Graficul funcției putere; monotonie și comparări

Astronomii știu de patru sute de ani o lege ciudat de simplă: dacă măsori distanța unei planete față de Soare în „distanțe Pământ-Soare" și perioada ei de revoluție în ani, atunci perioada este exact distanța ridicată la puterea $\frac{3}{2}$. Pentru Marte, distanța este aproximativ $1,52$, iar $1,52^{3/2}\approx 1,87$ — și, într-adevăr, anul marțian durează cam un an și zece luni pământești. Nu e o coincidență și nu e o formulă memorată: e o funcție putere care leagă două mărimi din natură.

Aceeași familie de funcții descrie de ce un elefant nu poate avea picioarele subțiri proporțional ca ale unei furnici (masa crește cu $x^3$, dar rezistența oaselor doar cu $x^2$), de ce doza unui medicament nu se calculează liniar după greutate și de ce o pizza de $40$ de centimetri are de patru ori mai mult aluat decât una de $20$. În lecția trecută, la funcția putere cu exponent real, am definit-o și i-am stabilit domeniul. Acum trecem la ceea ce se cere efectiv la Bacalaureatul M1: forma graficului, monotonia demonstrată, bijectivitatea și tehnicile de comparare care rezolvă în trei rânduri probleme care altfel ar cere calculator.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști și să descrii cele trei forme de grafic ale funcției putere $f(x)=x^{\alpha }$ pe $(0,+\infty )$, după cum $\alpha >0$, $\alpha <0$ sau $\alpha =0$.
• Vei ști să demonstrezi monotonia funcției putere, nu doar să o citești de pe desen.
• Vei ști să arăți că $f(x)=x^{\alpha }$ este injectivă și bijectivă pe $(0,+\infty )$ pentru $\alpha \ne 0$ și să scrii inversa ei.
• Vei ști să compari două puteri cu același exponent și baze diferite, justificând cu monotonia.
• Vei ști să compari radicali de ordine diferite, aducându-i la exponent comun.
• Vei ști să decizi care dintre două grafice de tip putere este deasupra, pe $(0,1)$ și pe $(1,+\infty )$.

Hai să descoperim împreună

1. Pe ce mulțime lucrăm și de ce

Reținem convenția folosită în tot capitolul: pentru un exponent real oarecare $\alpha$, expresia $x^{\alpha }$ are sens fără nicio discuție doar pentru baze strict pozitive. De aceea funcția putere se studiază, în forma ei generală, ca

$$f:(0,+\infty )\to (0,+\infty ),f(x)=x^{\alpha },\alpha \in \mathbb{R}.$$

Motivul e același ca la puterile cu exponent rațional: $(-8{)}^{1/3}$ ar putea părea că face $-2$, dar aceeași bază cu exponentul scris $\frac{2}{6}$ ar cere $\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=2$. Două rezultate diferite pentru același număr rațional înseamnă că definiția s-ar contrazice singură. Cu baza strict pozitivă, contradicția dispare.

Pentru exponenți speciali, domeniul se poate lărgi și îl folosim ca atare:

Tabelul e cel stabilit în lecția precedentă: la exponent neîntreg pozitiv se acceptă și $x=0$, cu convenția $0^{\alpha }=0$, iar graficul pornește chiar din origine; la exponent negativ, $x=0$ ar însemna împărțire la zero, deci rămâne pe dinafară. Toate proprietățile demonstrate mai jos se enunță însă pe $(0,+\infty )$ — acolo funcția putere are un comportament unitar, indiferent de exponent, iar la $x=0$ monotonia și bijectivitatea s-ar discuta separat. Când o problemă cere domeniul maxim, răspunzi după tabel; când demonstrezi monotonia sau inversabilitatea, lucrezi pe $(0,+\infty )$.

2. Trei forme de grafic

Construim tabele de valori și privim ce iese. Alegem numere care dau rezultate exacte.

Pentru $\alpha =\frac{3}{2}$, adică $f(x)=x^{3/2}=\sqrt{x^3}$:

Pentru $\alpha =\frac{1}{2}$, adică funcția radical:

Pentru $\alpha =-1$:

Se conturează trei tipare distincte:

• $\alpha >1$: curba pleacă din origine, urcă lent la început și apoi tot mai abrupt. Cu cât $\alpha$ e mai mare, cu atât „decolarea" e mai violentă.
• $0<\alpha <1$: curba pleacă tot din origine, dar urcă repede la început și tot mai lent după aceea — forma familiară a radicalului.
• $\alpha <0$: curba coboară de la valori uriașe (când $x$ e aproape de $0$) spre valori oricât de mici, fără să atingă vreodată axa $Ox$. Ambele axe sunt asimptote.

Două cazuri de graniță: $\alpha =1$ dă prima bisectoare $y=x$, iar $\alpha =0$ dă funcția constantă $f(x)=1$ pe $(0,+\infty )$ — singurul exponent pentru care funcția putere nu e nici crescătoare, nici descrescătoare.

Observația care leagă totul: oricare ar fi $\alpha$, avem $1^{\alpha }=1$. Prin urmare toate graficele funcțiilor putere trec prin punctul $(1,1)$. E punctul în jurul căruia se organizează întreaga discuție care urmează.

3. Lema pe care se sprijină totul

Lemă. Fie $t>1$ și $\alpha >0$. Atunci $t^{\alpha }>1$.

Demonstrație pentru $\alpha$ rațional. Scriem $\alpha =\frac{p}{q}$ cu $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Din $t>1$ rezultă, prin înmulțiri repetate, $t^p>1$. Presupunem acum, prin reducere la absurd, că $\sqrt[q]{t^p}\le 1$. Ridicând la puterea $q$ (operație care păstrează inegalitatea între numere pozitive) am obține $t^p\le 1$ — contradicție. Deci $t^{p/q}=\sqrt[q]{t^p}>1$. $■$

Pentru $\alpha$ irațional folosim ideea de aproximare cu care am definit puterea cu exponent real: încadrăm $\alpha$ între două numere raționale pozitive, $r_1<\alpha <r_2$, iar $t^{\alpha }$ este valoarea către care se strâng puterile $t^r$ cu $r$ rațional apropiat de $\alpha$. Cum toate acestea sunt $>1$ prin cazul demonstrat, și limita lor rămâne $\ge 1$; strict mai mare, pentru că putem alege un rațional $r_1$ cu $0<r_1<\alpha$ și atunci $t^{\alpha }>t^{r_1}>1$.

Consecință imediată (aceeași lemă, citită invers): dacă $t>1$ și $\alpha <0$, atunci $t^{\alpha }=\frac{1}{t^{-\alpha }}<1$, pentru că $-\alpha >0$ și numitorul e supraunitar.

4. Monotonia, demonstrată

Teoremă. Pe intervalul $(0,+\infty )$, funcția $f(x)=x^{\alpha }$ este:

• strict crescătoare, dacă $\alpha >0$;
• strict descrescătoare, dacă $\alpha <0$;
• constantă, dacă $\alpha =0$.

Demonstrație. Fie $0<x_1<x_2$. Notăm $t=\frac{x_2}{x_1}>1$. Folosind proprietatea $(uv{)}^{\alpha }=u^{\alpha }{v}^{\alpha }$ pentru baze pozitive, stabilită la regulile de calcul cu exponent real, scriem

$$x_2^{\alpha }=(x_{1}t{)}^{\alpha }=x_1^{\alpha }\cdot t^{\alpha }.$$

Cum $x_1^{\alpha }>0$, semnul comparației dintre $x_2^{\alpha }$ și $x_1^{\alpha }$ este dat exclusiv de poziția lui $t^{\alpha }$ față de $1$:

• dacă $\alpha >0$, lema dă $t^{\alpha }>1$, deci $x_2^{\alpha }>x_1^{\alpha }$: funcția crește strict;
• dacă $\alpha <0$, consecința lemei dă $t^{\alpha }<1$, deci $x_2^{\alpha }<x_1^{\alpha }$: funcția scade strict;
• dacă $\alpha =0$, atunci $t^0=1$ și valorile sunt egale. $■$

Reține mecanismul, nu doar concluzia: comparăm raportul bazelor cu $1$ și lăsăm exponentul să decidă sensul. Exact acest mecanism îl vei folosi la fiecare exercițiu de comparare.

5. Injectivitate, bijectivitate, inversă

Din monotonia strictă rezultă imediat, prin criteriul studiat la funcții injective, surjective, bijective:

Pentru $\alpha \ne 0$, funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{\alpha }$, este injectivă.

Într-adevăr, dacă $x_1\ne x_2$, unul dintre ele este mai mic, iar monotonia strictă forțează $f(x_1)\ne f(x_2)$. Scris în forma folosită la examen:

$$x_1^{\alpha }=x_2^{\alpha }⟹x_1=x_2(x_1,x_2>0,\alpha \ne 0).$$

Surjectivitatea se demonstrează direct, prin construcție. Fie $y>0$ oarecare. Alegem $x=y^{1/\alpha }$, care este un număr strict pozitiv, deci aparține domeniului. Atunci

$$f(x)={\left(y^{1/\alpha }\right)}^{\alpha }=y^{\frac{1}{\alpha }\cdot \alpha }=y^1=y.$$

Orice valoare pozitivă este atinsă, deci $f$ este surjectivă. Fiind și injectivă, $f$ este bijectivă, iar inversa ei este tot o funcție putere:

$$f^{-1}:(0,+\infty )\to (0,+\infty ),f^{-1}(y)=y^{1/\alpha }.$$

Așa se explică de ce ecuația $x^{\alpha }=b$, cu $b>0$ și $\alpha \ne 0$, are exact o soluție pozitivă, anume $x=b^{1/\alpha }$. Nici mai multe (injectivitatea o interzice), nici zero (surjectivitatea o garantează).

6. Compararea puterilor cu același exponent

Aici e miezul practic al lecției. Monotonia demonstrată se traduce într-o regulă pe care o aplici mecanic:

Regulă. Fie $0<x_1<x_2$. Atunci:

$$\alpha >0⟹x_1^{\alpha }<x_2^{\alpha },\alpha <0⟹x_1^{\alpha }>x_2^{\alpha }.$$

Cu alte cuvinte: la exponent pozitiv, ordinea bazelor se păstrează; la exponent negativ, se inversează.

Exemplu. Compară ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{2/3}$ și ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2/3}$. Bazele sunt $0,75$ și $0,8$, deci $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$; exponentul $\frac{2}{3}$ e pozitiv, deci ordinea se păstrează:

$${\left(\frac{3}{4}\right)}^{2/3}<{\left(\frac{4}{5}\right)}^{2/3}.$$

Exemplu cu exponent negativ. Compară $3^{-1/2}$ și ${\pi }^{-1/2}$. Avem $3<\pi$, dar exponentul e negativ, deci sensul se schimbă: $3^{-1/2}>{\pi }^{-1/2}$.

Atenție la ce nu spune regula: ea cere ca cei doi exponenți să fie identici. Dacă exponenții diferă, ai nevoie de tehnica din secțiunea următoare (sau, când bazele coincid, de monotonia funcției exponențiale, subiectul lecției despre compararea puterilor cu aceeași bază).

7. Radicali de ordine diferite: aducerea la exponent comun

Cum compari $\sqrt[3]{2}$ cu $\sqrt[4]{3}$, fără calculator? Le scrii ca puteri, $2^{1/3}$ și $3^{1/4}$, și le aduci la același exponent, folosind numitorul comun al exponenților. Aici numitorul comun al lui $3$ și $4$ este $12$:

$$2^{1/3}={\left(2^4\right)}^{1/12}=16^{1/12},3^{1/4}={\left(3^3\right)}^{1/12}=27^{1/12}.$$

Acum exponenții sunt egali și pozitivi, iar $16<27$, deci $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}$. (Cu calculatorul: $1,2599\dots <1,3161\dots$ — dar valoarea acestei metode e tocmai că nu ai nevoie de calculator.)

Metoda funcționează la fel de bine pentru trei sau mai multe numere. Ordonează crescător $\sqrt[6]{6}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$: numitorul comun al exponenților $\frac{1}{6},\frac{1}{2},\frac{1}{3}$ este $6$, deci

$$\sqrt[6]{6}=6^{1/6},\sqrt{2}=8^{1/6},\sqrt[3]{3}=9^{1/6},$$

pentru că $2^3=8$ și $3^2=9$. Din $6<8<9$ obținem $\sqrt[6]{6}<\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$.

8. Care grafic e deasupra?

Ultima întrebare de lectură grafică: dacă $0<\alpha <\beta$, care dintre curbele $y=x^{\alpha }$ și $y=x^{\beta }$ e mai sus? Răspunsul depinde de zonă și se obține în două rânduri, împărțind:

$$\frac{x^{\beta }}{x^{\alpha }}=x^{\beta -\alpha },\beta -\alpha >0.$$

• Pentru $x>1$, lema dă $x^{\beta -\alpha }>1$, deci $x^{\beta }>x^{\alpha }$: exponentul mai mare urcă mai sus.
• Pentru $0<x<1$, avem $\frac{1}{x}>1$, deci ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\beta -\alpha }>1$, adică $x^{\beta -\alpha }<1$ și atunci $x^{\beta }<x^{\alpha }$: exponentul mai mare coboară mai jos.
• În $x=1$ toate curbele se întâlnesc.

Verificare rapidă cu numere: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}<\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, iar $2^5=32>8=2^3$. Exact ce spune teoria.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel de valori și forma graficului

Completați tabelul pentru $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{2/3}$, în punctele $x\in \{1,8,27,64\}$, și precizați monotonia.

Rezolvare. Folosim $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}={\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2$, care e mai comod:

$$f(1)=1,f(8)=2^2=4,f(27)=3^2=9,f(64)=4^2=16.$$

Cum $\alpha =\frac{2}{3}>0$, funcția este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ — se vede și în tabel: valorile cresc odată cu $x$. Fiind $0<\alpha <1$, graficul are forma „de radical": urcă repede la început, apoi tot mai domol. $■$

Exemplul 2 — Exponent negativ

Fie $g:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $g(x)=x^{-3/2}$. Calculați $g(4)$ și $g(9)$ și comparați-le fără calculator.

Rezolvare. $g(4)=\frac{1}{4^{3/2}}=\frac{1}{{\left(\sqrt{4}\right)}^3}=\frac{1}{8}$, iar $g(9)=\frac{1}{9^{3/2}}=\frac{1}{27}$.

Comparația se putea anticipa fără niciun calcul: exponentul $-\frac{3}{2}$ e negativ, deci $g$ e strict descrescătoare; din $4<9$ rezultă $g(4)>g(9)$. Și, într-adevăr, $\frac{1}{8}>\frac{1}{27}$. $■$

Exemplul 3 — Ecuație rezolvată prin inversă

Rezolvați în $(0,+\infty )$ ecuația $x^{3/4}=8$.

Rezolvare. Funcția putere de exponent $\frac{3}{4}$ este bijectivă pe $(0,+\infty )$, deci ecuația are exact o soluție, obținută aplicând inversa, adică ridicând la puterea $\frac{4}{3}$:

$$x=8^{4/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4=2^4=16.$$

Verificare prin înlocuire în ecuația inițială: $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$. ✓ $■$

Exemplul 4 — Comparare cu exponent comun

Comparați $\sqrt{5}$ și $\sqrt[3]{11}$.

Rezolvare. Scriem $\sqrt{5}=5^{1/2}$ și $\sqrt[3]{11}=11^{1/3}$. Numitorul comun al exponenților este $6$:

$$5^{1/2}={\left(5^3\right)}^{1/6}=125^{1/6},11^{1/3}={\left(11^2\right)}^{1/6}=121^{1/6}.$$

Exponent identic și pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează: din $125>121$ rezultă $\sqrt{5}>\sqrt[3]{11}$. $■$

(Numeric: $2,2360\dots$ față de $2,2239\dots$ — diferența e la a doua zecimală, deci „la ochi" nu se putea ghici.)

Exemplul 5 — Bijectivitate și inversă, complet

Arătați că $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^5$, este bijectivă și determinați $f^{-1}$.

Rezolvare. Injectivitatea. Fie $x_1,x_2>0$ cu $x_1^5=x_2^5$. Ridicăm ambii membri la puterea $\frac{1}{5}$ (operație permisă, bazele fiind pozitive) și obținem $x_1=x_2$. Alternativ: $\alpha =5>0$, deci $f$ e strict crescătoare, deci injectivă.

Surjectivitatea. Fie $y>0$. Luăm $x=y^{1/5}>0$; atunci $f(x)={\left(y^{1/5}\right)}^5=y$. ✓

Deci $f$ e bijectivă, cu $f^{-1}(y)=y^{1/5}=\sqrt[5]{y}$. Verificare: $f\left(f^{-1}(32)\right)={\left(\sqrt[5]{32}\right)}^5=2^5=32$. ✓ $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f,g:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^3$ și $g(x)=x^{1/3}$. a) Determinați punctele comune ale graficelor. b) Precizați, cu justificare, pe ce interval graficul lui $g$ este deasupra graficului lui $f$.

Rezolvare. a) Rezolvăm $x^3=x^{1/3}$ pe $(0,+\infty )$. Împărțim prin $x^{1/3}>0$:

$$x^{3-\frac{1}{3}}=1,\text{adica˘}{x}^{8/3}=1.$$

Funcția putere de exponent $\frac{8}{3}$ este injectivă pe $(0,+\infty )$ și $1^{8/3}=1$, deci singura soluție este $x=1$. Punctul comun este $(1,1)$.

b) Comparăm prin raport: $\frac{f(x)}{g(x)}=x^{8/3}$. Pentru $0<x<1$ avem $x^{8/3}<1$ (exponent pozitiv, bază subunitară), deci $f(x)<g(x)$ — graficul lui $g$ e deasupra pe intervalul $(0,1)$. Pentru $x>1$ raportul e supraunitar, deci $f(x)>g(x)$.

Verificare numerică într-un punct din fiecare zonă: la $x=\frac{1}{8}$, $f=\frac{1}{512}$ și $g=\frac{1}{2}$, deci $g$ e mai mare ✓; la $x=8$, $f=512$ și $g=2$, deci $f$ e mai mare ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. La comparări, scrie explicit ce exponent și ce baze compari și ce regulă folosești — la examen acolo sunt punctele.

1. Completează tabelul de valori pentru $f(x)=x^{1/2}$ în punctele $x\in \{0;1;4;25;100\}$ și precizează monotonia.

2. Calculează $f(1)$, $f(4)$, $f(9)$ pentru $f(x)=x^{3/2}$ și precizează dacă funcția crește sau scade pe $(0,+\infty )$.

3. Calculează $g\left(\frac{1}{2}\right)$, $g(1)$, $g(2)$ pentru $g(x)=x^{-2}$ și explică de ce ordinea valorilor este inversă ordinii argumentelor.

4. Compară, fără calculator: ${\left(\frac{2}{7}\right)}^{4/5}$ și ${\left(\frac{3}{7}\right)}^{4/5}$.

5. Compară, fără calculator: $5^{-2/3}$ și $7^{-2/3}$.

6. Compară $\sqrt[3]{7}$ și $\sqrt[4]{15}$, aducându-i la exponent comun.

7. Ordonează crescător numerele $\sqrt[4]{2}$, $\sqrt[8]{5}$, $\sqrt{1,5}$. (Indicație: exponent comun $\frac{1}{8}$.)

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{-4}$, este strict crescătoare."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficele funcțiilor $y=x^{0,3}$ și $y=x^{2,5}$ au un singur punct comun în $(0,+\infty )$."

10. Rezolvă în $(0,+\infty )$ ecuația $x^{2/3}=9$.

11. Rezolvă în $(0,+\infty )$ ecuația $x^{-1/2}=\frac{1}{5}$.

12. Arată că $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^7$, este injectivă, folosind monotonia.

13. Determină inversa funcției $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{2/5}$, și verifică rezultatul calculând $f\left(f^{-1}(32)\right)$.

14. Care dintre numerele ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7$ și ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4$ este mai mare? Justifică folosind poziția relativă a graficelor pe $(0,1)$.

15. (Problemă aplicată.) Aria unui pătrat este funcție putere de latură, $A(\ell )={\ell }^2$. Cu cât se mărește aria dacă latura se dublează? Dar volumul unui cub, $V(\ell )={\ell }^3$, dacă latura se dublează? Formulează răspunsul ca proprietate a funcției putere.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{3/2}$. a) Arată că $f$ este strict crescătoare. b) Rezolvă ecuația $f(x)=27$. c) Compară $f\left(\sqrt{2}\right)$ și $f\left(\sqrt[3]{3}\right)$.

17. (Problemă aplicată.) Legea a treia a lui Kepler spune că perioada de revoluție a unei planete, măsurată în ani, este $T=d^{3/2}$, unde $d$ este distanța față de Soare în unități astronomice. Calculează $T$ pentru $d=4$ și pentru $d=9$. Ce distanță ar avea o planetă cu perioada de $8$ ani?

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $\alpha >0$ și orice $x>0$ cu $x\ne 1$, numerele $x^{\alpha }$ și $x^{-\alpha }$ sunt de o parte și de alta a lui $1$ (unul strict mai mare, celălalt strict mai mic). Ce se întâmplă cu produsul lor?

Răspunsuri și explicații

1. $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(4)=2$, $f(25)=5$, $f(100)=10$. Exponentul $\frac{1}{2}$ e pozitiv, deci funcția e strict crescătoare pe $(0,+\infty )$.

2. $f(1)=1$, $f(4)={\left(\sqrt{4}\right)}^3=8$, $f(9)={\left(\sqrt{9}\right)}^3=27$. Exponent $\frac{3}{2}>0$, deci strict crescătoare.

3. $g\left(\frac{1}{2}\right)=4$, $g(1)=1$, $g(2)=\frac{1}{4}$. Exponentul $-2$ e negativ, deci funcția e strict descrescătoare: argumente mai mari dau valori mai mici. Ordinea $\frac{1}{2}<1<2$ se transformă în $4>1>\frac{1}{4}$.

4. Exponentul $\frac{4}{5}$ e pozitiv, deci ordinea bazelor se păstrează. Din $\frac{2}{7}<\frac{3}{7}$ rezultă ${\left(\frac{2}{7}\right)}^{4/5}<{\left(\frac{3}{7}\right)}^{4/5}$.

5. Exponentul $-\frac{2}{3}$ e negativ, deci ordinea se inversează. Din $5<7$ rezultă $5^{-2/3}>7^{-2/3}$.

6. Exponent comun $\frac{1}{12}$: $\sqrt[3]{7}={\left(7^4\right)}^{1/12}=2401^{1/12}$ și $\sqrt[4]{15}={\left(15^3\right)}^{1/12}=3375^{1/12}$. Cum $2401<3375$, avem $\sqrt[3]{7}<\sqrt[4]{15}$.

7. Aducem la exponentul $\frac{1}{8}$: $\sqrt[4]{2}={\left(2^2\right)}^{1/8}=4^{1/8}$, $\sqrt[8]{5}=5^{1/8}$, $\sqrt{1,5}={\left(1,5^4\right)}^{1/8}=5,0625^{1/8}$. Din $4<5<5,0625$ rezultă $\sqrt[4]{2}<\sqrt[8]{5}<\sqrt{1,5}$.

8. Fals. Exponentul $-4$ este negativ, deci funcția e strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$. Contraexemplu numeric: $1^{-4}=1$, dar $2^{-4}=\frac{1}{16}<1$, deși $1<2$.

9. Adevărat. Ecuația $x^{0,3}=x^{2,5}$ se reduce, prin împărțire cu $x^{0,3}>0$, la $x^{2,2}=1$; funcția putere de exponent $2,2$ e injectivă pe $(0,+\infty )$ și ia valoarea $1$ în $x=1$, deci singurul punct comun este $(1,1)$.

10. Ridicăm la puterea $\frac{3}{2}$: $x=9^{3/2}={\left(\sqrt{9}\right)}^3=27$. Verificare în ecuația inițială: $27^{2/3}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$. ✓

11. Ridicăm la puterea $-2$: $x={\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=25$. Verificare: $25^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$. ✓

12. $\alpha =7>0$, deci $f$ e strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ (teorema din lecție). Orice funcție strict monotonă este injectivă: dacă $x_1\ne x_2$, atunci unul e mai mic și, prin creștere strictă, valorile lor diferă.

13. $f^{-1}(y)=y^{5/2}$. Verificare: $f^{-1}(32)=32^{5/2}$; cum $32=2^5$, avem $32^{5/2}=2^{25/2}$, iar $f\left(2^{25/2}\right)=2^{\frac{25}{2}\cdot \frac{2}{5}}=2^5=32$. ✓

14. Baza $\frac{1}{3}$ este în intervalul $(0,1)$, iar pe $(0,1)$ exponentul mai mare dă valoarea mai mică. Cum $7>4$, rezultă ${\left(\frac{1}{3}\right)}^7<{\left(\frac{1}{3}\right)}^4$. Numeric: $\frac{1}{2187}<\frac{1}{81}$. ✓

15. $A(2\ell )=(2\ell {)}^2=4{\ell }^2=4A(\ell )$: aria se face de patru ori mai mare. $V(2\ell )=(2\ell {)}^3=8V(\ell )$: volumul se face de opt ori mai mare. Proprietatea generală: $f(kx)=k^{\alpha }f(x)$ pentru $f(x)=x^{\alpha }$ — dublarea argumentului înmulțește valoarea cu $2^{\alpha }$.

16. a) $\alpha =\frac{3}{2}>0$: pentru $0<x_1<x_2$, raportul $t=\frac{x_2}{x_1}>1$ dă $t^{3/2}>1$, deci $x_2^{3/2}>x_1^{3/2}$. b) $x=27^{2/3}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=9$; verificare: $9^{3/2}=27$ ✓. c) $f$ fiind strict crescătoare, comparăm argumentele: $\sqrt{2}=8^{1/6}$ și $\sqrt[3]{3}=9^{1/6}$, deci $\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$ și atunci $f\left(\sqrt{2}\right)<f\left(\sqrt[3]{3}\right)$.

17. $T(4)=4^{3/2}=8$ ani; $T(9)=9^{3/2}=27$ ani. Pentru $T=8$ rezolvăm $d^{3/2}=8$, deci $d=8^{2/3}=4$ unități astronomice. (Verificare: $4^{3/2}=8$ ✓.)

18. Dacă $x>1$, lema dă $x^{\alpha }>1$, iar $x^{-\alpha }=\frac{1}{x^{\alpha }}<1$. Dacă $0<x<1$, atunci $\frac{1}{x}>1$ și raționamentul se repetă în oglindă: $x^{-\alpha }>1>x^{\alpha }$. În ambele situații numerele sunt de o parte și de alta a lui $1$. Produsul lor este întotdeauna $x^{\alpha }\cdot x^{-\alpha }=x^0=1$ — sunt inverse unul altuia, ceea ce explică geometric simetria graficelor $y=x^{\alpha }$ și $y=x^{-\alpha }$ față de dreapta $y=1$, citită multiplicativ.

De reținut

• Funcția putere generală se studiază pe $(0,+\infty )$: $f(x)=x^{\alpha }$, cu valori tot în $(0,+\infty )$. Pentru exponenți întregi, domeniul se poate lărgi la $\mathbb{R}$, respectiv ${\mathbb{R}}^{\ast }$.
• Monotonia depinde doar de semnul lui $\alpha$: strict crescătoare pentru $\alpha >0$, strict descrescătoare pentru $\alpha <0$, constantă pentru $\alpha =0$. Demonstrația trece prin raportul $t=\frac{x_2}{x_1}>1$ și prin lema $t^{\alpha }>1$.
• Pentru $\alpha \ne 0$, funcția putere este bijectivă pe $(0,+\infty )$, cu inversa $f^{-1}(y)=y^{1/\alpha }$; de aceea ecuația $x^{\alpha }=b$, $b>0$, are exact o soluție pozitivă.
• Comparare cu același exponent: la $\alpha >0$ ordinea bazelor se păstrează, la $\alpha <0$ se inversează.
• Radicali de ordine diferite se compară aducându-i la exponent comun (numitorul comun al exponenților). Toate graficele trec prin $(1,1)$; pe $(1,+\infty )$ exponentul mai mare urcă mai sus, pe $(0,1)$ coboară mai jos.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre funcția putere și funcția exponențială. La $x^{\alpha }$ variabila este baza, la $a^x$ variabila este exponentul. Sunt funcții diferite, cu grafice diferite; le vei compara direct în lecția despre funcția exponențială.
• Aplici regula de comparare la exponenți diferiți. „Din $2<3$ rezultă $2^{1/3}<3^{1/4}$" e un raționament greșit ca formă, chiar dacă rezultatul se nimerește adevărat: exponenții trebuie mai întâi egalați.
• Uiți să inversezi sensul la exponent negativ. Din $5<7$ nu rezultă $5^{-2/3}<7^{-2/3}$; exponentul negativ răstoarnă inegalitatea.
• Scrii $x^{1/3}$ pentru baze negative. $(-8{)}^{1/3}$ nu are sens în cadrul funcției putere cu exponent real — domeniul maxim e $[0,+\infty )$. Radicalul de ordin impar al unui număr negativ se folosește separat, ca radical, nu ca putere cu exponent rațional.
• Crezi că graficele lui $x^2$ și $x^3$ se intersectează în mai multe puncte pe $(0,+\infty )$. Ecuația $x^2=x^3$ dă, după împărțire cu $x^2>0$, $x=1$: un singur punct comun, $(1,1)$. Originea nu face parte din $(0,+\infty )$.

Aplică acasă

1. Legea pătratului-cubului, în bucătărie. Cântărește un cartof mic și unul mare și măsoară-le aproximativ „lungimea". Verifică dacă raportul maselor seamănă mai degrabă cu raportul lungimilor la puterea $3$ decât cu raportul simplu al lungimilor. Explică apoi de ce animalele mari au picioarele disproporționat de groase.

2. Familia de curbe, pe ecran. În GeoGebra sau Desmos, trasează $y=x^{\alpha }$ cu un cursor pentru $\alpha$ între $-2$ și $3$, pe intervalul $(0,3)$. Urmărește ce se întâmplă când $\alpha$ trece prin $0$ și prin $1$, și verifică vizual că toate curbele trec prin $(1,1)$.

3. Kepler acasă. Caută distanțele lui Jupiter ($5,20$ u.a.) și Saturn ($9,58$ u.a.) față de Soare, calculează $d^{3/2}$ cu calculatorul și compară rezultatele cu perioadele reale ($11,86$ ani, respectiv $29,46$ ani). Cât de bună e aproximarea?

Pentru părinți și profesori

Lecția închide blocul dedicat puterilor cu exponent real și pregătește funcția exponențială. Ea verifică trei lucruri: dacă elevul recunoaște forma graficului după semnul exponentului, dacă poate demonstra monotonia (nu doar enunța) și dacă folosește corect regula de comparare a puterilor cu același exponent. Demonstrația-cheie este cea din secțiunea 4 — descompunerea $x_2^{\alpha }=x_1^{\alpha }\cdot t^{\alpha }$ cu $t=\frac{x_2}{x_1}>1$; ea reapare, aproape identică, la monotonia funcției exponențiale și, mai târziu, la cea logaritmică.

Întrebări bune de control: „Ce se schimbă în comparație când exponentul devine negativ?" (sensul inegalității); „De ce funcția putere e definită pe $(0,+\infty )$ și nu pe tot $\mathbb{R}$?" (ca definiția să nu se contrazică pentru fracții echivalente); „Câte soluții pozitive are ecuația $x^{4/3}=5$?" (exact una, din bijectivitate). Semne că a înțeles: la o comparare scrie explicit ce compară (baze sau exponenți), verifică soluțiile ecuațiilor prin înlocuire și nu confundă $x^{\alpha }$ cu $a^x$.

La Bacalaureatul M1, funcția putere apare mai rar ca subiect de sine stătător, dar constant ca unealtă: la compararea numerelor iraționale, la simplificarea expresiilor cu radicali din subiectul I, la rezolvarea ecuațiilor de tip $x^{\alpha }=b$ și în orice problemă unde trebuie justificată existența și unicitatea unei soluții pozitive.

Întrebări frecvente

Ce este funcția putere cu exponent real? Este funcția $f:(0,+\infty )\to (0,+\infty )$, $f(x)=x^{\alpha }$, unde $\alpha$ este un număr real fixat, iar variabila este baza. Se deosebește de funcția exponențială $a^x$, la care variabila este exponentul.

Când este funcția putere crescătoare și când descrescătoare? Depinde exclusiv de semnul exponentului: pentru $\alpha >0$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$, pentru $\alpha <0$ este strict descrescătoare, iar pentru $\alpha =0$ este constantă, egală cu $1$.

Cum compar două puteri cu același exponent? Compari bazele. Dacă exponentul e pozitiv, ordinea se păstrează: baza mai mare dă puterea mai mare. Dacă exponentul e negativ, ordinea se inversează. Justificarea e monotonia funcției putere.

Cum compar doi radicali de ordine diferite, fără calculator? Îi scrii ca puteri cu exponent rațional și îi aduci la același exponent, folosind numitorul comun al exponenților. De exemplu $\sqrt[3]{2}$ și $\sqrt[4]{3}$ devin $16^{1/12}$ și $27^{1/12}$, deci primul e mai mic.

De ce trec toate graficele funcțiilor putere prin punctul (1, 1)? Pentru că $1^{\alpha }=1$ oricare ar fi exponentul $\alpha$. Punctul $(1,1)$ este „balamaua" familiei: la dreapta lui, exponenții mari urcă cel mai sus; la stânga lui, aceiași exponenți mari coboară cel mai jos.

Câte soluții are ecuația x la puterea alfa egal b? Dacă $b>0$ și $\alpha \ne 0$, ecuația are exact o soluție în $(0,+\infty )$, anume $x=b^{1/\alpha }$ — consecință directă a bijectivității funcției putere. Dacă $b\le 0$, nu are nicio soluție pozitivă, pentru că valorile funcției sunt strict pozitive.

De ce nu putem defini puteri cu exponent real pentru baze negative? Pentru că definiția s-ar contrazice: același exponent rațional scris în două forme echivalente, $\frac{1}{3}$ și $\frac{2}{6}$, ar da rezultate diferite pentru baza $-8$. Restricția la baze strict pozitive elimină ambiguitatea și păstrează valabile toate regulile de calcul.