Grafice din fizică și verificarea cu instrumente digitale

Graficele din fizică sunt, la clasa a XII-a, locul în care schema de studiu al unei funcții iese din caiet și descrie ceva măsurabil: presiunea unui gaz comprimat brusc, temperatura unei cești de ceai lăsate pe masă, înălțimea unei mingi aruncate în sus, puterea consumată de un bec legat la o baterie. Toate patru sunt funcții reale de o variabilă reală, cu domeniu, monotonie, extreme, convexitate și asimptote — exact obiectele pe care le studiezi de paisprezece lecții. Un grafic din fizică este graficul unei funcții a cărei variabilă și ale cărei valori au nume și unități de măsură, iar domeniul nu se alege, ci este impus de fenomen: un volum, o durată sau o rezistență nu pot fi negative.

Lecția anterioară, despre rezolvarea grafică a ecuației $f(x)=g(x)$ și comparația cu șirul lui Rolle, a arătat cât de departe poate duce un desen; aici mergem mai departe și punem desenul față în față cu un calculator. Diferența e că acum fiecare literă are un nume și o unitate de măsură, iar domeniul nu îl alegi tu: îl impune fenomenul. Un volum nu poate fi negativ, o durată nici atât, iar o rezistență de sarcină se măsoară de la zero în sus. Lecția aceasta parcurge patru astfel de grafice cu schema completă a reprezentării grafice, arată cum se citesc extremele pe un interval impus de problemă și se încheie cu al cincilea control anunțat acolo: verificarea cu instrumente digitale, recomandată explicit de programa de matematică-informatică.

Ce vei învăța

• Vei ști să treci de la o lege fizică la funcția matematică pe care o studiezi, cu domeniul impus de fenomen și cu etichetele de rând instanțiate.
• Vei ști să studiezi complet transformarea adiabatică $p{V}^{\gamma }=\text{const}$ și să o compari cu izoterma.
• Vei ști să recunoști asimptota orizontală ca mărime fizică: temperatura mediului, viteza-limită, valoarea de regim.
• Vei ști să citești extremele pe un interval închis, unde capetele intră în discuție alături de punctele critice.
• Vei ști să compari graficul obținut analitic cu cel trasat de un instrument digital și să recunoști cele trei feluri în care desenul digital poate induce în eroare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un grafic din fizică?

Un grafic din fizică este reprezentarea grafică a unei funcții care exprimă legătura dintre două mărimi măsurabile, studiată pe domeniul impus de fenomenul modelat; el se construiește cu aceleași unelte ca orice alt grafic, dar variabilele poartă nume și unități, iar concluziile matematice primesc, fiecare, o traducere fizică.

Practic, se schimbă trei lucruri față de un exercițiu obișnuit.

Domeniul e impus de fenomen. La transformarea adiabatică, volumul e strict pozitiv, deci $D=(0,+\infty )$; la o răcire care începe la momentul aprinderii cronometrului, $D=[0,+\infty )$ — un capăt închis, care se tratează altfel decât unul deschis. Nu se studiază funcția pe „domeniul maxim de definiție al expresiei", ci pe cel fizic.

Etichetele rândurilor se instanțiază. În tabelul de variație nu mai scrii $f^{\prime }(x)$ și $f(x)$, ci $p^{\prime }(V)$ și $p(V)$, $T^{\prime }(t)$ și $T(t)$, $P^{\prime }(R)$ și $P(R)$. Regula e cea fixată la probleme de extrem în geometrie și la optimizarea din clasa a XI-a: mărimea își păstrează numele peste tot.

Fiecare rezultat primește o traducere. „Funcția are asimptota orizontală $y=20$" devine „temperatura corpului tinde către temperatura camerei, $20{}^{\circ }\text{C}$, fără să o atingă vreodată". „Maximul este $18$" devine „puterea maximă transferată este de $18$ wați, la o rezistență de sarcină de $2$ ohmi". Fără traducere, rezolvarea e pe jumătate.

2. Transformarea adiabatică: funcția $p(V)=\frac{C}{V^{\gamma }}$

Când un gaz este comprimat sau destins atât de repede încât nu apucă să schimbe căldură cu exteriorul, presiunea și volumul lui sunt legate prin relația $p{V}^{\gamma }=C$, unde $C>0$ este o constantă, iar $\gamma >1$ este un număr care depinde de gaz (pentru aer, $\gamma =\frac{7}{5}=1,4$). De aici presiunea, ca funcție de volum:

$$p:(0,+\infty )\to \mathbb{R},p(V)=\frac{C}{V^{\gamma }}=C\cdot V^{-\gamma }.$$

Exponentul nu este întreg, deci lucrăm cu funcția putere cu exponent real, definită și derivabilă pe $(0,+\infty )$. Luăm $C=100$, cu presiunea în kilopascali și volumul în litri.

$p^{\prime }(V)=-\gamma C{V}^{-\gamma -1}<0$ pe tot domeniul, deci presiunea scade strict când volumul crește. $p^{\prime \prime }(V)=\gamma (\gamma +1)C{V}^{-\gamma -2}>0$, deci graficul este convex peste tot. Limitele la capete: $\underset{\begin{array}{c}V\to 0\\ V>0\end{array}}{\lim }p(V)=+\infty$ și $\underset{V\to +\infty }{\lim }p(V)=0$. Prin urmare dreapta $V=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $p$, iar dreapta $p=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$.

Citirea tabelului: presiunea scade strict de la valori oricât de mari, când gazul e comprimat aproape complet, până la valori oricât de mici, când e destins nelimitat; scăderea este tot mai lentă (curbă convexă). Cele două asimptote au sens fizic doar ca tendințe: niciun gaz real nu se comprimă la volum nul.

Comparația cu izoterma $pV=C$ (adică $\gamma =1$) este instructivă: la același punct de plecare, adiabata este mai abruptă. Pentru $C=100$ și $V=2$ litri, izoterma dă $50$ kPa, iar adiabata $\frac{100}{2^{1,4}}\approx 37,89$ kPa; pentru $V=0,5$ litri, izoterma dă $200$ kPa, iar adiabata $\approx 263,90$ kPa. (Verificat numeric, cu exponent zecimal.)

3. Legea răcirii: ce înseamnă fizic asimptota orizontală?

Un corp mai cald decât mediul se răcește cu atât mai repede cu cât diferența de temperatură este mai mare. Modelul obișnuit dă temperatura corpului la momentul $t$:

$$T:[0,+\infty )\to \mathbb{R},T(t)=20+60e^{-t/10},$$

cu $t$ în minute și $T$ în grade Celsius: un obiect de $80{}^{\circ }\text{C}$ lăsat într-o cameră de $20{}^{\circ }\text{C}$.

$T^{\prime }(t)=-6e^{-t/10}<0$: temperatura scade mereu. $T^{\prime \prime }(t)=0,6e^{-t/10}>0$: graficul este convex, adică răcirea încetinește. Domeniul are un capăt închis în $0$, deci acolo se scriu valorile, nu limite: $T(0)=80$ și derivata laterală $T^{\prime }(0)=-6$ grade pe minut. La celălalt capăt, $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=20$, deci dreapta $T=20$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $T$ spre $+\infty$.

Citirea tabelului: temperatura scade strict de la $80{}^{\circ }\text{C}$ către $20{}^{\circ }\text{C}$, fără să atingă vreodată această valoare; scăderea e cea mai rapidă la început ($6$ grade pe minut) și devine tot mai lentă. Asimptota orizontală este temperatura camerei — iată de ce merită numită, nu doar calculată. După $30$ de minute corpul are $20+60e^{-3}\approx 22,99{}^{\circ }\text{C}$, iar valoarea de $30{}^{\circ }\text{C}$ se atinge la $t=10\ln 6\approx 17,92$ minute. (Ambele verificate numeric.)

Aceeași structură apare la viteza-limită a unui corp care cade într-un mediu cu frecare și la descărcarea unui condensator: o exponențială descrescătoare, o asimptotă orizontală și o mărime fizică de regim.

4. Cum se citesc extremele pe un interval închis?

O minge aruncată vertical în sus cu viteza $v_0=20$ metri pe secundă are înălțimea

$$h:[0,4]\to \mathbb{R},h(t)=20t-5t^2,$$

unde am luat $g=10$ metri pe secundă la pătrat; intervalul se oprește la $t=4$, momentul în care mingea revine la sol. $h^{\prime }(t)=20-10t$, cu unicul zero $t=2$; $h^{\prime \prime }(t)=-10<0$, deci graficul e concav pe tot intervalul. La ambele capete închise se scriu valorile efective, inclusiv ale derivatelor laterale.

Citirea tabelului: mingea urcă $2$ secunde până la înălțimea maximă de $20$ de metri, apoi coboară simetric; viteza la plecare este $20$ metri pe secundă în sus, iar la sosire $20$ în jos.

Aici apare regula care se cere la competența XII.CS.6.4 — studiul extremelor pe anumite intervale. Pe un interval închis $[a,b]$, candidații la extrem global sunt punctele critice din interior și cele două capete; se compară valorile și se alege. Pe $[0,4]$ maximul este $h(2)=20$, iar minimul este $0$, atins în amândouă capetele. Dar dacă întrebarea se pune pe $[0,1]$ — de pildă „cât urcă mingea în prima secundă?" — punctul critic $t=2$ nu mai aparține intervalului, iar maximul se mută în capătul din dreapta: $h(1)=15$ metri. Același grafic, alt interval, alt răspuns.

Greșeala clasică e să răspunzi „maximul este $20$" indiferent de interval, pentru că așa iese din $h^{\prime }(t)=0$. Extremul global pe un interval nu se citește numai din anularea derivatei; se citește din tabel, cu capetele incluse.

5. Puterea transferată: extrem, inflexiune și asimptotă la același grafic

O baterie cu tensiunea electromotoare $E$ și rezistența interioară $r$ alimentează un rezistor de sarcină $R$. Puterea primită de rezistor este

$$P:[0,+\infty )\to \mathbb{R},P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}.$$

Cu $E=12$ volți și $r=2$ ohmi obținem $P(R)=\frac{144R}{(R+2{)}^2}$. Derivatele:

$$P^{\prime }(R)=\frac{144(2-R)}{(R+2{)}^3},P^{\prime \prime }(R)=\frac{144(2R-8)}{(R+2{)}^4}.$$

Deci $P^{\prime }$ se anulează în $R=2$, iar $P^{\prime \prime }$ în $R=4$; valorile: $P(2)=18$, $P(4)=16$, $P(0)=0$, $P^{\prime }(0)=36$, $P^{\prime }(4)=-\frac{4}{3}$, $P^{\prime \prime }(0)=-72$, $P^{\prime \prime }(2)=-\frac{9}{4}$. La $+\infty$, $\underset{R\to +\infty }{\lim }P(R)=0$, deci dreapta $P=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$; asimptotă oblică nu există, pentru că panta $\underset{R\to +\infty }{\lim }\frac{P(R)}{R}$ este nulă — situația a treia din cele patru în care asimptota oblică nu există, fixate la asimptota oblică.

Citirea tabelului: puterea crește de la $0$ până la maximul global $18$ wați, atins pentru $R=2$ ohmi, apoi scade către $0$; graficul este concav pe $[0,4]$ și convex pe $[4,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(4,16)$.

Rezultatul are un nume în fizică: transferul maxim de putere se face când rezistența de sarcină este egală cu rezistența interioară, $R=r$. Matematica îl dă în trei rânduri, iar graficul arată de ce e o condiție „blândă": lângă maxim curba e aproape orizontală, deci o abatere mică de la $R=r$ costă foarte puțină putere. (Toate valorile au fost verificate numeric.)

6. Cum se verifică un grafic cu instrumente digitale?

Programa cere, la aceeași competență XII.CS.5.4, „compararea graficului unei funcții obținut prin studiu analitic cu reprezentarea sa numerică, realizată folosind diferite instrumente digitale". Sunt utile aici programele de geometrie dinamică și calculatoarele grafice — GeoGebra, Desmos și altele asemenea, inclusiv cele din telefoane. Ordinea de lucru este una singură și nu se inversează:

1. Faci întâi studiul analitic complet, până la lista asimptotelor și tabelul de variație. Dacă te uiți întâi la desenul digital, nu mai verifici nimic: îți vei confirma singur ce ai văzut.
2. Introduci expresia și fixezi fereastra. Alegi $x_{\min }$ și $x_{\max }$ din domeniu, iar $y_{\min }$ și $y_{\max }$ din valorile extreme și din limitele la capete, calculate de tine. Fereastra potrivită se alege din tabel, nu prin încercări.
3. Compari exact trei lucruri, în această ordine: numărul de ramuri (trebuie să fie egal cu numărul de intervale ale domeniului), poziția extremelor (abscisă și ordonată, comparate cu valorile din tabel) și comportarea la capete (curba trebuie să se apropie de fiecare asimptotă fără să se depărteze la loc).

Dacă cele trei se potrivesc, ai o confirmare bună. Dacă nu se potrivesc, ai găsit o greșeală — de obicei un semn greșit în derivată — și te întorci la calcul.

7. Cele trei minciuni ale desenului digital

Un desen făcut de un program nu e un adevăr; e rezultatul unui algoritm care evaluează funcția în câteva sute de puncte și unește rezultatele. De aici trei erori tipice, pe care trebuie să le recunoști:

• Segmentul fals de lângă un pol. Multe programe unesc punctele consecutive prin segmente, inclusiv pe cele de o parte și de alta a unei asimptote verticale. Apare atunci o linie aproape verticală care arată ca asimptota, dar face parte din curbă: pare că cele două ramuri sunt lipite. Numărul de ramuri se decide din domeniu, nu din desen.
• Fereastra care ascunde. O fereastră prea îngustă taie a doua ramură sau a doua intersecție; una prea largă turtește un extrem până devine invizibil. La funcția $P(R)$ de mai sus, o fereastră $[0,500]$ face ca tot vârful din $R=2$ să dispară într-un colț. De aceea fereastra se alege din tabel.
• Zecimala în locul valorii exacte. Unealta „maxim" a programului răspunde $0,5413$ acolo unde valoarea exactă este $\frac{4}{e^2}$, iar $1,7321$ acolo unde răspunsul este $\sqrt{3}$. Într-o lucrare se scrie forma exactă; aproximarea se pune, cel mult, în paranteză.

Regula de aur, valabilă și la sugestia metodologică a programei: verificarea digitală confirmă, nu demonstrează. Dacă desenul contrazice calculul, se recontrolează întâi calculul; dacă acesta e corect, se recontrolează fereastra. Un desen nu a demonstrat niciodată nimic.

8. Ce se schimbă în redactare când funcția vine din fizică

Trei adăugiri față de un studiu obișnuit, toate punctate la Bacalaureat M1:

• domeniul se justifică fizic într-o propoziție („volumul este strict pozitiv", „timpul se măsoară de la momentul aprinderii cronometrului");
• unitățile se scriu la rezultat, nu doar cifra: „puterea maximă este de $18$ wați", nu „maximul este $18$";
• asimptota se traduce: „dreapta $T=20$ este asimptotă orizontală la graficul funcției, adică temperatura corpului tinde către temperatura camerei".

Modelul de redactare al asimptotei rămâne cel fixat în unitate: limita scrisă $\to$ valoarea $\to$ ecuația dreptei $\to$ capătul precizat. Iar cei nouă pași ai studiului se citează prin numărul lor, ca la schema asimptotelor și a funcțiilor uzuale. Toate aceste cerințe se regăsesc adunate în lecția următoare, sinteza studiului complet al unei funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Adiabata față de izotermă

Un litru de aer la presiunea de $100$ kPa este comprimat adiabatic ($\gamma =1,4$). Scrieți funcția $p(V)$, determinați asimptotele la graficul ei și comparați presiunea cu cea obținută printr-o comprimare izotermă până la $0,5$ litri.

Rezolvare. Din $p{V}^{1,4}=C$ și $p(1)=100$ rezultă $C=100$, deci $p(V)=\frac{100}{V^{1,4}}$ pe $(0,+\infty )$.

Asimptotele. $\underset{\begin{array}{c}V\to 0\\ V>0\end{array}}{\lim }\frac{100}{V^{1,4}}=+\infty$, deci dreapta $V=0$ este asimptotă verticală la dreapta. $\underset{V\to +\infty }{\lim }\frac{100}{V^{1,4}}=0$, deci dreapta $p=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$; prin Propoziția de excludere reciprocă, oblică spre $+\infty$ nu mai există.

Comparația. Izoterma dă $p_{\text{iz}}(0,5)=\frac{100}{0,5}=200$ kPa, iar adiabata $p(0,5)=\frac{100}{0,5^{1,4}}\approx 263,90$ kPa. Comprimarea adiabatică urcă presiunea mai mult, pentru că gazul se și încălzește: energia mecanică primită nu are pe unde să iasă.

Exemplul 2. Legea răcirii

Pentru $T(t)=20+60e^{-t/10}$, cu $t$ în minute: a) determinați asimptota orizontală și interpretați-o; b) aflați momentul în care corpul ajunge la $30{}^{\circ }\text{C}$; c) arătați că temperatura nu coboară niciodată sub $20{}^{\circ }\text{C}$.

Rezolvare. a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(20+60e^{-t/10}\right)=20$, deci dreapta $T=20$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $T$ spre $+\infty$; ea este temperatura camerei, iar corpul se apropie de ea oricât de mult, fără să o atingă.

b) $20+60e^{-t/10}=30⟺e^{-t/10}=\frac{1}{6}⟺-\frac{t}{10}=-\ln 6$, deci $t=10\ln 6\approx 17,92$ minute.

c) $e^{-t/10}>0$ pentru orice $t$, deci $T(t)=20+60e^{-t/10}>20$. Aceasta este și citirea tabelului: funcția e strict descrescătoare, iar limita ei la $+\infty$ este $20$, deci toate valorile sunt strict mai mari decât $20$.

Exemplul 3. Aruncarea verticală, pe două intervale

Pentru $h(t)=20t-5t^2$, determinați valorile extreme ale înălțimii pe $[0,4]$ și pe $[0,1]$.

Rezolvare. $h^{\prime }(t)=20-10t$, cu unicul punct critic $t=2$, și $h(2)=20$.

Pe $[0,4]$: candidații sunt $t=0$, $t=2$ și $t=4$, cu valorile $0$, $20$ și $0$. Maximul este $20$ de metri, atins la $t=2$ secunde; minimul este $0$, atins în ambele capete.

Pe $[0,1]$: punctul critic $t=2$ nu aparține intervalului, deci candidații sunt doar capetele: $h(0)=0$ și $h(1)=15$. Cum $h^{\prime }>0$ pe $[0,1]$, funcția crește, deci maximul este $15$ metri, atins la $t=1$, iar minimul este $0$.

Observația de reținut: același grafic dă răspunsuri diferite pe intervale diferite, iar diferența vine din faptul că punctele critice trebuie verificate dacă aparțin intervalului.

Exemplul 4. Puterea transferată: studiu complet

Pentru $P(R)=\frac{144R}{(R+2{)}^2}$ pe $[0,+\infty )$: a) alcătuiți tabelul de variație; b) determinați puterea maximă și rezistența la care se obține; c) determinați valorile lui $R$ pentru care puterea nu depășește $10$ wați.

Rezolvare. a) Tabelul este cel din secțiunea 5, cu punctele marcate $R=2$ (maxim) și $R=4$ (inflexiune) și cu asimptota orizontală $P=0$.

b) Din tabel, maximul global este $P(2)=\frac{144\cdot 2}{16}=18$ wați, atins pentru $R=2$ ohmi, adică exact valoarea rezistenței interioare.

c) Cum $(R+2{)}^2>0$, inecuația $\frac{144R}{(R+2{)}^2}\le 10$ este echivalentă cu $144R\le 10(R+2{)}^2$, adică $10R^2-104R+40\ge 0$, sau, după împărțirea la $2$, $5R^2-52R+20\ge 0$. Trinomul are rădăcinile $R=\frac{52\pm \sqrt{2704-400}}{10}=\frac{52\pm 48}{10}$, adică $0,4$ și $10$, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci trinomul este nenegativ în afara rădăcinilor. Intersectând cu domeniul, obținem $R\in [0;0,4]\cup [10;+\infty )$.

De reținut din acest subpunct: puterea rămâne mică atât la rezistențe foarte mici, cât și la rezistențe mari, iar valorile de peste $10$ wați se obțin numai pe intervalul $(0,4;10)$, care înconjoară valoarea optimă $R=r=2$. (Verificat: $P(0,4)=P(10)=10$ exact.)

Exemplul 5. Oscilația amortizată

Fie $y:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $y(t)=e^{-t}\sin t$, elongația unui oscilator cu frecare. Determinați punctele de extrem și valorile extreme.

Rezolvare. $y^{\prime }(t)=e^{-t}(\cos t-\sin t)$. Cum $e^{-t}>0$, semnul este dat de $\cos t-\sin t$, care se anulează pentru $\mathrm{tg}t=1$, adică $t=\frac{\pi }{4}$ și $t=\frac{5\pi }{4}$ în intervalul dat. Valorile: $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{4}\right)=e^{-\pi /4}\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,3224$, $y\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-e^{-5\pi /4}\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,0139$, $y(2\pi )=0$; iar $y^{\prime }(0)=1$, $y^{\prime }(2\pi )=e^{-2\pi }\approx 0,0019$.

Citirea tabelului: elongația maximă este $\approx 0,3224$, atinsă la $t=\frac{\pi }{4}$, iar cea minimă $\approx -0,0139$, la $t=\frac{5\pi }{4}$; amplitudinea scade de peste douăzeci de ori într-o singură perioadă. Pe tot semiaxa $[0,+\infty )$, din $|y(t)|\le e^{-t}$ rezultă $\underset{t\to +\infty }{\lim }y(t)=0$, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală: oscilația se stinge. (Valorile au fost verificate numeric.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Concentrația unui medicament în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $c:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $c(t)=\frac{6t}{t^2+4}$, măsurată în miligrame pe litru. Problema are formatul unui subiect din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Determinați asimptota la graficul funcției $c$ spre $+\infty$ și interpretați-o. (5 puncte)

b) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $c$. (5 puncte)

c) Determinați intervalul de timp în care concentrația este cel puțin $1$ miligram pe litru. (5 puncte)

Rezolvare. a) $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{6t}{t^2+4}=0$, pentru că gradul numitorului este mai mare decât al numărătorului. Prin urmare dreapta $c=0$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $c$ spre $+\infty$: medicamentul este eliminat treptat, iar concentrația scade oricât de aproape de zero, fără să devină nulă. Oblică spre $+\infty$ nu există, prin Propoziția de excludere reciprocă.

b) $c^{\prime }(t)=\frac{6(t^2+4)-6t\cdot 2t}{(t^2+4{)}^2}=\frac{6(4-t^2)}{(t^2+4{)}^2}$, cu unicul zero pozitiv $t=2$; $c^{\prime \prime }(t)=\frac{12t(t^2-12)}{(t^2+4{)}^3}$, cu zeroul interior $t=2\sqrt{3}$. Valorile: $c(0)=0$, $c(2)=\frac{3}{2}$, $c(2\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{4}$; $c^{\prime }(0)=\frac{3}{2}$, $c^{\prime }(2\sqrt{3})=-\frac{3}{16}$, $c^{\prime \prime }(2)=-\frac{3}{8}$.

Citirea tabelului: concentrația crește două ore, până la maximul de $1,5$ miligrame pe litru, apoi scade către zero; punctul de inflexiune $\left(2\sqrt{3},\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ marchează momentul de la care scăderea începe să se domolească.

c) Rezolvăm $\frac{6t}{t^2+4}\ge 1$. Cum $t^2+4>0$, inecuația e echivalentă cu $t^2-6t+4\le 0$, adică $t\in \left[3-\sqrt{5},3+\sqrt{5}\right]$. Numeric, concentrația este cel puțin $1$ miligram pe litru între $\approx 0,76$ și $\approx 5,24$ ore, adică vreo patru ore și jumătate. (Verificat: $c\left(3\pm \sqrt{5}\right)=1$ exact.)

Să exersăm

1. Scrieți funcția $p(V)$ pentru o transformare adiabatică a unui gaz monoatomic ($\gamma =\frac{5}{3}$) care pornește de la $p=80$ kPa la $V=1$ litru și calculați presiunea la $V=8$ litri.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, determinați semnul lui $p^{\prime }$ și al lui $p^{\prime \prime }$ și precizați cele două asimptote la graficul ei.

3. Un corp de $90{}^{\circ }\text{C}$ se răcește într-o cameră de $18{}^{\circ }\text{C}$ după legea $T(t)=18+72e^{-t/12}$, cu $t$ în minute. Calculați $T(0)$ și viteza de răcire în momentul inițial.

4. Pentru funcția de la exercițiul 3, determinați momentul în care corpul ajunge la $36{}^{\circ }\text{C}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă graficul unei funcții are asimptota orizontală $y=20$, atunci funcția ia și valoarea $20$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Maximul unei funcții pe un interval închis se află întotdeauna într-un punct în care derivata se anulează."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un program de grafice desenează o linie aproape verticală, acolo se află o asimptotă verticală."

8. O minge aruncată cu $v_0=30$ metri pe secundă are înălțimea $h(t)=30t-5t^2$. Determinați înălțimea maximă și momentul în care mingea revine la sol.

9. Pentru funcția de la exercițiul 8, determinați valorile extreme ale înălțimii pe intervalul $[0,2]$.

10. O baterie cu $E=24$ volți și $r=3$ ohmi alimentează un rezistor $R$. Scrieți $P(R)$ și determinați puterea maximă transferată.

11. (Problemă aplicată.) Pentru funcția de la exercițiul 10, determinați abscisa punctului de inflexiune și valoarea puterii acolo.

12. Elongația unui oscilator amortizat este $y(t)=e^{-t/2}\sin t$. Arătați că punctele critice verifică $\mathrm{tg}t=2$ și calculați prima elongație maximă.

13. Concentrația unui medicament este $c(t)=\frac{10t}{t^2+9}$. Determinați momentul concentrației maxime și valoarea ei.

14. Pentru funcția de la exercițiul 13, determinați intervalul în care concentrația este cel puțin $1$ miligram pe litru.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru $p(V)=\frac{100}{V^{1,4}}$, arătați că graficul nu are asimptotă oblică spre $+\infty$ și precizați care dintre cele patru situații din lecția despre asimptota oblică se aplică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Viteza unui corp care cade cu frecare este $v(t)=50\left(1-e^{-t/5}\right)$ metri pe secundă. Studiați monotonia și convexitatea, determinați asimptota orizontală și interpretați-o fizic.

17. Descrieți, în trei pași, cum ați verifica graficul funcției de la exercițiul 10 cu un instrument digital, precizând fereastra pe care ați alege-o.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice $E>0$ și $r>0$, funcția $P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$ are maximul $\frac{E^2}{4r}$, atins pentru $R=r$, și că punctul de inflexiune are abscisa $R=2r$.

Răspunsuri și explicații

1. Din $p{V}^{5/3}=C$ și $p(1)=80$ rezultă $C=80$, deci $p(V)=\frac{80}{V^{5/3}}$ pe $(0,+\infty )$. La $V=8$: $8^{5/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^5=2^5=32$, deci $p(8)=\frac{80}{32}=2,5$ kPa.

2. $p^{\prime }(V)=-\frac{5}{3}\cdot 80\cdot V^{-8/3}<0$ și $p^{\prime \prime }(V)=\frac{5}{3}\cdot \frac{8}{3}\cdot 80\cdot V^{-11/3}>0$ pe tot domeniul: funcția e strict descrescătoare și convexă. Asimptotele: dreapta $V=0$ (verticală, la dreapta) și dreapta $p=0$ (orizontală spre $+\infty$). (Verificat: $p^{\prime }(1)=-\frac{400}{3}\approx -133,33$.)

3. $T(0)=18+72=90{}^{\circ }\text{C}$. $T^{\prime }(t)=-6e^{-t/12}$, deci $T^{\prime }(0)=-6$: la momentul inițial corpul se răcește cu $6$ grade pe minut. Fiind un capăt închis al domeniului, se scrie valoarea derivatei laterale, nu o bară.

4. $18+72e^{-t/12}=36⟺e^{-t/12}=\frac{1}{4}⟺t=12\ln 4\approx 16,64$ minute.

5. Fals în general. Asimptota orizontală înseamnă doar că limita la $+\infty$ este $20$; funcția poate să nu ia niciodată valoarea $20$ (cazul răcirii, unde $T(t)>20$ mereu), dar poate și să o ia, chiar de o infinitate de ori — de exemplu $f(x)=\frac{\sin x}{x}+20$. Asimptota descrie o tendință, nu o interdicție.

6. Fals. Pe un interval închis, extremul global poate fi atins într-un capăt, unde derivata nu are motiv să se anuleze. La $h(t)=20t-5t^2$ pe $[0,1]$, maximul este $h(1)=15$, iar $h^{\prime }(1)=10\ne 0$. Candidații sunt punctele critice din interior și capetele.

7. Fals. Multe programe unesc prin segmente puncte consecutive aflate de o parte și de alta a unui pol, iar segmentul obținut arată ca o dreaptă verticală, deși face parte din curbă. Asimptota verticală se stabilește prin limite laterale, nu din desen.

8. $h^{\prime }(t)=30-10t$, cu zeroul $t=3$; $h(3)=90-45=45$ metri. Mingea revine la sol când $h(t)=0$, adică $5t(6-t)=0$, deci la $t=6$ secunde.

9. Pe $[0,2]$ punctul critic $t=3$ nu aparține intervalului, iar $h^{\prime }>0$ acolo, deci funcția e strict crescătoare: minimul este $h(0)=0$, maximul este $h(2)=60-20=40$ metri.

10. $P(R)=\frac{576R}{(R+3{)}^2}$ pe $[0,+\infty )$. Cum $P^{\prime }(R)=\frac{576(3-R)}{(R+3{)}^3}$, punctul critic este $R=3$, iar $P(3)=\frac{576\cdot 3}{36}=48$ wați — puterea maximă, obținută pentru $R=r$.

11. $P^{\prime \prime }(R)=\frac{576(2R-12)}{(R+3{)}^4}$, cu zeroul $R=6=2r$, unde $P^{\prime \prime }$ își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Valoarea: $P(6)=\frac{576\cdot 6}{81}=\frac{3456}{81}\approx 42,67$ wați.

12. $y^{\prime }(t)=e^{-t/2}\left(\cos t-\frac{1}{2}\sin t\right)$; cum $e^{-t/2}>0$, punctele critice verifică $\cos t=\frac{1}{2}\sin t$, adică $\mathrm{tg}t=2$. Prima soluție pozitivă este $t\approx 1,1071$, iar $y(t)\approx 0,5142$. (Verificat numeric.)

13. $c^{\prime }(t)=\frac{10(9-t^2)}{(t^2+9{)}^2}$, cu unicul zero pozitiv $t=3$; semnul este $+$ pe $(0,3)$ și $-$ după, deci $t=3$ este punct de maxim, cu $c(3)=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}$ miligrame pe litru.

14. $\frac{10t}{t^2+9}\ge 1⟺t^2-10t+9\le 0⟺t\in [1,9]$, deci concentrația este cel puțin $1$ miligram pe litru între prima și a noua oră. (Verificat: $c(1)=c(9)=1$ exact.)

15. Panta este $m=\underset{V\to +\infty }{\lim }\frac{p(V)}{V}=\underset{V\to +\infty }{\lim }\frac{100}{V^{2,4}}=0$, deci se aplică situația a treia: panta există și este finită, dar nulă, iar o dreaptă de pantă nulă este orizontală, nu oblică. Într-adevăr, graficul are asimptota orizontală $p=0$ spre $+\infty$, iar prin Propoziția de excludere reciprocă oblica nu mai poate exista.

16. $v^{\prime }(t)=10e^{-t/5}>0$, deci viteza crește strict; $v^{\prime \prime }(t)=-2e^{-t/5}<0$, deci graficul e concav: creșterea încetinește. $\underset{t\to +\infty }{\lim }v(t)=50$, deci dreapta $v=50$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$; ea este viteza-limită, pe care corpul o atinge doar la limită, când forța de frecare egalează greutatea.

17. (1) Fac întâi studiul analitic: domeniul $[0,+\infty )$, maximul $(3;48)$, inflexiunea $(6;42,67)$, asimptota $P=0$. (2) Fixez fereastra $R\in [0,30]$ și $P\in [0,55]$, aleasă din valorile de mai sus. (3) Compar numărul de ramuri (una singură), poziția maximului (trebuie citit la $R=3$, cu $P=48$) și apropierea curbei de axa $Ox$ la dreapta ferestrei.

18. $P^{\prime }(R)=E^2\frac{(R+r{)}^2-R\cdot 2(R+r)}{(R+r{)}^4}=E^2\frac{r-R}{(R+r{)}^3}$, care se anulează doar în $R=r$ și își schimbă semnul din $+$ în $-$, deci acolo e maxim; $P(r)=\frac{E^{2}r}{4r^2}=\frac{E^2}{4r}$. Apoi $P^{\prime \prime }(R)=E^2\frac{-(R+r{)}^3-(r-R)\cdot 3(R+r{)}^2}{(R+r{)}^6}=E^2\frac{2R-4r}{(R+r{)}^4}$, care se anulează în $R=2r$ și își schimbă semnul acolo: punct de inflexiune. Cazurile numerice din lecție ($r=2$, $r=3$) sunt particularizări.

De reținut

• Un grafic din fizică se studiază pe domeniul impus de fenomen, nu pe domeniul maxim de definiție al expresiei, iar justificarea domeniului se scrie într-o propoziție.
• Etichetele rândurilor din tabelul de variație se instanțiază cu numele mărimii studiate, adică $p^{\prime }(V)$, $T^{\prime }(t)$ sau $P^{\prime }(R)$ în loc de $f^{\prime }(x)$.
• La un capăt închis al domeniului se scriu valoarea funcției și valoarea derivatei laterale, în timp ce bara $|$ rămâne rezervată punctelor excluse.
• Extremul global pe un interval închis se caută printre punctele critice din interior și cele două capete, iar un punct critic din afara intervalului nu contează.
• Verificarea cu un instrument digital confirmă un rezultat obținut analitic, dar nu îl demonstrează niciodată; dacă desenul contrazice calculul, se recontrolează întâi calculul, apoi fereastra.

Greșeli frecvente

• Studiezi funcția pe tot $\mathbb{R}$, deși mărimea fizică nu permite. Presiunea $p(V)=\frac{100}{V^{1,4}}$ nu are sens pentru $V<0$, iar un timp negativ nu există; domeniul se scrie din enunț, nu din expresie.
• Pui bară în tabel la un capăt închis. În $t=0$, funcția $T$ există și e derivabilă la dreapta, deci se scriu $T(0)=80$ și $T^{\prime }(0)=-6$; bara marchează un punct în care funcția lipsește.
• Declari maximul global fără să te uiți la capete. Pe $[0,1]$, mingea din Exemplul 3 are maximul în capătul $t=1$, nu în punctul critic $t=2$, care nici nu aparține intervalului.
• Iei desenul digital drept dovadă. Segmentul aproape vertical de lângă un pol nu este asimptotă, iar o fereastră nepotrivită poate ascunde un extrem întreg. Desenul confirmă; demonstrația vine din calcul.
• Scrii rezultatul fără unitate de măsură. „Maximul este $18$" nu spune nimic; corect este „puterea maximă transferată este de $18$ wați, pentru o rezistență de sarcină de $2$ ohmi".

Aplică acasă

1. Ceașca de ceai. Măsoară din zece în zece minute temperatura unei cești de ceai lăsate pe masă, cu un termometru de bucătărie, și notează perechile obținute. Compară-le cu modelul $T(t)=T_{\text{camera˘}}+\left(T_0-T_{\text{camera˘}}\right)e^{-t/\tau }$, alegând $\tau$ astfel încât modelul să treacă prin a doua ta măsurătoare, apoi verifică dacă restul punctelor cad aproape de curbă.

2. Aceeași funcție, trei ferestre. Trasează cu un instrument digital graficul funcției $P(R)=\frac{144R}{(R+2{)}^2}$ în trei ferestre diferite: $[0,10]$, $[0,100]$ și $[0,1000]$ pe orizontală. Notează ce se pierde de fiecare dată și explică în două propoziții de ce fereastra corectă se alege din tabelul de variație, nu prin încercări.

3. Fișa de traducere. Ia una dintre cele patru funcții din lecție și scrie, pe două coloane, concluziile matematice (domeniu, monotonie, extreme, convexitate, asimptote) și traducerea lor fizică. Adaugă la fiecare rând unitatea de măsură a rezultatului; coloana din dreapta trebuie să se citească singură, ca un scurt raport de laborator.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă cerința din programa de matematică-informatică (competența XII.CS.6.4) de „trasare a unor grafice prezente în fenomenele fizice, în vederea folosirii acestora pentru studiul punctelor lor de extrem pe anumite intervale", cu exemplul dat chiar de programă — transformările adiabatice din termodinamică — și cerința din XII.CS.5.4 privind compararea graficului analitic cu reprezentarea numerică obținută prin instrumente digitale.

Ce verifică lecția: (1) scrierea domeniului din enunțul fizic, cu justificare; (2) instanțierea etichetelor în tabelul de variație; (3) tratarea corectă a capetelor închise; (4) căutarea extremului global pe un interval, cu capetele incluse; (5) traducerea asimptotei orizontale într-o mărime fizică; (6) folosirea unui instrument digital ca verificare, nu ca sursă a rezultatului.

Întrebări bune de control: „De ce domeniul este $(0,+\infty )$ și nu ${\mathbb{R}}^{\ast }$?", „Ce scrii în tabel la $t=0$ și de ce nu bară?", „Dacă intervalul se schimbă, se schimbă și maximul?", „Ce înseamnă fizic asimptota găsită?", „Ce ai verifica pe desenul de pe ecran și ce nu?". Semn că elevul a înțeles: adaugă singur unitatea de măsură la fiecare rezultat. La BAC, funcțiile din fizică apar de regulă ca decor al unei probleme de analiză obișnuite, deci exercițiul util este exact traducerea dus-întors.

Întrebări frecvente

Cum se studiază graficul unei funcții care vine dintr-o lege fizică?

Se folosește aceeași schemă în nouă pași ca la orice funcție, cu trei adăugiri: domeniul se ia din fenomen și se justifică într-o propoziție, etichetele rândurilor din tabel se instanțiază cu numele mărimii, iar fiecare concluzie matematică primește o traducere fizică, însoțită de unitatea de măsură. Restul calculului este identic.

Ce reprezintă grafic transformarea adiabatică?

Transformarea adiabatică $p{V}^{\gamma }=C$ dă funcția $p(V)=\frac{C}{V^{\gamma }}$ pe intervalul $(0,+\infty )$, al cărei grafic este o curbă strict descrescătoare și convexă, cu asimptota verticală $V=0$ și asimptota orizontală $p=0$. Fiind $\gamma >1$, curba este mai abruptă decât izoterma $pV=C$ care pornește din același punct.

Ce înseamnă fizic o asimptotă orizontală?

Înseamnă o valoare de regim către care mărimea tinde fără să o atingă: temperatura camerei la o răcire, viteza-limită la o cădere cu frecare, concentrația nulă la eliminarea unui medicament. Matematic e limita funcției la $+\infty$; fizic e starea către care sistemul se apropie oricât de mult, dacă îl lași suficient timp.

Cum se află extremele unei funcții pe un interval închis?

Se determină punctele critice din interiorul intervalului, se calculează valoarea funcției în ele și în cele două capete, apoi se compară toate aceste valori. Un punct critic aflat în afara intervalului nu contează, iar extremul global poate fi atins într-un capăt, unde derivata nu are motiv să se anuleze.

De ce se scrie valoarea derivatei la un capăt închis, și nu bară?

Pentru că în acel punct funcția există și admite derivată laterală. Bara $|$ marchează un punct al axei în care funcția lipsește — un punct exclus sau un capăt finit deschis. La un capăt închis, cum e $t=0$ pentru legea răcirii, se scriu valoarea funcției și valoarea derivatei laterale.

Cum verifici cu un instrument digital graficul unei funcții?

Faci întâi studiul analitic complet, apoi introduci expresia în program și fixezi fereastra pe intervalul din studiu, folosind valorile extreme și limitele deja calculate. Compari trei lucruri: numărul de ramuri, poziția extremelor și comportarea la capete. Dacă ceva nu se potrivește, ai găsit o greșeală de calcul sau o fereastră nepotrivită.

De ce nu ține loc de demonstrație un grafic desenat pe calculator?

Pentru că programul evaluează funcția într-un număr finit de puncte și le unește prin segmente: poate lipi două ramuri peste o asimptotă verticală, poate ascunde o ramură în afara ferestrei și dă rezultate rotunjite acolo unde răspunsul este exact. Desenul confirmă un calcul corect, dar nu îl înlocuiește niciodată.

Ce înseamnă transferul maxim de putere?

Înseamnă că puterea primită de un rezistor de sarcină $R$ de la o sursă cu rezistență interioară $r$ este maximă exact când $R=r$, iar valoarea maximă este $\frac{E^2}{4r}$. Rezultatul se obține din studiul funcției $P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$: derivata se anulează o singură dată, în $R=r$, și își schimbă acolo semnul.