Metode de integrare combinate

Până acum, fiecare lecție de primitive din clasa a 12-a ți-a dat câte o metodă și exerciții făcute special pentru ea: aici se integrează prin părți, dincolo se face o schimbare de variabilă, mai încolo se descompune în fracții simple. La Bacalaureat M1 nimeni nu-ți mai spune care e metoda. Enunțul dă doar funcția, iar tu trebuie să vezi, din forma ei, ce trebuie făcut întâi — și, foarte des, ce trebuie făcut după aceea.

Lecția anterioară, despre cum alegi metoda de integrare, a fixat arborele de decizie: te uiți la integrand și îl trimiți pe o ramură. Lecția de față continuă exact de acolo, cu observația care schimbă totul: după ce ai aplicat prima metodă, integrandul e altul, deci trebuie să reintri în arbore cu el. O primitivă serioasă nu se rezolvă cu o metodă, ci cu un lanț de metode. Aici înveți să scrii lanțul înainte de a face calculul — pentru că, la examen, cine scrie lanțul greșit pierde cele cincisprezece minute pe care le avea la dispoziție.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii lanțul de metode al unei primitive înainte de a începe calculul.
• Vei ști să înlănțui substituția cu integrarea prin părți în aceeași primitivă.
• Vei ști să recunoști substituțiile $t=e^x$, $t=\sqrt{x}$, $t=\ln x$ care transformă integrandul într-o funcție rațională.
• Vei ști să rezolvi integrale trigonometrice printr-o substituție urmată de fracții simple.
• Vei ști când o primitivă cere întâi o prelucrare algebrică — amplificare cu conjugata, împărțire sau descompunere.
• Vei ști în ce ordine se aplică verigile și ce se strică dacă le inversezi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este lanțul de metode?

Lanțul de metode este șirul ordonat al transformărilor prin care o primitivă ajunge la tabelul primitivelor: fiecare verigă înlocuiește integrandul cu altul, mai simplu decât cel dinainte, iar ultima verigă este întotdeauna un rând din tabel. Se scrie cu săgeți, în ordinea în care se aplică: „substituție $\to$ fracții simple $\to$ tabel".

Trei lucruri fac lanțul util, dincolo de faptul că arată frumos pe foaie:

• Îl scrii înainte de calcul. Un lanț de două verigi îți spune că ai de făcut două transformări, deci că nu te-ai rătăcit când, după substituție, integrala încă nu e în tabel.
• Îl folosești ca listă de control. Dacă ai scris trei verigi și ai făcut doar două, rezultatul nu poate fi corect.
• Se verifică prin derivare. Oricât de lung ar fi lanțul, controlul final e același: derivezi rezultatul și trebuie să obții funcția de la care ai plecat. Regula de derivare a compusei, fixată în lecția despre derivarea funcțiilor compuse, face verificarea în câteva rânduri.

Reține și convenția de scriere: chiar dacă lanțul are trei verigi, rezultatul se scrie o singură dată, cu $+\mathcal{C}$ la final, pe intervalul pe care lucrezi. Constanta nu se adună la fiecare verigă, pentru că fiecare verigă transformă o mulțime de funcții în alta, nu adaugă o mulțime nouă.

Cât de lung poate fi un lanț? În subiectele de Bacalaureat M1, aproape niciodată mai mult de trei verigi, iar cel mai des două. Dacă ai ajuns la a patra, aproape sigur ai ratat o prelucrare care ar fi scurtat drumul — merită să te întorci la integrandul inițial și să te uiți încă o dată la el.

2. Cum recunoști că o primitivă cere mai multe metode?

Semnalul e simplu: după prima metodă, integrala rămasă nu e în tabel. Atunci nu ai greșit, ci ai ajuns la a doua verigă. Cele patru situații care apar la Bacalaureat M1 sunt acestea:

1. Substituția lasă în urmă un produs. După $t=\ln x$, integrala $\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx$ devine $\int \ln tdt$ — care nu e în tabel și se face prin părți.
2. Substituția lasă în urmă o funcție rațională. După $t=e^x$, la numitor apare un polinom în $t$, deci urmează rețeta fracțiilor simple.
3. Integrandul nu permite nicio metodă până nu e prelucrat. O sumă de radicali la numitor, o fracție cu gradul numărătorului mai mare decât al numitorului, un pătrat trigonometric — toate cer o rescriere algebrică înainte de orice.
4. Integrarea prin părți lasă în urmă o integrală cu compusă. După ce ai derivat logaritmul, rămâne o fracție care se rezolvă cu o substituție.

3. Substituția urmată de integrarea prin părți

E cel mai frecvent lanț din subiectele de Bacalaureat M1 și se recunoaște după un tipar: argumentul unei funcții complicate apare și în afara ei, ca derivată. Rețeta:

Notezi $t=u(x)$, scrii $dt=u^{\prime }(x)dx$, obții o integrală în $t$ care este un produs de tipul polinom $\times$ exponențială sau logaritm $\times$ putere, o rezolvi prin părți după regula descreșterii — parcurgând cei trei pași ai integrării prin părți — și, la final, revii la $x$.

Revenirea la $x$ nu e o formalitate: într-o integrală nedefinită, rezultatul trebuie să fie o funcție de $x$, pentru că primitiva se definește pe un interval de valori ale lui $x$. Un răspuns lăsat în $t$ nu primește punctajul.

Exemplul minimal: $\int e^{\sqrt{x}}dx$ pe $(0,+\infty )$. Substituția $t=\sqrt{x}$ dă $x=t^2$ și $dx=2tdt$, deci integrala devine $2\int t{e}^{t}dt$ — produs polinom–exponențială, adică fix cazul pentru care s-a inventat regula descreșterii, prezentată în lecția despre alegerea părților și aplicarea repetată. Lanțul este: substituție $\to$ părți $\to$ tabel.

4. Cum devine rațională o integrală după substituție?

Trei substituții transformă familii întregi de funcții în funcții raționale, adică în cazuri pe care le rezolvă rețeta fracțiilor simple:

Condiția de aplicare e aceeași la toate trei: derivata substituției trebuie să existe deja în integrand, ca factor. Fără $e^{x}dx$, fără $\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ (sau măcar $dx$, pe care substituția $x=t^2$ îl produce singură), fără $\frac{dx}{x}$, substituția nu se poate face. Aceasta e chiar condiția fixată în lecția despre recunoașterea derivatei și substituțiile tipice.

Odată ajuns la o funcție rațională, treci pe ramura cunoscută: descompui numitorul în factori, aplici rețeta fracțiilor simple din lecția despre descompunerea în fracții simple și integrezi fiecare fracție. Gradul numitorului rămâne cel mult $4$, ca peste tot în programa clasei a XII-a.

5. Integralele trigonometrice care se rezolvă prin substituție

Aici lanțul are aproape întotdeauna trei verigi, pentru că trigonometria cere mai întâi o rescriere. Două tipare acoperă aproape tot ce apare în subiectele de Bacalaureat M1:

• Un $\sin x$ sau un $\cos x$ singur, în plus. Dacă integrandul e o expresie în $\sin x$ înmulțită cu $\cos x$, substituția $t=\sin x$ curăță totul (și simetric, cu $t=\cos x$ pentru $-\sin xdx$). Ce rămâne e o funcție rațională în $t$.
• Puteri pare de $\sin$ sau $\cos$. Nu există substituție care să le rezolve direct; se coboară puterea cu formulele ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, deduse în clasa a IX-a odată cu formulele unghiului dublu. Abia după coborâre integrala devine abordabilă.
• Puteri impare. O putere impară se rupe singură: ${\sin }^{3}x=\sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)$, iar factorul $\sin x$ rămas devine derivata substituției $t=\cos x$. Regula, pe scurt: de la o putere impară se rupe un singur factor, iar restul, care are putere pară, se rescrie cu formula fundamentală. Puterile pare nu se rup, pentru că factorul rămas nu ar mai fi derivata nimănui.

Atenție la intervalul de lucru: după substituția $t=\sin x$, condițiile de existență se traduc în condiții asupra lui $t$, iar acestea decid dacă un logaritm se scrie cu modul sau fără. Pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, de pildă, $\sin x\in (-1,1)$, deci $\sin x+1>0$ și modulul dispare, cu justificarea scrisă. Aceasta e deosebirea practică dintre o integrală nedefinită bine redactată și una care pierde punctul de finalizare: intervalul nu e o formalitate, ci sursa deciziei despre modul.

6. Când se face întâi o prelucrare algebrică?

Când integrandul, așa cum e scris, nu se potrivește pe nicio ramură a arborelui de decizie. Sunt trei prelucrări obligatorii de știut:

1. Amplificarea cu conjugata, la o sumă sau o diferență de radicali la numitor. Din $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ se obține $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$, iar radicalii ajung la numărător, unde se integrează cu rândul 2 al tabelului.
2. Împărțirea, la o fracție rațională în care gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului. Se face întâi împărțirea, se obține „cât plus rest supra numitor", și abia restul merge la fracții simple.
3. Descompunerea, când o expresie se rupe în bucăți deja cunoscute: $\frac{x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, unde fiecare bucată se integrează separat (o vei folosi în Exemplul 6).

La toate trei, prelucrarea se recunoaște după același semn: integrandul are o formă pe care niciun rând din tabel nu o are, dar care se poate rescrie fără să calculezi nimic. Amplificarea, împărțirea și descompunerea sunt operații algebrice de gimnaziu și de clasa a X-a; niciuna nu folosește derivate sau primitive.

Regula de aur a acestei subsecțiuni: prelucrarea algebrică nu e o metodă de integrare, ci o pregătire. Ea nu apare niciodată singură în lanț; după ea vine întotdeauna o metodă propriu-zisă și apoi tabelul. De aceea, când scrii lanțul, prelucrarea se scrie tot ca verigă — altfel uiți s-o faci.

7. Ordinea verigilor: ce se strică dacă o inversezi

Lanțul nu e o mulțime, ci un șir: verigile nu comută. Trei situații de reținut:

• Prelucrarea vine înaintea metodei. Dacă încerci fracțiile simple pe $\frac{x^3}{x^2+1}$ fără să împarți întâi, sistemul de coeficienți nu are soluție, pentru că descompunerea în fracții simple presupune gradul numărătorului strict mai mic.
• Substituția vine înaintea părților, când substituția simplifică argumentul. La $\int e^{\sqrt{x}}dx$, integrarea prin părți aplicată direct produce o integrală mai complicată decât cea de la care ai plecat.
• Părțile vin înaintea substituției, când integrandul e un logaritm sau o arctangentă „singură". La $\int \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)dx$ nu ai ce substitui; derivezi logaritmul prin părți și abia integrala rămasă cere o substituție.

Criteriul practic, care le acoperă pe toate: aplică întâi transformarea care micșorează numărul de funcții diferite din integrand.

Când nici criteriul acesta nu decide, există un test care costă două rânduri de ciornă: scrie prima verigă și uită-te ce rămâne. Dacă integrala rămasă e mai scurtă decât cea de la care ai plecat, ai ales bine; dacă e mai lungă sau conține aceleași funcții plus una nouă, ai ales invers. Testul nu e o demonstrație, dar la examen, unde ai cincisprezece minute pentru toată problema, două rânduri irosite sunt mult mai ieftine decât zece.

8. Tabelul lanțurilor tipice

Adună tot ce ai citit până acum. Îl poți folosi ca listă de control la orice integrală care nu iese din prima:

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Substituție, apoi integrare prin părți

Determinați primitivele funcției $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln (\ln x)}{x}$.

Lanțul de metode: substituție $t=\ln x$ $\to$ părți $\to$ tabel.

Funcția e continuă pe $(1,+\infty )$ (acolo $\ln x>0$, deci $\ln (\ln x)$ are sens), prin urmare admite primitive. Notăm $t=\ln x$, cu $dt=\frac{dx}{x}$; integrandul conține exact factorul $\frac{1}{x}$, deci substituția e legitimă: $$\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx=\int \ln tdt.$$ A doua verigă: $\int \ln tdt$ se face prin părți, cu $\ln t$ derivat (se simplifică) și $1$ integrat: $$\int \ln tdt=t\ln t-\int t\cdot \frac{1}{t}dt=t\ln t-t+\mathcal{C}.$$ Revenim la $x$, înlocuind $t=\ln x$: $$\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx=\ln x\cdot \ln (\ln x)-\ln x+\mathcal{C},x\in (1,+\infty ).$$ Verificare prin derivare: ${\left(\ln x\cdot \ln (\ln x)-\ln x\right)}^{\prime }=\frac{\ln (\ln x)}{x}+\ln x\cdot \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}-\frac{1}{x}=\frac{\ln (\ln x)}{x}$. (Verificat numeric în trei puncte.)

Exemplul 2. Radicalul la exponent

Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{\sqrt{x}}$.

Lanțul de metode: substituție $t=\sqrt{x}$ $\to$ părți $\to$ tabel.

Notăm $t=\sqrt{x}$, deci $x=t^2$ și $dx=2tdt$, cu $t>0$: $$\int e^{\sqrt{x}}dx=\int e^t\cdot 2tdt=2\int t{e}^{t}dt.$$ Prin părți, cu $t$ derivat și $e^t$ integrat (regula descreșterii): $\int t{e}^{t}dt=t{e}^t-\int e^{t}dt=(t-1)e^t+\mathcal{C}$. Prin urmare $$\int e^{\sqrt{x}}dx=2\left(\sqrt{x}-1\right)e^{\sqrt{x}}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$ Verificare: derivata expresiei este $\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}$. (Verificat numeric în $0,5$, $2$ și $4$.) Observă că intervalul e deschis în $0$: acolo $\sqrt{x}$ nu e derivabilă, deci primitiva nu se poate defini pe $[0,+\infty )$ prin acest calcul.

Exemplul 3. Exponențială care devine funcție rațională

Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2}$.

Lanțul de metode: substituție $t=e^x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel.

Numitorul e un trinom în $e^x$, iar la numărător stă exact $e^x$, adică derivata substituției. Cu $t=e^x$, $dt=e^{x}dx$ și $t>0$: $$\int \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2}dx=\int \frac{dt}{t^2+3t+2}=\int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}.$$ A doua verigă, rețeta fracțiilor simple: $\frac{1}{(t+1)(t+2)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+2}$ dă, prin valori particulare ($t=-1$ și $t=-2$), $A=1$ și $B=-1$. Așadar $$\int \frac{dt}{(t+1)(t+2)}=\ln (t+1)-\ln (t+2)+\mathcal{C}=\ln \frac{t+1}{t+2}+\mathcal{C}.$$ Am scris logaritmii fără modul pentru că $t=e^x>0$, deci $t+1$ și $t+2$ sunt pozitive. Revenind la $x$: $$\int \frac{e^x}{e^{2x}+3e^x+2}dx=\ln \frac{e^x+1}{e^x+2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ (Verificat numeric în $-1$, $0$ și $1$; identitatea $(t+1)(t+2)=t^2+3t+2$ a fost verificată separat.)

Exemplul 4. Putere trigonometrică coborâtă, apoi părți

Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{\sin }^{2}x$.

Lanțul de metode: coborârea puterii $\to$ părți $\to$ tabel.

Nu există substituție care să atace $x{\sin }^{2}x$: factorul $x$ nu e derivata nimănui de aici. Prelucrăm cu formula unghiului dublu, ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$: $$\int x{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\int xdx-\frac{1}{2}\int x\cos 2xdx.$$ Prima integrală e din tabel. A doua se face prin părți, cu $x$ derivat și $\cos 2x$ integrat: $\int x\cos 2xdx=\frac{x\sin 2x}{2}-\frac{1}{2}\int \sin 2xdx=\frac{x\sin 2x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+\mathcal{C}$. Prin urmare $$\int x{\sin }^{2}xdx=\frac{x^2}{4}-\frac{x\sin 2x}{4}-\frac{\cos 2x}{8}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ (Verificat numeric în $0,5$, $1$ și $2$.)

Exemplul 5. Radical, apoi trinom de gradul al doilea

Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}+5\right)}$.

Lanțul de metode: substituție $t=\sqrt{x}$ $\to$ rețeta trinomului $\to$ tabel (rândul 12).

Numitorul e un trinom în $\sqrt{x}$, iar factorul $\frac{1}{\sqrt{x}}$ anunță substituția. Cu $t=\sqrt{x}$, $x=t^2$, $dx=2tdt$: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}+5\right)}=\int \frac{2tdt}{t\left(t^2+2t+5\right)}=2\int \frac{dt}{t^2+2t+5}.$$ A doua verigă e rețeta trinomului: discriminantul $\Delta =4-20<0$, deci scriem forma canonică $t^2+2t+5=(t+1{)}^2+4$ și folosim rândul 12 al tabelului, cu $a=2$: $$2\int \frac{dt}{(t+1{)}^2+2^2}=2\cdot \frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{t+1}{2}+\mathcal{C}=\mathrm{arctg}\frac{t+1}{2}+\mathcal{C}.$$ Revenind la $x$: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(x+2\sqrt{x}+5\right)}=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x}+1}{2}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$ (Verificat numeric în $0,25$, $1$ și $4$.) Rândul 12 al tabelului a fost adăugat, împreună cu derivata arctangentei, în lecția despre primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}$. Problema are formatul obișnuit al unei probleme din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Arătați că $\frac{x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, pentru orice $x\in (-1,+\infty )$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$ pe intervalul $(-1,+\infty )$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(0)=1$ și arătați că $F$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Aducem membrul drept la același numitor: $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1)-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x}{(x+1{)}^2}$, ceea ce trebuia arătat. Pentru $x>-1$ avem $x+1>0$, deci toate scrierile au sens.

b) Lanțul de metode este: descompunere $\to$ părți $\to$ simplificarea integralelor identice. Din a), $$\int \frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}dx=\int \frac{e^x}{x+1}dx-\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx.$$ A doua integrală se face prin părți, cu $e^x$ derivat și $\frac{1}{(x+1{)}^2}$ integrat (primitiva lui e $-\frac{1}{x+1}$): $$\int \frac{e^x}{(x+1{)}^2}dx=-\frac{e^x}{x+1}+\int \frac{e^x}{x+1}dx.$$ Înlocuim și observăm că integrala necunoscută $\int \frac{e^x}{x+1}dx$ se simplifică: $$\int \frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}dx=\frac{e^x}{x+1}+\mathcal{C},x\in (-1,+\infty ).$$ (Verificat prin derivare: ${\left(\frac{e^x}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1{)}^2}=\frac{x{e}^x}{(x+1{)}^2}$, și numeric în $-0,5$, $0,5$ și $2$.)

c) Primitivele sunt $F(x)=\frac{e^x}{x+1}+c$, cu $c\in \mathbb{R}$. Din $F(0)=\frac{e^0}{1}+c=1+c=1$ obținem $c=0$, deci $F(x)=\frac{e^x}{x+1}$. Pentru monotonie folosim $F^{\prime }=f$: pentru $x>0$ avem $x{e}^x>0$ și $(x+1{)}^2>0$, deci $F^{\prime }(x)>0$ pe tot intervalul $(0,+\infty )$, iar prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange funcția $F$ este strict crescătoare acolo. (Semnul a fost verificat și numeric, prin eșantionare pe $(0,5)$.)

Să exersăm

1. Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x\left({\ln }^{2}x+1\right)}$, și scrieți lanțul de metode folosit.

2. Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos \sqrt{x}$.

3. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln \left(x^2+1\right)$.

4. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+4}$.

5. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x+1}$.

6. Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}+x}$.

7. Determinați primitivele funcției $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln (x+1)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un lanț de metode ordinea nu contează: dacă la final se ajunge la o funcție din tabel, orice ordine dă același rezultat."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „După o schimbare de variabilă într-o integrală nedefinită, rezultatul poate rămâne scris în variabila $t$."

10. Determinați primitivele funcției $f:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x+4\sin x+3}$.

11. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{\cos }^{2}x$.

12. Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}$.

13. (Problemă aplicată.) Un mobil pornește din origine la momentul $t=0$ și are viteza $v(t)=\frac{t^2}{t^3+8}$ metri pe secundă, pentru $t\ge 0$. Determinați legea de mișcare $s(t)$, știind că $s(0)=0$.

14. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^5}{x^4+1}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$.

17. Scrieți, fără să faceți calculul, lanțul de metode pentru fiecare dintre integralele: $\int \frac{\mathrm{arctg}(\ln x)}{x}dx$, $\int \frac{x^4}{x^2+1}dx$, $\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}$, $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x+5\cos x+6}dx$, $\int \sin \sqrt{x}dx$.

18. (Provocare.) Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. Lanț: substituție $\to$ tabel (rândul 12). Cu $t=\ln x$ și $dt=\frac{dx}{x}$ rămâne $\int \frac{dt}{t^2+1}=\mathrm{arctg}t$, deci rezultatul este $\mathrm{arctg}(\ln x)+\mathcal{C}$. E singurul exercițiu din listă cu un lanț de o singură verigă — servește drept reper. (Verificat numeric.)

2. Lanț: substituție $\to$ părți $\to$ tabel — geamănul Exemplului 2, cu cosinus în locul exponențialei. Cu $t=\sqrt{x}$, $dx=2tdt$, integrala devine $2\int t\cos tdt$; prin părți, derivând $t$ și integrând $\cos t$, obținem $2(t\sin t+\cos t)$. Revenind la $x$: $2\left(\sqrt{x}\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}\right)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

3. Lanț: substituție $\to$ părți $\to$ tabel. Cu $t=x^2+1$, $dt=2xdx$, integrala devine $\frac{1}{2}\int \ln tdt=\frac{t\ln t-t}{2}$. Rezultatul este $\frac{\left(x^2+1\right)\left[\ln \left(x^2+1\right)-1\right]}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

4. Lanț: împărțire $\to$ tabel (rândul 12). Gradele fiind egale, împărțim întâi: $\frac{x^2}{x^2+4}=1-\frac{4}{x^2+4}$. A doua bucată e rândul arctangentei, cu $a=2$, deci rezultatul este $x-2\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

5. Lanț: substituție $\to$ împărțire $\to$ tabel. Scriem integrandul ca $\frac{e^{2x}}{e^x+1}\cdot e^x$, deci cu $t=e^x$, $dt=e^{x}dx$, rămâne $\int \frac{t^2}{t+1}dt$. Împărțim: $\frac{t^2}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$, cu primitiva $\frac{t^2}{2}-t+\ln (t+1)$. Rezultatul este $\frac{e^{2x}}{2}-e^x+\ln \left(e^x+1\right)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

6. Lanț: substituție $\to$ tabel. Cu $t=\sqrt{x}$, $dx=2tdt$, integrala devine $\int \frac{2tdt}{t+t^2}=2\int \frac{dt}{1+t}$, adică $2\ln (1+\sqrt{x})+\mathcal{C}$ (fără modul, căci $1+\sqrt{x}>0$). (Verificat numeric.)

7. Lanț: părți $\to$ împărțire $\to$ tabel. Derivăm $\ln (x+1)$ și integrăm $x$: $\frac{x^2\ln (x+1)}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}dx$. Gradul numărătorului fiind mai mare, împărțim: $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$. Rezultatul este $\frac{\left(x^2-1\right)\ln (x+1)}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+\mathcal{C}$, pe $(-1,+\infty )$. (Verificat numeric.)

8. Fals. Verigile nu comută. La $\int \frac{x^3}{x^2+1}dx$, dacă începi cu fracțiile simple în loc de împărțire, sistemul de coeficienți nu are soluție, pentru că descompunerea cere gradul numărătorului strict mai mic decât al numitorului. Ordinea corectă este împărțire, apoi restul.

9. Fals. O integrală nedefinită are ca rezultat o mulțime de funcții de variabila $x$, definite pe un interval de valori ale lui $x$. Variabila $t$ este doar o notație de lucru, iar revenirea la $x$ este obligatorie; la Bacalaureat M1 un răspuns lăsat în $t$ nu se punctează.

10. Lanț: substituție $\to$ fracții simple $\to$ tabel. Cu $t=\sin x$, $dt=\cos xdx$, rămâne $\int \frac{dt}{(t+1)(t+3)}=\frac{1}{2}\ln \frac{t+1}{t+3}$. Pe intervalul dat $\sin x\in (-1,1)$, deci $t+1>0$ și $t+3>0$: rezultatul este $\frac{1}{2}\ln \frac{\sin x+1}{\sin x+3}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

11. Lanț: coborârea puterii $\to$ părți $\to$ tabel. Cu ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ obținem $\frac{x^2}{4}+\frac{x\sin 2x}{4}+\frac{\cos 2x}{8}+\mathcal{C}$. Compară cu Exemplul 4: suma celor două rezultate este $\frac{x^2}{2}$, cum era de așteptat, fiindcă ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Aceasta e verificarea încrucișată cea mai ieftină din toată lecția. (Verificat numeric.)

12. Lanț: substituție $\to$ tabel (rândul 2). Cu $t=\sqrt{x}$, $dx=2tdt$, integrala devine $\int \frac{2tdt}{t(t+1{)}^2}=2\int (t+1{)}^{-2}dt=-\frac{2}{t+1}$, deci rezultatul este $-\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

13. Lanț: substituție $\to$ tabel. Cu $u=t^3+8$, $du=3t^{2}dt$, obținem $s(t)=\frac{1}{3}\ln \left(t^3+8\right)+c$ (fără modul, pentru că $t^3+8>0$ la $t\ge 0$); condiția $s(0)=0$ dă $c=-\frac{1}{3}\ln 8$, deci $s(t)=\frac{1}{3}\ln \frac{t^3+8}{8}$ metri. Viteza fiind pozitivă pentru $t>0$, mișcarea este mereu în același sens. (Verificat numeric.)

14. Lanț: substituție $\to$ tabel. Derivata funcției $x\mapsto \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ este exact $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (rândul 13 al tabelului, citit invers), deci cu $t=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ rămâne $\int tdt$. Rezultatul este $\frac{{\ln }^2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

15. Lanț: împărțire $\to$ substituție $\to$ tabel (rândul 12). Împărțim întâi: $\frac{x^5}{x^4+1}=x-\frac{x}{x^4+1}$. A doua bucată cere substituția $t=x^2$, cu $dt=2xdx$, și devine $\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}$. Rezultatul este $\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\left(x^2\right)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

16. Lanț: substituție $\to$ împărțire termen cu termen $\to$ tabel. Cu $t=x^2+1$, $dt=2xdx$ și $x^2=t-1$, integrala devine $\frac{1}{2}\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\int \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)dt=\frac{t\sqrt{t}}{3}-\sqrt{t}$. Rezultatul este $\frac{\left(x^2-2\right)\sqrt{x^2+1}}{3}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

17. Pe rând: substituție $t=\ln x$ $\to$ părți $\to$ tabel; împărțire $\to$ tabel plus rândul 12 (restul este $\frac{1}{x^2+1}$); amplificare cu conjugata $\to$ tabel; substituție $t=\cos x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel; substituție $t=\sqrt{x}$ $\to$ părți $\to$ tabel.

18. Lanț: părți $\to$ substituție $\to$ tabel. Nu există ce substitui, așa că folosim trucul factorului $1$ din lecția despre integrarea prin părți: derivăm logaritmul și integrăm $1$: $\int \ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)dx=x\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$. Ultima integrală se face cu substituția $u=x^2+1$ și dă $\sqrt{x^2+1}$. Rezultatul este $x\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\sqrt{x^2+1}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

De reținut

• Lanțul de metode se scrie înainte de calcul, cu săgeți, și se termină întotdeauna cu un rând din tabelul primitivelor.
• Semnalul că mai urmează o verigă este simplu: după prima metodă, integrala rămasă nu se află în tabel.
• Substituțiile $t=e^x$, $t=\sqrt{x}$ și $t=\ln x$ transformă familii întregi de funcții în funcții raționale, iar de acolo lucrează rețeta fracțiilor simple.
• Prelucrarea algebrică — amplificare cu conjugata, împărțire sau descompunere — nu este o metodă de integrare, ci o pregătire care stă înaintea primei metode.
• Într-o integrală nedefinită revenirea la variabila $x$ este obligatorie, iar rezultatul se scrie o singură dată, cu $+\mathcal{C}$, pe intervalul precizat.

Greșeli frecvente

• Te oprești după prima metodă. Dacă după substituție integrala nu e în tabel, nu ai greșit substituția: ai ajuns la a doua verigă. Continuă lanțul, nu-l relua de la zero.
• Aplici fracțiile simple fără să împarți întâi. La $\frac{x^3}{x^2+1}$ descompunerea nu are soluție, pentru că gradul numărătorului nu e mai mic decât al numitorului. Împărțirea vine prima.
• Lași rezultatul în $t$. Substituția e o notație de lucru; primitiva se scrie în $x$, pe intervalul dat. Un răspuns în $t$ nu răspunde la întrebarea pusă.
• Pui modul unde nu trebuie, sau îl scoți fără motiv. După $t=e^x$ ai $t>0$, deci $\ln (t+1)$ se scrie fără modul, cu justificarea alături; după $t=\ln x$ pe $(0,1)$, în schimb, $t<0$ și modulul rămâne.
• Uiți intervalul. La $\int e^{\sqrt{x}}dx$ răspunsul e valabil pe $(0,+\infty )$, nu pe $[0,+\infty )$: în $0$ funcția $\sqrt{x}$ nu e derivabilă, deci calculul nu se extinde acolo.

Aplică acasă

1. Fișa lanțurilor, pe o singură pagină. Copiază tabelul lanțurilor tipice din subsecțiunea 8 și adaugă-i o coloană în dreapta, în care scrii, pentru fiecare rând, o integrală proprie de aceeași formă. Când te blochezi la un exercițiu nou, caută întâi forma în tabel și abia apoi începe calculul.

2. Zece integrale, doar cu lanțul. Alege zece integrale din culegere, fără să le rezolvi, și scrie pentru fiecare numai lanțul de metode, în cel mult treizeci de secunde fiecare. A doua zi rezolvă-le și compară: lanțul prezis cu cel folosit efectiv. Diferențele îți arată exact ce tipar nu-l recunoști încă.

3. Verificarea prin derivare, cu cronometrul. Ia cele șase exemple rezolvate din lecție, acoperă rezolvările și derivează doar rezultatele finale, în cel mult două minute fiecare. Este exact controlul pe care îl poți face la examen, în ultimele minute, ca să nu predai o primitivă greșită.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă competența XII.CS.5.5 din programa de matematică-informatică — „aplicarea corelată a metodelor de integrare studiate" — și este penultima din unitatea „Primitive". Nu introduce nicio metodă nouă: toate cele cinci metode (tabelul, liniaritatea, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, descompunerea în fracții simple) au fost predate în lecțiile anterioare ale unității. Noutatea este compunerea lor și, mai ales, deprinderea de a decide ordinea înainte de a scrie primul rând de calcul.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea formei integrandului și traducerea ei într-un lanț de metode; (2) aplicarea corectă a substituției, cu revenirea la variabila inițială; (3) tratarea intervalului și a modulului la logaritm; (4) prelucrările algebrice obligatorii înainte de orice metodă; (5) verificarea finală prin derivare.

Întrebări bune de control: „Ce lanț ai scris și de ce în ordinea asta?", „După substituție, ce integrală ți-a rămas și în ce tabel o cauți?", „De ce ai scris logaritmul fără modul aici?", „Pe ce interval e valabil rezultatul?", „Cum verifici, în două rânduri, că răspunsul e corect?". Semn că elevul a înțeles: la o integrală nouă spune întâi lanțul, cu voce tare, și abia apoi ia creionul.

La BAC, problema a doua din Subiectul al III-lea aduce foarte des exact acest tip de calcul, la subpunctul b), și valorează 5 puncte din cele 15 ale problemei. Lecția următoare, sinteza unității de primitive, adună toată unitatea în șase probleme redactate integral în formatul examenului.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă lanț de metode la integrale?

Lanțul de metode este șirul transformărilor prin care o integrală ajunge la tabelul primitivelor, scris cu săgeți, în ordinea aplicării: de exemplu „substituție, apoi integrare prin părți, apoi tabel". Se scrie înainte de calcul și funcționează ca listă de control: dacă ai prevăzut trei verigi și ai făcut doar două, rezultatul nu poate fi corect.

Cum știu că o integrală cere două metode?

Semnalul este că, după ce ai aplicat prima metodă, integrala rămasă nu se găsește în tabelul primitivelor. Asta nu înseamnă că ai greșit metoda, ci că ai ajuns la veriga a doua. Cel mai frecvent, o substituție lasă în urmă un produs, care se rezolvă prin părți, sau o funcție rațională, care se rezolvă cu fracții simple.

Ce substituție se folosește la integralele cu exponențială?

Se folosește $t=e^x$, cu $dt=e^{x}dx$, cu condiția ca în integrand să existe deja un factor $e^x$ în plus față de restul expresiei. După substituție rămâne o funcție rațională în $t$, pe care o rezolvi cu descompunerea în fracții simple sau, dacă discriminantul numitorului este negativ, cu rândul arctangentei din tabel.

De ce trebuie să revin la variabila $x$ după o schimbare de variabilă?

Pentru că o integrală nedefinită are ca rezultat o mulțime de funcții de variabila $x$, definite pe un interval de valori ale lui $x$. Variabila $t$ este doar o notație de lucru, introdusă pentru comoditatea calculului. La Bacalaureat M1, un rezultat lăsat în $t$ nu răspunde la cerință și nu primește punctajul de finalizare.

Când se face întâi o prelucrare algebrică?

Când integrandul, așa cum este scris, nu se potrivește pe nicio ramură a arborelui de decizie. Cele trei prelucrări obligatorii sunt: amplificarea cu conjugata la o sumă de radicali aflată la numitor, împărțirea la o fracție rațională cu gradul numărătorului cel puțin egal cu al numitorului și descompunerea unei expresii în bucăți deja cunoscute.

Cum se integrează $x{\sin }^{2}x$?

Se coboară întâi puterea, cu formula ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, pentru că factorul $x$ nu este derivata nici unei expresii din integrand. Rămân două integrale: una din tabel și una de forma produs polinom–cosinus, care se face prin părți. Rezultatul este $\frac{x^2}{4}-\frac{x\sin 2x}{4}-\frac{\cos 2x}{8}+\mathcal{C}$.

Care este ordinea corectă a metodelor într-un lanț?

Criteriul practic este: aplică întâi transformarea care micșorează numărul de funcții diferite din integrand. Prelucrarea algebrică stă mereu prima, pentru că nu este o metodă de integrare, ci o pregătire. Substituția vine înaintea părților când simplifică un argument complicat, iar părțile vin primele când integrandul este un logaritm sau o arctangentă singură.

Cum verific rapid că am calculat corect o primitivă?

Derivezi rezultatul și trebuie să obții funcția de la care ai plecat. Verificarea durează sub un minut, folosește doar regulile de derivare din clasa a XI-a și prinde aproape toate greșelile de semn sau de coeficient. Este singurul control pe care îl poți face singur, în timpul examenului, fără să reiei tot calculul de la capăt.