Rădăcinile unității și poligoanele regulate

Cadranul unui ceas are douăsprezece diviziuni așezate perfect egal pe un cerc. Cabinele unei roți panoramice sunt și ele echidistante. Paletele unei turbine, spițele unei roți de bicicletă, felicile unei pizza tăiate corect — toate sunt versiuni ale aceleiași figuri: $n$ puncte egal depărtate pe un cerc. În limbajul construit în lecțiile precedente, aceste puncte au un nume și o formulă: sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unității.

În lecția anterioară am văzut că orice număr complex nenul are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$, așezate în vârfurile unui poligon regulat. Cazul cel mai simplu — și, tocmai de aceea, cel mai important — este $z=1$: cercul are raza $1$, primul vârf cade chiar în punctul de afix $1$, iar toate celelalte se obțin din el prin rotiri egale. Acest caz particular merită o lecție proprie, pentru că el conține, ca într-un tipar, toate celelalte: rădăcinile oricărui număr complex se obțin înmulțind una singură dintre ele cu rădăcinile unității.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii mulțimea $U_n$ a rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității și să o determini explicit pentru $n=2,3,4,6$.
• Vei ști că toate rădăcinile sunt puterile uneia singure: ${\epsilon }_k={\epsilon }^k$.
• Vei ști să demonstrezi că suma rădăcinilor unității este $0$, pentru orice $n\ge 2$.
• Vei ști să folosești relația $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ pentru a simplifica expresii cu $\epsilon \in U_3$.
• Vei ști să reduci exponenți mari, de tipul ${\epsilon }^{2026}$, folosind ${\epsilon }^n=1$.
• Vei ști să legi $U_n$ de poligonul regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate și să-i calculezi latura și aria pentru cazurile mici.

Hai să descoperim împreună

1. Mulțimea $U_n$

Definiție. Fie $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Numim rădăcină de ordinul $n$ a unității orice număr complex $\epsilon$ pentru care ${\epsilon }^n=1$. Mulțimea lor se notează

$$U_n=\{\epsilon \in \mathbb{C}\mid {\epsilon }^n=1\}.$$

Aplicăm formula din lecția precedentă pentru $z=1=1\cdot (\cos 0+i\sin 0)$: modulul comun este $\sqrt[n]{1}=1$, iar argumentele pornesc de la $0$ și cresc cu $\frac{2\pi }{n}$. Obținem:

$${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k\in \{0,1,\dots ,n-1\}.$$

Trei observații imediate. Întâi, toate au modulul $1$, deci imaginile lor sunt pe cercul unitate. Apoi, ${\epsilon }_0=1$ întotdeauna: numărul $1$ este rădăcină de ordinul $n$ a unității pentru orice $n$. În fine, sunt exact $n$, distincte două câte două, conform teoremei demonstrate în lecția precedentă.

2. Toate sunt puterile uneia singure

Notăm $\epsilon ={\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$, adică prima rădăcină după $1$, în sens trigonometric.

Propoziție. Pentru orice $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$ are loc ${\epsilon }_k={\epsilon }^k$.

Demonstrație. Din formula lui Moivre,

$${\epsilon }^k={\left(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}\right)}^k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}={\epsilon }_k.■$$

Prin urmare

$$U_n=\left\{1,\epsilon ,{\epsilon }^2,\dots ,{\epsilon }^{n-1}\right\},$$

iar ${\epsilon }^n={\epsilon }_0=1$ închide cercul. Un astfel de $\epsilon$, ale cărui puteri epuizează toată mulțimea, se numește rădăcină primitivă.

Consecința de calcul este foarte utilă: pentru orice exponent întreg $m$, avem ${\epsilon }^m={\epsilon }^{m\mathrm{mod}n}$, unde $m\mathrm{mod}n$ este restul împărțirii lui $m$ la $n$. Puterile lui $\epsilon$ se repetă din $n$ în $n$, exact ca puterile lui $i$ (care este chiar rădăcina primitivă pentru $n=4$).

3. Cazurile mici, de știut pe de rost

$n=2$: argumentele sunt $0$ și $\pi$, deci $U_2=\{1,-1\}$. Cele două soluții ale ecuației ${\epsilon }^2=1$, cunoscute din clasele mici.

$n=3$: argumentele sunt $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$, deci

$$U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$

Observă că ultimele două sunt conjugate; într-adevăr, ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$, pentru că ${\epsilon }^2$ are argumentul $\frac{4\pi }{3}=2\pi -\frac{2\pi }{3}$.

$n=4$: argumentele sunt $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, deci $U_4=\{1,i,-1,-i\}$ — cele patru puteri ale lui $i$.

$n=6$: argumentele cresc din $\frac{\pi }{3}$ în $\frac{\pi }{3}$, deci

$$U_6=\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$

4. Suma rădăcinilor unității este zero

Teoremă. Pentru orice $n\ge 2$,

$$1+\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0.$$

Demonstrație. Notăm $S=1+\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}$ și înmulțim cu $\epsilon$:

$$\epsilon S=\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}+{\epsilon }^n.$$

Dar ${\epsilon }^n=1$, deci în membrul drept apar aceiași termeni ca în $S$: lipsește $1$ de la început, dar apare ${\epsilon }^n=1$ la sfârșit. Prin urmare $\epsilon S=S$, adică

$$(\epsilon -1)S=0.$$

Cum $n\ge 2$, avem $\epsilon \ne 1$ (argumentul lui $\epsilon$ este $\frac{2\pi }{n}\in (0,2\pi )$), deci $\epsilon -1\ne 0$. Într-un produs de numere complexe egal cu zero, cel puțin un factor este zero; cum primul nu este, rezultă $S=0$. $■$

Consecință. Suma celor $n$ rădăcini de ordinul $n$ ale oricărui număr complex nenul este $0$. Într-adevăr, dacă $w_0$ este una dintre ele, celelalte sunt $w_0\epsilon ,w_0{\epsilon }^2,\dots ,w_0{\epsilon }^{n-1}$ (vezi secțiunea 6), iar suma lor este $w_0\left(1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}\right)=w_0\cdot 0=0$. Este exact proprietatea folosită, pe cazuri particulare, în lecția precedentă.

Cazul $n=3$ merită scris separat, pentru că apare foarte des în probleme: dacă $\epsilon \in U_3$ și $\epsilon \ne 1$, atunci

$${\epsilon }^3=1\text{și}1+\epsilon +{\epsilon }^2=0.$$

Cele două relații rezolvă, împreună, aproape orice expresie în care apare $\epsilon$.

5. Poligonul regulat înscris în cercul unitate

Imaginile elementelor lui $U_n$ sunt $n$ puncte pe cercul de rază $1$, la câte $\frac{2\pi }{n}$ unul de altul, primul fiind în punctul de afix $1$. Ele sunt deci vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul unitate, cu un vârf pe semiaxa pozitivă $Ox$.

Latura acestui poligon se calculează cu teorema cosinusului în triunghiul format de centru și două vârfuri vecine, sau, mai simplu, observând că ea este coarda care subîntinde un arc de $\frac{2\pi }{n}$: lungimea ei este $2\sin \frac{\pi }{n}$.

Pentru cazurile mici, valorile ies remarcabile.

Verificare pentru triunghi: latura este $2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$, iar aria triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1,30$. Pentru hexagon: latura este $2\sin 30^{\circ }=1$, deci perimetrul este $6$, iar aria, ca sumă a șase triunghiuri echilaterale de latură $1$, este $6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,60$.

Reține relația specială a hexagonului: latura este egală cu raza. De aceea hexagonul regulat se construiește cu compasul, purtând raza de șase ori pe cerc.

6. Cheia care deschide tot: $w_k=w_0{\epsilon }_k$

Propoziție. Fie $z\ne 0$ și $w_0$ o rădăcină de ordinul $n$ a lui $z$. Atunci toate rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$ sunt

$$w_0,w_0\epsilon ,w_0{\epsilon }^2,\dots ,w_0{\epsilon }^{n-1}.$$

Demonstrație. Fiecare dintre aceste numere este rădăcină, pentru că ${\left(w_0{\epsilon }^k\right)}^n=w_0^n{\left({\epsilon }^n\right)}^k=z\cdot 1=z$. Sunt distincte, pentru că $w_0\ne 0$ și ${\epsilon }^k$ sunt distincte. Cum rădăcinile sunt exact $n$, iar aici avem $n$ numere distincte care sunt rădăcini, le-am obținut pe toate. $■$

Practic: ajunge să găsești o singură rădăcină, iar celelalte se obțin înmulțind-o, pe rând, cu rădăcinile unității. Geometric, înmulțirea cu ${\epsilon }^k$ este o rotire de unghi $\frac{2k\pi }{n}$, deci rotești primul vârf și construiești restul poligonului.

Exemplu. Rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8$: una evidentă este $w_0=2$, iar celelalte sunt $2\epsilon$ și $2{\epsilon }^2$, cu $\epsilon \in U_3$:

$$2\epsilon =-1+i\sqrt{3},2{\epsilon }^2=-1-i\sqrt{3}.$$

Verificare: ${\left(-1+i\sqrt{3}\right)}^3=2^3\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)=8$ ✓.

7. Calcule rapide cu $\epsilon$

Două tehnici acoperă majoritatea exercițiilor.

Reducerea exponentului. Cum ${\epsilon }^n=1$, împarți exponentul la $n$ și păstrezi restul. De exemplu, pentru $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$: cum $2026=3\cdot 675+1$, avem ${\epsilon }^{2026}={\epsilon }^1=\epsilon$.

Folosirea sumei nule. Din $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ rezultă $1+\epsilon =-{\epsilon }^2$, ceea ce simplifică expresii aparent complicate:

$$(1+\epsilon {)}^3={\left(-{\epsilon }^2\right)}^3=-{\epsilon }^6=-{\left({\epsilon }^3\right)}^2=-1.$$

Verificare directă: $1+\epsilon =1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$, iar cubul acestui număr este $\cos \pi +i\sin \pi =-1$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinarea lui $U_4$ și verificarea sumei

Determinați rădăcinile de ordinul $4$ ale unității și calculați suma lor.

Rezolvare. Modulul comun este $1$, iar argumentele sunt $0$, $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, $\pi$ și $\frac{3\pi }{2}$. Rezultă

$$U_4=\{1,i,-1,-i\}.$$

Suma: $1+i-1-i=0$ ✓, în acord cu teorema. Observă că $U_4$ este exact mulțimea puterilor lui $i$, iar $\epsilon =i$ este rădăcina primitivă: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

Exemplul 2 — $U_3$ și proprietățile lui $\epsilon$

Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$. a) Scrieți $\epsilon$ în formă algebrică. b) Arătați că ${\epsilon }^2=\bar{\epsilon }$. c) Verificați că $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$.

Rezolvare. a) $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

b) Din Moivre, ${\epsilon }^2$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{4\pi }{3}$, deci ${\epsilon }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Pe de altă parte, conjugatul lui $\epsilon$ are argumentul $2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ și același modul, deci coincide cu ${\epsilon }^2$ ✓.

c) $1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1-1+0\cdot i=0$ ✓.

Exemplul 3 — $U_6$ și hexagonul

Determinați $U_6$ și calculați perimetrul și aria hexagonului format de imaginile acestor numere.

Rezolvare. Argumentele cresc cu $\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$, pornind de la $0$:

$$U_6=\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$

Latura hexagonului este $2\sin \frac{\pi }{6}=2\cdot \frac{1}{2}=1$, deci perimetrul este $6$. Hexagonul regulat se descompune în șase triunghiuri echilaterale de latură $1$, fiecare de arie $\frac{\sqrt{3}}{4}$, deci

$$\mathcal{S}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,60.$$

Control: suma celor șase numere este $0$, pentru că se grupează în trei perechi de numere opuse ✓.

Exemplul 4 — Simplificarea unor expresii cu $\epsilon \in U_3$

Fie $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$. Calculați: a) ${\epsilon }^{2026}$; b) $(1+\epsilon )(1+{\epsilon }^2)$.

Rezolvare. a) Cum ${\epsilon }^3=1$, împărțim exponentul la $3$: $2026=3\cdot 675+1$, deci

$${\epsilon }^{2026}={\left({\epsilon }^3\right)}^{675}\cdot \epsilon =1^{675}\cdot \epsilon =\epsilon .$$

b) Desfacem parantezele și folosim ${\epsilon }^3=1$:

$$(1+\epsilon )(1+{\epsilon }^2)=1+{\epsilon }^2+\epsilon +{\epsilon }^3=\left(1+\epsilon +{\epsilon }^2\right)+1=0+1=1.$$

Verificare numerică: $1+\epsilon =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și $1+{\epsilon }^2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$; produsul lor este $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓.

Exemplul 5 — De la o rădăcină la toate

Se știe că $2$ este o rădăcină de ordinul $4$ a numărului $16$. Determinați celelalte trei, folosind rădăcinile unității.

Rezolvare. Rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $16$ sunt $w_0{\epsilon }_k$, cu $w_0=2$ și ${\epsilon }_k\in U_4=\{1,i,-1,-i\}$. Deci ele sunt

$$2,2i,-2,-2i.$$

Verificare: $(2i{)}^4=16i^4=16$ ✓ și $(-2{)}^4=16$ ✓. Suma lor este $0$, iar imaginile formează un pătrat cu vârfurile pe cercul de rază $2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $\epsilon =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$. a) Arătați că $\epsilon$ este rădăcină de ordinul $6$ a unității. b) Determinați toate elementele mulțimii $U_6$ și calculați suma lor. c) Calculați ${\epsilon }^{2026}$.

Rezolvare. a) Din formula lui Moivre, ${\epsilon }^6$ are modulul $1^6=1$ și argumentul $6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi$, care se reduce la $0$. Deci ${\epsilon }^6=\cos 0+i\sin 0=1$, adică $\epsilon \in U_6$ ✓.

b) Cum argumentul lui $\epsilon$ este $\frac{2\pi }{6}$, numărul $\epsilon$ este chiar rădăcina primitivă, deci $U_6=\left\{1,\epsilon ,{\epsilon }^2,{\epsilon }^3,{\epsilon }^4,{\epsilon }^5\right\}$, adică

$$\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}.$$

Suma este $0$: părțile reale dau $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$, iar părțile imaginare se anulează pe perechi ✓.

c) Cum ${\epsilon }^6=1$, împărțim exponentul la $6$: $2026=6\cdot 337+4$, deci

$${\epsilon }^{2026}={\left({\epsilon }^6\right)}^{337}\cdot {\epsilon }^4={\epsilon }^4=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.$$

Control: ${\epsilon }^4$ are argumentul $4\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, iar $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Când apar exponenți mari, redu-i mai întâi folosind ${\epsilon }^n=1$; când apar sume, încearcă să recunoști relația $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$ înainte de a calcula ceva.

1. Determină mulțimea $U_2$.

2. Determină mulțimea $U_4$.

3. Determină mulțimea $U_3$, scriind elementele în formă algebrică.

4. Determină mulțimea $U_6$, scriind elementele în formă algebrică.

5. Calculează suma elementelor mulțimii $U_5$, fără a determina elementele.

6. Calculează produsul elementelor mulțimii $U_4$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Toate rădăcinile de ordinul $n$ ale unității au modulul $1$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Imaginile rădăcinilor de ordinul $6$ ale unității sunt vârfurile unui hexagon regulat care are un vârf în punctul de afix $i$."

9. Fie $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$. Calculează $1+\epsilon +{\epsilon }^2$ și justifică rezultatul în două moduri.

10. Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$. Calculează ${\epsilon }^{2026}$.

11. Fie $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$. Calculează $(1+\epsilon {)}^3$.

12. Care este latura hexagonului regulat cu vârfurile în punctele mulțimii $U_6$? Dar perimetrul lui?

13. Calculează aria triunghiului echilateral cu vârfurile în punctele mulțimii $U_3$.

14. Calculează aria pătratului cu vârfurile în punctele mulțimii $U_4$.

15. (Problemă aplicată.) O roată panoramică are $8$ cabine așezate la distanțe egale pe un cerc de rază $6$ metri, iar prima cabină se află exact la est de centru. Luând centrul drept origine și estul drept semiaxa pozitivă $Ox$, scrie afixele primelor trei cabine, în sens trigonometric. Ce legătură au ele cu mulțimea $U_8$?

16. Deduce rădăcinile de ordinul $4$ ale numărului $16$ înmulțind $2$ cu elementele mulțimii $U_4$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$. a) Arătați că ${\epsilon }^3=1$. b) Calculați $1+\epsilon +{\epsilon }^2$. c) Calculați ${\epsilon }^{100}+{\epsilon }^{200}$.

18. (Provocare.) a) Demonstrează, folosind trucul $\epsilon S=S$, că suma elementelor mulțimii $U_n$ este $0$ pentru orice $n\ge 2$. b) Deduce de aici că suma celor $n$ rădăcini de ordinul $n$ ale oricărui număr complex nenul este tot $0$.

Răspunsuri și explicații

1. Argumentele sunt $0$ și $\pi$, iar modulul este $1$, deci $U_2=\{1,-1\}$. Sunt exact soluțiile ecuației ${\epsilon }^2=1$.

2. Argumentele sunt $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, deci $U_4=\{1,i,-1,-i\}$.

3. Argumentele sunt $0$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$, deci $U_3=\left\{1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$. Ultimele două sunt conjugate.

4. Argumentele cresc cu $\frac{\pi }{3}$: $U_6=\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}$.

5. Suma este $0$, conform teoremei: pentru orice $n\ge 2$, $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$. Nu e nevoie de valorile explicite, care pentru $n=5$ nici nu sunt remarcabile.

6. $1\cdot i\cdot (-1)\cdot (-i)=i\cdot (-1)\cdot (-i)=(-i)\cdot (-i)=i^2=-1$. (În general, produsul elementelor lui $U_n$ este $(-1{)}^{n+1}$; pentru $n=4$ iese $-1$ ✓.)

7. Adevărat. Modulul comun al rădăcinilor de ordinul $n$ ale unui număr de modul $r$ este $\sqrt[n]{r}$; aici $r=|1|=1$, deci modulul este $\sqrt[n]{1}=1$. Din acest motiv toate imaginile se află pe cercul unitate.

8. Fals. Figura este într-adevăr un hexagon regulat înscris în cercul unitate, dar un vârf al lui este în punctul de afix $1$ (corespunzător lui ${\epsilon }_0=1$), nu în $i$. De altfel $i\notin U_6$, pentru că $i^6=i^4\cdot i^2=-1\ne 1$.

9. Rezultatul este $0$. Primul mod: aplicăm teorema sumei pentru $n=3$. Al doilea mod: înlocuim valorile, $1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$ ✓.

10. Cum ${\epsilon }^3=1$ și $2026=3\cdot 675+1$, avem ${\epsilon }^{2026}={\left({\epsilon }^3\right)}^{675}\epsilon =\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

11. Din $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ rezultă $1+\epsilon =-{\epsilon }^2$, deci $(1+\epsilon {)}^3=-{\epsilon }^6=-{\left({\epsilon }^3\right)}^2=-1$. Verificare directă: $1+\epsilon =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$, iar cubul lui este $\cos \pi +i\sin \pi =-1$ ✓.

12. Latura este $2\sin \frac{\pi }{6}=1$, adică exact raza cercului — proprietatea caracteristică a hexagonului regulat. Perimetrul este $6\cdot 1=6$.

13. Latura este $2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$, iar aria triunghiului echilateral de latură $\ell$ este $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$, deci $\mathcal{S}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1,30$.

14. Vârfurile sunt $1$, $i$, $-1$, $-i$, iar latura este distanța dintre $1$ și $i$, adică $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. Aria este $\mathcal{S}={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$. (Se putea și direct: diagonalele au lungimea $2$ și sunt perpendiculare, deci aria este $\frac{2\cdot 2}{2}=2$.)

15. Cabinele sunt pe cercul de rază $6$, la câte $\frac{2\pi }{8}=\frac{\pi }{4}$ una de alta, prima având argumentul $0$. Primele trei afixe sunt

$$6,6\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i,6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i.$$

Afixele tuturor celor opt cabine sunt $6{\epsilon }_k$, cu ${\epsilon }_k\in U_8$: se obțin înmulțind raza cu rădăcinile de ordinul $8$ ale unității.

16. $2\cdot 1=2$, $2\cdot i=2i$, $2\cdot (-1)=-2$, $2\cdot (-i)=-2i$. Verificare: $(2i{)}^4=16$ ✓, $(-2{)}^4=16$ ✓. Sunt exact rădăcinile de ordinul $4$ ale lui $16$, obținute fără a mai aplica formula generală.

17. a) Din Moivre, ${\epsilon }^3$ are modulul $1$ și argumentul $3\cdot \frac{2\pi }{3}=2\pi$, care se reduce la $0$, deci ${\epsilon }^3=1$. b) $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$, conform teoremei sumei pentru $n=3$ (sau prin înlocuire directă). c) Reducem exponenții modulo $3$: $100=3\cdot 33+1$, deci ${\epsilon }^{100}=\epsilon$; $200=3\cdot 66+2$, deci ${\epsilon }^{200}={\epsilon }^2$. Atunci ${\epsilon }^{100}+{\epsilon }^{200}=\epsilon +{\epsilon }^2=-1$, folosind punctul b).

18. a) Fie $S=1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}$, unde $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$. Înmulțind cu $\epsilon$ obținem $\epsilon S=\epsilon +{\epsilon }^2+\cdots +{\epsilon }^{n-1}+{\epsilon }^n$; cum ${\epsilon }^n=1$, membrul drept conține exact aceiași termeni ca $S$, deci $\epsilon S=S$, adică $(\epsilon -1)S=0$. Pentru $n\ge 2$ avem $\epsilon \ne 1$, deci $S=0$. b) Dacă $w_0$ este o rădăcină de ordinul $n$ a lui $z\ne 0$, celelalte sunt $w_0{\epsilon }^k$, iar suma tuturor este $w_0\left(1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}\right)=w_0\cdot 0=0$.

De reținut

• Definiția: $U_n=\{\epsilon \in \mathbb{C}\mid {\epsilon }^n=1\}$, iar elementele sunt ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, cu $k=0,1,\dots ,n-1$. Toate au modulul $1$.
• Toate sunt puterile uneia singure: ${\epsilon }_k={\epsilon }^k$, unde $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$; puterile se repetă din $n$ în $n$, deci ${\epsilon }^m={\epsilon }^{m\mathrm{mod}n}$.
• Suma este $0$ pentru orice $n\ge 2$; în particular, pentru $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$, avem ${\epsilon }^3=1$ și $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$.
• Geometric: imaginile sunt vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, cu un vârf în punctul de afix $1$; latura este $2\sin \frac{\pi }{n}$.
• Legătura cu celelalte rădăcini: dacă $w_0^n=z$, atunci toate rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$ sunt $w_0{\epsilon }^k$, $k=0,1,\dots ,n-1$.

Greșeli frecvente

• Se confundă $U_n$ cu mulțimea puterilor lui $n$. $U_n$ conține rădăcinile ecuației ${\epsilon }^n=1$, nu puterile lui $n$; are exact $n$ elemente, toate de modul $1$.
• Se crede că $U_n$ are un vârf în $i$. Primul vârf este întotdeauna în punctul de afix $1$, pentru că ${\epsilon }_0=1$; punctul $i$ aparține lui $U_n$ doar când $n$ este multiplu de $4$.
• Nu se reduce exponentul. Calculul lui ${\epsilon }^{2026}$ nu se face prin înmulțiri repetate, ci împărțind $2026$ la $n$ și păstrând restul, pentru că ${\epsilon }^n=1$.
• Se folosește $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ pentru $\epsilon =1$. Relația cere $\epsilon \ne 1$; pentru $\epsilon =1$ suma este $3$. Enunțurile spun mereu „$\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$" tocmai din acest motiv.
• Se uită că numărul $1$ face parte din mulțime. La scrierea lui $U_n$, prima rădăcină este $1$; dacă începi de la $\epsilon$, îți lipsește un element și suma nu mai iese $0$.

Aplică acasă

1. Ceasul complex. Determină $U_{12}$ și marchează elementele pe cercul unitate. Vei obține exact pozițiile orelor de pe un cadran de ceas. Care dintre ele sunt numere reale? Dar pur imaginare? Verifică faptul că $U_3$, $U_4$ și $U_6$ sunt toate submulțimi ale lui $U_{12}$.

2. Hexagonul cu compasul. Desenează un cerc de rază $4$ centimetri și, purtând raza pe cerc, construiește hexagonul regulat înscris. Măsoară latura: trebuie să iasă tot $4$ centimetri. Explică rezultatul folosind formula laturii, $2\sin \frac{\pi }{n}$.

3. Colecția de identități. Pornind de la $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ pentru $\epsilon \in U_3$, $\epsilon \ne 1$, calculează ${\epsilon }^{10}$, $(1-\epsilon )(1-{\epsilon }^2)$ și $\epsilon +\frac{1}{\epsilon }$. Verifică fiecare rezultat înlocuind valoarea algebrică a lui $\epsilon$.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide blocul rădăcinilor și are, pe lângă valoarea ei directă, un rol de unificare: arată că toate exemplele din lecția precedentă erau, de fapt, același poligon rotit și mărit. Este și primul contact al elevului cu o structură algebrică finită — mulțimea $U_n$, stabilă la înmulțire, generată de un singur element — idee care va reveni în anii următori.

Puncte de verificat în lucrare: (1) mulțimea $U_n$ conține și numărul $1$; (2) argumentele sunt $\frac{2k\pi }{n}$, cu $k$ de la $0$ la $n-1$; (3) exponenții mari sunt reduși modulo $n$, nu calculați prin înmulțiri; (4) relația $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$ este folosită doar pentru $\epsilon \ne 1$; (5) la întrebările geometrice, elevul precizează raza cercului și numărul de laturi. Întrebări bune de control: „De ce suma este $0$?"; „Care este primul vârf al poligonului și de ce?"; „Cum calculezi ${\epsilon }^{100}$ fără să înmulțești de o sută de ori?".

La Bacalaureat M1, tiparul este aproape fix: se dă $\epsilon$ de ordinul $3$ sau $6$, se cere să se arate că ${\epsilon }^n=1$, apoi valoarea unei sume și, la final, o putere mare. Toate cele trei subpuncte se rezolvă cu materialul acestei lecții, iar primul dintre ele se obține direct din formula lui Moivre. Aceleași rădăcini vor reapărea imediat la ecuațiile binome, unde soluțiile ecuației $z^n=a$ se scriu tocmai ca produs între o rădăcină particulară și elementele lui $U_n$.

Întrebări frecvente

Ce sunt rădăcinile de ordinul $n$ ale unității? Sunt numerele complexe $\epsilon$ care verifică ${\epsilon }^n=1$. Sunt exact $n$ la număr, toate de modul $1$, și se scriu ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, pentru $k=0,1,\dots ,n-1$. Mulțimea lor se notează $U_n$.

Care sunt rădăcinile cubice ale unității? Sunt $1$, $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ și $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Ultimele două sunt conjugate, iar dacă notăm cu $\epsilon$ una dintre ele, cealaltă este ${\epsilon }^2$, cu ${\epsilon }^3=1$ și $1+\epsilon +{\epsilon }^2=0$.

De ce suma rădăcinilor unității este zero? Pentru că, notând $S=1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}$ și înmulțind cu $\epsilon$, obținem aceeași sumă: $\epsilon S=S$, deci $(\epsilon -1)S=0$. Cum $\epsilon \ne 1$ pentru $n\ge 2$, rezultă $S=0$. Geometric, vârfurile poligonului regulat se echilibrează în jurul originii.

Ce figură geometrică formează rădăcinile unității? Vârfurile poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate, având un vârf în punctul de afix $1$. Latura acestui poligon este $2\sin \frac{\pi }{n}$: $\sqrt{3}$ pentru triunghi, $\sqrt{2}$ pentru pătrat și $1$ pentru hexagon.

Cum calculez o putere mare a unei rădăcini a unității, de exemplu ${\epsilon }^{2026}$? Folosești ${\epsilon }^n=1$ și împarți exponentul la $n$, păstrând restul. Pentru $\epsilon \in U_3$: $2026=3\cdot 675+1$, deci ${\epsilon }^{2026}=\epsilon$. Pentru $\epsilon \in U_6$: $2026=6\cdot 337+4$, deci ${\epsilon }^{2026}={\epsilon }^4$.

Ce legătură au rădăcinile unității cu rădăcinile altui număr complex? Dacă $w_0$ este o rădăcină de ordinul $n$ a numărului $z\ne 0$, atunci toate rădăcinile de ordinul $n$ ale lui $z$ sunt $w_0{\epsilon }^k$, cu $\epsilon \in U_n$ rădăcină primitivă și $k=0,1,\dots ,n-1$. Practic, găsești una singură și rotești.

Numărul $i$ este rădăcină a unității? Da, de ordinul $4$: $i^4=1$. Prin urmare $i\in U_4$ și, mai general, $i\in U_n$ pentru orice $n$ multiplu de $4$. În schimb $i\notin U_3$ și $i\notin U_6$, pentru că $i^3=-i$ și $i^6=-1$.