Funcția putere cu exponent întreg

Dublează muchia unui cub și volumul lui devine de opt ori mai mare; triplează-o și volumul crește de douăzeci și șapte de ori. Îndepărtează-te de un bec la o distanță de două ori mai mare și lumina care ajunge la tine scade de patru ori, nu de două. Aceleași două tipare — creșterea rapidă și scăderea rapidă — apar peste tot: în forța gravitațională, în intensitatea sunetului, în volumul unei picături, în timpul de execuție al unui algoritm. Toate se descriu prin puteri: $V(a)=a^3$ pentru cub, $I(d)=\frac{k}{d^2}$ pentru lumină.

Până acum ai lucrat cu puteri ca operații: ridici un număr la o putere și obții alt număr. Acum schimbăm perspectiva și le privim ca funcții: fixăm exponentul și lăsăm baza să se plimbe pe axă. Vom vedea că întregul comportament al funcției $x\mapsto x^n$ — forma graficului, monotonia, injectivitatea, mulțimea valorilor — depinde de un singur amănunt: paritatea exponentului. Iar la final vom înțelege de unde vine, de fapt, funcția radical: ea este inversa unei funcții putere.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția putere cu exponent întreg, pozitiv sau negativ, și să-i precizezi domeniul.
• Vei ști să demonstrezi paritatea sau imparitatea funcției $x\mapsto x^n$, după paritatea lui $n$.
• Vei ști să demonstrezi monotonia funcției putere, plecând de la o identitate de factorizare.
• Vei ști să demonstrezi injectivitatea pentru exponent impar și să o infirmi, cu contraexemplu, pentru exponent par.
• Vei ști să justifici intuitiv surjectivitatea și să determini mulțimea valorilor în fiecare caz.
• Vei ști să folosești aceste proprietăți pentru a decide câte soluții reale are o ecuație de forma $x^n=m$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiții și convenții

Definiție. Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, funcția putere de exponent $n$ este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$.

Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, funcția putere de exponent $-n$ este $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$.

Observă imediat deosebirea de domeniu: exponentul pozitiv acceptă orice număr real, în timp ce exponentul negativ ascunde o împărțire, deci exclude valoarea $0$ — exact mecanismul din lecția despre câtul a două funcții.

Cazurile mici sunt vechi cunoștințe: $n=1$ dă funcția identică $f(x)=x$, iar $n=2$ dă $f(x)=x^2$, cea mai simplă funcție de gradul al doilea. Convenția $x^0=1$, valabilă pentru $x\ne 0$, dă o funcție constantă și nu prezintă interes aici.

2. Paritatea: prima demonstrație

Propoziție. Funcția $f(x)=x^n$ este pară dacă $n$ este par și impară dacă $n$ este impar.

Demonstrație. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric față de origine, deci putem compara $f(-x)$ cu $f(x)$. Din regula semnelor la înmulțire,

$$f(-x)=(-x{)}^n=(-1{)}^n\cdot x^n.$$

Dacă $n$ este par, $(-1{)}^n=1$, deci $f(-x)=f(x)$: funcție pară, cu graficul simetric față de axa $Oy$. Dacă $n$ este impar, $(-1{)}^n=-1$, deci $f(-x)=-f(x)$: funcție impară, cu graficul simetric față de origine. $■$

Același raționament, aplicat lui $g(x)=\frac{1}{x^n}$ pe domeniul simetric ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dă $g(-x)=\frac{1}{(-1{)}^n{x}^n}$, deci $g$ este pară pentru $n$ par și impară pentru $n$ impar. Simetriile au fost studiate pe larg în lecția despre paritate, imparitate și simetrii.

3. Monotonia, demonstrată: lema de bază și cele două scenarii

Toată monotonia funcției putere se sprijină pe un singur rezultat, demonstrat cu o identitate de factorizare pe care o cunoști pentru $n=2$ și $n=3$.

Lemă. Fie $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și $x_1,x_2$ numere reale cu $0\le x_1<x_2$. Atunci $x_1^n<x_2^n$.

Demonstrație. Folosim identitatea

$$x_2^n-x_1^n=(x_2-x_1)\left(x_2^{n-1}+x_2^{n-2}{x}_1+x_2^{n-3}{x}_1^2+\cdots +x_1^{n-1}\right),$$

valabilă pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (pentru $n=2$ este $x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$, iar pentru $n=3$ este formula cunoscută a diferenței de cuburi).

Analizăm cei doi factori. Primul: $x_2-x_1>0$, din ipoteză. Al doilea: fiecare termen este un produs de puteri ale unor numere nenegative, deci fiecare termen este mai mare sau egal cu zero; în plus, primul termen, $x_2^{n-1}$, este strict pozitiv, pentru că $x_2>x_1\ge 0$ implică $x_2>0$. Suma este așadar strict pozitivă.

Produsul a două numere strict pozitive este strict pozitiv, deci $x_2^n-x_1^n>0$, adică $x_1^n<x_2^n$. $■$

Concluzie parțială: funcția putere este strict crescătoare pe $[0,\infty )$, oricare ar fi exponentul natural nenul. Din acest rezultat, extindem acum monotonia la toată axa — și aici paritatea exponentului desparte drumurile.

Cazul $n$ impar: strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Demonstrație. Fie $x_1<x_2$ numere reale. Distingem trei situații.

• Dacă $0\le x_1<x_2$, lema dă direct $x_1^n<x_2^n$.
• Dacă $x_1<x_2\le 0$, atunci $0\le -x_2<-x_1$, iar lema aplicată acestor două numere dă $(-x_2{)}^n<(-x_1{)}^n$. Cum $n$ este impar, $(-t{)}^n=-t^n$, deci $-x_2^n<-x_1^n$, de unde, înmulțind cu $-1$ și schimbând sensul, $x_1^n<x_2^n$.
• Dacă $x_1<0<x_2$, atunci $x_1^n<0$ (putere impară a unui număr negativ) și $x_2^n>0$, deci $x_1^n<x_2^n$.

În toate cazurile $x_1<x_2\Rightarrow x_1^n<x_2^n$, deci $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. $■$

Cazul $n$ par: descrescătoare pe negative, crescătoare pe pozitive.

Demonstrație. Pe $[0,\infty )$ lema dă strict crescătoare. Pe $(-\infty ,0]$: fie $x_1<x_2\le 0$; atunci $0\le -x_2<-x_1$ și lema dă $(-x_2{)}^n<(-x_1{)}^n$. Cum $n$ este par, $(-t{)}^n=t^n$, deci $x_2^n<x_1^n$ — funcția este strict descrescătoare. $■$

Așadar, pentru $n$ par, funcția are un punct de minim în $x=0$, cu $f(0)=0$; comportamentul repetă, la scară mai accentuată, ceea ce știi despre parabola $y=x^2$.

4. Injectivitatea: demonstrată

Reamintim din lecția despre funcții injective, surjective, bijective că orice funcție strict monotonă este injectivă. De aici, imediat:

Propoziție. Pentru $n$ impar, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$ este injectivă.

Demonstrație. Am arătat că $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Fie $x_1\ne x_2$; unul dintre ele este mai mic, să zicem $x_1<x_2$. Atunci $f(x_1)<f(x_2)$, deci $f(x_1)\ne f(x_2)$. Prin urmare $f$ este injectivă. $■$

Propoziție. Pentru $n$ par, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$ nu este injectivă.

Demonstrație. Contraexemplu: $f(-1)=(-1{)}^n=1$ și $f(1)=1$, deși $-1\ne 1$. Mai general, $f(-a)=f(a)$ pentru orice $a$, din paritate. $■$

Injectivitatea se repară restrângând domeniul: pe $[0,\infty )$, lema arată că funcția e strict crescătoare, deci injectivă, oricare ar fi $n$.

5. Surjectivitatea: justificare intuitivă

Aici programa cere explicit o justificare la nivel intuitiv, nu o demonstrație — instrumentul riguros (proprietatea valorilor intermediare) se studiază în clasa a XI-a. Iată raționamentul, corect ca intuiție și onest ca statut.

Graficul funcției putere este o curbă neîntreruptă: mici modificări ale lui $x$ produc mici modificări ale lui $x^n$. Pentru $n$ impar, curba coboară nemărginit spre stânga și urcă nemărginit spre dreapta; trasând orice dreaptă orizontală $y=m$, ea trebuie să întâlnească această curbă, iar din stricta monotonie o întâlnește exact o dată. Prin urmare:

• pentru $n$ impar: $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$, deci $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este surjectivă, iar împreună cu injectivitatea, bijectivă;
• pentru $n$ par: din lemă și paritate, $x^n\ge 0$ pentru orice $x$, iar orice valoare $m\ge 0$ este atinsă; deci $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$, funcția nu este surjectivă spre $\mathbb{R}$ (valoarea $-1$ nu se atinge), dar este surjectivă spre $[0,\infty )$.

Consecința practică, foarte utilă la ecuații:

6. Forma graficelor și comparația puterilor

Toate graficele trec prin $(0,0)$ și $(1,1)$; cele cu exponent par trec și prin $(-1,1)$, cele cu exponent impar prin $(-1,-1)$. Între ele, ordinea se inversează în jurul lui $1$:

• pentru $0<x<1$, o putere mai mare dă un număr mai mic: $0,5^2=0,25$, dar $0,5^4=0,0625$;
• pentru $x>1$, o putere mai mare dă un număr mai mare: $2^2=4$, dar $2^4=16$.

Explicația e simplă: înmulțind repetat cu un număr subunitar micșorezi, iar înmulțind repetat cu unul supraunitar mărești. De aceea graficele cu exponent mare sunt mai „turtite" lângă origine și mai abrupte în afara intervalului $[-1,1]$.

La capete, toate puterile cu exponent natural cresc nemărginit (în valoare absolută), deci nu au asimptote orizontale — o observație pe care ai făcut-o deja în lecția despre comportamentul asimptotic.

7. Exponent negativ: aceleași unelte, alt peisaj

Fie $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x^n}$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Monotonia, demonstrată. Fie $0<x_1<x_2$. Lema dă $0<x_1^n<x_2^n$, iar prin trecerea la inverse (care schimbă sensul inegalității între numere pozitive) obținem $\frac{1}{x_1^n}>\frac{1}{x_2^n}$. Deci $g$ este strict descrescătoare pe $(0,\infty )$, pentru orice $n$.

Pe $(-\infty ,0)$ apare deosebirea. Dacă $n$ este par, din $x_1<x_2<0$ rezultă $x_1^n>x_2^n>0$, deci $\frac{1}{x_1^n}<\frac{1}{x_2^n}$: funcția este strict crescătoare. Dacă $n$ este impar, din $x_1<x_2<0$ rezultă $x_1^n<x_2^n<0$, iar între numere negative trecerea la inverse dă $\frac{1}{x_1^n}>\frac{1}{x_2^n}$: funcția este strict descrescătoare.

Injectivitatea, demonstrată. Pentru $n$ impar: dacă $\frac{1}{x_1^n}=\frac{1}{x_2^n}$, atunci $x_1^n=x_2^n$, iar din injectivitatea puterii impare rezultă $x_1=x_2$; deci $g$ este injectivă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Pentru $n$ par, $g(-1)=g(1)=1$, deci nu este injectivă.

Imaginea și comportamentul. Pentru $n$ par, $g$ ia doar valori strict pozitive și $\mathrm{Im}g=(0,\infty )$; pentru $n$ impar, $\mathrm{Im}g={\mathbb{R}}^{\ast }$. În ambele cazuri, graficul are asimptota verticală $x=0$ (lângă zero valorile cresc peste orice prag în valoare absolută) și asimptota orizontală $y=0$ (la capete valorile se apropie oricât de mult de zero, fără să îl atingă).

8. De unde vine radicalul

Punem cap la cap ce am obținut: restricția $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f(x)=x^n$, este injectivă (din lemă) și, intuitiv, surjectivă (curba neîntreruptă pornește din $0$ și urcă nemărginit). Deci este bijectivă, iar din lecția despre funcția inversă știm că bijecțiile se pot inversa.

Inversa acestei funcții se numește funcția radical de ordinul $n$, notată $x\mapsto \sqrt[n]{x}$. Pentru $n=2$ regăsești exact funcția radical de ordin 2, cu domeniul $[0,\infty )$ și graficul simetric față de prima bisectoare în raport cu ramura dreaptă a parabolei. Pentru $n$ impar, cum $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este bijectivă pe tot $\mathbb{R}$, radicalul de ordin impar se definește pentru orice număr real — de aceea $\sqrt[3]{-8}=-2$ are sens, în timp ce $\sqrt{-8}$ nu are.

Aceasta este ordinea logică cerută de programă: întâi funcția putere, apoi radicalul ca inversă a ei — și de aici vor decurge toate proprietățile radicalilor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonie și injectivitate pentru exponent impar

Demonstrați că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5$, este strict crescătoare și injectivă.

Rezolvare. Monotonia. Fie $x_1<x_2$. Dacă $0\le x_1<x_2$, lema dă $x_1^5<x_2^5$. Dacă $x_1<x_2\le 0$, atunci $0\le -x_2<-x_1$, deci $(-x_2{)}^5<(-x_1{)}^5$, adică $-x_2^5<-x_1^5$ și, schimbând semnele, $x_1^5<x_2^5$. Dacă $x_1<0<x_2$, atunci $x_1^5<0<x_2^5$. În toate cazurile $f(x_1)<f(x_2)$.

Injectivitatea. Din stricta monotonie: dacă $x_1\ne x_2$, atunci $f(x_1)\ne f(x_2)$. $■$

Exemplul 2 — Exponent par: ce se pierde

Studiați injectivitatea și mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$.

Rezolvare. Nu este injectivă: $f(-2)=16=f(2)$, deși $-2\ne 2$. Un singur contraexemplu ajunge.

Mulțimea valorilor: $x^4=(x^2{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$, iar orice $m\ge 0$ este atins (curba pornește din $0$ și urcă nemărginit). Deci $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$ și $f$ nu este surjectivă spre $\mathbb{R}$: valoarea $-1$, de exemplu, nu se atinge.

Reparare: restricția $g:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $g(x)=x^4$, este bijectivă — injectivă din lemă, surjectivă din justificarea intuitivă de mai sus.

Exemplul 3 — Comparații de puteri

Comparați $0,7^3$ cu $0,7^5$ și $1,2^3$ cu $1,2^5$, fără calculator, apoi verificați numeric.

Rezolvare. Baza $0,7$ este subunitară: înmulțind repetat cu ea, rezultatele scad, deci $0,7^5<0,7^3$. Verificare: $0,7^3=0,343$ și $0,7^5=0,16807$ ✓.

Baza $1,2$ este supraunitară: înmulțind repetat cu ea, rezultatele cresc, deci $1,2^5>1,2^3$. Verificare: $1,2^3=1,728$ și $1,2^5=2,48832$ ✓.

Regula generală: pentru $0<x<1$, puterea mai mare dă valoarea mai mică; pentru $x>1$, invers. Punctul de întâlnire este $x=1$, unde toate puterile dau $1$.

Exemplul 4 — Funcția cu exponent negativ impar

Studiați funcția $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x^3}$: paritate, monotonie, injectivitate, imagine.

Rezolvare. Paritate: $g(-x)=\frac{1}{(-x{)}^3}=-\frac{1}{x^3}=-g(x)$, deci $g$ este impară, cu graficul simetric față de origine.

Monotonie: pe $(0,\infty )$, din $0<x_1<x_2$ rezultă $x_1^3<x_2^3$, ambele pozitive, deci $\frac{1}{x_1^3}>\frac{1}{x_2^3}$ — strict descrescătoare. Pe $(-\infty ,0)$, din $x_1<x_2<0$ rezultă $x_1^3<x_2^3<0$, deci $\frac{1}{x_1^3}>\frac{1}{x_2^3}$ — tot strict descrescătoare. Atenție: funcția nu este descrescătoare pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că $g(-1)=-1<1=g(1)$, deși $-1<1$.

Injectivitate: dacă $\frac{1}{x_1^3}=\frac{1}{x_2^3}$, atunci $x_1^3=x_2^3$ și, din injectivitatea puterii impare, $x_1=x_2$. Deci $g$ este injectivă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Imagine: $\mathrm{Im}g={\mathbb{R}}^{\ast }$; valoarea $0$ nu se atinge, pentru că o fracție cu numărătorul $1$ nu poate fi nulă. Valori: $g(-2)=-\frac{1}{8}$, $g\left(\frac{1}{2}\right)=8$, $g(2)=\frac{1}{8}$.

Exemplul 5 — Câte soluții are ecuația?

Determinați numărul de soluții reale ale ecuațiilor: a) $x^6=64$; b) $x^7=-128$; c) $x^4=-5$.

Rezolvare. a) Exponent par, membrul drept pozitiv: funcția $x^6$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,\infty )$, deci ia valoarea $64$ exact o dată pe fiecare ramură. Soluțiile sunt $x=2$ și $x=-2$ (căci $2^6=64$ și $(-2{)}^6=64$): două soluții.

b) Exponent impar: funcția $x^7$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă, iar valorile ei acoperă tot $\mathbb{R}$. Ecuația are exact o soluție: $x=-2$, pentru că $(-2{)}^7=-128$.

c) Exponent par, membrul drept negativ: cum $x^4\ge 0$ pentru orice $x$ real, ecuația nu are soluții reale.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$. a) Demonstrați că $f$ este strict crescătoare. b) Deduceți că ecuația $f(x)=10$ are exact o soluție reală și determinați-o.

Rezolvare. a) Fie $x_1<x_2$. Funcția $x\mapsto x^3$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (exponent impar), deci $x_1^3<x_2^3$. Funcția $x\mapsto x$ este și ea strict crescătoare, deci $x_1<x_2$. Adunând cele două inegalități de același sens:

$$x_1^3+x_1<x_2^3+x_2,\text{adica˘}f(x_1)<f(x_2).$$

Prin urmare $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

b) Fiind strict crescătoare, $f$ este injectivă, deci ecuația $f(x)=10$ nu poate avea două soluții distincte. Că are măcar una se vede prin căutare: $f(2)=8+2=10$. Așadar ecuația are exact o soluție reală, $x=2$. $■$

Observă structura raționamentului, foarte apreciată la Bacalaureatul M1: monotonia dă unicitatea, o valoare găsită dă existența.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificări complete. Pentru „da" se cere demonstrație generală, pentru „nu" ajunge un contraexemplu numeric.

1. Stabilește paritatea funcțiilor $f_1(x)=x^6$, $f_2(x)=x^7$, $g_1(x)=\frac{1}{x^2}$, $g_2(x)=\frac{1}{x^5}$, justificând cu $f(-x)$.

2. Demonstrează că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, este strict crescătoare, folosind identitatea $x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)$.

3. Arată, printr-un contraexemplu numeric, că $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$, nu este injectivă.

4. Determină $\mathrm{Im}f$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^6$, și explică de ce $f$ nu este surjectivă.

5. Compară, fără calculator, $0,7^3$ cu $0,7^5$, apoi verifică numeric.

6. Compară, fără calculator, $1,2^3$ cu $1,2^5$, apoi verifică numeric.

7. Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $x^5=32$ și justifică unicitatea soluției.

8. Câte soluții reale are ecuația $x^6=64$? Determină-le.

9. Câte soluții reale are ecuația $x^7=-128$? Determină-le.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4$, este surjectivă."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $g(x)=\frac{1}{x^3}$, este bijectivă."

12. Demonstrează că $g:(0,\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x^2}$, este strict descrescătoare.

13. (Problemă aplicată.) Intensitatea luminii primite de la un bec, la distanța $d$ metri, este $I(d)=\frac{100}{d^2}$. Calculează $I(1)$, $I(2)$, $I(5)$, $I(10)$ și explică ce se întâmplă când distanța se dublează.

14. (Problemă aplicată.) Volumul unui cub de muchie $a$ este $V(a)=a^3$. Cu cât se înmulțește volumul dacă muchia se triplează? Verifică pe $a=2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$, nu este injectivă, determinând trei valori distincte cu aceeași imagine.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5+x^3+x$. a) Demonstrează că $f$ este strict crescătoare. b) Deduce că ecuația $f(x)=3$ are exact o soluție reală și determin-o.

17. Restrânge domeniul și codomeniul funcției $f(x)=x^6$ astfel încât să obții o funcție bijectivă, și justifică ambele proprietăți.

18. (Provocare.) Fie $n$ un număr natural par nenul. a) Demonstrează că $f(x)=x^n$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$. b) Deduce că, pentru orice $m>0$, ecuația $x^n=m$ are exact două soluții reale, opuse.

Răspunsuri și explicații

1. $f_1(-x)=(-x{)}^6=x^6=f_1(x)$ — pară. $f_2(-x)=(-x{)}^7=-x^7=-f_2(x)$ — impară. $g_1(-x)=\frac{1}{(-x{)}^2}=\frac{1}{x^2}=g_1(x)$ — pară. $g_2(-x)=\frac{1}{(-x{)}^5}=-\frac{1}{x^5}=-g_2(x)$ — impară. Regula: paritatea funcției urmează paritatea exponentului, indiferent de semnul acestuia.

2. Fie $x_1<x_2$. Atunci $x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)$. Primul factor este strict pozitiv. Al doilea se scrie ca sumă de pătrate: $x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2={\left(x_2+\frac{x_1}{2}\right)}^2+\frac{3x_1^2}{4}\ge 0$, iar egalitatea ar cere $x_1=x_2=0$, imposibil pentru numere distincte. Deci al doilea factor este strict pozitiv, produsul la fel, și $x_1^3<x_2^3$.

3. $f(-2)=(-2{)}^4=16$ și $f(2)=2^4=16$, deși $-2\ne 2$. Două elemente distincte cu aceeași imagine — injectivitatea pică.

4. Cum $x^6=(x^3{)}^2\ge 0$, toate valorile sunt nenegative; orice $m\ge 0$ este atins (curba pornește din origine și urcă nemărginit), deci $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$. Funcția nu este surjectivă spre $\mathbb{R}$, pentru că, de exemplu, ecuația $x^6=-1$ nu are soluții reale.

5. Baza este subunitară, deci puterile scad pe măsură ce exponentul crește: $0,7^5<0,7^3$. Verificare: $0,7^3=0,343$, $0,7^5=0,16807$ ✓.

6. Baza este supraunitară, deci puterile cresc odată cu exponentul: $1,2^5>1,2^3$. Verificare: $1,2^3=1,728$, $1,2^5=2,48832$ ✓.

7. $2^5=32$, deci $x=2$ este soluție. Cum $5$ este impar, funcția $x\mapsto x^5$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă: nu poate lua valoarea $32$ de două ori. Soluția este unică.

8. Exponent par și membru drept pozitiv: două soluții, opuse. Din $2^6=64$ obținem $x=2$, iar din paritate $x=-2$ este cealaltă. Nu pot fi mai multe: pe fiecare dintre cele două ramuri de monotonie strictă, valoarea $64$ se atinge cel mult o dată.

9. Exponent impar: funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și ia toate valorile reale, deci ecuația are exact o soluție. Cum $(-2{)}^7=-128$, soluția este $x=-2$.

10. Fals. Pentru orice $x$ real, $x^4=(x^2{)}^2\ge 0$, deci nicio valoare negativă nu este atinsă. De exemplu $y=-1$ nu are preimagine: ecuația $x^4=-1$ nu are soluții reale. Funcția devine surjectivă doar dacă îi restrângem codomeniul la $[0,\infty )$.

11. Adevărat. Injectivitatea: din $\frac{1}{x_1^3}=\frac{1}{x_2^3}$ rezultă $x_1^3=x_2^3$, iar puterea impară este injectivă, deci $x_1=x_2$. Surjectivitatea (justificată intuitiv, ca în lecție): pentru orice $y\ne 0$, ecuația $\frac{1}{x^3}=y$ dă $x^3=\frac{1}{y}$, iar puterea a treia ia orice valoare reală nenulă, deci există $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ cu $g(x)=y$. Fiind injectivă și surjectivă, $g$ este bijectivă.

12. Fie $0<x_1<x_2$. Din lemă, $x_1^2<x_2^2$, ambele strict pozitive. Trecerea la inverse între numere strict pozitive schimbă sensul inegalității, deci $\frac{1}{x_1^2}>\frac{1}{x_2^2}$, adică $g(x_1)>g(x_2)$. Funcția este strict descrescătoare pe $(0,\infty )$.

13. $I(1)=100$; $I(2)=\frac{100}{4}=25$; $I(5)=\frac{100}{25}=4$; $I(10)=\frac{100}{100}=1$. Când distanța se dublează, numitorul se înmulțește cu $4$, deci intensitatea scade de patru ori, nu de două. Aceasta este legea „inversului pătratului", valabilă și pentru forța gravitațională sau intensitatea sunetului.

14. $V(3a)=(3a{)}^3=27a^3=27\cdot V(a)$: volumul se înmulțește cu $27$. Verificare pe $a=2$: $V(2)=8$ și $V(6)=216=27\cdot 8$ ✓. În general, la o funcție putere de exponent $n$, înmulțirea argumentului cu $k$ înmulțește valoarea cu $k^n$.

15. Factorizăm: $f(x)=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$. Funcția se anulează în $-2$, $0$ și $2$: $f(-2)=-8+8=0$, $f(0)=0$, $f(2)=8-8=0$. Trei valori distincte cu aceeași imagine, deci $f$ nu este injectivă. (Nici măcar nu este monotonă pe $\mathbb{R}$, deși $x^3$ este — adăugarea unui termen descrescător poate strica monotonia.)

16. a) Fie $x_1<x_2$. Funcțiile $x\mapsto x^5$ și $x\mapsto x^3$ sunt strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (exponenți impari), la fel și $x\mapsto x$. Adunând cele trei inegalități de același sens, $x_1^5+x_1^3+x_1<x_2^5+x_2^3+x_2$, deci $f(x_1)<f(x_2)$. b) Fiind strict crescătoare, $f$ este injectivă, deci ecuația $f(x)=3$ are cel mult o soluție. Cum $f(1)=1+1+1=3$, soluția există și este unică: $x=1$.

17. Alegem $g:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $g(x)=x^6$. Injectivă: din lemă, $g$ este strict crescătoare pe $[0,\infty )$, deci injectivă. Surjectivă: pentru orice $m\ge 0$, valoarea $m$ este atinsă — curba pornește din $0$ și urcă nemărginit, fără întreruperi (justificare intuitivă, conform programei). Deci $g$ este bijectivă, iar inversa ei este funcția radical de ordinul $6$. La fel de corectă este alegerea $(-\infty ,0]\to [0,\infty )$.

18. a) Fie $x_1<x_2\le 0$. Atunci $0\le -x_2<-x_1$, iar lema dă $(-x_2{)}^n<(-x_1{)}^n$. Cum $n$ este par, $(-t{)}^n=t^n$, deci $x_2^n<x_1^n$: funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$.

b) Pe $(-\infty ,0]$ funcția este strict descrescătoare, cu $f(0)=0$ și valori care cresc nemărginit spre stânga; deci ia valoarea $m>0$ exact o dată, într-un punct $x_0<0$. Pe $[0,\infty )$ este strict crescătoare, cu $f(0)=0$ și valori nemărginite, deci ia valoarea $m$ exact o dată, într-un punct pozitiv. Din paritate, cele două soluții sunt opuse: dacă $x_0^n=m$, atunci și $(-x_0{)}^n=m$. În total, exact două soluții reale, opuse.

De reținut

• Definiții: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$ pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, respectiv $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$. Exponentul negativ scoate $0$ din domeniu.
• Paritatea funcției urmează paritatea exponentului: $n$ par dă funcție pară (grafic simetric față de $Oy$), $n$ impar dă funcție impară (grafic simetric față de origine).
• Monotonia se demonstrează din identitatea $x_2^n-x_1^n=(x_2-x_1)\left(x_2^{n-1}+\cdots +x_1^{n-1}\right)$: pentru $n$ impar, $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$; pentru $n$ par, strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,\infty )$.
• Injectivitatea rezultă din stricta monotonie: pentru $n$ impar, $f$ este injectivă pe $\mathbb{R}$; pentru $n$ par, nu este (contraexemplu $f(-1)=f(1)$), dar devine injectivă pe $[0,\infty )$.
• Surjectivitatea se justifică intuitiv, pe graficul neîntrerupt: $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$ pentru $n$ impar, $\mathrm{Im}f=[0,\infty )$ pentru $n$ par. Restricția $[0,\infty )\to [0,\infty )$ este bijectivă, iar inversa ei este funcția radical de ordinul $n$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $(-x{)}^n$ și $-x^n$. Prima expresie ridică la putere numărul $-x$, a doua schimbă semnul lui $x^n$. Ele coincid doar când $n$ este impar; pentru $n$ par, $(-x{)}^n=x^n$.
• Spui că $x\mapsto \frac{1}{x^3}$ este descrescătoare pe tot domeniul. Este descrescătoare pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,0)$ și $(0,\infty )$, dar nu pe reuniunea lor: $g(-1)=-1<1=g(1)$, deși $-1<1$.
• Rezolvi $x^4=16$ și dai o singură soluție. Exponentul par produce două soluții opuse, $2$ și $-2$; exponentul impar produce una singură. Verifică întotdeauna paritatea exponentului.
• Confunzi „nu e injectivă" cu „nu e funcție". $x^4$ este o funcție perfect corectă; doar că trimite două valori diferite în aceeași imagine. Injectivitatea se repară prin restrângerea domeniului, nu prin abandonarea funcției.
• Ceri demonstrație riguroasă pentru surjectivitate. La acest nivel programa cere doar justificarea intuitivă, pe graficul neîntrerupt; instrumentul riguros aparține claselor următoare. Precizează în lucrare acest statut.

Aplică acasă

1. Muchia și volumul. Ia trei cutii cubice (sau desenează-le) cu muchii de $2$, $4$ și $6$ centimetri. Calculează volumele și verifică pe date reale regula „muchia se înmulțește cu $k$, volumul cu $k^3$". Notează apoi cu cât se înmulțește aria totală, care este o funcție putere de exponent $2$.

2. Legea inversului pătratului. Într-o cameră întunecată, așază telefonul cu lanterna aprinsă și măsoară, cu o aplicație de luxmetru, iluminarea la $1$, $2$ și $3$ metri. Compară rezultatele cu predicțiile formulei $I(d)=\frac{I_1}{d^2}$ și explică în două rânduri de ce, când te depărtezi de două ori, lumina scade de patru ori.

3. Familia de grafice. Într-o aplicație de grafice, trasează în același reper $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^4$, $y=x^5$ și limitează fereastra la $[-1,5;1,5]$. Notează unde se intersectează toate curbele, care sunt deasupra pe $(0,1)$ și care pe $(1,\infty )$. Repetă apoi cu $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{1}{x^2}$, $y=\frac{1}{x^3}$ și descrie ce se schimbă la simetrii.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă conținutul „Funcția putere cu exponent întreg" din programa de matematică-informatică, respectând nota metodologică a acesteia: injectivitatea și monotonia se demonstrează, iar surjectivitatea se justifică doar la nivel intuitiv. Elevul trebuie să iasă de aici cu trei lucruri: identitatea de factorizare care produce monotonia, raționamentul de trecere de la valorile nenegative la toată axa (prin paritate) și implicația „strict monotonă $\Rightarrow$ injectivă", pe care o cunoaște din lecția despre injectivitate și surjectivitate.

A doua miză a lecției este pregătirea funcției radical. Ordinea logică cerută de programă este strictă: funcția putere se dovedește bijectivă pe restricția potrivită, iar radicalul apare ca inversă a ei; toate proprietățile radicalilor vor decurge apoi din proprietățile puterii. Merită insistat pe deosebirea dintre radicalul de ordin par (definit doar pentru numere nenegative) și cel de ordin impar (definit pe tot $\mathbb{R}$), care se explică exact prin diferența de bijectivitate.

Întrebări bune de control: „De ce $x^4$ nu e injectivă, dar $x^5$ este?"; „Câte soluții reale are $x^6=5$? Dar $x^6=-5$?"; „Ce funcție este inversa lui $x\mapsto x^3$ pe $\mathbb{R}$?". Semne că a înțeles: scrie demonstrația monotoniei fără să sară cazul numerelor negative, folosește contraexemple numerice pentru a infirma injectivitatea și precizează corect statutul intuitiv al justificării surjectivității. La Bacalaureatul M1, tiparul cel mai frecvent este cel din Exemplul 6: monotonia strictă a unei sume de puteri impare, folosită pentru a demonstra unicitatea soluției unei ecuații.

Întrebări frecvente

Ce este funcția putere cu exponent întreg? Este funcția care ridică fiecare număr la un exponent fixat: $f(x)=x^n$ pentru exponent natural nenul, definită pe $\mathbb{R}$, respectiv $g(x)=\frac{1}{x^n}$ pentru exponent negativ, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că împărțirea la zero este interzisă.

De ce contează dacă exponentul este par sau impar? Pentru că paritatea exponentului decide toate proprietățile: simetria graficului, monotonia, injectivitatea și mulțimea valorilor. Exponentul par dă o funcție pară, cu grafic în formă de cupă; exponentul impar dă o funcție impară, strict crescătoare pe toată axa.

Cum se demonstrează că funcția putere este strict crescătoare? Se pleacă de la identitatea $x_2^n-x_1^n=(x_2-x_1)(x_2^{n-1}+x_2^{n-2}{x}_1+\cdots +x_1^{n-1})$. Pentru $0\le x_1<x_2$, ambii factori sunt strict pozitivi, deci diferența este pozitivă. Cazul numerelor negative se reduce la acesta, folosind paritatea exponentului.

De ce este $x^5$ injectivă, iar $x^4$ nu? Pentru că $x^5$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$, iar o funcție strict monotonă nu poate lua aceeași valoare de două ori. În schimb, $x^4$ este pară: $(-2{)}^4=2^4=16$, deci două numere diferite au aceeași imagine.

De ce nu demonstrăm riguros surjectivitatea? Pentru că demonstrația se sprijină pe proprietatea valorilor intermediare, care se studiază în clasa a XI-a. Programa de clasa a IX-a cere explicit doar o justificare intuitivă, bazată pe faptul că graficul este o curbă neîntreruptă care „mătură" toate nivelurile.

Câte soluții reale are ecuația $x^n=m$? Dacă $n$ este impar, exact una, oricare ar fi $m$. Dacă $n$ este par: două soluții opuse pentru $m>0$, o singură soluție ($x=0$) pentru $m=0$ și niciuna pentru $m<0$.

Ce legătură are funcția putere cu radicalul? Radicalul este inversa funcției putere. Restricția $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$, $f(x)=x^n$, este bijectivă, iar inversa ei este $x\mapsto \sqrt[n]{x}$. De aceea radicalul de ordin par se definește doar pentru numere nenegative, iar cel de ordin impar pentru orice număr real.

Ce se întâmplă cu graficul lui $\frac{1}{x^n}$ lângă zero și la capete? Lângă zero, valorile cresc peste orice prag în valoare absolută, deci dreapta $x=0$ este asimptotă verticală. La capete, valorile se apropie oricât de mult de zero fără să îl atingă, deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală.