ ); $f (\frac{1}{3}) = lo g_{3} 3^{- 1} = - 1$ . Suma este $0 + 2 - 1 = 1$ .

b) Folosim logaritmul produsului: $f (3 x) = lo g_{3} (3 x) = lo g_{3} 3 + lo g_{3} x = 1 + f (x)$ . Scăzând $f (x)$ obținem $f (3 x) - f (x) = 1$ , pentru orice $x > 0$ . (Aceasta este exact proprietatea care face ca graficul să urce cu $1$ ori de câte ori argumentul se triplează.)

c) Condițiile de existență: $x > 0$ și $2 x - 6 > 0$ , deci $x > 3$ . Prin injectivitatea funcției logaritmice, egalitatea $lo g_{3} x = lo g_{3} (2 x - 6)$ este echivalentă cu $x = 2 x - 6$ , de unde $x = 6$ . Cum $6 > 3$ , soluția convine.

Verificare: $f (6) = lo g_{3} 6$ și $f (2 \cdot 6 - 6) = f (6) = lo g_{3} 6$ . ✓ Soluția este $x = 6$ .

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu care conține un logaritm, scrie mai întâi condițiile de existență — este pasul pentru care baremul de la Bacalaureat M1 acordă puncte separate.

1. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{5} (x - 2)$ .

2. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{3} (9 - x^{2})$ .

3. Completează tabelul de valori al funcției $f (x) = lo g_{3} x$ pentru $x \in {\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27}$ .

4. Determină coordonatele punctului în care graficul funcției $f (x) = lo g_{7} x$ intersectează axa $O x$ . Explică de ce graficul nu intersectează axa $O y$ .

5. Compară, fără calculator, numerele $lo g_{2} 5$ și $lo g_{2} 9$ . Justifică prin monotonie.

6. Compară numerele $lo g_{0, 3} 4$ și $lo g_{0, 3} 11$ . Ce se schimbă față de exercițiul anterior?

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Expresia $lo g_{a} x$ are sens pentru orice număr real $x$ ."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției $f (x) = lo g_{a} x$ trece prin punctul $(1, 0)$ , oricare ar fi baza $a > 0$ , $a \neq = 1$ ."

9. Studiază semnul expresiei $lo g_{2} (x - 1)$ : pentru ce valori ale lui $x$ este pozitivă, nulă, respectiv negativă?

10. Rezolvă ecuația $lo g_{2} x = lo g_{2} (3 x - 4)$ , scriind condițiile de existență și verificând soluția.

11. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = l g \frac{x + 1}{x - 3}$ .

12. Punctul $(8, 3)$ aparține graficului funcției $f (x) = lo g_{2} x$ . Determină simetricul lui față de prima bisectoare și arată că punctul obținut aparține graficului funcției $g (x) = 2^{x}$ .

13. (Problemă aplicată.) Grosimea unei foi de hârtie este $0, 1$ mm. După $n$ îndoiri în două, grosimea este $0, 1 \cdot 2^{n}$ mm. Scrie, cu ajutorul unui logaritm, numărul de îndoiri necesar pentru a depăși $1$ metru, apoi găsește cel mai mic $n$ natural care funcționează, încercând valori.

14. Ordonează crescător numerele $lo g_{2} 3$ , $lo g_{2} 1$ , $lo g_{2} 8$ și $lo g_{2} \frac{1}{2}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numărul real $a > 0$ , $a \neq = 1$ , știind că graficul funcției $f (x) = lo g_{a} x$ trece prin punctul $A (16, 2)$ .

16. Arată, folosind definiția monotoniei, că funcția $f (x) = lo g_{1/3} x$ este strict descrescătoare pe $(0, \infty)$ .

17. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f (x) = lo g_{x - 2} (5 - x)$ .

18. (Provocare.) Arată, prin reducere la absurd, că numărul $lo g_{2} 3$ este irațional.

Răspunsuri și explicații

1. Condiția $x - 2 > 0$ dă $D = (2, \infty)$ .

2. Condiția $9 - x^{2} > 0$ înseamnă $x^{2} < 9$ , deci $D = (- 3, 3)$ . Pentru $x = 3$ argumentul ar fi $0$ , deci $3$ e corect exclus.

3. $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ ; $lo g_{3} \frac{1}{3} = - 1$ ; $lo g_{3} 1 = 0$ ; $lo g_{3} 3 = 1$ ; $lo g_{3} 9 = 2$ ; $lo g_{3} 27 = 3$ . Observă din nou tiparul: argumentul se înmulțește cu $3$ , valoarea crește cu $1$ .

4. Intersecția cu $O x$ înseamnă $lo g_{7} x = 0$ , deci $x = 7^{0} = 1$ : punctul este $(1, 0)$ . Graficul nu intersectează axa $O y$ pentru că axa $O y$ are ecuația $x = 0$ , iar $0$ nu aparține domeniului $(0, \infty)$ — curba doar se apropie oricât de mult de această axă, coborând spre valori negative.

5. Baza $2$ este supraunitară, deci funcția este strict crescătoare; din $5 < 9$ rezultă $lo g_{2} 5 < lo g_{2} 9$ .

6. Baza $0, 3$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare: ordinea se inversează și $lo g_{0, 3} 4 > lo g_{0, 3} 11$ . Diferența față de exercițiul 5 este exact tipul de bază.

7. Fals. Domeniul funcției logaritmice este $(0, \infty)$ : nu există exponent care să dea un rezultat negativ sau nul dintr-o bază pozitivă, deci $lo g_{a} 0$ și $lo g_{a} (- 2)$ nu au sens.

8. Adevărat. Pentru orice bază admisă, $a^{0} = 1$ , deci $lo g_{a} 1 = 0$ : punctul $(1, 0)$ este comun tuturor graficelor logaritmice.

9. Domeniul: $x > 1$ . Baza fiind supraunitară, comparăm argumentul cu $1$ : expresia este negativă pentru $x \in (1, 2)$ , nulă pentru $x = 2$ și pozitivă pentru $x \in (2, \infty)$ .

10. Condiții: $x > 0$ și $3 x - 4 > 0$ , deci $x > \frac{4}{3}$ . Prin injectivitate: $x = 3 x - 4$ , deci $x = 2$ , care respectă condițiile. Verificare: $lo g_{2} 2 = 1 = lo g_{2} (6 - 4)$ ✓. Soluția: $x = 2$ .

11. Condiția $\frac{x + 1}{x - 3} > 0$ cere ca numărătorul și numitorul să aibă același semn: $D = (- \infty, - 1) \cup (3, \infty)$ . Verificare: pentru $x = - 2$ raportul este $0, 2 > 0$ ✓, iar pentru $x = 0$ este $- \frac{1}{3} < 0$ , deci $0$ e corect exclus.

12. Simetricul lui $(8, 3)$ față de dreapta $y = x$ se obține schimbând coordonatele între ele: $(3, 8)$ . Într-adevăr, $g (3) = 2^{3} = 8$ , deci punctul aparține graficului exponențialei — ilustrarea faptului că cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare.

13. Condiția $0, 1 \cdot 2^{n} > 1000$ (metrul are $1000$ mm) dă $2^{n} > 10000$ , deci $n > lo g_{2} 10000$ . Cum $2^{13} = 8192$ și $2^{14} = 16384$ , cel mai mic $n$ natural este $14$ : grosimea ar fi $1638, 4$ mm.

14. Funcția $lo g_{2}$ este crescătoare, deci ordinea logaritmilor urmează ordinea argumentelor: $lo g_{2} \frac{1}{2} < lo g_{2} 1 < lo g_{2} 3 < lo g_{2} 8$ , adică $- 1 < 0 < lo g_{2} 3 < 3$ .

15. Din $f (16) = 2$ obținem $lo g_{a} 16 = 2$ , deci $a^{2} = 16$ , cu soluțiile $a = 4$ și $a = - 4$ . Condiția $a > 0$ elimină $- 4$ , iar $4 \neq = 1$ , deci $a = 4$ . Verificare: $4^{2} = 16$ ✓.

16. Fie $0 < x_{1} < x_{2}$ și $u = lo g_{1/3} x_{1}$ , $v = lo g_{1/3} x_{2}$ ; atunci $x_{1} = (\frac{1}{3})^{u}$ și $x_{2} = (\frac{1}{3})^{v}$ . Cum baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, exponențiala corespunzătoare este strict descrescătoare, deci din $(\frac{1}{3})^{u} < (\frac{1}{3})^{v}$ rezultă $u > v$ . Așadar $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ : funcția este strict descrescătoare.

17. Cele trei condiții: $5 - x > 0$ , $x - 2 > 0$ și $x - 2 \neq = 1$ , adică $x < 5$ , $x > 2$ și $x \neq = 3$ . Domeniul este $(2, 3) \cup (3, 5)$ . Capcana este $x = 3$ , care ar da baza $1$ .

18. Presupunem prin absurd că $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ , cu $p, q$ numere naturale nenule (logaritmul e pozitiv, fiindcă $3 > 1$ ). Din definiție, $2^{p / q} = 3$ , deci, ridicând la puterea $q$ : $2^{p} = 3^{q}$ . Membrul stâng este par (fiindcă $p \geq 1$ ), iar membrul drept este impar, ca produs de numere impare — contradicție. Deci $lo g_{2} 3$ este irațional. Metoda este exact cea din clasa a IX-a, de la reducerea la absurd.

De reținut

Funcția logaritmică $f : (0, \infty) \to R$ , $f (x) = lo g_{a} x$ (cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ ), este inversa funcției exponențiale de bază $a$ ; de aici $a^{l o g_{a} x} = x$ și $lo g_{a} (a^{x}) = x$ .
Domeniul este $(0, \infty)$ , fără excepții: argumentul unui logaritm trebuie scris strict pozitiv înainte de orice calcul, iar baza trebuie să fie pozitivă și diferită de $1$ .
Graficul este simetricul graficului exponențialei față de prima bisectoare $y = x$ ; trece prin $(1, 0)$ pentru orice bază și se apropie de axa $O y$ fără să o atingă.
Monotonia: strict crescătoare pentru $a > 1$ , strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . La baze subunitare, ordinea se inversează — de aici va veni schimbarea sensului la inecuații.
Funcția logaritmică este bijectivă, deci injectivă: pentru $u, v > 0$ , $lo g_{a} u = lo g_{a} v ⟺ u = v$ — regula pe care se sprijină toate ecuațiile logaritmice.

Greșeli frecvente

Uiți condiția asupra argumentului. Scrii $lo g_{2} (x - 5)$ și rezolvi liniștit, apoi accepți o soluție cu $x < 5$ . Domeniul nu e o formalitate: el elimină soluții. Scrie condițiile înaintea rezolvării, nu după.
Uiți condițiile asupra bazei. La expresii de tip $lo g_{x - 2} (\dots)$ verifici doar argumentul și pierzi valoarea care face baza egală cu $1$ (în Exemplul 2, $x = 3$ ) sau negativă.
Confunzi semnul cu domeniul. „ $lo g_{a} x$ e pozitiv, deci $x > 0$ " este o confuzie: $x > 0$ dă existența, iar comparația argumentului cu $1$ dă semnul. Pentru $x \in (0, 1)$ și $a > 1$ , logaritmul există și este negativ.
Aplici monotonia crescătoare la baze subunitare. Din $4 < 11$ deduci greșit $lo g_{0, 3} 4 < lo g_{0, 3} 11$ . Prima întrebare la orice comparare: baza este supraunitară sau subunitară?
Crezi că logaritmul crește repede pentru că exponențiala explodează. Este exact invers: fiind oglinda ei, funcția logaritmică crește foarte încet — $lo g_{2} x$ ajunge la $20$ abia după un milion.

Aplică acasă

Rigla logaritmică improvizată. Pe o bandă de hârtie de $30$ cm, marchează pozițiile $x = 1, 2, 3, \dots, 10$ la distanțele $30 \cdot l g x$ cm față de capăt (deci $1$ la $0$ cm, $2$ la aproximativ $9$ cm, $10$ la $30$ cm). Observă cum diviziunile se îndesesc spre dreapta: exact așa arăta rigla de calcul folosită de ingineri înainte de calculatoare.
Oglinda din caiet. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției $2^{x}$ pentru $x \in {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ , apoi trasează dreapta $y = x$ și, îndoind foaia exact pe această dreaptă, marchează prin transparență punctele simetrice. Unește-le: ai obținut graficul lui $lo g_{2} x$ fără să calculezi niciun logaritm.
Vânătoare de scări logaritmice. Caută trei mărimi măsurate logaritmic (magnitudinea cutremurelor, pH-ul unui produs de curățenie, nivelul sonor de pe eticheta unui aspirator) și notează ce înseamnă, la fiecare, „o unitate în plus". Le reiei sistematic în lecția Aplicații: dobândă compusă, scara Richter, pH și dezintegrare.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide construcția teoretică a blocului de exponențiale și logaritmi și deschide partea de rezolvări. Ideea centrală pe care elevul trebuie să o poată formula singur este că funcția logaritmică nu e o noutate absolută, ci inversa unei funcții deja cunoscute: de aici decurg, mecanic, domeniul, graficul, monotonia și injectivitatea.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a domeniului, cu toate cele trei condiții atunci când baza depinde de necunoscută; (2) folosirea monotoniei la comparări, cu discuția după bază; (3) distincția dintre condiția de existență (argument $> 0$ ) și discuția de semn (argument comparat cu $1$ ); (4) recunoașterea simetriei față de prima bisectoare. Întrebări bune de control: „De ce nu există $lo g_{2} (- 4)$ ?", „Ce se schimbă în grafic dacă baza scade sub $1$ ?", „Cum obții graficul logaritmului dacă îl ai pe cel al exponențialei?".

La Bacalaureat M1, lecția apare rar ca subiect de sine stătător, dar apare în fiecare problemă cu ecuații sau inecuații logaritmice: baremele acordă puncte separate pentru condițiile de existență și pentru justificarea prin monotonie. Semne că elevul a înțeles: scrie condițiile spontan, înainte de a fi îndemnat, și nu se blochează la baze subunitare.

Întrebări frecvente

Ce este funcția logaritmică, pe scurt? Este funcția $f (x) = lo g_{a} x$ , definită pe intervalul $(0, \infty)$ cu valori în $R$ , unde baza $a$ este un număr pozitiv diferit de $1$ . Ea răspunde la întrebarea „la ce putere trebuie ridicată baza $a$ ca să obțin $x$ ?" și este inversa funcției exponențiale de bază $a$ .

Care este domeniul de definiție al funcției logaritmice? Domeniul este $(0, \infty)$ : exponențiala $a^{x}$ ia numai valori strict pozitive, deci nu există exponent care să dea $0$ sau un număr negativ. De aceea scriem, la orice exercițiu, condiția „argument $> 0$ " înainte de a rezolva.

De ce baza logaritmului nu poate fi $1$ ? Pentru că $1^{x} = 1$ pentru orice exponent $x$ : funcția ar fi constantă, deci neinversabilă. Ecuația $1^{x} = 5$ nu are soluție, iar $1^{x} = 1$ are o infinitate — în ambele cazuri „logaritmul în baza $1$ " nu ar putea fi definit ca număr unic.

Cum desenez rapid graficul funcției logaritmice? Desenezi graficul exponențialei de aceeași bază și îl oglindești față de prima bisectoare, dreapta $y = x$ . Punctul $(0, 1)$ al exponențialei devine $(1, 0)$ , iar apropierea de axa $O x$ devine apropiere de axa $O y$ .

Când este funcția logaritmică crescătoare și când descrescătoare? Este strict crescătoare dacă baza este supraunitară ( $a > 1$ ) și strict descrescătoare dacă baza este subunitară ( $0 < a < 1$ ). Regula se demonstrează transportând monotonia exponențialei prin relația de inversare și este exact regula care decide sensul inegalităților la inecuațiile logaritmice.

Prin ce punct trec toate graficele logaritmice? Prin punctul $(1, 0)$ , oricare ar fi baza, pentru că $a^{0} = 1$ înseamnă $lo g_{a} 1 = 0$ . Este singurul punct comun al tuturor acestor grafice și, totodată, punctul în care funcția își schimbă semnul.

Ce înseamnă că logaritmul este injectiv și la ce îmi folosește? Înseamnă că din $lo g_{a} u = lo g_{a} v$ rezultă $u = v$ , pentru $u$ și $v$ strict pozitive. Îți folosește la rezolvarea ecuațiilor logaritmice: după ce aduci ambii membri la logaritmi cu aceeași bază, „ștergi" logaritmii și rămâi cu o ecuație obișnuită — dar numai după ce ai scris condițiile de existență.