Acasă · Lecții · clasa a X-a · Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică

Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică

Ia o foaie de ziar, groasă cam de o zecime de milimetru, și îndoaie-o în două. Apoi din nou, și din nou. După $20$ de îndoituri, teancul ar avea $0, 1 \cdot 2^{20}$ milimetri, adică peste $104$ metri — un bloc de treizeci de etaje. După $42$ de îndoituri ar depăși $439000$ de kilometri, mai mult decât distanța până la Lună. Nimeni nu poate îndoi hârtia de atâtea ori, dar aritmetica nu ține cont de asta: creșterea prin dublare repetată sfidează orice intuiție.

Ce s-a schimbat față de tot ce ai studiat până acum? La $x^{2}$ sau la $x^{3/2}$ , variabila stătea în bază. La $2^{20}$ variabila stă în exponent — și tocmai am învățat, în lecțiile despre puterile cu exponent real, ce înseamnă $a^{x}$ pentru orice număr real $x$ , nu doar pentru numere întregi. Abia acum putem construi funcția exponențială pe toată axa reală și îi putem desena graficul dintr-o singură trăsătură de creion. La clasa a IX-a ai citit acest grafic „din desen"; aici îl construim și îi justificăm fiecare trăsătură.

Ce vei învăța

Vei ști definiția funcției exponențiale și vei putea explica, riguros, de ce baza trebuie să respecte $a > 0$ și $a \neq = 1$ .
Vei ști să construiești tabelul de valori și să reprezinți graficul, atât pentru $a > 1$ , cât și pentru $0 < a < 1$ .
Vei ști să demonstrezi că graficele lui $a^{x}$ și $(\frac{1}{a})^{x}$ sunt simetrice față de axa $O y$ .
Vei ști să justifici punctul fix $(0, 1)$ , pozitivitatea valorilor și existența asimptotei orizontale $O x$ .
Vei ști să compari grafice cu baze diferite și să spui care e deasupra, pe fiecare semiaxă.
Vei ști să determini baza din date grafice și să desenezi grafice obținute prin translație, de tipul $a^{x - c}$ sau $a^{x} + b$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce s-a câștigat față de clasa a IX-a

La clasa a IX-a, funcția exponențială a fost prezentată prin lectură grafică: un tabel de valori, o curbă și proprietățile citite de pe desen. Ceea ce lipsea era fundamentul: nu știai încă ce înseamnă $2^{2}$ , deci nu puteai ști dacă graficul chiar are puncte deasupra fiecărei abscise iraționale.

Acum știi. Puterea cu exponent irațional a fost definită prin aproximare cu exponenți raționali, iar regulile de calcul

$a^{x + y} = a^{x} \cdot a^{y}, a^{x - y} = \frac{a ^{x}}{a ^{y}}, (a^{x})^{y} = a^{x y}, (ab)^{x} = a^{x} b^{x}$

au fost demonstrate pentru orice exponenți reali. Pe ele se sprijină tot ce urmează. Fără ele, „graficul" ar fi doar un desen sugestiv; cu ele, e obiectul matematic complet.

2. Definiția și condițiile asupra bazei

Definiție. Fie $a \in R$ cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Funcția

$f : R \to (0, + \infty), f (x) = a^{x}$

se numește funcția exponențială de bază $a$ .

Cele două condiții nu sunt capricii de manual; fără ele obiectul nici nu există sau își pierde toate proprietățile interesante.

De ce $a > 0$ ? Dacă baza ar fi negativă, funcția nu ar putea fi definită pe toată axa. Pentru $a = - 4$ , expresia $(- 4)^{1/2}$ ar însemna $- 4$ , care nu e număr real; graficul ar fi o mulțime „ciuruită" de puncte, nu o curbă. Pentru $a = 0$ , expresia $0^{x}$ nu are sens pentru $x \leq 0$ (ar cere împărțire la zero), iar pentru $x > 0$ ar da constant $0$ .

De ce $a \neq = 1$ ? Pentru că $1^{x} = 1$ oricare ar fi $x$ : am obține funcția constantă, al cărei grafic e o dreaptă orizontală. Nu e o funcție „greșită", dar pierde exact proprietățile pentru care studiem exponențiala — nu e nici crescătoare, nici descrescătoare, nu e injectivă și nu poate fi inversată. Or, tocmai inversarea ei va da, peste câteva lecții, logaritmul.

De ce codomeniul e $(0, + \infty)$ ? Pentru că o putere cu bază strict pozitivă este strict pozitivă, oricare ar fi exponentul. Un argument scurt: $a^{x} = (a^{x /2})^{2} \geq 0$ , iar valoarea $0$ e exclusă, fiindcă $a^{x} \cdot a^{- x} = a^{0} = 1$ , iar un produs egal cu $1$ nu poate avea factori nuli. Deci $a^{x} > 0$ întotdeauna.

3. Graficul pentru $a > 1$

Luăm $a = 3$ și calculăm valori exacte.

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$3^{x}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3 \approx 1, 73$	$3$	$9$	$27$

Reprezentăm punctele și le unim printr-o curbă netedă. Ce se vede și de ce:

Curba e în întregime deasupra axei $O x$ — pentru că $a^{x} > 0$ , demonstrat mai sus.
Taie axa $O y$ în $(0, 1)$ — pentru că $a^{0} = 1$ , oricare ar fi baza.
Urcă de la stânga la dreapta, tot mai abrupt: de la $x = 2$ la $x = 3$ valoarea sare de la $9$ la $27$ .
Spre stânga se lipește de axa $O x$ , fără să o atingă vreodată: $3^{- 10} = \frac{1}{59 049}$ este minuscul, dar strict pozitiv. Spunem că axa $O x$ (dreapta $y = 0$ ) este asimptotă orizontală.

✏️Ilustrație: graficul funcției f(x) = 3^x pentru x de la −3 la 3, cu punctele (−2, 1/9), (−1, 1/3), (0, 1), (1, 3), (2, 9) marcate și etichetate; axa Ox trasată punctat, cu eticheta „asimptotă orizontală: curba se apropie oricât de mult, fără să atingă"

4. Graficul pentru $0 < a < 1$ și simetria față de $O y$

Luăm acum $a = \frac{1}{3}$ :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$(\frac{1}{3})^{x}$	$27$	$9$	$3$	$1$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

Este tabelul precedent citit invers — și asta nu e o coincidență, ci o identitate care se demonstrează într-un rând:

$(\frac{1}{a})^{x} = (a^{- 1})^{x} = a^{- x} .$

Consecință geometrică. Punctul $(x_{0}, y_{0})$ aparține graficului lui $a^{x}$ dacă și numai dacă punctul $(- x_{0}, y_{0})$ aparține graficului lui $(\frac{1}{a})^{x}$ . Cum $(x_{0}, y_{0})$ și $(- x_{0}, y_{0})$ sunt simetrice față de axa $O y$ , cele două grafice sunt simetrice față de axa $O y$ . $■$

Prin urmare, pentru $0 < a < 1$ graficul coboară de la stânga la dreapta, pornind de foarte sus și lipindu-se de axa $O x$ spre dreapta. Asimptota rămâne aceeași, punctul $(0, 1)$ rămâne același; se schimbă doar sensul.

✏️Ilustrație: pe același sistem de axe, graficele y = 3^x (albastru, crescător) și y = (1/3)^x (portocaliu, descrescător), simetrice față de axa Oy, cu punctul comun (0, 1) marcat cu roșu și cu axa Oy trasată punctat ca axă de simetrie

5. Familia de grafice: cine e deasupra?

Desenăm în același sistem $y = 2^{x}$ și $y = 3^{x}$ . Amândouă trec prin $(0, 1)$ . Care e deasupra? Comparăm prin raport:

$\frac{3 ^{x}}{2 ^{x}} = (\frac{3}{2})^{x} .$

Baza $\frac{3}{2}$ e supraunitară, deci — folosind lema demonstrată la graficul funcției putere — raportul e $> 1$ exact când $x > 0$ și $< 1$ exact când $x < 0$ . Așadar:

pentru $x > 0$ : $3^{x} > 2^{x}$ — baza mai mare urcă mai sus;
pentru $x < 0$ : $3^{x} < 2^{x}$ — baza mai mare coboară mai jos;
în $x = 0$ : valorile sunt egale cu $1$ .

Verificare rapidă: $3^{2} = 9 > 4 = 2^{2}$ , dar $3^{- 2} = \frac{1}{9} < \frac{1}{4} = 2^{- 2}$ . ✓

Reține imaginea: toate curbele exponențiale se întâlnesc în $(0, 1)$ și „se despletesc" de acolo, în evantai — cu cât baza e mai mare, cu atât curba e mai abruptă la dreapta și mai lipită de axă la stânga.

6. Numărul $e$ și exponențiala naturală

Printre toate bazele posibile există una privilegiată: numărul irațional

$e = 2, 718281828 \dots$

Funcția $f (x) = e^{x}$ se numește exponențiala naturală și e cea folosită implicit în fizică, chimie, biologie și finanțe, pentru că descrie creșterea „continuă", fără pași discreți. La trunchiul comun ea apare încă din clasa a IX-a, tratată prin lectură grafică, în lecția despre numărul e — o poți citi ca lămurire suplimentară. Fiind $e > 1$ , graficul ei are exact forma din secțiunea 3, așezat între $2^{x}$ și $3^{x}$ .

7. Grafice obținute prin translație

În probleme apar frecvent funcții de forma $a^{x - c}$ sau $a^{x} + b$ . Ele nu sunt exponențiale în sens strict, dar graficele lor se obțin din cel al exponențialei prin mutare:

$g (x) = a^{x - c}$ : graficul lui $a^{x}$ translatat orizontal cu $c$ unități (la dreapta dacă $c > 0$ ). Asimptota rămâne $y = 0$ ; punctul $(0, 1)$ se mută în $(c, 1)$ .
$h (x) = a^{x} + b$ : graficul lui $a^{x}$ translatat vertical cu $b$ unități. Asimptota se mută în $y = b$ , iar curba poate acum să taie axa $O x$ .

Exemplu. Pentru $h (x) = 2^{x} - 4$ : asimptota este $y = - 4$ ; intersecția cu $O y$ este $h (0) = 1 - 4 = - 3$ ; intersecția cu $O x$ se obține din $2^{x} = 4$ , deci $x = 2$ . Graficul urcă, taie axele în $(0, - 3)$ și $(2, 0)$ , iar spre stânga se apropie de dreapta $y = - 4$ .

8. Determinarea bazei din informații grafice

Dacă știi că un punct aparține graficului, ai o ecuație. Fie $f (x) = a^{x}$ cu graficul trecând prin $(3, 64)$ . Atunci $a^{3} = 64$ , iar cum $a > 0$ , funcția putere de exponent $3$ e injectivă pe $(0, + \infty)$ și deci $a = 6 4^{1/3} = 4$ . Baza este $4$ ; condițiile $a > 0$ , $a \neq = 1$ sunt îndeplinite. ✓

Aceeași idee, în sens invers, spune dacă un punct e sau nu pe grafic: $(2, \frac{1}{16})$ aparține graficului lui $(\frac{1}{4})^{x}$ , pentru că $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ . ✓

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de valori exacte

Calculați $f (- 2)$ , $f (\frac{1}{2})$ , $f (0)$ și $f (3)$ pentru $f (x) = 4^{x}$ .

Rezolvare. $f (- 2) = 4^{- 2} = \frac{1}{16}$ ; $f (\frac{1}{2}) = 4 = 2$ ; $f (0) = 1$ ; $f (3) = 64$ .

Observă că valorile cresc odată cu argumentul — baza fiind supraunitară — și că toate sunt strict pozitive. $■$

Exemplul 2 — Apartenența unui punct la grafic

Stabiliți dacă punctele $A (5, 32)$ și $B (- 4, 16)$ aparțin graficului funcției $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ .

Rezolvare. Pentru $A$ : $f (5) = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32} \neq = 32$ , deci $A$ nu aparține graficului.

Pentru $B$ : $f (- 4) = (\frac{1}{2})^{- 4} = 2^{4} = 16$ . ✓ Deci $B$ aparține graficului. $■$

Exemplul 3 — Determinarea bazei

Graficul funcției $f (x) = a^{x}$ trece prin punctul $M (- 2, \frac{1}{9})$ . Determinați baza $a$ .

Rezolvare. Condiția se scrie $a^{- 2} = \frac{1}{9}$ , adică $\frac{1}{a ^{2}} = \frac{1}{9}$ , deci $a^{2} = 9$ . Cum baza trebuie să fie strict pozitivă, reținem doar $a = 3$ și respingem $a = - 3$ .

Verificare în relația inițială: $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ . ✓ Condițiile $a > 0$ și $a \neq = 1$ sunt îndeplinite. $■$

Exemplul 4 — Compararea a două grafice

Fie $f (x) = 5^{x}$ și $g (x) = 2^{x}$ . Stabiliți, cu justificare, pe ce interval graficul lui $f$ este deasupra graficului lui $g$ .

Rezolvare. Calculăm raportul: $\frac{f ( x )}{g ( x )} = (\frac{5}{2})^{x}$ . Baza $\frac{5}{2} > 1$ , deci raportul este supraunitar exact pentru $x > 0$ și subunitar pentru $x < 0$ .

Prin urmare graficul lui $f$ este deasupra pe $(0, + \infty)$ , dedesubt pe $(- \infty, 0)$ , iar în $x = 0$ curbele se intersectează, ambele valori fiind $1$ .

Control numeric: $f (1) = 5 > 2 = g (1)$ ✓ și $f (- 1) = \frac{1}{5} < \frac{1}{2} = g (- 1)$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Grafic translatat

Se consideră $h : R \to R$ , $h (x) = 3^{x - 1}$ . Determinați intersecțiile graficului cu axele și asimptota orizontală.

Rezolvare. Intersecția cu $O y$ : $h (0) = 3^{- 1} = \frac{1}{3}$ , deci punctul $(0, \frac{1}{3})$ .

Intersecția cu $O x$ : ar cere $3^{x - 1} = 0$ , imposibil, pentru că exponențiala ia doar valori strict pozitive. Graficul nu taie axa $O x$ .

Asimptota: valorile $3^{x - 1}$ se apropie oricât de mult de $0$ când $x$ scade, deci asimptota orizontală este $y = 0$ . Graficul e cel al lui $3^{x}$ , mutat cu o unitate la dreapta; punctul $(0, 1)$ ajunge în $(1, 1)$ , ceea ce se verifică: $h (1) = 3^{0} = 1$ . ✓ $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2^{x} - 4$ . a) Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele. b) Arătați că $f (x) > - 4$ pentru orice număr real $x$ . c) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = 60$ .

Rezolvare. a) Cu $O y$ : $f (0) = 2^{0} - 4 = 1 - 4 = - 3$ , deci $(0, - 3)$ . Cu $O x$ : din $2^{x} - 4 = 0$ obținem $2^{x} = 4 = 2^{2}$ , deci $x = 2$ (folosind injectivitatea exponențialei), adică punctul $(2, 0)$ .

b) Pentru orice $x$ real avem $2^{x} > 0$ , deci $f (x) = 2^{x} - 4 > 0 - 4 = - 4$ . Inegalitatea este strictă, iar valoarea $- 4$ nu este atinsă niciodată: dreapta $y = - 4$ este asimptotă orizontală, nu o valoare a funcției. $■$

c) $2^{x} - 4 = 60 \Rightarrow 2^{x} = 64 = 2^{6} \Rightarrow x = 6$ . Verificare în ecuația inițială: $2^{6} - 4 = 64 - 4 = 60$ . ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare grafic cerut, marchează punctul $(0, 1)$ (sau translatatul lui) și trasează asimptota punctat — la examen, asimptota lipsă costă puncte.

1. Calculează $f (- 3)$ , $f (0)$ , $f (\frac{1}{2})$ , $f (2)$ pentru $f (x) = 9^{x}$ .

2. Completează tabelul de valori pentru $f (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ în punctele $x \in {- 3, - 1, 0, 1, 3}$ și schițează graficul.

3. Care dintre următoarele funcții sunt funcții exponențiale: $f (x) = (- 2)^{x}$ , $g (x) = 1^{x}$ , $h (x) = 7^{x}$ , $u (x) = x^{7}$ , $v (x) = (\frac{2}{5})^{x}$ ? Justifică fiecare respingere.

4. Stabilește dacă punctul $A (3, 125)$ aparține graficului funcției $f (x) = 5^{x}$ .

5. Graficul funcției $f (x) = a^{x}$ trece prin punctul $(2, 49)$ . Determină baza $a$ .

6. Graficul funcției $f (x) = a^{x}$ trece prin punctul $(- 1, \frac{5}{2})$ . Determină baza $a$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul funcției exponențiale intersectează axa $O x$ într-un singur punct."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficele funcțiilor $f (x) = 4^{x}$ și $g (x) = (\frac{1}{4})^{x}$ au exact un punct comun."

9. Arată, prin calcul, că graficele funcțiilor $f (x) = 2^{x}$ și $g (x) = (\frac{1}{2})^{x}$ sunt simetrice față de axa $O y$ .

10. Fie $f (x) = 3^{x}$ și $g (x) = 7^{x}$ . Pe ce interval este graficul lui $g$ sub graficul lui $f$ ? Justifică prin raport.

11. Determină intersecțiile cu axele și asimptota orizontală pentru $h (x) = 5^{x} - 25$ .

12. Determină intersecțiile cu axele și asimptota orizontală pentru $u (x) = 2^{x + 3}$ .

13. Ordonează crescător numerele $2^{- 1}$ , $(\frac{1}{2})^{- 1}$ , $2^{0}$ , folosind doar proprietățile puterilor.

14. (Problemă aplicată.) O sumă de $1200$ de lei este depusă cu dobândă compusă de $5%$ pe an. Scrie funcția care dă suma după $t$ ani și calculează valoarea după $4$ ani. Ce fel de funcție este și care este baza ei?

15. (Problemă aplicată.) Grosimea unei foi este de $0, 1$ mm. Scrie funcția care dă grosimea teancului după $n$ îndoituri și calculează grosimea după $20$ de îndoituri, în metri.

16. Se consideră $f (x) = a^{x}$ cu $a > 1$ . Explică, folosind poziția graficului față de $(0, 1)$ , de ce $f (x) > 1$ pentru $x > 0$ și $f (x) < 1$ pentru $x < 0$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 3^{x} - 9$ . a) Determină punctele de intersecție ale graficului cu axele. b) Arată că $f (x) + 9 > 0$ pentru orice $x$ real. c) Rezolvă ecuația $f (x) = 72$ .

18. (Provocare.) Fie $f (x) = a^{x}$ cu $a > 0$ , $a \neq = 1$ . Arată că punctele graficului de abscise $x - 1$ , $x$ , $x + 1$ au ordonatele în progresie geometrică, oricare ar fi $x$ , și precizează rația.

Răspunsuri și explicații

1. $f (- 3) = 9^{- 3} = \frac{1}{729}$ ; $f (0) = 1$ ; $f (\frac{1}{2}) = 9 = 3$ ; $f (2) = 81$ .

2. Valorile sunt $8, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}$ . Baza fiind subunitară, graficul coboară de la stânga la dreapta, trece prin $(0, 1)$ și are asimptota $y = 0$ spre dreapta.

3. Exponențiale sunt doar $h$ și $v$ . $f (x) = (- 2)^{x}$ nu este: baza e negativă, iar $(- 2)^{1/2}$ nu e număr real. $g (x) = 1^{x}$ nu este: baza $1$ e exclusă prin definiție (ar da funcția constantă $1$ ). $u (x) = x^{7}$ este funcție putere, nu exponențială — variabila e în bază.

4. $f (3) = 5^{3} = 125$ ✓, deci $A$ aparține graficului.

5. $a^{2} = 49$ și $a > 0$ dau $a = 7$ . Verificare: $7^{2} = 49$ ✓.

6. $a^{- 1} = \frac{5}{2}$ , adică $\frac{1}{a} = \frac{5}{2}$ , deci $a = \frac{2}{5}$ . Verificare: $(\frac{2}{5})^{- 1} = \frac{5}{2}$ ✓. Baza e subunitară, deci funcția e descrescătoare.

7. Fals. Nu îl intersectează deloc: $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ , deci ecuația $a^{x} = 0$ nu are soluții. Axa $O x$ este asimptotă, nu secantă.

8. Adevărat. Ecuația $4^{x} = (\frac{1}{4})^{x}$ se scrie $4^{x} = 4^{- x}$ , deci $x = - x$ , adică $x = 0$ . Punctul comun este $(0, 1)$ .

9. $g (x) = (\frac{1}{2})^{x} = 2^{- x} = f (- x)$ . Deci punctul $(x_{0}, y_{0})$ e pe graficul lui $f$ dacă și numai dacă $(- x_{0}, y_{0})$ e pe graficul lui $g$ — exact definiția simetriei față de axa $O y$ .

10. $\frac{g ( x )}{f ( x )} = (\frac{7}{3})^{x}$ , cu baza supraunitară. Raportul e subunitar exact pentru $x < 0$ , deci graficul lui $g$ este sub cel al lui $f$ pe $(- \infty, 0)$ .

11. Cu $O y$ : $h (0) = 1 - 25 = - 24$ , punctul $(0, - 24)$ . Cu $O x$ : $5^{x} = 25 = 5^{2}$ , deci $x = 2$ , punctul $(2, 0)$ . Asimptotă: $y = - 25$ (translație verticală cu $- 25$ ).

12. Cu $O y$ : $u (0) = 2^{3} = 8$ , punctul $(0, 8)$ . Cu $O x$ : nicio intersecție, valorile fiind strict pozitive. Asimptotă: $y = 0$ ; graficul e cel al lui $2^{x}$ mutat cu $3$ unități la stânga.

13. $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , $(\frac{1}{2})^{- 1} = 2$ , $2^{0} = 1$ . Ordinea crescătoare: $2^{- 1} < 2^{0} < (\frac{1}{2})^{- 1}$ , adică $\frac{1}{2} < 1 < 2$ .

14. $S (t) = 1200 \cdot 1, 0 5^{t}$ ; după $4$ ani, $S (4) = 1200 \cdot 1, 0 5^{4} = 1458, 6075$ , adică $1458, 61$ lei. Este o funcție exponențială (înmulțită cu o constantă), de bază $1, 05 > 1$ , deci crescătoare.

15. $G (n) = 0, 1 \cdot 2^{n}$ milimetri. Pentru $n = 20$ : $G (20) = 0, 1 \cdot 1048576 = 104857, 6$ mm $= 104, 8576$ m — aproximativ $105$ metri.

16. Graficul trece prin $(0, 1)$ și, baza fiind supraunitară, urcă de la stânga la dreapta. La dreapta lui $0$ e deci deasupra ordonatei $1$ , iar la stânga, dedesubt. Algebric: $a^{x} > a^{0} = 1$ pentru $x > 0$ , prin monotonie strictă.

17. a) Cu $O y$ : $f (0) = 1 - 9 = - 8$ , punctul $(0, - 8)$ . Cu $O x$ : $3^{x} = 9 = 3^{2} \Rightarrow x = 2$ , punctul $(2, 0)$ . b) $f (x) + 9 = 3^{x} > 0$ pentru orice $x$ real, fiind o putere cu bază strict pozitivă. c) $3^{x} - 9 = 72 \Rightarrow 3^{x} = 81 = 3^{4} \Rightarrow x = 4$ . Verificare: $3^{4} - 9 = 81 - 9 = 72$ ✓.

18. Ordonatele sunt $a^{x - 1}$ , $a^{x}$ , $a^{x + 1}$ . Raportul a doi termeni consecutivi este constant:

$\frac{a ^{x}}{a ^{x - 1}} = a^{x - (x - 1)} = a, \frac{a ^{x + 1}}{a ^{x}} = a .$

Deci cele trei numere formează o progresie geometrică de rație $a$ , indiferent de $x$ . Aceasta e „semnătura" funcției exponențiale: pași egali pe orizontală înseamnă înmulțire cu același factor pe verticală — spre deosebire de funcția de gradul I, la care pași egali înseamnă adunarea aceleiași constante.

De reținut

Definiție: $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Variabila stă în exponent, nu în bază.
Valorile sunt întotdeauna strict pozitive: graficul e în întregime deasupra axei $O x$ , pe care o are ca asimptotă orizontală. Ecuația $a^{x} = 0$ nu are soluții.
Toate graficele trec prin $(0, 1)$ , pentru că $a^{0} = 1$ . Pentru $a > 1$ curba urcă; pentru $0 < a < 1$ curba coboară.
Graficele lui $a^{x}$ și $(\frac{1}{a})^{x}$ sunt simetrice față de axa $O y$ , pentru că $(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}$ .
La baze diferite: pe $(0, + \infty)$ baza mai mare urcă mai sus, pe $(- \infty, 0)$ coboară mai jos; se demonstrează comparând raportul $(\frac{a}{b})^{x}$ cu $1$ .

Greșeli frecvente

Confuzia $a^{x}$ cu $x^{a}$ . $2^{x}$ e funcție exponențială, $x^{2}$ e funcție putere. Prima trece prin $(0, 1)$ și nu atinge niciodată zero; a doua trece prin origine. Compară cu lecția despre graficul funcției putere.
Accepți baze negative sau baza 1. $(- 3)^{x}$ nu definește o funcție pe $R$ , iar $1^{x}$ e constantă. Ambele sunt excluse prin definiție, iar la examen prima verificare cerută este chiar condiția asupra bazei.
Cauți intersecția graficului cu axa $O x$ . Nu există: exponențiala nu se anulează niciodată. Ea apare doar la funcții translatate vertical, de tipul $a^{x} + b$ cu $b < 0$ .
Muți asimptota când translatezi orizontal. La $a^{x - c}$ asimptota rămâne $y = 0$ ; se mută doar la translația verticală, $a^{x} + b$ , unde devine $y = b$ .
Deduci greșit poziția graficelor pe semiaxa negativă. Din $5 > 3$ nu rezultă $5^{x} > 3^{x}$ pentru orice $x$ : pentru $x < 0$ inegalitatea se răstoarnă, cum arată $5^{- 1} = 0, 2 < 0, 333 \dots = 3^{- 1}$ .

Aplică acasă

Evantaiul de curbe. În GeoGebra sau Desmos trasează, în același sistem, $y = 1, 5^{x}$ , $y = 2^{x}$ , $y = e^{x}$ , $y = 5^{x}$ și $y = (\frac{1}{2})^{x}$ . Verifică vizual că toate trec prin $(0, 1)$ , identifică ordinea lor la dreapta și la stânga acestui punct și confruntă cu regula demonstrată în secțiunea 5.
Dobânda din realitate. Caută dobânda anuală oferită de o bancă la un depozit și scrie funcția $S (t) = S_{0} \cdot (1 + p)^{t}$ pentru o sumă de $1000$ de lei. Calculează valoarea după $1$ , $5$ și $10$ ani și compară cu ce ai obține dacă banca ar adăuga în fiecare an aceeași sumă fixă (creștere liniară).
Îndoitura imposibilă. Ia o foaie A4 și îndoaie-o de câte ori poți (majoritatea oamenilor se opresc la $7$ ). Calculează grosimea teoretică la fiecare pas și estimează de câte îndoituri ar fi nevoie ca teancul să depășească înălțimea blocului tău.

Pentru părinți și profesori

Lecția reia funcția exponențială la nivelul cerut de programa de matematică-informatică: nu doar „citim graficul", ci justificăm fiecare trăsătură a lui — pozitivitatea valorilor, punctul fix $(0, 1)$ , asimptota, simetria dintre bazele $a$ și $\frac{1}{a}$ , ordinea curbelor din familie. Elevul trebuie să plece de aici știind că exponențiala nu se anulează niciodată și că baza decide sensul de variație.

Întrebări bune de control: „De ce baza nu poate fi negativă?" (puterile cu exponent fracționar ar ieși din mulțimea numerelor reale); „Unde taie graficul axa $O x$ ?" (nicăieri — e asimptotă); „Ce se schimbă dacă baza devine subunitară?" (curba coboară, restul rămâne). Semne că a înțeles: nu confundă $a^{x}$ cu $x^{a}$ , marchează asimptota la desen și verifică apartenența unui punct la grafic prin înlocuire, nu „din ochi".

La Bacalaureatul M1, această lecție se vede mai ales în subiectul I și II: apartenența unui punct la grafic, determinarea bazei dintr-o condiție, intersecția graficului cu axele pentru funcții de tipul $a^{x} + b$ și justificări scurte de tipul „arătați că $f (x) > b$ pentru orice $x$ real", care se rezolvă într-un rând folosind pozitivitatea exponențialei.

Întrebări frecvente

Ce este funcția exponențială? Este funcția $f : R \to (0, + \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , unde baza $a$ e un număr fixat cu $a > 0$ și $a \neq = 1$ . Ceea ce o deosebește de funcția putere e că variabila stă în exponent.

De ce baza funcției exponențiale trebuie să fie pozitivă și diferită de 1? Dacă baza ar fi negativă, puteri precum $a^{1/2}$ nu ar exista în mulțimea numerelor reale și funcția nu s-ar putea defini pe toată axa. Dacă baza ar fi $1$ , funcția ar fi constantă, deci nu ar fi injectivă și nu ar putea fi inversată — ar dispărea rostul ei.

De ce graficul funcției exponențiale nu atinge axa Ox? Pentru că $a^{x}$ este strict pozitiv pentru orice $x$ : din $a^{x} \cdot a^{- x} = 1$ rezultă că niciun factor nu poate fi zero. Curba se apropie oricât de mult de axă, dar nu o atinge — de aceea axa $O x$ se numește asimptotă orizontală.

Prin ce punct trec toate graficele funcțiilor exponențiale? Prin $(0, 1)$ , pentru că $a^{0} = 1$ oricare ar fi baza. Este punctul de unde „pornește evantaiul": la dreapta lui, baza mai mare urcă mai sus; la stânga lui, coboară mai jos.

Cum determin baza funcției exponențiale dintr-un punct de pe grafic? Înlocuiești coordonatele punctului în $y = a^{x}$ și rezolvi ecuația obținută în necunoscuta $a$ , reținând doar soluțiile strict pozitive și diferite de $1$ . De exemplu, din $a^{3} = 64$ rezultă $a = 4$ .

Care este diferența dintre funcția exponențială și funcția putere? La funcția putere $x^{α}$ variabila este baza, iar exponentul e fixat; la funcția exponențială $a^{x}$ e invers. Graficul funcției putere trece prin origine (pentru exponent pozitiv), cel al exponențialei prin $(0, 1)$ și nu atinge niciodată axa $O x$ .

Ce se schimbă în grafic dacă baza este subunitară? Curba se răstoarnă: în loc să urce, coboară de la stânga la dreapta. Graficul lui $(\frac{1}{a})^{x}$ este oglinda graficului lui $a^{x}$ față de axa $O y$ , pentru că $(\frac{1}{a})^{x} = a^{- x}$ .

Ce este numărul e și de ce apare la exponențiale? Este numărul irațional $e \approx 2, 718$ , baza „naturală" a exponențialei. Apare ori de câte ori o mărime crește sau scade continuu, nu în pași discreți — de la dobânda capitalizată permanent până la dezintegrarea radioactivă.