Conjugatul unui număr complex

Rezolvi ecuația $x^2-6x+25=0$ și găsești $\Delta =-64$. În mulțimea numerelor reale te-ai fi oprit aici; acum, cu $i^2=-1$ la îndemână, obții soluțiile $3+4i$ și $3-4i$. Rezolvi apoi $x^2+4x+13=0$ și găsești $-2+3i$ și $-2-3i$. De fiecare dată soluțiile apar în pereche, cu aceeași parte reală și cu părți imaginare opuse — semn că $\mathbb{C}$ are o simetrie ascunsă, pe care merită să o numim și să o studiem.

Numărul obținut dintr-un număr complex schimbând semnul părții imaginare se numește conjugatul lui. Este cea mai simplă operație pe care o poți face cu un număr complex — doar întorci un semn — și, în același timp, cea mai folositoare: din conjugat vin împărțirea a două numere complexe, formula modulului, criteriul prin care recunoști dintr-o privire dacă un număr complicat este de fapt real și explicația pentru perechile de soluții de mai sus. Lecția de azi e scurtă ca definiție și lungă ca urmări.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii conjugatul $\bar{z}$ al oricărui număr complex și să recunoști conjugatele numerelor reale și ale celor pur imaginare.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești relațiile $z+\bar{z}=2a$ și $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$, ambele numere reale.
• Vei ști că conjugarea respectă operațiile: conjugatul sumei e suma conjugatelor, conjugatul produsului e produsul conjugatelor, iar $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$.
• Vei ști să folosești criteriile $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$ și „$z$ pur imaginar $⟺\bar{z}=-z$" pentru a demonstra că un număr e real fără să-l calculezi.
• Vei ști să exprimi părțile prin conjugat: $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$ și $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$.
• Vei ști să rezolvi ecuații în care apar simultan $z$ și $\bar{z}$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția: un singur semn schimbat

Din lecția Forma algebrică a unui număr complex știi că orice număr complex se scrie unic ca $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; numărul $a$ este partea reală, $\mathrm{Re}z$, iar $b$ este partea imaginară, $\mathrm{Im}z$ (atenție, $b$, nu $bi$).

Definiție. Fie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. Numărul complex

$$\bar{z}=a-bi$$

se numește conjugatul lui $z$.

Citim „$z$ barat" sau „conjugatul lui $z$". Regula practică e simplă: partea reală rămâne, partea imaginară își schimbă semnul. Câteva exemple, ca să intre în reflex: $\overline{3+4i}=3-4i$; $\overline{-2+5i}=-2-5i$; $\overline{4-9i}=4+9i$; $\overline{11}=11$; $\overline{-5i}=5i$.

Ultimele două merită subliniate, pentru că sunt deja proprietăți. Un număr real își este propriul conjugat: dacă $b=0$, atunci $\bar{z}=a=z$. Un număr pur imaginar (de forma $bi$, cu $b\ne 0$) are drept conjugat opusul său: $\overline{bi}=-bi$. Și încă o observație utilă: dacă îl conjugăm pe $\bar{z}$, ne întoarcem de unde am plecat,

$$\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z,$$

deci conjugarea „se anulează pe ea însăși", ca oglindirea într-o oglindă plană. Analogia nu e întâmplătoare: în lecția Planul complex. Imaginea geometrică și afixul vei vedea că $z$ și $\bar{z}$ sunt puncte simetrice față de axa orizontală.

2. Suma și diferența dintre $z$ și $\bar{z}$

Ce se întâmplă dacă adunăm un număr cu conjugatul lui? Cu $z=a+bi$:

$$z+\bar{z}=(a+bi)+(a-bi)=2a=2\mathrm{Re}z.$$

Rezultatul este un număr real, indiferent cât de complicat ar fi $z$. Diferența, în schimb, este pur imaginară:

$$z-\bar{z}=(a+bi)-(a-bi)=2bi=2i\mathrm{Im}z.$$

Din aceste două egalități se obțin formulele de extragere a părților, foarte utile în demonstrații:

$$\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2},\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}.$$

Verificare pe $z=3+4i$: $z+\bar{z}=6$ și $\frac{6}{2}=3=\mathrm{Re}z$ ✓; $z-\bar{z}=8i$ și $\frac{8i}{2i}=4=\mathrm{Im}z$ ✓.

Frumusețea lor este că îți permit să vorbești despre partea reală și partea imaginară fără să scrii $a$ și $b$. La probleme de tip „arătați că numărul $w$ este real", asta face diferența dintre o pagină de calcule și trei rânduri.

3. Produsul $z\cdot \bar{z}$ — rezultatul care ține tot capitolul

Aici se află rezultatul central al lecției. Înmulțim $z$ cu $\bar{z}$, folosind regula de înmulțire din lecția Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i:

$$z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2{i}^2=a^2-b^2\cdot (-1)=a^2+b^2.$$

Teoremă. Pentru orice $z=a+bi\in \mathbb{C}$ avem $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$. În particular, $z\cdot \bar{z}$ este real și nenegativ, iar $z\bar{z}=0$ dacă și numai dacă $z=0$ (o sumă de două pătrate de numere reale se anulează doar când ambele sunt nule).

Recunoști structura calculului? Este identitatea $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, doar că aici $b$ e înlocuit cu $bi$, iar $(bi{)}^2=-b^2$ transformă minusul în plus — aceeași idee ca la expresiile conjugate cu radicali din clasa a IX-a, unde $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3$ scăpa de radicali. Aici scăpăm de $i$.

Câteva valori de ținut minte, pentru că vor reveni în toată unitatea:

Numerele din primele patru rânduri ale ultimei coloane sunt pătrate perfecte — $5^2$, $13^2$, $17^2$, $25^2$ — pentru că perechile $(3,4)$, $(5,12)$, $(8,15)$, $(7,24)$ sunt pitagoreice. Vei înțelege de ce contează în lecția Modulul unui număr complex, unde demonstrăm că $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$.

4. Conjugarea respectă operațiile

Forța conjugatului stă în faptul că el „trece prin" adunare, scădere și înmulțire fără să strice nimic. Demonstrăm proprietățile pentru $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, cu $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

P1. Conjugatul sumei. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$.

Demonstrație. $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$, deci $\overline{z_1+z_2}=(a+c)-(b+d)i$; pe de altă parte, $\overline{z_1}+\overline{z_2}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$. Aceeași expresie. $■$

P2. Conjugatul diferenței. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$ — se demonstrează identic, cu minus în loc de plus.

P3. Conjugatul produsului. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$.

Demonstrație. Produsul este $z_1{z}_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=(ac-bd)-(ad+bc)i$. Produsul conjugatelor:

$$\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=(a-bi)(c-di)=ac-adi-bci+bd{i}^2=(ac-bd)-(ad+bc)i.■$$

Verificare numerică: pentru $z_1=2+3i$ și $z_2=1-5i$ obținem $z_1{z}_2=17-7i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=17+7i$; iar $\overline{z_1}\overline{z_2}=(2-3i)(1+5i)=17+7i$. ✓

P4. Conjugatul unei puteri. $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Demonstrație (prin inducție matematică după $n$). Pentru $n=1$: $\overline{z^1}=\bar{z}=(\bar{z}{)}^1$. Presupunem $\overline{z^k}=(\bar{z}{)}^k$ pentru un $k\ge 1$ fixat și demonstrăm pentru $k+1$:

$$\overline{z^{k+1}}=\overline{z^k\cdot z}\stackrel{\text{P3}}{=}\overline{z^k}\cdot \bar{z}\stackrel{\text{ip.}}{=}(\bar{z}{)}^k\cdot \bar{z}=(\bar{z}{)}^{k+1}.$$

Conform principiului inducției matematice, egalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$. $■$

Verificare numerică: pentru $z=1+2i$ avem $z^2=-3+4i$ și $z^3=-11-2i$, deci $\overline{z^3}=-11+2i$; pe cealaltă cale, $(\bar{z}{)}^2=(1-2i{)}^2=-3-4i$ și $(\bar{z}{)}^3=-11+2i$. ✓

Ține minte imaginea de ansamblu: poți conjuga „pe bucăți" — conjugatul unei expresii construite din adunări, scăderi, înmulțiri și puteri se obține conjugând fiecare număr care apare în ea.

5. Când este un număr complex real? Criteriul conjugatului

Teoremă. Fie $z\in \mathbb{C}$. Atunci:

1. $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$;
2. $z$ este pur imaginar sau nul $⟺\bar{z}=-z$.

Demonstrație. Scriem $z=a+bi$. 1. Egalitatea $z=\bar{z}$ înseamnă $a+bi=a-bi$, adică — prin identificarea părților imaginare, cf. lecției Egalitatea a două numere complexe — $b=-b$, deci $b=0$; reciproc, dacă $b=0$ atunci $z=a=\bar{z}$. 2. Egalitatea $\bar{z}=-z$ înseamnă $a-bi=-a-bi$, adică $a=0$; reciproc, dacă $a=0$ atunci $z=bi$ și $\bar{z}=-bi=-z$. $■$

De ce e util criteriul? Pentru că îți permite să demonstrezi că un număr este real fără să-l calculezi. Tiparul, pe care îl vei folosi de zeci de ori: pentru a arăta că $w$ este real, calculezi $\bar{w}$ cu P1–P4 și arăți că obții tot $w$. De exemplu, pentru $w=z+\bar{z}$:

$$\bar{w}=\overline{z+\bar{z}}\stackrel{\text{P1}}{=}\bar{z}+\overline{\overline{z}}=\bar{z}+z=w,$$

deci $w\in \mathbb{R}$ — fără să scriem nici măcar o dată $a$ și $b$. La fel, $\overline{z\bar{z}}=\bar{z}\cdot \overline{\bar{z}}=\bar{z}z=z\bar{z}$, deci și $z\bar{z}$ este real. ✓

6. Ecuații în care apar $z$ și $\bar{z}$

O categorie de exerciții care apare constant la examen: se dă o relație între $z$ și $\bar{z}$ și se cere $z$. Metoda: notezi $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, aduci totul la forma algebrică și identifici părțile.

Exemplu. Determină $z$ pentru care $z+2\bar{z}=9-6i$. Punem $z=a+bi$, deci

$$z+2\bar{z}=(a+bi)+2(a-bi)=3a-bi.$$

Identificăm cu $9-6i$: $3a=9$, deci $a=3$; $-b=-6$, deci $b=6$. Rezultă $z=3+6i$.

Verificare: $(3+6i)+2(3-6i)=9-6i$. ✓ Verificarea nu e opțională: la examen te asigură că nu ai pierdut un semn pe drum și aduce puncte la redactare.

7. La ce ne va folosi conjugatul de acum încolo

• Împărțirea: amplificând $\frac{z_1}{z_2}$ cu $\overline{z_2}$, numitorul devine real — vezi Împărțirea numerelor complexe.
• Modulul: relația $z\bar{z}=a^2+b^2$ este chiar $|z{|}^2$, iar din P3 decurg proprietățile modulului față de produs și cât.
• Ecuațiile de gradul al doilea: dacă o ecuație cu coeficienți reali are rădăcina nereală $z_0$, atunci și $\overline{z_0}$ e rădăcină — perechile din deschiderea lecției, demonstrate cu P1–P4 la Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Conjugate și produse, pe patru cazuri

Scrieți conjugatul fiecărui număr și calculați $z\cdot \bar{z}$: a) $z=4-9i$; b) $z=-3+i$; c) $z=11$; d) $z=-5i$.

Rezolvare. a) $\bar{z}=4+9i$, $z\bar{z}=16+81=97$. b) $\bar{z}=-3-i$, $z\bar{z}=9+1=10$. c) $z$ e real, deci $\bar{z}=11$ și $z\bar{z}=121$. d) $z$ e pur imaginar, deci $\bar{z}=5i$ și $z\bar{z}=25$ (direct: $(-5i)(5i)=-25i^2=25$ ✓).

Reține din c) și d) cele două situații speciale: la numerele reale conjugatul nu schimbă nimic, la cele pur imaginare conjugatul este opusul.

Exemplul 2 — Verificarea proprietății produsului

Verificați, prin calcul direct, că $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$ pentru $z_1=3-2i$ și $z_2=-1+4i$.

Rezolvare. Produsul este $z_1{z}_2=(3-2i)(-1+4i)=-3+12i+2i-8i^2=5+14i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=5-14i$. Produsul conjugatelor:

$$\overline{z_1}\overline{z_2}=(3+2i)(-1-4i)=-3-12i-2i-8i^2=5-14i.$$

Cele două rezultate coincid, așa cum prevede P3. ✓

Exemplul 3 — Un parametru real, două condiții

Fie $z=(m-1)+(m^2-4)i$, cu $m\in \mathbb{R}$. Determinați $m$ astfel încât: a) $z$ să fie real; b) $z$ să fie pur imaginar.

Rezolvare. a) $z$ este real exact când partea imaginară e nulă: $m^2-4=0$, deci $m\in \{-2,2\}$ (obținem $z=1$, respectiv $z=-3$ ✓).

b) $z$ este pur imaginar când partea reală e nulă și partea imaginară e nenulă: $m-1=0$ și $m^2-4\ne 0$. Din prima, $m=1$; a doua se verifică: $1-4=-3\ne 0$ ✓. Deci $m=1$ și $z=-3i$. Atenție la a doua condiție: fără ea ai accepta și situații în care $z=0$, iar $0$ nu se consideră pur imaginar.

Exemplul 4 — Demonstrație cu criteriul conjugatului

Fie $z\in \mathbb{C}$. Arătați că numărul $w=z\bar{z}+z+\bar{z}$ este real.

Rezolvare. Nu calculăm nimic explicit; folosim criteriul $w\in \mathbb{R}⟺\bar{w}=w$ și conjugăm cu P1, P3 și $\overline{\overline{z}}=z$:

$$\bar{w}=\overline{z\bar{z}}+\bar{z}+\overline{\bar{z}}=\bar{z}\cdot z+\bar{z}+z=w.■$$

Control pe un caz particular: pentru $z=2-3i$ avem $z\bar{z}=13$ și $z+\bar{z}=4$, deci $w=17$, într-adevăr real. ✓

Exemplul 5 — De la $z$ la părțile lui, fără $a$ și $b$

Fie $z$ un număr complex cu $z+\bar{z}=10$ și $z\bar{z}=34$. Determinați $z$.

Rezolvare. Din $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z=10$ obținem $\mathrm{Re}z=5$, deci $z=5+bi$. Din $z\bar{z}=25+b^2=34$ rezultă $b^2=9$, deci $b\in \{-3,3\}$: soluțiile sunt $z=5+3i$ și $z=5-3i$, conjugate între ele (era de așteptat, suma și produsul fiind simetrice în $z$ și $\bar{z}$).

Verificare pentru $z=5+3i$: $z+\bar{z}=10$ ✓ și $z\bar{z}=34$ ✓. Observă legătura cu relațiile lui Viète: $z$ și $\bar{z}$ sunt rădăcinile ecuației $x^2-10x+34=0$, cu $\Delta =-36<0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, care verifică relația $2z+\bar{z}=12-5i$.

a) Determinați $z$.

b) Arătați că numărul $z\cdot \bar{z}$ este natural și calculați-l.

Rezolvare. a) Înlocuim $z=a+bi$ și $\bar{z}=a-bi$:

$$2(a+bi)+(a-bi)=(2a+a)+(2b-b)i=3a+bi.$$

Din $3a+bi=12-5i$, prin identificarea părților, $3a=12$ și $b=-5$, deci $z=4-5i$. Verificare: $2(4-5i)+(4+5i)=12-5i$. ✓

b) $z\bar{z}=a^2+b^2=16+25=41$, număr natural — și, în general, $z\bar{z}=a^2+b^2$ este natural ori de câte ori $a$ și $b$ sunt întregi.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. La orice ecuație în $z$, notează de la început „fie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$" și încheie cu verificarea soluției.

1. Scrie conjugatul: a) $5+3i$; b) $-4+7i$; c) $6$; d) $-2i$; e) $-1-8i$.

2. Pentru $z=4-3i$, calculează $z+\bar{z}$, $z-\bar{z}$ și $z\cdot \bar{z}$.

3. Calculează $z\cdot \bar{z}$ pentru: a) $z=5+12i$; b) $z=8-15i$; c) $z=7+24i$.

4. Verifică, prin calcul direct, că $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ pentru $z_1=2-5i$ și $z_2=3+i$.

5. Verifică, prin calcul direct, că $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$ pentru $z_1=1+3i$ și $z_2=4-2i$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $z\ne 0$, atunci $z+\bar{z}\ne 0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $z\in \mathbb{C}$, numărul $z\cdot \bar{z}$ este real și nenegativ."

8. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $z=(m^2-9)+(m+1)i$ este real.

9. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $z=(2m-6)+(m^2+1)i$ este pur imaginar.

10. Calculează $\overline{z^2}$ pentru $z=3-i$, în două moduri: ridicând întâi la pătrat și conjugând, apoi conjugând întâi și ridicând la pătrat.

11. Arată că $(2+5i)(2-5i)=29$ și scrie identitatea generală pe care ai folosit-o.

12. Pentru $z=3+4i$, calculează $\mathrm{Re}z$ și $\mathrm{Im}z$ folosind formulele $\frac{z+\bar{z}}{2}$ și $\frac{z-\bar{z}}{2i}$.

13. (Problemă aplicată.) În circuitele de curent alternativ, o tensiune se descrie prin numărul complex $U=6-8i$ (în volți), iar aparatul de măsură afișează jumătate din suma $U+\bar{U}$. Calculează această valoare, apoi calculează și $U\cdot \bar{U}$.

14. Determină $z\in \mathbb{C}$ pentru care $2z+\bar{z}=12-5i$, apoi verifică soluția.

15. Determină $z\in \mathbb{C}$ pentru care $z+\bar{z}=4$ și $z\cdot \bar{z}=13$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=2-3i$. a) Calculați $z+\bar{z}+z\cdot \bar{z}$. b) Arătați că numărul $z+\bar{z}+z\bar{z}$ este real pentru orice $z\in \mathbb{C}$.

17. Demonstrează prin inducție că $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ pentru orice $n\ge 1$, apoi verifică numeric pentru $z=2-3i$ și $n=2$.

18. (Provocare.) Fie $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ cu $z_1+z_2\in \mathbb{R}$ și $z_1{z}_2\in \mathbb{R}$. Arată că fie ambele sunt reale, fie $z_2=\overline{z_1}$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $5-3i$; b) $-4-7i$; c) $6$ (numărul real își este propriul conjugat); d) $2i$; e) $-1+8i$. Regula: partea reală rămâne, partea imaginară își schimbă semnul.

2. $\bar{z}=4+3i$. Atunci $z+\bar{z}=8=2\mathrm{Re}z$; $z-\bar{z}=-6i=2i\mathrm{Im}z$ (aici $\mathrm{Im}z=-3$); $z\bar{z}=4^2+(-3{)}^2=16+9=25$.

3. a) $25+144=169=13^2$; b) $64+225=289=17^2$; c) $49+576=625=25^2$ — pătrate perfecte, pentru că perechile $(5,12)$, $(8,15)$, $(7,24)$ sunt pitagoreice.

4. $z_1+z_2=5-4i$, deci $\overline{z_1+z_2}=5+4i$; iar $\overline{z_1}+\overline{z_2}=(2+5i)+(3-i)=5+4i$. ✓

5. $z_1{z}_2=4-2i+12i-6i^2=10+10i$, deci $\overline{z_1{z}_2}=10-10i$; iar $\overline{z_1}\overline{z_2}=(1-3i)(4+2i)=4+2i-12i+6=10-10i$. ✓

6. Fals. Contraexemplu: $z=5i\ne 0$, dar $z+\bar{z}=0$. În general, $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$ se anulează pentru orice număr pur imaginar.

7. Adevărat. $z\bar{z}=a^2+b^2$, sumă de pătrate de numere reale, deci real și $\ge 0$; este $0$ doar pentru $z=0$.

8. $z$ este real când $m+1=0$, deci $m=-1$, caz în care $z=-8$. (Condiția se pune pe partea imaginară, nu pe cea reală!)

9. $z$ este pur imaginar când $2m-6=0$ și $m^2+1\ne 0$. Din prima, $m=3$; a doua e automat îndeplinită ($m^2+1\ge 1$). Deci $m=3$ și $z=10i$.

10. $z^2=(3-i{)}^2=9-6i+i^2=8-6i$, deci $\overline{z^2}=8+6i$; iar $(\bar{z}{)}^2=(3+i{)}^2=8+6i$. Aceleași rezultate — proprietatea P4 pentru $n=2$.

11. $(2+5i)(2-5i)=4-25i^2=29$. Identitatea generală: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ — varianta „complexă" a formulei $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, în care $(bi{)}^2=-b^2$ schimbă minusul în plus.

12. $z+\bar{z}=6$, deci $\mathrm{Re}z=\frac{6}{2}=3$; $z-\bar{z}=8i$, deci $\mathrm{Im}z=\frac{8i}{2i}=4$. Coincid cu citirea directă din forma algebrică.

13. $U+\bar{U}=12$, deci jumătatea este $6$ (volți), exact $\mathrm{Re}U$; iar $U\bar{U}=36+64=100$.

14. Fie $z=a+bi$. Atunci $2z+\bar{z}=3a+bi$; identificând cu $12-5i$ obținem $a=4$ și $b=-5$, deci $z=4-5i$. Verificare: $2(4-5i)+(4+5i)=12-5i$. ✓

15. Din $z+\bar{z}=2a=4$ rezultă $a=2$; din $z\bar{z}=a^2+b^2=13$ rezultă $b^2=9$, deci $b=\pm 3$. Soluțiile: $z=2+3i$ și $z=2-3i$ (rădăcinile ecuației $x^2-4x+13=0$).

16. a) $z+\bar{z}=4$ și $z\bar{z}=4+9=13$, deci suma cerută este $17$. b) Notăm $w=z+\bar{z}+z\bar{z}$ și conjugăm: $\bar{w}=\bar{z}+\overline{\bar{z}}+\bar{z}\cdot \overline{\bar{z}}=\bar{z}+z+\bar{z}z=w$, deci $w\in \mathbb{R}$. (Alternativ, direct: $w=2a+a^2+b^2$.)

17. Verificarea: $\overline{z^1}=\bar{z}=(\bar{z}{)}^1$ ✓. Pasul: presupunem $\overline{z^k}=(\bar{z}{)}^k$; atunci $\overline{z^{k+1}}=\overline{z^k\cdot z}=\overline{z^k}\cdot \bar{z}=(\bar{z}{)}^{k+1}$, folosind P3 și ipoteza de inducție. Numeric: $z^2=(2-3i{)}^2=-5-12i$, deci $\overline{z^2}=-5+12i$; iar $(2+3i{)}^2=-5+12i$. ✓

18. Fie $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$. Din $z_1+z_2\in \mathbb{R}$ rezultă $b+d=0$, deci $d=-b$. Din $z_1{z}_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\in \mathbb{R}$ rezultă $ad+bc=0$; cu $d=-b$ obținem $b(c-a)=0$. Dacă $b=0$, atunci și $d=0$ și ambele numere sunt reale; dacă $b\ne 0$, atunci $c=a$ și $d=-b$, adică $z_2=\overline{z_1}$. Exemplu: $z_1=3+5i$, $z_2=3-5i$ dau suma $6$ și produsul $34$. ✓

De reținut

• Definiția: $\bar{z}=a-bi$ pentru $z=a+bi$ — partea reală rămâne, partea imaginară își schimbă semnul; $\overline{\overline{z}}=z$.
• Cele două relații de aur: $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$ și $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$, ambele reale ($z\bar{z}\ge 0$, nul doar pentru $z=0$). De aici $\mathrm{Re}z=\frac{z+\bar{z}}{2}$ și $\mathrm{Im}z=\frac{z-\bar{z}}{2i}$.
• Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$, $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$, $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ — poți conjuga „pe bucăți".
• Criteriile: $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$; $z$ pur imaginar (sau nul) $⟺\bar{z}=-z$.
• Ecuațiile cu $z$ și $\bar{z}$ se rezolvă notând $z=a+bi$ și identificând separat părțile reale și cele imaginare.

Greșeli frecvente

• Schimbi semnul și la partea reală. Conjugatul lui $-3+4i$ este $-3-4i$, nu $3-4i$: conjugarea atinge un singur semn.
• Crezi că $z\bar{z}=z^2$. Pentru $z=3+4i$ avem $z\bar{z}=25$ (real), dar $z^2=-7+24i$ (nereal). $z\bar{z}$ e întotdeauna real, $z^2$ aproape niciodată.
• Confunzi condiția „real" cu „pur imaginar". Ca $z$ să fie real anulezi partea imaginară; ca $z$ să fie pur imaginar anulezi partea reală și ceri ca partea imaginară să fie nenulă — uitarea acestei ultime condiții e cea mai frecventă pierdere de punct la barem.
• Scrii că $\mathrm{Im}(3-7i)=-7i$. Partea imaginară este un număr real: $\mathrm{Im}(3-7i)=-7$.
• Ignori verificarea la ecuațiile cu $\bar{z}$. După ce afli $a$ și $b$, înlocuiește în relația inițială: un semn pierdut se vede imediat, iar redactarea completă e punctată la examen.

Aplică acasă

1. Tabelul cu perechi pitagoreice. Calculează $z\bar{z}$ pentru $3+4i$, $5+12i$, $8+15i$, $7+24i$, $20+21i$ și verifică dacă rezultatele sunt pătrate perfecte. Caută apoi singur încă o pereche $(a,b)$ de numere naturale pentru care $a^2+b^2$ e pătrat perfect.

2. Oglinda de pe masă. Desenează o axă orizontală și marchează punctele $(3,4)$ și $(3,-4)$. Așază o oglindă pe masă, cu muchia pe axă. Ce observi despre cele două puncte? Compară concluzia cu lecția despre planul complex.

3. Ecuații inventate de tine. Alege un număr, de exemplu $z=7-2i$, și calculează $3z+2\bar{z}$. Scrie rezultatul ca enunț („determinați $z$ pentru care $3z+2\bar{z}=\dots$") și dă-l unui coleg; verificați împreună dacă ajunge la numărul de la care ai pornit.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce conjugatul, operația pe care se sprijină tot restul capitolului. Deși definiția ocupă un rând, miza este alta: elevul trebuie să înțeleagă că $z+\bar{z}$ și $z\cdot \bar{z}$ sunt întotdeauna numere reale, pentru că exact această „ieșire din complex" face posibilă împărțirea din lecția următoare. Al doilea obiectiv de fond este criteriul $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$ — prima ocazie în care elevul demonstrează o proprietate a unui număr fără să-l calculeze.

Ce verifică lecția: scrierea corectă a conjugatului, calculul lui $z\bar{z}$ ca $a^2+b^2$, aplicarea proprietăților P1–P4 și rezolvarea ecuațiilor cu $z$ și $\bar{z}$. Întrebări bune de control: „Cât este $z+\bar{z}$ dacă $z=-6i$?" (răspuns: $0$); „Care e diferența dintre $z\bar{z}$ și $z^2$?"; „Ce condiție pui ca un număr să fie pur imaginar?". Semne că a înțeles: rezolvă exercițiul 9 punând ambele condiții și preferă, la 16 b), criteriul conjugatului calculului cu $a$ și $b$.

La Bacalaureat M1 conjugatul apare aproape la fiecare sesiune, cel mai des în subiectul I: calcule de tipul $z+\bar{z}$ sau $z\bar{z}$, ecuații simple cu $z$ și $\bar{z}$, demonstrarea faptului că o expresie e reală. Punctaj sigur, dacă exercițiile de bază devin reflex.

Întrebări frecvente

Ce este conjugatul unui număr complex? Este numărul obținut din $z=a+bi$ schimbând semnul părții imaginare: $\bar{z}=a-bi$. Partea reală rămâne neatinsă. De exemplu, conjugatul lui $3+4i$ este $3-4i$, iar conjugatul lui $-2i$ este $2i$.

De ce este $z\cdot \bar{z}$ un număr real? Pentru că $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2+b^2$, iar $a$ și $b$ sunt reale. Termenii cu $i$ se reduc între ei, ca la $(x-y)(x+y)$, doar că $i^2=-1$ schimbă minusul în plus. Rezultatul este chiar pătratul modulului lui $z$.

Cum îmi dau seama dacă un număr complex este de fapt real? Folosești criteriul $z\in \mathbb{R}⟺z=\bar{z}$: calculezi conjugatul expresiei, conjugând „pe bucăți", și dacă obții aceeași expresie, numărul este real. E mult mai rapid decât să separi partea reală de cea imaginară.

Ce înseamnă că un număr complex este pur imaginar? Înseamnă că are partea reală nulă și partea imaginară nenulă, adică este de forma $bi$ cu $b\ne 0$. Echivalent, $\bar{z}=-z$ și $z\ne 0$. Exemple: $5i$, $-3i$.

La ce folosește conjugatul în practică? În primul rând la împărțirea numerelor complexe: amplificând cu conjugatul numitorului, numitorul devine real. Apoi la modul, la ecuațiile cu discriminant negativ și, în inginerie electrică, la calculul puterii într-un circuit de curent alternativ.

Cum rezolv o ecuație în care apar și $z$, și $\bar{z}$? Notezi $z=a+bi$ cu $a,b$ reali, înlocuiești peste tot, grupezi termenii în parte reală și parte imaginară și identifici cu membrul drept. Obții un sistem de două ecuații reale, apoi verifici soluția în ecuația inițială.