Grafice din fizică și verificarea digitală: pe scurt

Un grafic din fizică este reprezentarea unei funcții care leagă două mărimi măsurabile, studiată pe domeniul impus de fenomen, nu pe domeniul maxim al expresiei: volumul este strict pozitiv, timpul se măsoară de la pornirea cronometrului. Trei lucruri se schimbă față de un exercițiu obișnuit: domeniul se justifică într-o propoziție, etichetele rândurilor se instanțiază — $p^{\prime }(V)$, $T^{\prime }(t)$, $P^{\prime }(R)$ în loc de $f^{\prime }(x)$ — iar fiecare concluzie primește o traducere fizică, cu unitatea de măsură scrisă la rezultat.

Patru modele revin mereu. Adiabata $p(V)=\frac{C}{V^{\gamma }}$, cu $\gamma >1$, este strict descrescătoare și convexă, cu asimptotele $V=0$ și $p=0$, și este mai abruptă decât izoterma. Legea răcirii are asimptota orizontală chiar la temperatura mediului, către care corpul tinde fără să o atingă. Aruncarea verticală ilustrează extremele pe un interval închis: candidații sunt punctele critice din interior și cele două capete, iar un punct critic din afara intervalului nu contează. Transferul de putere $P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$ are maximul $\frac{E^2}{4r}$, atins exact pentru $R=r$.

La un capăt închis al domeniului se scriu valoarea funcției și valoarea derivatei laterale, nu bară. Verificarea cu un instrument digital confirmă, nu demonstrează, iar desenul de pe ecran minte în trei feluri: segmentul fals de lângă un pol, fereastra care ascunde o ramură sau turtește un extrem și zecimala pusă în locul valorii exacte.

Exerciții din această mini-lecție

1. O baterie cu tensiunea electromotoare $E=20$ volți și rezistența interioară $r=5$ ohmi alimentează un rezistor $R$. Puterea maximă transferată și rezistența la care se obține sunt:

   • a) $80$ wați, pentru $R=5$ ohmi
   • b) $20$ wați, pentru $R=10$ ohmi
   • c) $40$ wați, pentru $R=2,5$ ohmi
   • d) $20$ wați, pentru $R=5$ ohmi
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $20$ wați, pentru $R=5$ ohmi

   Din $P(R)=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$ se obține $P^{\prime }(R)=E^2\frac{r-R}{(R+r{)}^3}$, care se anulează doar în $R=r$ și își schimbă acolo semnul din $+$ în $-$: maxim. Valoarea este $P(r)=\frac{E^2}{4r}=\frac{400}{20}=20$ de wați. Varianta $80$ ia $\frac{E^2}{r}$, iar $R=10$ confundă maximul cu punctul de inflexiune $R=2r$.

2. O minge aruncată vertical are înălțimea $h(t)=24t-4t^2$ metri. Valoarea maximă a înălțimii pe intervalul $[0,2]$ este:

   • a) $36$ de metri
   • b) $32$ de metri
   • c) $24$ de metri
   • d) $0$ metri
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $32$ de metri

   Din $h^{\prime }(t)=24-8t$ rezultă punctul critic $t=3$, care nu aparține intervalului $[0,2]$. Pe $[0,2]$ derivata este pozitivă, deci funcția crește și maximul se atinge în capătul din dreapta: $h(2)=48-16=32$ de metri. Varianta $36$ este $h(3)$, adică maximul pe tot domeniul fizic — greșeala clasică de a ignora intervalul cerut.

3. Temperatura unui corp este $T(t)=15+45e^{-t/8}$ grade Celsius, cu $t$ în minute. Este adevărat că:

   • a) dreapta $T=60$ este asimptotă orizontală
   • b) corpul ajunge la $15{}^{\circ }\text{C}$ după $8$ minute
   • c) dreapta $T=15$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$, iar temperatura rămâne mereu strict mai mare decât $15{}^{\circ }\text{C}$
   • d) după un timp suficient temperatura coboară sub $15{}^{\circ }\text{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) dreapta $T=15$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$, iar temperatura rămâne mereu strict mai mare decât $15{}^{\circ }\text{C}$

   Cum $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)=15$, dreapta $T=15$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și reprezintă temperatura mediului. Exponențiala este strict pozitivă, deci $T(t)>15$ pentru orice $t$: valoarea este o tendință, nu una atinsă. Numărul $60=T(0)$ este temperatura inițială, nu o asimptotă.