Ecuații și inecuații cu radicali

Un obiect lăsat să cadă liber de la înălțimea $h$ metri atinge solul după $t=\sqrt{\frac{h}{5}}$ secunde (cu accelerația gravitațională aproximată la $10$ m/s²). Formula răspunde imediat la întrebarea directă: de la $45$ de metri, obiectul cade în $\sqrt{9}=3$ secunde. Dar întrebarea inversă — de la ce înălțime trebuie lăsat ca să cadă exact $3$ secunde? — te pune să rezolvi o ecuație cu radical, adică o ecuație în care necunoscuta stă sub semnul radical.

Aceste ecuații ascund o capcană pe care niciun alt tip de ecuație n-o are. Privește: din $\sqrt{x}=-2$ pare că, ridicând la pătrat, obții $x=4$. Dar $\sqrt{4}=2$, nu $-2$ — deci ecuația inițială nu avea nicio soluție, iar ridicarea la pătrat a fabricat una din nimic. Astfel de rezultate se numesc soluții străine, și eliminarea lor este exact conținutul acestei lecții. Vei porni de la proprietățile pe care le știi de la radicali și expresii conjugate și vei ajunge la echivalențe scrise cu grijă — genul de rigoare pe care programa de matematică-informatică o cere explicit și pe care baremele de la Bacalaureatul M1 o punctează separat.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini condițiile de existență ale unei ecuații sau inecuații cu radicali, înainte de orice calcul.
• Vei ști de ce ridicarea la pătrat nu este o transformare echivalentă și cum se nasc soluțiile străine.
• Vei ști echivalența fundamentală $\sqrt{A}=B⟺B\ge 0$ și $A=B^2$ — și vei ști să o demonstrezi.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu unul sau doi radicali, prin izolare și ridicări succesive la putere.
• Vei ști să folosești substituția $t=\sqrt{x}$ pentru ecuații reductibile la gradul al doilea.
• Vei ști cele două scheme de rezolvare a inecuațiilor $\sqrt{A}<B$ și $\sqrt{A}>B$, cu discuția pe cazuri.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vin soluțiile străine

Toată dificultatea vine dintr-o observație simplă despre ridicarea la pătrat:

$$A=B⟹A^2=B^2,\text{dar}{A}^2=B^2⟹A=B\text{ sau }A=-B.$$

Implicația merge doar într-un sens. Ridicând la pătrat, nu pierzi soluții, dar poți câștiga soluții false: toate acelea pentru care cei doi membri erau opuși, nu egali. De exemplu, $3\ne -3$, însă $3^2=(-3{)}^2$.

Consecința practică: după orice ridicare la pătrat, mulțimea soluțiilor se poate mări. Ai două remedii, ambele corecte:

• Remediul de siguranță: rezolvi liber, iar la final verifici fiecare soluție în ecuația inițială și le elimini pe cele care nu o satisfac.
• Remediul riguros: scrii de la început echivalențe cu toate condițiile, astfel încât să nu apară niciodată soluții străine.

La mate-info se cere al doilea, dar verificarea rămâne o plasă de siguranță pe care merită să o folosești mereu.

2. Condițiile de existență

Înainte de orice calcul, stabilești pe ce mulțime are sens ecuația. Regulile sunt cele de la definiția radicalului:

• sub un radical de ordin par (ordinul 2, în clasa a IX-a) expresia trebuie să fie $\ge 0$;
• sub un radical de ordin impar (ordinul 3) nu se pune nicio condiție;
• la numitor, expresia trebuie să fie $\ne 0$.

Când apar mai mulți radicali, condițiile se intersectează. De exemplu, pentru $\sqrt{x-2}+\sqrt{5-x}=2$ cerem simultan $x-2\ge 0$ și $5-x\ge 0$, deci $x\in [2,5]$. Orice soluție găsită mai târziu în afara acestui interval se aruncă fără discuție.

Mulțimea obținută se numește domeniul ecuației. Ea nu garantează că soluțiile sunt bune — mai e nevoie și de condiția de semn din secțiunea următoare — dar elimină de la început o parte din candidați.

3. Echivalența fundamentală

Teoremă. Pentru orice expresii $A$ și $B$:

$$\sqrt{A}=B⟺\{\begin{array}{l}B\ge 0\\ A=B^2.\end{array}$$

Demonstrație. „$\Rightarrow$": dacă $\sqrt{A}=B$, atunci $B$ este valoarea unui radical, deci $B\ge 0$; ridicând la pătrat obținem $A=B^2$.

„$\Leftarrow$": presupunem $B\ge 0$ și $A=B^2$. Atunci $A=B^2\ge 0$, deci radicalul are sens, iar $\sqrt{A}=\sqrt{B^2}=|B|=B$, ultima egalitate fiind adevărată tocmai pentru că $B\ge 0$. $■$

Două observații importante, care economisesc timp la examen:

1. Condiția $A\ge 0$ nu trebuie scrisă separat: ea rezultă automat din $A=B^2$, pentru că un pătrat este mereu nenegativ. Scrierea ei nu e greșită, doar redundantă.
2. Condiția $B\ge 0$ este obligatorie și este exact filtrul care taie soluțiile străine.

Aplicație imediată. Rezolvăm $\sqrt{2x+3}=x$:

$$\sqrt{2x+3}=x⟺\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2x+3=x^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x-3=0.\end{array}$$

Ecuația de gradul al doilea are soluțiile $x_1=3$ și $x_2=-1$ (folosind formula deprinsă la ecuația de gradul al doilea). Condiția $x\ge 0$ păstrează doar $x=3$. Verificare: $\sqrt{2\cdot 3+3}=\sqrt{9}=3$. ✓

Iar $x=-1$? Este exact soluția străină: $\sqrt{2\cdot (-1)+3}=\sqrt{1}=1$, care nu este egal cu $-1$. Fără condiția de semn, ar fi ajuns în răspuns.

4. Ecuații cu doi radicali de același ordin

Proprietate. $\sqrt{A}=\sqrt{B}⟺A=B$ și $A\ge 0$.

Aici condiția de semn se pune pe expresia de sub radical (oricare dintre ele, fiind egale), nu pe un membru „liber". Exemplu:

$$\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+4}⟺\{\begin{array}{l}3x-2=x+4\\ 3x-2\ge 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=3\\ x\ge \frac{2}{3}.\end{array}$$

Soluția este $x=3$. Verificare: $\sqrt{7}=\sqrt{7}$. ✓

Atenție la o greșeală tipică: din $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ nu rezultă doar $A=B$; dacă uiți condiția de existență, poți accepta valori pentru care ambii radicali nu au sens.

5. Izolarea radicalului și ridicările succesive

Când în ecuație apar un radical și alți termeni, izolezi radicalul într-un membru înainte de a ridica la pătrat. Altfel obții expresii cu radicali încă mai complicate.

Când apar doi radicali diferiți, procedezi în doi pași: izolezi unul, ridici la pătrat, iar dacă mai rămâne un radical, îl izolezi și ridici din nou. Fiecare ridicare la pătrat cere fie condiția de semn, fie verificarea finală.

Exemplu complet. Rezolvăm $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$. Condiții: $x\ge 0$ (a doua condiție, $x+5\ge 0$, este atunci automat îndeplinită).

Izolăm: $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$. Ambii membri sunt nenegativi, deci ridicarea la pătrat este echivalență:

$$x+5=1+2\sqrt{x}+x⟺4=2\sqrt{x}⟺\sqrt{x}=2⟺x=4.$$

Verificare: $\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$. ✓ Soluția este $x=4$.

Observă cât de mult a ajutat izolarea: după prima ridicare la pătrat, termenii $x$ s-au redus și a rămas o ecuație elementară.

6. Radicalul de ordinul 3: fără condiții, fără soluții străine

Aici lucrurile sunt mult mai simple, exact cum ai văzut la funcția radical de ordinul 3:

$$\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3.$$

Este o echivalență fără nicio condiție suplimentară, pentru că ridicarea la cub este bijectivă: din $A=B^3$ rezultă $\sqrt[3]{A}=B$, indiferent de semne. Exemplu: $\sqrt[3]{2x+3}=-1⟺2x+3=-1⟺x=-2$. Verificare: $\sqrt[3]{-1}=-1$. ✓

Compară cu $\sqrt{2x+3}=-1$, care nu are nicio soluție: un radical de ordinul 2 nu poate fi negativ. Aceasta este cea mai rentabilă distincție din capitol.

7. Substituția: ecuații reductibile la gradul al doilea

Când ecuația conține atât $x$, cât și $\sqrt{x}$, notezi $t=\sqrt{x}$ — și nu uiți condiția $t\ge 0$, care este chiar filtrul de soluții străine. Cum $x=t^2$, ecuația devine una de gradul al doilea în $t$.

Exemplu. $x-\sqrt{x}-6=0$, cu condiția $x\ge 0$. Cu $t=\sqrt{x}\ge 0$ obținem $t^2-t-6=0$, cu soluțiile $t_1=3$ și $t_2=-2$. Condiția $t\ge 0$ elimină $t_2$. Rămâne $\sqrt{x}=3$, deci $x=9$. Verificare: $9-3-6=0$. ✓

Fără condiția $t\ge 0$, ai fi „rezolvat" $\sqrt{x}=-2$ și ai fi obținut soluția străină $x=4$ (care dă $4-2-6=-4\ne 0$).

8. Inecuații: două scheme și o discuție pe cazuri

Inecuațiile cer mai multă atenție, pentru că ridicarea la pătrat păstrează inegalitatea doar între numere nenegative.

Schema 1. $\sqrt{A}<B⟺A\ge 0$, $B>0$ și $A<B^2$.

De ce $B>0$? Pentru că $\sqrt{A}\ge 0$, deci un $B$ negativ sau nul face inecuația imposibilă. Iar dacă $A\ge 0$ și $B>0$, ridicarea la pătrat este echivalență între numere nenegative.

Schema 2. $\sqrt{A}>B$ se rezolvă pe două cazuri, care se reunesc la final:

• cazul $B<0$: inecuația este adevărată ori de câte ori radicalul există, deci se reduce la $A\ge 0$;
• cazul $B\ge 0$: ambii membri sunt nenegativi, deci se ridică la pătrat: $A>B^2$ (condiția $A\ge 0$ rezultă de la sine).

Exemplu simplu (Schema 1). $\sqrt{x-2}<3⟺x-2\ge 0$ și $x-2<9⟺2\le x<11$, deci $S=[2,11)$.

Exemplu simplu (Schema 2). $\sqrt{x+1}>2$: cum $2\ge 0$, suntem în al doilea caz și obținem $x+1>4$, deci $S=(3,+\infty )$.

Când $B$ conține necunoscuta, discuția pe cazuri devine obligatorie — vezi Exemplul 6, care este exact tiparul de la examen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuația-model, cu soluție străină identificată

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+7}=x-5$.

Rezolvare. Aplicăm echivalența fundamentală:

$$\sqrt{x+7}=x-5⟺\{\begin{array}{l}x-5\ge 0\\ x+7=(x-5{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge 5\\ x+7=x^2-10x+25.\end{array}$$

Ecuația devine $x^2-11x+18=0$, cu discriminantul $\Delta =121-72=49$, deci $x_{1,2}=\frac{11\pm 7}{2}$, adică $x_1=9$ și $x_2=2$.

Condiția $x\ge 5$ păstrează doar $x=9$. Verificare: $\sqrt{9+7}=\sqrt{16}=4=9-5$. ✓

Ce s-a întâmplat cu $x=2$? Este soluție străină: $\sqrt{2+7}=3$, în timp ce $2-5=-3$. Cele două valori sunt opuse, nu egale — exact situația pe care ridicarea la pătrat o „confundă". $■$

Exemplul 2 — Doi radicali de același ordin

Rezolvați $\sqrt{5-x}=x+1$.

Rezolvare.

$$\sqrt{5-x}=x+1⟺\{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 5-x=(x+1{)}^2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x^2+3x-4=0.\end{array}$$

Din $x^2+3x-4=0$ obținem $x_1=1$ și $x_2=-4$. Condiția $x\ge -1$ elimină $x_2=-4$.

Soluția este $x=1$. Verificare: $\sqrt{5-1}=2=1+1$. ✓ (Iar pentru $x=-4$: $\sqrt{9}=3$, dar $-4+1=-3$ — din nou două numere opuse.) $■$

Exemplul 3 — Ecuație cu doi radicali diferiți

Rezolvați $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}=5$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x+3\ge 0$ și $x-2\ge 0$, deci $x\ge 2$.

Izolăm un radical: $\sqrt{x+3}=5-\sqrt{x-2}$. Ridicăm la pătrat:

$$x+3=25-10\sqrt{x-2}+(x-2)⟺10\sqrt{x-2}=20⟺\sqrt{x-2}=2.$$

De aici $x-2=4$, deci $x=6$, valoare care respectă condiția $x\ge 2$.

Verificare în ecuația inițială: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$. ✓ Soluția este $x=6$. $■$

Exemplul 4 — Substituție

Rezolvați $x-5\sqrt{x}+6=0$.

Rezolvare. Condiție: $x\ge 0$. Notăm $t=\sqrt{x}$, cu $t\ge 0$; atunci $x=t^2$ și ecuația devine

$$t^2-5t+6=0\Rightarrow t_1=2,t_2=3.$$

Ambele valori respectă $t\ge 0$, deci ambele se întorc în substituție: $\sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$ și $\sqrt{x}=3\Rightarrow x=9$.

Verificări: $4-5\cdot 2+6=0$ ✓ și $9-5\cdot 3+6=0$ ✓. Soluțiile sunt $x\in \{4,9\}$. $■$

Exemplul 5 — Inecuație cu necunoscuta în ambii membri

Rezolvați $\sqrt{2x-1}\le x-2$.

Rezolvare. Fiind o inecuație de tipul $\sqrt{A}\le B$, cerem simultan: radicalul să existe, membrul drept să fie nenegativ și inegalitatea pătratelor.

$$\sqrt{2x-1}\le x-2⟺\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ x-2\ge 0\\ 2x-1\le (x-2{)}^2.\end{array}$$

Primele două condiții dau $x\ge 2$. A treia devine $2x-1\le x^2-4x+4$, adică $x^2-6x+5\ge 0$, deci $(x-1)(x-5)\ge 0$, cu soluția $x\le 1$ sau $x\ge 5$ — vezi inecuații de gradul al doilea.

Intersectând cu $x\ge 2$, rămâne $S=[5,+\infty )$.

Verificare la capăt: pentru $x=5$, $\sqrt{9}=3=5-2$ ✓ (egalitate, deci $5$ aparține mulțimii). Pentru $x=4$, $\sqrt{7}\approx 2,65>2=4-2$, deci $4$ nu este soluție. ✓ $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația $\sqrt{x+3}>x+1$.

Rezolvare. Condiție de existență: $x+3\ge 0$, adică $x\ge -3$. Aplicăm Schema 2, cu discuție după semnul membrului drept.

Cazul 1: $x+1<0$, adică $x<-1$. Radicalul este nenegativ, deci este automat mai mare decât un număr negativ. Rămâne doar condiția de existență: $-3\le x<-1$.

Cazul 2: $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$. Ambii membri sunt nenegativi, deci ridicăm la pătrat:

$$x+3>(x+1{)}^2⟺x+3>x^2+2x+1⟺x^2+x-2<0⟺(x+2)(x-1)<0,$$

adică $-2<x<1$. Intersectând cu $x\ge -1$, obținem $-1\le x<1$.

Reuniunea celor două cazuri: $S=[-3,-1)\cup [-1,1)=[-3,1)$.

Verificări de control: $x=-3$ dă $0>-2$ ✓; $x=0$ dă $\sqrt{3}\approx 1,73>1$ ✓; $x=1$ dă $2>2$ fals, deci $1$ este exclus ✓. $■$

Citirea grafică confirmă algebra: curba radicalului pornește din $(-3,0)$ deasupra dreptei și o taie o singură dată, în $(1,2)$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Protocol obligatoriu la fiecare exercițiu: 1) condiții de existență; 2) transformare cu echivalență (sau cu ridicare la putere); 3) verificarea soluțiilor.

1. Determină condițiile de existență pentru: $\sqrt{x-4}$, $\sqrt{7-2x}$, $\sqrt{x^2-9}$, $\sqrt[3]{x+1}$.

2. Rezolvă: a) $\sqrt{x-1}=3$; b) $\sqrt{3x+1}=4$.

3. Rezolvă $\sqrt{x-1}=-3$ și explică rezultatul în două cuvinte.

4. Rezolvă $\sqrt{2x+3}=x$ și precizează care dintre soluțiile ecuației de gradul al doilea obținute este străină.

5. Rezolvă $\sqrt{x+7}=x-5$.

6. Rezolvă $\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+4}$.

7. Rezolvă $\sqrt{5-x}=x+1$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ridicând la pătrat ambii membri ai unei ecuații, obțin întotdeauna o ecuație echivalentă."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $\sqrt{x^2+3x}=x$ are soluție unică, $x=0$."

10. Rezolvă: a) $\sqrt[3]{x-2}=2$; b) $\sqrt[3]{3x+1}=-2$. Ce condiții de existență ai pus?

11. Rezolvă prin substituție ecuația $x-\sqrt{x}-6=0$.

12. Rezolvă $\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$.

13. Rezolvă inecuațiile: a) $\sqrt{x-2}<3$; b) $\sqrt{3-x}\ge 1$.

14. Rezolvă inecuația $\sqrt{x+1}>2$.

15. (Problemă aplicată.) Un obiect lăsat să cadă de la înălțimea $h$ metri atinge solul după $t=\sqrt{\frac{h}{5}}$ secunde. a) De la ce înălțime trebuie lăsat ca să cadă exact $3$ secunde? b) De la ce înălțimi cade în cel mult $2$ secunde?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-2}=5$.

17. Rezolvă inecuația $\sqrt{2x-1}\le x-2$.

18. (Provocare.) Rezolvă inecuația $\sqrt{x^2-3x}<2$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sqrt{x-4}$: $x-4\ge 0\Rightarrow x\in [4,+\infty )$. $\sqrt{7-2x}$: $7-2x\ge 0\Rightarrow x\in \left(-\infty ,\frac{7}{2}\right]$. $\sqrt{x^2-9}$: $x^2-9\ge 0\Rightarrow x\in (-\infty ,-3]\cup [3,+\infty )$. $\sqrt[3]{x+1}$: nicio condiție, $x\in \mathbb{R}$.

2. a) Membrul drept este $3\ge 0$, deci $x-1=9$, adică $x=10$. Verificare: $\sqrt{9}=3$ ✓. b) $3x+1=16\Rightarrow x=5$. Verificare: $\sqrt{16}=4$ ✓.

3. $S=\varnothing$ — imposibil: un radical de ordinul 2 are mereu valori nenegative, deci nu poate fi egal cu $-3$. (Dacă ridicai la pătrat, obțineai $x=10$ — soluție străină.)

4. Condiția $x\ge 0$; apoi $2x+3=x^2$, adică $x^2-2x-3=0$, cu $x_1=3$, $x_2=-1$. Soluția ecuației este $x=3$; $x=-1$ este soluția străină, pentru că $\sqrt{1}=1\ne -1$.

5. Condiția $x\ge 5$; apoi $x^2-11x+18=0$, cu $x_1=9$, $x_2=2$. Rămâne $x=9$ (verificare: $\sqrt{16}=4=9-5$ ✓); $x=2$ e străină.

6. $3x-2=x+4\Rightarrow x=3$, iar condiția $3x-2\ge 0$ este îndeplinită ($7\ge 0$). Soluția: $x=3$, cu $\sqrt{7}=\sqrt{7}$ ✓.

7. Condiția $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$; apoi $5-x=x^2+2x+1$, deci $x^2+3x-4=0$, cu $x_1=1$, $x_2=-4$. Soluția este $x=1$; $x=-4$ nu respectă condiția și e străină.

8. Fals. Ridicarea la pătrat nu pierde soluții, dar poate adăuga: din $A^2=B^2$ rezultă $A=B$ sau $A=-B$. Exemplu: $\sqrt{x}=-2$ nu are soluții, dar ecuația ridicată la pătrat, $x=4$, are una.

9. Adevărat. Condiția de existență $x^2+3x\ge 0$ dă $x\le -3$ sau $x\ge 0$, iar echivalența fundamentală cere în plus $x\ge 0$. Ridicând la pătrat: $x^2+3x=x^2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0$, valoare care respectă $x\ge 0$. Verificare: $\sqrt{0}=0$ ✓.

10. a) $x-2=2^3=8\Rightarrow x=10$. b) $3x+1=(-2{)}^3=-8\Rightarrow x=-3$. Nicio condiție de existență: radicalul de ordinul 3 e definit pe tot $\mathbb{R}$, iar ridicarea la cub este echivalență, deci nu apar soluții străine.

11. Condiția $x\ge 0$; cu $t=\sqrt{x}\ge 0$, ecuația devine $t^2-t-6=0$, cu $t_1=3$, $t_2=-2$. Condiția $t\ge 0$ elimină $t_2$. Din $\sqrt{x}=3$ obținem $x=9$. Verificare: $9-3-6=0$ ✓.

12. Condiția $x\ge 0$. Izolăm: $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$, ambii membri nenegativi; ridicăm la pătrat: $x+5=1+2\sqrt{x}+x$, deci $\sqrt{x}=2$ și $x=4$. Verificare: $3-2=1$ ✓.

13. a) $x-2\ge 0$ și $x-2<9$, deci $S=[2,11)$. b) $3-x\ge 0$ și, cum $1\ge 0$, ridicăm la pătrat: $3-x\ge 1$, adică $x\le 2$. Intersectat cu $x\le 3$, rezultă $S=(-\infty ,2]$.

14. Membrul drept $2\ge 0$, deci suntem în cazul al doilea al Schemei 2: $x+1>4$, adică $x>3$. Condiția de existență $x+1\ge 0$ e implicată. $S=(3,+\infty )$.

15. a) $\sqrt{\frac{h}{5}}=3$, deci $\frac{h}{5}=9$ și $h=45$ metri. b) $\sqrt{\frac{h}{5}}\le 2$ cu $h\ge 0$: ridicăm la pătrat (ambii membri nenegativi) și obținem $\frac{h}{5}\le 4$, deci $h\le 20$. Răspuns: $h\in [0,20]$ metri.

16. Condiții: $x\ge 2$. Izolăm $\sqrt{x+3}=5-\sqrt{x-2}$ și ridicăm la pătrat: $x+3=25-10\sqrt{x-2}+x-2$, deci $10\sqrt{x-2}=20$, adică $\sqrt{x-2}=2$ și $x=6$. Verificare: $\sqrt{9}+\sqrt{4}=5$ ✓.

17. Cerem $2x-1\ge 0$, $x-2\ge 0$ (deci $x\ge 2$) și $2x-1\le (x-2{)}^2$, adică $x^2-6x+5\ge 0$, cu soluția $x\le 1$ sau $x\ge 5$. Intersecția dă $S=[5,+\infty )$. La $x=5$ avem egalitate: $\sqrt{9}=3=5-2$ ✓.

18. Condiția de existență: $x^2-3x\ge 0$, adică $x(x-3)\ge 0$, deci $x\le 0$ sau $x\ge 3$. Membrul drept este $2>0$, deci ridicăm la pătrat: $x^2-3x<4$, adică $x^2-3x-4<0$, deci $(x+1)(x-4)<0$, cu soluția $-1<x<4$.

Intersectăm cele două mulțimi:

$$S=((-\infty ,0]\cup [3,+\infty ))\cap (-1,4)=(-1,0]\cup [3,4).$$

Verificări: $x=0$ dă $0<2$ ✓; $x=3$ dă $0<2$ ✓; $x=1$ nu e în domeniu (expresia de sub radical ar fi $-2$); $x=4$ dă $\sqrt{4}=2$, deci inegalitatea strictă nu se verifică ✓.

De reținut

• Ordinea pașilor: condiții de existență $\to$ echivalență (cu condiția de semn) $\to$ rezolvare $\to$ verificare. Sări un pas și apar soluții străine.
• Echivalența fundamentală: $\sqrt{A}=B⟺B\ge 0$ și $A=B^2$. Condiția $A\ge 0$ rezultă automat din $A=B^2$; condiția $B\ge 0$ este obligatorie.
• Ridicarea la pătrat nu este echivalență: din $A^2=B^2$ rezultă $A=B$ sau $A=-B$. De aceea soluțiile străine sunt exact valorile pentru care cei doi membri erau opuși.
• Ordinul 3 nu cere nimic: $\sqrt[3]{A}=B⟺A=B^3$, fără condiții de existență și fără soluții străine.
• Inecuații: $\sqrt{A}<B⟺A\ge 0$, $B>0$, $A<B^2$; iar $\sqrt{A}>B$ se rezolvă pe două cazuri (după semnul lui $B$), ale căror mulțimi se reunesc.

Greșeli frecvente

• Ridici la pătrat fără condiția de semn. La $\sqrt{2x+3}=x$ obții $x\in \{3,-1\}$ și scrii ambele. Corect: condiția $x\ge 0$ elimină $-1$. Este cea mai frecventă pierdere de puncte din capitol.
• Uiți condițiile de existență la ecuațiile cu doi radicali. Din $\sqrt{A}=\sqrt{B}$ nu deduce doar $A=B$: adaugă și $A\ge 0$, altfel accepți valori pentru care radicalii nu au sens.
• Pui condiții inutile la ordinul 3. La $\sqrt[3]{x+5}=-2$ nu se cere $x+5\ge 0$. Ai pierde soluția corectă $x=-13$, care este perfect validă.
• Substituție fără $t\ge 0$. La $x-\sqrt{x}-6=0$, rădăcina $t=-2$ trebuie aruncată: $\sqrt{x}$ nu poate fi negativ. Fără această condiție obții soluția străină $x=4$.
• La inecuații, intersectezi cazurile în loc să le reunești. La $\sqrt{A}>B$, cele două cazuri (după semnul lui $B$) descriu situații diferite și complementare, deci mulțimile lor se reunesc. Intersecția dă, aproape întotdeauna, mulțimea vidă.

Aplică acasă

1. Fabrica de soluții străine. Alege trei numere: unul pozitiv, unul negativ și zero. Pentru fiecare, construiește o ecuație de forma $\sqrt{ax+b}=cx+d$ care să aibă exact acel număr drept soluție străină. Verifică apoi, pe fiecare, că valoarea străină chiar dă doi membri opuși, nu egali. Vei înțelege în zece minute de ce condiția de semn e obligatorie.

2. Căderea liberă, măsurată. Cu un cronometru (aplicația din telefon merge), măsoară de trei ori timpul în care o minge cade de la înălțimea balconului sau a unei scări. Fă media timpilor și rezolvă ecuația $t=\sqrt{\frac{h}{5}}$ pentru a estima înălțimea. Compară estimarea cu o măsurătoare directă și discută de unde vin diferențele (reflexele tale, rezistența aerului, aproximarea $g\approx 10$).

3. Colecția de capcane. Răsfoiește culegerea și copiază pe o fișă cinci ecuații cu radicali. Pentru fiecare, scrie separat, cu culori diferite: condițiile de existență, condiția de semn de la echivalență și verificarea finală. Fișa devine șablonul tău de rezolvare pentru teză și pentru Bacalaureat.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică una dintre cele mai fine competențe algebrice din clasa a IX-a: capacitatea de a transforma o ecuație păstrând echivalența. Programa de matematică-informatică cere explicit accentul pe echivalențele de tipul $\sqrt{f(x)}=g(x)⟺f(x)=g(x{)}^2$ și $g(x)\ge 0$, respectiv $\sqrt[3]{f(x)}=g(x)⟺f(x)=g(x{)}^3$. Elevul trebuie să iasă de aici cu un protocol automat, nu cu o colecție de rețete memorate.

Întrebări bune de control: „De ce ecuația $\sqrt{x}=-2$ nu are soluții, deși ridicată la pătrat dă $x=4$?"; „Ce condiție ai pus înainte de a ridica la pătrat și de ce?"; „La ordinul 3 de ce nu mai punem condiții?". Semne că a înțeles: scrie condițiile înainte de calcule, nu după; identifică singur soluția străină și explică de ce a apărut; la inecuații face discuția pe cazuri și reunește mulțimile, nu le intersectează.

La Bacalaureatul M1, ecuațiile cu radicali apar constant în subiectul I și în subiectul al II-lea, adesea combinate cu ecuația de gradul al doilea sau cu studiul unei funcții. Baremul acordă puncte separate pentru condiții și pentru eliminarea soluțiilor străine — un elev care „ghicește" răspunsul corect fără justificare pierde jumătate din punctaj. Merită insistat și pe verificarea finală, care rămâne validă chiar și când raționamentul cu echivalențe a fost incomplet.

Întrebări frecvente

Ce sunt soluțiile străine la ecuațiile cu radicali? Sunt valori care apar după ridicarea la pătrat, dar care nu verifică ecuația inițială. Ele apar pentru că din $A^2=B^2$ rezultă $A=B$ sau $A=-B$: ridicarea la pătrat „confundă" două numere opuse.

Cum rezolv corect o ecuație cu radical de ordinul 2? Pui condițiile de existență, apoi folosești echivalența $\sqrt{A}=B⟺B\ge 0$ și $A=B^2$. Rezolvi ecuația rezultată, păstrezi doar soluțiile care respectă condițiile și, ca plasă de siguranță, le verifici în ecuația inițială.

De ce trebuie pusă condiția ca membrul drept să fie nenegativ? Pentru că un radical de ordinul 2 are întotdeauna valori mai mari sau egale cu zero. Dacă membrul drept ar fi negativ, egalitatea ar fi imposibilă — iar fără această condiție, ridicarea la pătrat ar produce exact soluțiile false.

Trebuie să pun condiții la ecuațiile cu radical de ordinul 3? Nu. Radicalul de ordinul 3 este definit pentru orice număr real, iar ridicarea la cub este o transformare echivalentă. Prin urmare $\sqrt[3]{A}=B$ este pur și simplu echivalent cu $A=B^3$, indiferent de semne.

Cum rezolv o inecuație de forma radical mai mic decât o expresie? Cu trei condiții simultane: expresia de sub radical $\ge 0$, membrul drept strict pozitiv și inegalitatea dintre pătrate. Toate trei trebuie îndeplinite în același timp, deci mulțimile lor se intersectează.

Cum rezolv o inecuație de forma radical mai mare decât o expresie? Pe două cazuri: dacă membrul drept este negativ, e suficient ca radicalul să existe; dacă este nenegativ, ridici la pătrat. La final reunești cele două mulțimi de soluții, pentru că fiecare caz descrie o parte diferită a axei.

Când folosesc substituția la ecuațiile cu radicali? Când ecuația conține și $x$, și $\sqrt{x}$ (sau, mai general, o expresie și radicalul ei). Notezi $t=\sqrt{x}$ cu condiția obligatorie $t\ge 0$ și obții o ecuație de gradul al doilea în $t$, mult mai simplă.

Verificarea soluțiilor este obligatorie dacă am scris echivalențe? Formal, nu — dacă toate transformările au fost echivalențe corecte, rezultatul e deja curat. Practic, da: verificarea durează treizeci de secunde și prinde orice greșeală de calcul strecurată pe parcurs. La examen, e cel mai ieftin mod de a-ți proteja punctele.