Forma algebrică a unui număr complex

Deschide manualul de fizică la capitolul despre curentul alternativ și vei da peste o mărime scrisă ciudat: impedanța unui circuit, notată $Z=12+16i$ și măsurată în ohmi. Nu e o greșeală de tipar. Primul număr, $12$, este rezistența — partea care transformă energia în căldură. Al doilea, $16$, este reactanța — partea care stochează temporar energia în bobine și condensatoare și o dă înapoi mai târziu. Sunt două mărimi de naturi complet diferite, care nu se pot aduna una peste alta, dar care trebuie ținute împreună, ca să descrie același circuit.

Exact asta face forma algebrică a unui număr complex: ține laolaltă două numere reale, fără să le amestece. În lecția anterioară, De ce avem nevoie de numere noi, am acceptat unitatea imaginară $i$, cu $i^2=-1$, ca să nu se blocheze un calcul. Acum îi dăm o formă de scriere pe care o vom folosi în tot capitolul și care se dovedește, surprinzător, exact ce le trebuie inginerilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii orice număr complex sub forma algebrică $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ reale.
• Vei ști să identifici partea reală $\mathrm{Re}(z)$ și partea imaginară $\mathrm{Im}(z)$ și să nu confunzi $\mathrm{Im}(z)$ cu $bi$.
• Vei ști să demonstrezi că scrierea sub formă algebrică este unică și de ce fără asta noțiunile de mai sus nici nu ar avea sens.
• Vei ști să recunoști numerele reale și numerele pur imaginare ca tipuri particulare de numere complexe.
• Vei ști să aduci la forma algebrică expresii care conțin $i^2$ sau radicali din numere negative.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția formei algebrice

Definiție. Se numește număr complex orice număr care se poate scrie sub forma

$$z=a+bi,a,b\in \mathbb{R},i^2=-1.$$

Această scriere se numește forma algebrică (sau carteziană) a numărului $z$. Mulțimea numerelor complexe se notează

$$\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\}.$$

Regulile de calcul rămân cele obișnuite din algebră — adunare, scădere, înmulțire, cu comutativitate, asociativitate și distributivitate — plus o singură regulă nouă: ori de câte ori apare $i^2$, îl înlocuim cu $-1$. Nimic altceva. Din această unică regulă vor decurge toate formulele capitolului.

Câteva exemple de numere complexe scrise sub formă algebrică:

$$3+7i,-2+i,\frac{1}{2}-\sqrt{3}i,5=5+0i,-4i=0+(-4)i.$$

Numele „algebrică" vine de la faptul că scrierea arată ca o expresie algebrică de gradul întâi în $i$: un termen liber și un termen cu $i$. Vei întâlni în capitol și o a doua formă de scriere, cea trigonometrică, potrivită pentru înmulțiri și puteri; forma algebrică rămâne însă cea potrivită pentru adunări, scăderi și pentru citirea rapidă a celor două componente.

2. Scrierea este unică — și de ce contează

Înainte de a boteza cele două numere din scriere, trebuie să fim siguri că ele sunt bine determinate. Altfel, dacă același număr complex s-ar putea scrie și ca $3+7i$, și ca $5+2i$, întrebarea „care este partea reală?" nu ar avea răspuns.

Teoremă (unicitatea formei algebrice). Dacă $a,b,c,d$ sunt numere reale și $a+bi=c+di$, atunci $a=c$ și $b=d$.

Demonstrație. Din egalitate obținem $a-c=(d-b)i$. Presupunem, prin reducere la absurd, că $d-b\ne 0$. Atunci putem împărți și rezultă

$$i=\frac{a-c}{d-b}.$$

Membrul drept este un cât de numere reale cu numitor nenul, deci un număr real. Ar rezulta că $i$ este real, adică ar exista un număr real cu pătratul $-1$ — imposibil, pentru că pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero. Contradicția arată că $d-b=0$, deci $b=d$. Înlocuind, obținem $a-c=0$, adică $a=c$. $■$

Reține argumentul: totul se sprijină pe faptul că $i$ nu este număr real. Vom relua această teoremă, cu toate consecințele ei practice, în lecția Egalitatea a două numere complexe.

3. Partea reală și partea imaginară

Acum putem defini fără ambiguitate.

Definiție. Fie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. Numărul $a$ se numește partea reală a lui $z$ și se notează $\mathrm{Re}(z)$; numărul $b$ se numește partea imaginară a lui $z$ și se notează $\mathrm{Im}(z)$.

$$\mathrm{Re}(a+bi)=a,\mathrm{Im}(a+bi)=b.$$

Atenție la cea mai frecventă greșeală din tot capitolul: partea imaginară este numărul real $b$, nu $bi$. Pentru $z=4-7i$ avem $\mathrm{Re}(z)=4$ și $\mathrm{Im}(z)=-7$ — cu semn, și fără $i$. Ambele părți ale unui număr complex sunt numere reale; „imaginar" se referă la poziția lui $b$ în scriere, nu la natura lui.

Câteva citiri rapide:

4. Numere reale, numere pur imaginare

Două cazuri particulare merită nume proprii.

Numerele reale. Dacă $b=0$, atunci $z=a+0i=a$ este chiar numărul real $a$. Prin urmare

$$z\in \mathbb{R}⟺\mathrm{Im}(z)=0,$$

iar $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$: fiecare număr real este un număr complex cu partea imaginară nulă. Lanțul complet devine $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Numerele pur imaginare. Dacă $a=0$ și $b\ne 0$, numărul $z=bi$ se numește pur imaginar. Exemple: $i$, $-4i$, $i\sqrt{5}$, $\frac{2}{3}i$.

$$z\text{ pur imaginar}⟺\mathrm{Re}(z)=0\text{ și }\mathrm{Im}(z)\ne 0.$$

Observă condiția $b\ne 0$: numărul $0$ nu este pur imaginar, ci este număr real (are ambele părți nule). Este singurul număr aflat „la intersecție", iar convenția din manualele românești îl lasă de partea numerelor reale.

În sfârșit, un număr complex cu $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ se numește nereal; mulțimea acestora este $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$. Se mai folosește notația ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ pentru numerele complexe nenule.

Un exercițiu de vigilență: numerele $2-i$, $i\sqrt{7}$ și $-3$ aparțin toate lui ${\mathbb{C}}^{\ast }$, dar numai al doilea este pur imaginar și numai al treilea este real. Categoriile „real", „pur imaginar" și „nereal" se stabilesc după forma algebrică, nu după cum arată scrierea inițială — de aceea primul pas la orice exercițiu este aducerea la forma $a+bi$.

5. Cum aduci o expresie la forma algebrică

„A aduce la forma algebrică" înseamnă a scrie expresia sub forma standard $a+bi$, cu $a$ și $b$ reale, ca să poți citi imediat cele două părți. Ai două unelte:

1. înlocuiești $i^2$ cu $-1$ ori de câte ori apare;
2. scrii $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ pentru $k>0$ și grupezi termenii asemenea.

De exemplu:

$$3+2i^2=3-2=1(\text{numa˘r real!}),-i^2+5i=1+5i,$$

$$2-\sqrt{-9}=2-3i,\frac{-4+\sqrt{-25}}{2}=\frac{-4+5i}{2}=-2+\frac{5}{2}i.$$

Prima expresie e o capcană utilă: deși conține $i$, ea este de fapt numărul real $1$, pentru că $i$ apare doar la putere pară. Nu te lăsa păcălit de aspectul unei scrieri — decide după forma algebrică finală.

Când numărul apare sub formă de fracție cu numitor real, împarte fiecare dintre cele două părți:

$$\frac{1}{2}\left(8-\sqrt{-36}\right)=\frac{8-6i}{2}=4-3i,\text{deci }\mathrm{Re}=4\text{ și }\mathrm{Im}=-3.$$

O greșeală des întâlnită este să se împartă doar primul termen. Verificarea e simplă: înmulțește rezultatul înapoi cu $2$ și trebuie să obții exact numărul de la care ai plecat.

6. Un număr complex este, de fapt, o pereche

Poate te întrebi ce este „de fapt" $i$. Răspunsul riguros, dat de William Rowan Hamilton în 1835, este surprinzător de simplu: un număr complex este o pereche ordonată de numere reale $(a,b)$, cu operațiile

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc).$$

Cu aceste definiții, perechile de forma $(a,0)$ se comportă exact ca numerele reale: $(a,0)+(c,0)=(a+c,0)$ și $(a,0)\cdot (c,0)=(ac,0)$. Le putem deci identifica, fără pierdere, cu numerele reale. Iar pentru perechea $(0,1)$ obținem, aplicând regula produsului,

$$(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0).$$

Adică pătratul lui $(0,1)$ este $-1$. Prin urmare $(0,1)$ este chiar $i$, iar $(a,b)=a+bi$. Nu am inventat nimic misterios: am construit un obiect nou din materiale vechi — perechi de numere reale.

Perechea $(a,b)$ mai are un avantaj imens: se desenează. Fiecărui număr complex îi corespunde punctul de coordonate $(a,b)$ din planul cartezian; la trunchiul comun, reperul cartezian apare încă din clasa a IX-a, în lecția Coordonatele unui punct din plan. Această imagine, cu tot ce decurge din ea, este subiectul lecției Planul complex. Imaginea geometrică și afixul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea celor două părți

Precizați partea reală și partea imaginară pentru: $z_1=-5+2i$, $z_2=8$, $z_3=-i\sqrt{3}$, $z_4=\frac{3-i}{2}$.

Rezolvare. $\mathrm{Re}(z_1)=-5$, $\mathrm{Im}(z_1)=2$. Pentru $z_2=8+0i$: $\mathrm{Re}(z_2)=8$, $\mathrm{Im}(z_2)=0$. Pentru $z_3=0-\sqrt{3}i$: $\mathrm{Re}(z_3)=0$, $\mathrm{Im}(z_3)=-\sqrt{3}$. La ultimul aducem întâi la forma algebrică: $z_4=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$, deci $\mathrm{Re}(z_4)=\frac{3}{2}$ și $\mathrm{Im}(z_4)=-\frac{1}{2}$.

Exemplul 2 — Aducerea la forma algebrică

Scrieți sub forma $a+bi$: a) $7-3i^2$; b) $-4i^2-i$; c) $\frac{6-10i}{2}$; d) $1+\sqrt{-16}$.

Rezolvare. a) $7-3i^2=7+3=10=10+0i$ — număr real. b) $-4i^2-i=4-i$. c) $\frac{6-10i}{2}=3-5i$. d) $\sqrt{-16}=4i$, deci rezultatul este $1+4i$.

Exemplul 3 — Real, pur imaginar sau niciuna

Clasificați numerele: $-7$; $6i$; $0$; $2-i$; $i^2$; $i\sqrt{2}$.

Rezolvare. $-7$ este real ($\mathrm{Im}=0$). $6i$ este pur imaginar ($\mathrm{Re}=0$, $\mathrm{Im}=6\ne 0$). $0$ este real, nu pur imaginar (ambele părți sunt nule). $2-i$ nu este nici real, nici pur imaginar. $i^2=-1$ este real — atenție, scrierea înșală. $i\sqrt{2}$ este pur imaginar.

Exemplul 4 — Condiție cu parametru real

Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $z=(m-2)+(m^2-4)i$ să fie număr real.

Rezolvare. $z$ este real dacă și numai dacă $\mathrm{Im}(z)=0$, adică $m^2-4=0$, deci $m\in \{-2,2\}$.

Verificăm ce număr obținem: pentru $m=2$, $z=0+0i=0$; pentru $m=-2$, $z=-4+0i=-4$. Ambele sunt reale, deci ambele valori convin — spre deosebire de cerința „pur imaginar", unde apare și o condiție de nenulitate care poate elimina soluții. Reține deosebirea: la „real" se pune o singură condiție, la „pur imaginar" se pun două.

Exemplul 5 — Pur imaginar: nu uita condiția de nenulitate

Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $z=(m^2-9)+(m-3)i$ să fie pur imaginar.

Rezolvare. Sunt două condiții: $\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$, adică

$$m^2-9=0\text{și}m-3\ne 0.$$

Prima dă $m\in \{-3,3\}$, a doua elimină $m=3$. Rămâne $m=-3$, pentru care $z=0+(-6)i=-6i$, într-adevăr pur imaginar.

Dacă am fi uitat a doua condiție, am fi acceptat și $m=3$, care dă $z=0$ — număr real, nu pur imaginar. Aceasta este greșeala pe care baremele o sancționează cel mai des la acest tip de exercițiu.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=(2m-6)+(m+1)i$, unde $m$ este număr real. a) Determinați $m$ pentru care $z$ este pur imaginar. b) Determinați $m$ pentru care $z$ este număr real și precizați valoarea lui $z$.

Rezolvare. a) Cerem $2m-6=0$ și $m+1\ne 0$. Prima condiție dă $m=3$, iar pentru $m=3$ avem $m+1=4\ne 0$, deci condiția a doua e îndeplinită. Așadar $m=3$ și $z=4i$.

b) Cerem $\mathrm{Im}(z)=0$, adică $m+1=0$, deci $m=-1$. Atunci $z=2\cdot (-1)-6=-8$, număr real.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, adu întâi expresia la forma algebrică $a+bi$ și abia apoi trage concluzii.

1. Precizează partea reală și partea imaginară: $z_1=3+7i$; $z_2=-2+i$; $z_3=5$; $z_4=-4i$; $z_5=0$.

2. Scrie sub forma $a+bi$: a) $3+2i^2$; b) $-i^2+5i$; c) $\frac{6-10i}{2}$; d) $-4i^2-i$.

3. Precizează care numere sunt reale, care pur imaginare și care niciuna: $2$; $-3i$; $0$; $i\sqrt{5}$; $1-i$; $i^2$.

4. Scrie numărul complex $z$ pentru care $\mathrm{Re}(z)=-3$ și $\mathrm{Im}(z)=\frac{1}{2}$.

5. Determină $m$ real pentru care $z=(m-2)+(m^2-4)i$ este număr real și precizează valoarea lui $z$ în fiecare caz.

6. Determină $m$ real pentru care $z=(m^2-9)+(m-3)i$ este pur imaginar.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Partea imaginară a numărului $z=4-7i$ este $-7i$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $0$ este pur imaginar."

9. Scrie ca pereche ordonată $(a,b)$ numerele: $2-5i$; $-i$; $7$; $0$.

10. Calculează $\mathrm{Re}(z)$ și $\mathrm{Im}(z)$ pentru $z=3-4i^2+2i$.

11. (Problemă aplicată.) Impedanța unui circuit este $Z=12+16i$ ohmi. a) Care este rezistența și care reactanța? b) Scrie impedanța unui rezistor pur, de $25$ ohmi, și pe cea a unei bobine ideale cu reactanța de $40$ ohmi. Ce tip de număr complex este fiecare?

12. Determină $x$ real pentru care $z=(x^2-x-6)+(x+2)i$ este egal cu $0$.

13. Argumentează, în două fraze, incluziunea $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ și dă un exemplu de număr complex care nu este real.

14. Scrie sub forma $a+bi$: $\sqrt{-16}$; $2-\sqrt{-9}$; $\frac{-4+\sqrt{-25}}{2}$.

15. Fie $z=a+bi$, cu $a,b$ reale. Ce condiții trebuie îndeplinite pentru ca $z$ să fie: a) real; b) pur imaginar; c) egal cu zero?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=(3m-12)+(m+2)i$, cu $m$ real. a) Determinați $m$ pentru care $z$ este pur imaginar. b) Determinați $m$ pentru care $z$ este real.

17. Folosind regula produsului de perechi $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, verifică prin calcul că $(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)$. Ce număr complex este, așadar, perechea $(0,1)$?

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere reale $a$ și $c$, avem $(a,0)+(c,0)=(a+c,0)$ și $(a,0)\cdot (c,0)=(ac,0)$. Ce concluzie tragi despre modul în care numerele reale „locuiesc" în mulțimea perechilor?

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{Re}/\mathrm{Im}$: $z_1\to 3$ și $7$; $z_2\to -2$ și $1$; $z_3\to 5$ și $0$; $z_4\to 0$ și $-4$; $z_5\to 0$ și $0$.

2. a) $3+2(-1)=1$. b) $-(-1)+5i=1+5i$. c) $3-5i$. d) $-4(-1)-i=4-i$.

3. Reale: $2$, $0$ și $i^2=-1$. Pur imaginare: $-3i$ și $i\sqrt{5}$. Niciuna: $1-i$.

4. $z=-3+\frac{1}{2}i$.

5. Condiția este $m^2-4=0$, deci $m=2$ sau $m=-2$. Pentru $m=2$: $z=0$; pentru $m=-2$: $z=-4$.

6. Cerem $m^2-9=0$ și $m-3\ne 0$, deci $m=-3$, iar $z=-6i$. Valoarea $m=3$ se respinge, pentru că dă $z=0$.

7. Fals. Partea imaginară este numărul real $-7$; $-7i$ este termenul din scriere, nu partea imaginară.

8. Fals. $0=0+0i$ are și partea imaginară nulă, deci este număr real. Pentru „pur imaginar" se cere $\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$.

9. $(2,-5)$; $(0,-1)$; $(7,0)$; $(0,0)$.

10. $z=3-4(-1)+2i=7+2i$, deci $\mathrm{Re}(z)=7$ și $\mathrm{Im}(z)=2$.

11. a) Rezistența este $12$ ohmi (partea reală), reactanța $16$ ohmi (partea imaginară). b) Rezistorul pur: $Z=25+0i=25$, număr real. Bobina ideală: $Z=0+40i=40i$, număr pur imaginar.

12. $z=0$ cere ambele părți nule: $x+2=0$ dă $x=-2$, iar pentru $x=-2$ avem $x^2-x-6=4+2-6=0$ ✓. Deci $x=-2$. (Cealaltă rădăcină a trinomului, $x=3$, nu convine: pentru ea $x+2=5\ne 0$.)

13. Orice număr real $a$ se scrie $a=a+0i$, deci aparține lui $\mathbb{C}$; incluziunea este strictă, pentru că $i=0+1i$ nu este real (niciun număr real nu are pătratul $-1$).

14. $\sqrt{-16}=4i=0+4i$; $2-\sqrt{-9}=2-3i$; $\frac{-4+5i}{2}=-2+\frac{5}{2}i$.

15. a) $b=0$; b) $a=0$ și $b\ne 0$; c) $a=0$ și $b=0$.

16. a) $3m-12=0$ și $m+2\ne 0$: din prima $m=4$, iar $4+2=6\ne 0$, deci $m=4$ și $z=6i$. b) $m+2=0$, deci $m=-2$, iar $z=3(-2)-12=-18$.

17. $(0,1)(0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$. Perechea $(0,1)$ are pătratul $-1$, deci ea este chiar unitatea imaginară $i$.

18. Prima relație e imediată din definiția sumei. Pentru produs: $(a,0)(c,0)=(ac-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot c)=(ac,0)$. Concluzie: perechile cu a doua componentă nulă se adună și se înmulțesc exact ca numerele reale corespunzătoare, deci le putem identifica cu ele. Așa capătă sens riguros incluziunea $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

De reținut

• Forma algebrică: orice număr complex se scrie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; scrierea este unică.
• $\mathrm{Re}(z)=a$ și $\mathrm{Im}(z)=b$ sunt numere reale; partea imaginară este $b$, nu $bi$.
• $z$ este real $⟺\mathrm{Im}(z)=0$; $z$ este pur imaginar $⟺\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$; $z=0⟺$ ambele părți sunt nule.
• Numărul $0$ este real, nu pur imaginar; iar $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$, prin identificarea $a=a+0i$.
• Pentru a aduce o expresie la forma algebrică: înlocuiește $i^2$ cu $-1$, scrie $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ și grupează termenii asemenea.

Greșeli frecvente

• „Partea imaginară a lui $4-7i$ este $-7i$." Nu: este $-7$. Ambele părți ale unui număr complex sunt numere reale.
• Uitarea semnului. La $z=3-5i$, partea imaginară este $-5$, nu $5$. Citește semnul odată cu numărul.
• Condiția lipsă la „pur imaginar". Se cere și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$; altfel accepți și $z=0$, care este număr real.
• Concluzii trase înainte de forma algebrică. $3+2i^2$ pare complex, dar este numărul real $1$. Simplifică întâi, decide după.
• Confuzia dintre $0$ și „pur imaginar". Zero are ambele părți nule, deci este real; nu îl număra printre numerele pur imaginare.

Aplică acasă

1. Cartea de identitate a numerelor. Scrie pe o foaie zece numere complexe amestecate (reale, pur imaginare, nereale, unele cu $i^2$ ascuns în scriere) și cere-i unui coleg să completeze un tabel cu $\mathrm{Re}$, $\mathrm{Im}$ și tipul fiecăruia. Corectează-i tabelul.

2. Impedanțe pe frigider. Notează trei aparate din casă și, folosind datele de pe eticheta lor, imaginează pentru fiecare o impedanță de forma $R+Xi$. Precizează care ar fi pur rezistiv (număr real) și care ar avea și componentă reactivă.

3. Perechi pe caiet cu pătrățele. Desenează un sistem de axe și marchează punctele corespunzătoare numerelor $2+3i$, $-1+2i$, $4$, $-3i$ și $0$. Observă unde se așază numerele reale și unde cele pur imaginare — ai anticipat astfel lecția despre planul complex.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează limbajul de bază al capitolului, cerut explicit de programa de matematică-informatică: „recunoașterea numerelor complexe și a componentelor acestora (parte reală, parte imaginară)". Este o lecție scurtă ca noțiuni, dar cu miză mare: aproape toate greșelile de la Bacalaureatul M1 în probleme cu numere complexe pornesc de la confuzia dintre $b$ și $bi$ sau de la omiterea condiției $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ la numerele pur imaginare.

Ce verifică lecția: scrierea corectă sub forma $a+bi$; identificarea celor două părți, cu semn; clasificarea unui număr ca real, pur imaginar sau nereal; rezolvarea condițiilor cu parametru real. Demonstrația unicității formei algebrice este obligatorie la profilul mate-info și trebuie cerută elevului: ea arată că definițiile lui $\mathrm{Re}$ și $\mathrm{Im}$ nu sunt arbitrare.

Întrebări bune de control: „Cât este $\mathrm{Im}(4-7i)$?"; „Este $0$ pur imaginar?"; „De ce nu putem scrie același număr complex în două feluri diferite?"; „Ce număr real trebuie eliminat la exercițiul cu parametru și de ce?". Semn că elevul a înțeles: la orice cerință cu „pur imaginar" scrie automat două condiții, nu una.

Întrebări frecvente

Ce este forma algebrică a unui număr complex? Este scrierea $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ numere reale și $i^2=-1$. Se mai numește formă carteziană și este forma standard de lucru: din ea se citesc imediat partea reală $a$ și partea imaginară $b$.

Care este partea imaginară a numărului $3-5i$? Este $-5$, adică un număr real cu semn, nu $-5i$ și nici $5$. Partea reală este $3$. Regula generală: pentru $z=a+bi$ avem $\mathrm{Re}(z)=a$ și $\mathrm{Im}(z)=b$.

Când este un număr complex real? Exact atunci când partea lui imaginară este zero: $z=a+0i=a$. Așa se explică incluziunea $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ — numerele reale sunt numerele complexe cu partea imaginară nulă.

Ce înseamnă număr pur imaginar? Un număr de forma $z=bi$, cu $b$ real nenul: are partea reală zero și partea imaginară diferită de zero. Exemple: $i$, $-4i$, $i\sqrt{5}$. Condiția $b\ne 0$ este esențială la exercițiile cu parametru.

Este zero un număr pur imaginar? Nu. Numărul $0=0+0i$ are ambele părți nule, deci este număr real. Este singurul număr aflat la granița dintre cele două categorii, iar convenția îl așază de partea numerelor reale.

De ce este importantă unicitatea scrierii $a+bi$? Pentru că fără ea întrebarea „care este partea reală a lui $z$?" nu ar avea un răspuns unic. Demonstrația se face prin reducere la absurd și se sprijină pe faptul că $i$ nu este număr real.

Cum aduc la forma algebrică o expresie cu $i^2$? Înlocuiești fiecare $i^2$ cu $-1$, transformi radicalii din numere negative în $i\sqrt{k}$ și grupezi separat termenii fără $i$ și pe cei cu $i$. De exemplu, $3+2i^2=1$, iar $2-\sqrt{-9}=2-3i$.