Legea de compoziție: pe scurt

O lege de compoziție (operație algebrică binară) pe o mulțime nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$, care asociază fiecărei perechi ordonate $(x,y)$ un singur element $x\ast y$, numit compusul lui $x$ cu $y$. Definiția ascunde două cerințe: expresia trebuie să aibă sens pentru orice pereche din $M\times M$, iar rezultatul trebuie să rămână tot în $M$. De aici, exact două motive de respingere: operația nu e definită peste tot (împărțirea pe $\mathbb{R}$, din cauza lui $0$) sau rezultatul iese din mulțime (scăderea pe $\mathbb{N}$, unde $2-5=-3$).

Verdictul se rostește întotdeauna împreună cu mulțimea: scăderea este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, dar nu pe $\mathbb{N}$. Pentru a respinge ajunge un singur contraexemplu; pentru a accepta e nevoie de o demonstrație cu litere, valabilă pentru orice pereche.

La examen legea vine, de obicei, printr-o formulă. Pentru $x\ast y=xy-ax-ay+b$, forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ există exact atunci când $b=a^2+a$; ea se scrie alături de formulă, după ce ai desfăcut parantezele și ai verificat. Perechea $(x,y)$ fiind ordonată, $x\ast y$ și $y\ast x$ nu au niciun motiv să coincidă. Definiția nu pomenește numere, așa că legi de compoziție există și pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, pe mulțimea funcțiilor $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ sau pe $\mathcal{P}(E)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Media aritmetică $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$. Care este motivul exact?

   • a) rezultatul poate ieși din $\mathbb{Z}$
   • b) expresia nu are sens pentru toate perechile de întregi
   • c) legea nu este comutativă
   • d) legea nu are element neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) rezultatul poate ieși din $\mathbb{Z}$

   Expresia $\frac{x+y}{2}$ are sens pentru orice pereche de întregi, deci prima condiție e îndeplinită; pică a doua: $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$. Varianta a confundă cele două motive de respingere — „nu e definită” e cazul împărțirii pe $\mathbb{R}$, unde numitorul se anulează. Variantele c și d invocă proprietăți care nici măcar nu se pun în discuție înainte ca operația să fie lege de compoziție.

2. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-14x-14y+d$. Forma factorizată $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$ există exact pentru:

   • a) $d=196$
   • b) $d=182$
   • c) $d=210$
   • d) $d=28$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $d=210$

   Criteriul este $d=a^2+a$ cu $a=14$, adică $d=196+14=210$. Verificare: $(x-14)(y-14)+14=xy-14x-14y+196+14$. Varianta $196$ vine din uitarea termenului $+a$ la desfacerea parantezelor, $182=a^2-a$ inversează semnul, iar $28=2a$ nu are legătură cu identitatea.

3. Care dintre afirmații este adevărată?

   • a) scăderea este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$
   • b) împărțirea este lege de compoziție pe $\mathbb{R}$
   • c) $\max$ este lege de compoziție pe $\mathbb{C}$
   • d) media aritmetică este lege de compoziție pe $\mathbb{Q}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) media aritmetică este lege de compoziție pe $\mathbb{Q}$

   Media a două numere raționale este rațională, deci d este corectă. Scăderea pică pe $\mathbb{N}$ ($2-5=-3$), împărțirea pică pe $\mathbb{R}$ pentru că $3:0$ nu are sens, iar $\max$ nu are sens pe $\mathbb{C}$, mulțimea numerelor complexe nefiind ordonată. Fiecare verdict se dă împreună cu mulțimea — aceeași formulă poate fi lege pe o mulțime și să nu fie pe alta.