Acasă · Lecții · clasa a X-a · Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i

Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i

Într-un program de grafică pe calculator, rotirea unui punct cu $9 0^{\circ}$ în jurul originii pare o operație complicată: trebuie schimbate coordonatele între ele și schimbat un semn. Dacă lucrezi însă cu numere complexe, întreaga rotație se scrie într-un singur pas: înmulțești cu $i$ . Ia punctul $(3, - 4)$ , adică numărul $z = 3 - 4 i$ , și calculează

$i \cdot (3 - 4 i) = 3 i - 4 i^{2} = 4 + 3 i .$

Ai obținut punctul $(4, 3)$ — exact poziția lui $(3, - 4)$ după o rotire de $9 0^{\circ}$ în sens trigonometric. Înmulțirea cu $i$ rotește. De aceea puterile lui $i$ se repetă din patru în patru: după patru rotații de $9 0^{\circ}$ ai făcut un tur complet și ai ajuns de unde ai plecat.

Lecția de față îți dă regula de înmulțire a numerelor complexe și, din ea, cea mai folosită unealtă de calcul rapid din tot capitolul: tabelul puterilor lui $i$ și regula restului împărțirii la $4$ .

Ce vei învăța

Vei ști să înmulțești două numere complexe scrise sub formă algebrică și să deduci formula, nu doar să o memorezi.
Vei ști să demonstrezi proprietățile înmulțirii în $C$ : comutativitate, asociativitate, element neutru, distributivitate.
Vei ști să calculezi pătratul unui număr complex și produsul $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ .
Vei ști tabelul puterilor lui $i$ și regula $i^{n} = i^{r}$ , unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ , cu demonstrație.
Vei ști să calculezi puteri cu exponenți foarte mari și cu exponenți negativi, folosind restul nenegativ.
Vei ști să calculezi sume de puteri ale lui $i$ , grupând câte patru termeni consecutivi.

Hai să descoperim împreună

1. De unde vine formula înmulțirii

Nu avem nevoie de nicio definiție nouă: înmulțim ca la orice expresie algebrică, desfăcând parantezele, și folosim la final singura regulă specifică, $i^{2} = - 1$ . Fie $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ , cu $a, b, c, d$ reale:

$(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = a c + a d i + b c i - b d .$

Grupăm termenii fără $i$ și pe cei cu $i$ :

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

Reține cum arată cele două părți: partea reală conține produsele „drepte" cu minus ( $a c - b d$ ), partea imaginară conține produsele „încrucișate" cu plus ( $a d + b c$ ). Semnul minus vine exclusiv din $i^{2} = - 1$ și este locul unde se greșește cel mai des.

Un exemplu complet, pas cu pas:

$(2 + 3 i) (4 + 5 i) = 8 + 10 i + 12 i + 15 i^{2} = 8 + 22 i - 15 = - 7 + 22 i .$

În practică nu memora formula: desfă parantezele și înlocuiește $i^{2}$ cu $- 1$ . Rezultatul iese de fiecare dată corect, iar formula rămâne doar ca verificare rapidă.

2. Proprietățile înmulțirii

Ca și la adunare, toate proprietățile se moștenesc de la $R$ , prin calcul pe componente. Fie $z_{1}, z_{2}, z_{3} \in C$ .

(P1) Comutativitatea: $z_{1} z_{2} = z_{2} z_{1}$ .

Demonstrație. Cu $z_{1} = a + bi$ și $z_{2} = c + d i$ , avem $z_{1} z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$ , iar $z_{2} z_{1} = (c a - d b) + (c b + d a) i$ . Cum înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, cele două numere au aceleași părți, deci sunt egale. $■$

(P2) Asociativitatea: $(z_{1} z_{2}) z_{3} = z_{1} (z_{2} z_{3})$ . Se verifică desfăcând ambele produse: fiecare parte devine o sumă de opt termeni, aceiași în ambele cazuri, pentru că înmulțirea reală este asociativă.

(P3) Element neutru: $1 = 1 + 0 i$ verifică $z \cdot 1 = z$ pentru orice $z$ , deoarece $(a + bi) (1 + 0 i) = (a \cdot 1 - b \cdot 0) + (a \cdot 0 + b \cdot 1) i = a + bi$ .

(P4) Distributivitatea față de adunare: $z_{1} (z_{2} + z_{3}) = z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3}$ — este chiar regula după care am desfăcut parantezele la punctul 1.

Aceste proprietăți garantează că poți calcula cu numere complexe exact ca la algebra din clasa a IX-a: schimbi ordinea factorilor, grupezi, dai factor comun, folosești formulele de calcul prescurtat. Singura diferență este $i^{2} = - 1$ . Împreună cu proprietățile adunării, demonstrate în lecția Adunarea și scăderea numerelor complexe, ele arată că $C$ se comportă, la calcul, întocmai ca $R$ .

3. Pătratul și produsul cu „perechea" lui

Din formula generală, luând $z_{1} = z_{2} = a + bi$ , obținem

$(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 ab i .$

Nu e nevoie să memorezi nici asta: e formula pătratului sumei, $(a + bi)^{2} = a^{2} + 2 abi + b^{2} i^{2}$ , cu $b^{2} i^{2} = - b^{2}$ . Câteva valori pe care le vei întâlni des:

$(1 + i)^{2} = 2 i, (1 - i)^{2} = - 2 i, (2 + 3 i)^{2} = - 5 + 12 i, (3 - i)^{2} = 8 - 6 i .$

Un produs remarcabil merită atenție specială. Pentru $a, b$ reale:

$(a + bi) (a - bi) = a^{2} - (bi)^{2} = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} .$

Am aplicat formula diferenței de pătrate. Rezultatul este întotdeauna un număr real nenegativ, iar el este zero doar când $a = b = 0$ . Exemple: $(5 + 3 i) (5 - 3 i) = 34$ , $(3 + 2 i) (3 - 2 i) = 13$ , $(1 + i) (1 - i) = 2$ .

Numărul $a - bi$ va primi în curând un nume oficial — se numește conjugatul lui $a + bi$ și îi este dedicată lecția Conjugatul unui număr complex. Calculul de mai sus este, totodată, cheia împărțirii, pe care o vei studia în Împărțirea numerelor complexe: înmulțind numitorul cu „perechea" lui, scapi de $i$ de la numitor.

4. Tabelul puterilor lui $i$

Calculăm, pornind de la $i^{2} = - 1$ și folosind asociativitatea:

$i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = i^{2} \cdot i = - i, i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = (- 1) (- 1) = 1.$

Am ajuns înapoi la $1$ . De aici încolo totul se repetă: $i^{5} = i^{4} \cdot i = i$ , $i^{6} = - 1$ , $i^{7} = - i$ , $i^{8} = 1$ și așa mai departe. Puterile lui $i$ sunt periodice, cu perioada $4$ , și iau doar patru valori.

Restul lui $n$ la împărțirea cu $4$	$0$	$1$	$2$	$3$
$i^{n}$	$1$	$i$	$- 1$	$- i$

✏️Ilustrație: patru puncte pe un cerc, în vârfurile unui pătrat, etichetate

1

(dreapta),

i

(sus),

- 1

(stânga),

- i

(jos), unite printr-o săgeată circulară în sens trigonometric cu eticheta „înmulțire cu

i

= rotație de

9 0^{\circ}

5. Regula restului împărțirii la 4

Teoremă. Pentru orice număr natural $n$ , dacă $n = 4 q + r$ cu $r \in {0, 1, 2, 3}$ restul împărțirii lui $n$ la $4$ , atunci

$i^{n} = i^{r} .$

Demonstrație. Folosind regulile de calcul cu puteri, valabile în $C$ pentru că înmulțirea este asociativă și comutativă:

$i^{n} = i^{4 q + r} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r} = 1^{q} \cdot i^{r} = i^{r} . ■$

Așadar, ca să calculezi orice putere a lui $i$ , împarți exponentul la $4$ și citești restul în tabel. Trei exemple:

$i^{2026}$ : cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , restul este $2$ , deci $i^{2026} = i^{2} = - 1$ .
$i^{999}$ : cum $999 = 4 \cdot 249 + 3$ , restul este $3$ , deci $i^{999} = - i$ .
$i^{4321}$ : cum $4321 = 4 \cdot 1080 + 1$ , restul este $1$ , deci $i^{4321} = i$ .

Scurtătura pentru numere uriașe. Numărul $100$ se împarte exact la $4$ , deci restul lui $n$ la $4$ coincide cu restul dat de ultimele două cifre ale lui $n$ . Pentru $i^{123456789}$ e suficient să privești $89$ : cum $89 = 4 \cdot 22 + 1$ , restul este $1$ și $i^{123456789} = i$ . Nu trebuie să împarți numărul întreg.

6. Exponenți negativi

Pentru exponenți negativi avem nevoie de inversul lui $i$ . Îl găsim fără niciun calcul complicat, observând că

$i \cdot (- i) = - i^{2} = 1, deci i^{- 1} = \frac{1}{i} = - i .$

De aici, $i^{- n} = (i^{- 1})^{n} = (- i)^{n}$ pentru orice $n$ natural. Mai comod însă este să folosim aceeași regulă a restului, cu o precauție esențială: restul se ia nenegativ, adică din mulțimea ${0, 1, 2, 3}$ , chiar dacă exponentul este negativ.

Scriem împărțirea cu rest a lui $- 2026$ la $4$ , cu grijă:

$- 2026 = 4 \cdot (- 507) + 2, pentru c \overset{a}{˘} 4 \cdot (- 507) = - 2028 ș i - 2028 + 2 = - 2026.$

Restul este $2$ (nu $- 2$ !), deci $i^{- 2026} = i^{2} = - 1$ . Verificare independentă: $i^{- 2026} = (- i)^{2026}$ , iar $(- i)^{2026} = (- 1)^{2026} i^{2026} = 1 \cdot (- 1) = - 1$ ✓.

Iată greșeala pe care trebuie s-o eviți: dacă scrii $- 2026 = 4 \cdot (- 506) - 2$ și „citești" restul $- 2$ , ajungi la un răspuns fără sens, pentru că tabelul are doar resturile $0, 1, 2, 3$ . Câtul se rotunjește în jos, iar restul rămâne nenegativ. Alte două exemple, făcute la fel:

$- 7 = 4 \cdot (- 2) + 1 \Rightarrow i^{- 7} = i, - 13 = 4 \cdot (- 4) + 3 \Rightarrow i^{- 13} = - i .$

7. Sume de puteri ale lui $i$

Cheia este o observație simplă: orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma zero, pentru că ele sunt, în altă ordine, $1$ , $i$ , $- 1$ și $- i$ :

$i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0.$

Prin urmare, la o sumă lungă, grupezi câte patru termeni consecutivi și rămâi doar cu „coada". De exemplu, pentru

$S = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2026},$

împărțim $2026$ la $4$ : $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ . Primii $4 \cdot 506 = 2024$ de termeni se grupează în $506$ pachete de sumă zero, deci rămân ultimii doi:

$S = i^{2025} + i^{2026} = i + (- 1) = - 1 + i .$

Aceeași tehnică rezolvă și puterile unor numere complexe alese cu grijă. Din $(1 + i)^{2} = 2 i$ rezultă

$(1 + i)^{10} = [(1 + i)^{2}]^{5} = (2 i)^{5} = 2^{5} \cdot i^{5} = 32 i,$

pentru că $i^{5} = i$ . Trucul funcționează ori de câte ori pătratul numărului este „curat": $(1 - i)^{2} = - 2 i$ , $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ , $(1 + i)^{8} = 16$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produs, pas cu pas

Calculați $(2 + 3 i) (4 + 5 i)$ și $(3 - 2 i) (1 + 4 i)$ .

Rezolvare. Desfacem parantezele și înlocuim $i^{2} = - 1$ :

$(2 + 3 i) (4 + 5 i) = 8 + 10 i + 12 i + 15 i^{2} = 8 + 22 i - 15 = - 7 + 22 i .$

$(3 - 2 i) (1 + 4 i) = 3 + 12 i - 2 i - 8 i^{2} = 3 + 10 i + 8 = 11 + 10 i .$

Exemplul 2 — Pătrate și produsul cu „perechea"

Calculați $(1 + i)^{2}$ , $(2 + 3 i)^{2}$ și $(5 + 3 i) (5 - 3 i)$ .

Rezolvare. $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ — rezultat pur imaginar, util de reținut.

$(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i + 9 i^{2} = - 5 + 12 i$ .

$(5 + 3 i) (5 - 3 i) = 25 - 9 i^{2} = 25 + 9 = 34$ — număr real, conform formulei $a^{2} + b^{2}$ .

Exemplul 3 — Puteri cu exponenți mari

Calculați $i^{2026}$ , $i^{2025}$ , $i^{2024}$ , $i^{2023}$ și $i^{123456789}$ .

Rezolvare. Împărțim exponenții la $4$ și citim resturile: $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , $2025 = 4 \cdot 506 + 1$ , $2024 = 4 \cdot 506$ , $2023 = 4 \cdot 505 + 3$ . Deci

$i^{2026} = - 1, i^{2025} = i, i^{2024} = 1, i^{2023} = - i .$

Pentru $i^{123456789}$ folosim scurtătura ultimelor două cifre: $89 = 4 \cdot 22 + 1$ , restul $1$ , deci $i^{123456789} = i$ .

Observă și că $i^{2023} + i^{2024} + i^{2025} + i^{2026} = - i + 1 + i - 1 = 0$ , cum era de așteptat pentru patru puteri consecutive.

Exemplul 4 — Exponenți negativi

Calculați $i^{- 1}$ , $i^{- 6}$ , $i^{- 13}$ și $i^{- 2026}$ .

Rezolvare. Din $i \cdot (- i) = - i^{2} = 1$ obținem $i^{- 1} = - i$ .

Pentru ceilalți, scriem împărțirea cu rest nenegativ:

$- 6 = 4 \cdot (- 2) + 2 \Rightarrow i^{- 6} = i^{2} = - 1;$ $- 13 = 4 \cdot (- 4) + 3 \Rightarrow i^{- 13} = i^{3} = - i;$ $- 2026 = 4 \cdot (- 507) + 2 \Rightarrow i^{- 2026} = i^{2} = - 1.$

Verificare pentru al doilea: $i^{- 6} = (- i)^{6} = (- 1)^{6} i^{6} = i^{6} = i^{2} = - 1$ ✓.

Exemplul 5 — Determinarea unui parametru real

Determinați $x \in R$ pentru care numărul $(2 + x i) (1 - i)$ este real.

Rezolvare. Efectuăm înmulțirea:

$(2 + x i) (1 - i) = 2 - 2 i + x i - x i^{2} = (2 + x) + (x - 2) i .$

Numărul este real dacă și numai dacă partea imaginară se anulează: $x - 2 = 0$ , deci $x = 2$ . Pentru această valoare obținem $(2 + 2 i) (1 - i) = 4$ .

Verificare: $(2 + 2 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 2 i - 2 i^{2} = 2 + 2 = 4$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z = 1 + i$ . a) Arătați că $z^{2} = 2 i$ . b) Calculați $z^{10}$ . c) Calculați suma $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2026}$ .

Rezolvare. a) $z^{2} = (1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$ .

b) $z^{10} = (z^{2})^{5} = (2 i)^{5} = 32 i^{5}$ . Cum $5 = 4 \cdot 1 + 1$ , avem $i^{5} = i$ , deci $z^{10} = 32 i$ .

c) Grupăm câte patru termeni consecutivi, fiecare grup având suma $0$ . Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , primii $2024$ de termeni se anulează și rămân ultimii doi:

$i^{2025} + i^{2026} = i - 1 = - 1 + i .$

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La înmulțiri, desfă parantezele și înlocuiește $i^{2}$ cu $- 1$ ; la puteri, împarte exponentul la $4$ și citește restul în tabel.

1. Calculează: a) $(2 + 3 i) (4 + 5 i)$ ; b) $(2 - i) (3 + 4 i)$ ; c) $i (3 - 4 i)$ ; d) $(5 + 3 i) (5 - 3 i)$ .

2. Calculează $(1 + i)^{2}$ , $(1 - i)^{2}$ , $(2 + 3 i)^{2}$ și $(3 - i)^{2}$ .

3. Calculează $i^{15}$ , $i^{40}$ , $i^{101}$ și $i^{666}$ .

4. Calculează $i^{- 2}$ , $i^{- 9}$ , $i^{- 15}$ și $i^{- 2025}$ , scriind de fiecare dată împărțirea cu rest nenegativ.

5. Calculează $i^{2023} + i^{2024} + i^{2025} + i^{2026}$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Oricare ar fi numărul natural $n$ , puterea $i^{n}$ ia doar una dintre valorile $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „ $i^{100} = i^{10}$ ."

8. Calculează $(1 + i)^{4}$ , $(1 + i)^{8}$ și $(1 + i)^{10}$ , folosind $(1 + i)^{2} = 2 i$ .

9. Calculează $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{51}$ .

10. Calculează $1 + i + i^{2} + \dots + i^{51}$ și compară rezultatul cu cel de la exercițiul 9.

11. (Problemă aplicată.) Un punct din planul unui joc video are coordonatele $(3, - 4)$ , adică îi corespunde numărul $z = 3 - 4 i$ . a) Calculează $i z$ și arată că punctul obținut este $(4, 3)$ . b) Calculează $i^{2} z$ și explică de ce rezultatul corespunde unei rotații de $18 0^{\circ}$ .

12. Demonstrează că, pentru orice numere reale $a$ și $b$ , produsul $(a + bi) (a - bi)$ este un număr real nenegativ.

13. Calculează $(1 + i) (2 - 3 i) (1 - i)$ , grupând convenabil factorii.

14. Determină $x \in R$ pentru care numărul $(3 + x i) (2 - i)$ este real. Ce valoare are atunci produsul?

15. Calculează $i^{4321}$ și $i^{123456789}$ , folosind scurtătura ultimelor două cifre.

16. Verifică pe numerele $z_{1} = 1 + 2 i$ , $z_{2} = 3 - i$ și $z_{3} = 2 + 5 i$ că înmulțirea este asociativă.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z = 1 - i$ . a) Arătați că $z^{2} = - 2 i$ . b) Calculați $z^{10}$ .

18. (Provocare.) Calculează suma $S = i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots + 100 i^{100}$ , grupând termenii câte patru și folosind faptul că, în fiecare grup de forma $k i^{k} + (k + 1) i^{k + 1} + (k + 2) i^{k + 2} + (k + 3) i^{k + 3}$ , coeficienții cresc cu $1$ .

Răspunsuri și explicații

1. a) $8 + 22 i + 15 i^{2} = - 7 + 22 i$ . b) $6 + 8 i - 3 i - 4 i^{2} = 10 + 5 i$ . c) $3 i - 4 i^{2} = 4 + 3 i$ . d) $25 - 9 i^{2} = 34$ .

2. $(1 + i)^{2} = 2 i$ ; $(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ ; $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ ; $(3 - i)^{2} = 9 - 6 i - 1 = 8 - 6 i$ .

3. $15 = 4 \cdot 3 + 3 \Rightarrow i^{15} = - i$ ; $40 = 4 \cdot 10 \Rightarrow i^{40} = 1$ ; $101 = 4 \cdot 25 + 1 \Rightarrow i^{101} = i$ ; $666 = 4 \cdot 166 + 2 \Rightarrow i^{666} = - 1$ .

4. $- 2 = 4 (- 1) + 2 \Rightarrow i^{- 2} = - 1$ ; $- 9 = 4 (- 3) + 3 \Rightarrow i^{- 9} = - i$ ; $- 15 = 4 (- 4) + 1 \Rightarrow i^{- 15} = i$ ; $- 2025 = 4 (- 507) + 3 \Rightarrow i^{- 2025} = - i$ . (Restul este de fiecare dată $0$ , $1$ , $2$ sau $3$ , niciodată negativ.)

5. Sunt patru puteri consecutive: $- i + 1 + i - 1 = 0$ .

6. Adevărat. Din $i^{n} = i^{r}$ , cu $r$ restul împărțirii la $4$ , iar $r$ poate lua doar valorile $0, 1, 2, 3$ , cărora le corespund $1, i, - 1, - i$ .

7. Fals. $100 = 4 \cdot 25$ , deci $i^{100} = 1$ , în timp ce $10 = 4 \cdot 2 + 2$ , deci $i^{10} = - 1$ . Egalitatea ar cere resturi egale la împărțirea cu $4$ , ceea ce nu se întâmplă.

8. $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ ; $(1 + i)^{8} = (- 4)^{2} = 16$ ; $(1 + i)^{10} = (2 i)^{5} = 32 i^{5} = 32 i$ .

9. $51 = 4 \cdot 12 + 3$ : primii $48$ de termeni se grupează în $12$ pachete de sumă $0$ , rămân $i^{49} + i^{50} + i^{51} = i - 1 - i = - 1$ . Deci suma este $- 1$ .

10. Suma cerută este cea de la exercițiul 9 plus $i^{0} = 1$ : $- 1 + 1 = 0$ .

11. a) $i z = i (3 - 4 i) = 3 i - 4 i^{2} = 4 + 3 i$ , adică punctul $(4, 3)$ . b) $i^{2} z = - z = - 3 + 4 i$ , adică punctul $(- 3, 4)$ , simetricul lui $(3, - 4)$ față de origine — exact efectul unei rotații de $18 0^{\circ}$ . Se vede și direct: două rotații de $9 0^{\circ}$ dau una de $18 0^{\circ}$ .

12. $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - (bi)^{2} = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Fiind sumă de pătrate de numere reale, rezultatul este real și mai mare sau egal cu $0$ ; el este $0$ doar când $a = b = 0$ .

13. Grupăm factorii extremi: $(1 + i) (1 - i) = 1 - i^{2} = 2$ , deci produsul este $2 (2 - 3 i) = 4 - 6 i$ .

14. $(3 + x i) (2 - i) = 6 - 3 i + 2 x i - x i^{2} = (6 + x) + (2 x - 3) i$ ; condiția $2 x - 3 = 0$ dă $x = \frac{3}{2}$ , iar produsul devine $6 + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$ .

15. $4321$ : ultimele două cifre sunt $21$ , iar $21 = 4 \cdot 5 + 1$ , deci $i^{4321} = i$ . $123456789$ : ultimele două cifre sunt $89 = 4 \cdot 22 + 1$ , deci rezultatul este tot $i$ .

16. $z_{1} z_{2} = (1 + 2 i) (3 - i) = 3 - i + 6 i - 2 i^{2} = 5 + 5 i$ , apoi $(z_{1} z_{2}) z_{3} = (5 + 5 i) (2 + 5 i) = 10 + 25 i + 10 i + 25 i^{2} = - 15 + 35 i$ . Pe de altă parte $z_{2} z_{3} = (3 - i) (2 + 5 i) = 6 + 15 i - 2 i + 5 = 11 + 13 i$ , iar $z_{1} (z_{2} z_{3}) = (1 + 2 i) (11 + 13 i) = 11 + 13 i + 22 i - 26 = - 15 + 35 i$ . Egale ✓.

17. a) $(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ . b) $z^{10} = (z^{2})^{5} = (- 2 i)^{5} = (- 2)^{5} i^{5} = - 32 i$ , pentru că $i^{5} = i$ .

18. Grupăm câte patru: $k i^{k} + (k + 1) i^{k + 1} + (k + 2) i^{k + 2} + (k + 3) i^{k + 3}$ , cu $k = 1, 5, 9, \dots, 97$ . Pentru $k \equiv 1 (mod 4)$ puterile sunt, în ordine, $i, - 1, - i, 1$ , deci grupul valorează $k i - (k + 1) - (k + 2) i + (k + 3) = 2 - 2 i .$ Sunt $25$ de astfel de grupuri ( $100 : 4 = 25$ ), deci $S = 25 (2 - 2 i) = 50 - 50 i$ .

De reținut

Înmulțirea: $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ — se obține desfăcând parantezele și înlocuind $i^{2} = - 1$ .
Înmulțirea în $C$ este comutativă, asociativă, are elementul neutru $1$ și este distributivă față de adunare; toate regulile de calcul din clasa a IX-a rămân valabile.
$(a + bi)^{2} = (a^{2} - b^{2}) + 2 ab i$ și $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ (număr real nenegativ).
Puterile lui $i$ sunt periodice, cu perioada $4$ : $i^{n} = i^{r}$ , unde $r \in {0, 1, 2, 3}$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ ; valorile sunt $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ .
Pentru exponenți negativi se folosește aceeași regulă, cu restul luat nenegativ: $- 2026 = 4 \cdot (- 507) + 2$ , deci $i^{- 2026} = - 1$ . Orice patru puteri consecutive au suma $0$ .

Greșeli frecvente

Semnul din partea reală. În $(a c - b d)$ minusul vine din $i^{2} = - 1$ ; dacă îl uiți, greșești toate produsele. Verificare rapidă: $i \cdot i$ trebuie să dea $- 1$ .
Restul negativ la exponenți negativi. $- 2026 = 4 \cdot (- 506) - 2$ nu este împărțire cu rest corectă: restul trebuie să fie $0$ , $1$ , $2$ sau $3$ . Coboară câtul cu o unitate.
Împărțirea exponentului la altceva decât $4$ . Perioada este $4$ , nu $2$ și nici $3$ : $i^{10} = - 1$ , nu $1$ .
Confuzia $(1 + i)^{2} = 1 + i^{2}$ . Se aplică formula pătratului sumei, cu dublul produsului: $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ .
Sume calculate termen cu termen. La sume lungi de puteri ale lui $i$ , grupează câte patru: rămân cel mult trei termeni de calculat.

Aplică acasă

Ceasul cu patru poziții. Desenează un cerc cu patru puncte marcate: $1$ , $i$ , $- 1$ , $- i$ . Pornind de la $1$ , avansează cu un punct pentru fiecare înmulțire cu $i$ și verifică pe desen valorile lui $i^{7}$ , $i^{13}$ și $i^{- 5}$ . Ai construit, practic, un ceas care arată restul împărțirii la $4$ .
Rotații pe hârtie milimetrică. Alege un punct oarecare din plan, scrie-l ca număr complex și înmulțește-l succesiv cu $i$ , de patru ori, desenând de fiecare dată rezultatul. Verifică faptul că te întorci exact în punctul de plecare.
Cel mai mare exponent din clasă. Provoacă un coleg: fiecare scrie un exponent cu cel puțin zece cifre, iar celălalt trebuie să calculeze puterea corespunzătoare a lui $i$ în mai puțin de zece secunde, folosind ultimele două cifre. Câștigă cine greșește mai rar.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie grupul operațiilor de bază cu numere complexe și introduce singurul „algoritm de viteză" din capitol: reducerea exponentului modulo $4$ . Programa de matematică-informatică cere efectuarea operațiilor cu numere complexe în contexte variate de calcul, iar puterile lui $i$ apar apoi în aproape toate lecțiile următoare, de la ecuațiile de gradul al doilea până la formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$ .

Ce verifică lecția: deducerea și aplicarea formulei produsului (cu accent pe semnul din partea reală); demonstrațiile proprietăților înmulțirii; formulele $(a + bi)^{2}$ și $(a + bi) (a - bi)$ ; teorema $i^{n} = i^{r}$ cu demonstrația ei; calculul puterilor cu exponenți mari și negativi; sumele de puteri prin grupare câte patru.

Punctul sensibil este exponentul negativ. Un elev care scrie $- 2026 = 4 \cdot (- 506) - 2$ obține un „rest" negativ, care nu există în tabel. Insistați pe formularea „câtul se rotunjește în jos, restul rămâne nenegativ" și cereți verificarea prin $i^{- n} = (- i)^{n}$ . Întrebări bune de control: „Cât este $i^{- 1}$ și de ce?"; „Cât face $i^{2026}$ ?"; „De ce se grupează sumele câte patru?"; „De ce $(1 + i)^{2}$ nu este $1 + i^{2}$ ?".

La Bacalaureat M1, exercițiile de tipul „arătați că $(1 + i)^{2} = 2 i$ , apoi calculați $(1 + i)^{10}$ " sau „calculați suma primelor $n$ puteri ale lui $i$ " apar constant la subiectul I; sunt exerciții cu rezolvare scurtă, deci cu punctaj sigur pentru elevul care stăpânește tabelul.

Întrebări frecvente

Cum se înmulțesc două numere complexe? Se desfac parantezele ca la orice expresie algebrică și se înlocuiește $i^{2}$ cu $- 1$ . Rezultatul general este $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ : partea reală conține produsele „drepte" cu minus, iar partea imaginară produsele „încrucișate" cu plus.

De ce apare semnul minus în partea reală a produsului? Pentru că termenul $b d i^{2}$ devine $- b d$ , conform regulii $i^{2} = - 1$ . Este singurul loc din calcul unde intervine proprietatea specifică numerelor complexe.

Cât este $i$ la puterea $n$ ? Este $i^{r}$ , unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ : pentru rest $0$ obții $1$ , pentru rest $1$ obții $i$ , pentru rest $2$ obții $- 1$ , pentru rest $3$ obții $- i$ .

Cum calculez $i^{2026}$ ? Împarți $2026$ la $4$ : $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , deci restul este $2$ și $i^{2026} = i^{2} = - 1$ . Pentru exponenți foarte mari e suficient să privești ultimele două cifre, pentru că $100$ se împarte exact la $4$ .

Cum se calculează puterile lui $i$ cu exponent negativ? Se folosește aceeași regulă, cu restul luat nenegativ. De exemplu $- 13 = 4 \cdot (- 4) + 3$ , deci $i^{- 13} = i^{3} = - i$ . Alternativ, $i^{- 1} = - i$ și $i^{- n} = (- i)^{n}$ .

Cât este suma $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{n}$ ? Se grupează câte patru termeni consecutivi, fiecare grup având suma $0$ , și rămân doar termenii din „coadă", în număr egal cu restul lui $n$ la $4$ . De exemplu, pentru $n = 2026$ rămân $i^{2025} + i^{2026} = - 1 + i$ .

De ce spunem că înmulțirea cu $i$ este o rotație? Pentru că, geometric, punctului $(a, b)$ îi corespunde prin înmulțirea cu $i$ punctul $(- b, a)$ , adică rotitul lui cu $9 0^{\circ}$ în jurul originii. Patru astfel de rotații închid cercul — de aici periodicitatea $4$ a puterilor lui $i$ .