Formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate

Când arunci o minge sau o piatră, distanța la care aterizează depinde de viteza inițială și de unghiul sub care ai aruncat. Fizica dă o formulă surprinzător de simplă: bătaia este $d=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}$, unde $\alpha$ este unghiul de aruncare. Observă ce apare acolo: nu $\sin \alpha$, ci $\sin 2\alpha$ — sinusul unghiului dublu. Din formulă se citește instantaneu un fapt pe care orice sportiv îl știe din experiență: bătaia maximă se obține la $45^{\circ }$, pentru că atunci $2\alpha =90^{\circ }$, iar $\sin 90^{\circ }=1$ este cea mai mare valoare posibilă a sinusului. Trigonometria explică, într-un rând, ceea ce antrenamentul descoperă în ani.

În lecția precedentă am demonstrat formulele pentru sumă și diferență. Ce se întâmplă dacă în $\sin (a+b)$ luăm $b=a$? Obținem exact $\sin 2a$ — și tot așa pentru cosinus și tangentă. Din aceeași sursă vom coborî apoi și în cealaltă direcție, spre jumătatea de unghi, unde ne așteaptă o subtilitate esențială: radicalii aduc cu ei un semn care trebuie decis, iar cadranul lui $\frac{x}{2}$ nu este, în general, cadranul lui $x$. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen — și tot aici se câștigă, dacă lucrezi cu metodă.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci formulele $\sin 2x$, $\cos 2x$ și $\mathrm{tg}2x$ din formulele de sumă, cu tot cu condițiile lor.
• Vei ști cele trei forme ale lui $\cos 2x$ și vei alege instantaneu forma potrivită datelor problemei.
• Vei ști să cobori puterea: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$.
• Vei ști formulele unghiului pe jumătate și, mai ales, cum se decide semnul radicalului din cadranul lui $\frac{x}{2}$.
• Vei ști forma rațională $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$, care ocolește complet problema semnului.
• Vei ști să calculezi valori exacte noi ($\frac{\pi }{8}$, $\frac{\pi }{12}$) și să demonstrezi formulele unghiului triplu.

Hai să descoperim împreună

1. Din sumă în dublu: cele trei formule

Pornim de la formulele demonstrate în lecția anterioară și punem pur și simplu $b=a$, apoi notăm variabila cu $x$:

$$\sin 2x=\sin (x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos x,$$

$$\cos 2x=\cos (x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x,$$

$$\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}(x+x)=\frac{\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x\mathrm{tg}x}=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}.$$

$$\boxed{\sin 2x=2\sin x\cos x,\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x,\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}}$$

Formula tangentei cere, ca întotdeauna, condițiile ei: $\cos x\ne 0$ (pentru ca $\mathrm{tg}x$ să existe) și ${\mathrm{tg}}^{2}x\ne 1$, adică $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ — exact punctele în care $\cos 2x$ se anulează și $\mathrm{tg}2x$ nu are sens.

Verificarea rapidă a primei formule, cu numere pe care le știi: pentru $x=30^{\circ }$, membrul stâng este $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar cel drept $2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓

2. Cele trei fețe ale lui cos 2x

Formula $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ are un dezavantaj practic: conține ambele funcții. Folosind formula fundamentală, ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, o putem rescrie în două variante „pure":

• înlocuind ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $\cos 2x={\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)=2{\cos }^{2}x-1$;
• înlocuind ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $\cos 2x=(1-{\sin }^{2}x)-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x$.

$$\boxed{\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x}$$

Cum alegi forma potrivită? După datele problemei: dacă enunțul îți dă $\cos x$, folosești $2{\cos }^{2}x-1$ și nici nu ai nevoie de sinus; dacă îți dă $\sin x$, folosești $1-2{\sin }^{2}x$. Este singura formulă din trigonometrie care „ține minte" ce știi despre unghi — de aceea merită învățate toate trei formele, nu doar una.

De aici se vede și un lucru important: din $\sin x$ singur poți calcula $\cos 2x$, fără să știi cadranul. Semnul lui $\sin x$ nici măcar nu contează, pentru că apare la pătrat. Cadranul devine necesar abia când vrei $\sin 2x$, unde intervine și $\cos x$.

3. De ce se aruncă la 45 de grade

Revenim la formula din deschidere, $d=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}$. Pentru $v=20$ m/s și $g=10$ m/s², coeficientul $\frac{v^2}{g}$ este $40$ m, deci $d=40\sin 2\alpha$:

• la $\alpha =30^{\circ }$: $d=40\sin 60^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx 34,6$ m;
• la $\alpha =45^{\circ }$: $d=40\sin 90^{\circ }=40$ m;
• la $\alpha =60^{\circ }$: $d=40\sin 120^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,6$ m.

Două lucruri sar în ochi. Întâi, maximul este la $45^{\circ }$. Apoi, unghiurile de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ dau exact aceeași bătaie — pentru că $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }$, conform reducerii la primul cadran. Orice pereche de unghiuri complementare produce aceeași distanță: una prin traiectorie joasă și rapidă, cealaltă prin traiectorie înaltă și lentă.

4. Coborârea puterii: formulele de liniarizare

Citim formulele lui $\cos 2x$ „de la dreapta la stânga". Din $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ scoatem ${\cos }^{2}x$, iar din $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ scoatem ${\sin }^{2}x$:

$$\boxed{{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}}$$

Se numesc formule de liniarizare (sau de coborâre a puterii), pentru că transformă un pătrat într-o expresie de gradul întâi în cosinus. Împărțindu-le obținem și ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$.

La ce folosesc? Ori de câte ori într-o expresie apar pătrate ale funcțiilor trigonometrice și vrei să le transformi în sume — un pas obligatoriu la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și, mai târziu, la calculul integralelor. De exemplu, ${\sin }^{2}3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$: pătratul a dispărut, argumentul s-a dublat.

Reține și „reversul": expresia $2\sin x\cos x$ se comprimă în $\sin 2x$, iar ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ în $\cos 2x$. Recunoașterea acestor tipare în sens invers îți economisește minute prețioase la examen.

5. Unghiul pe jumătate și problema semnului

În formulele de liniarizare, nimic nu ne oprește să înlocuim $x$ cu $\frac{x}{2}$ — atunci $2x$ devine $x$:

$${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2},{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2},{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

Acestea sunt formulele unghiului pe jumătate. Ele îți dau, plecând doar de la $\cos x$, pătratele funcțiilor lui $\frac{x}{2}$. Ca să ajungi la funcțiile însele, extragi radicalul — și aici apare capcana:

$$\left|\sin \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\left|\cos \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Radicalul dă întotdeauna modulul, niciodată direct funcția. Semnul se stabilește dintr-un singur loc: cadranul în care se află $\frac{x}{2}$ — și acesta trebuie determinat separat, prin împărțirea la $2$ a intervalului în care se află $x$.

Exemplu de lucru. Dacă $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ (cadranul II), atunci împărțind la $2$ obținem $\frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ — cadranul I. Deci $\sin \frac{x}{2}>0$ și $\cos \frac{x}{2}>0$, ambele cu semnul plus.

Avertisment. Cadranul lui $x$ nu determină singur cadranul lui $\frac{x}{2}$. Punctele $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=2\pi +\frac{\pi }{3}$ coincid pe cerc, dar jumătățile lor, $\frac{\pi }{6}$ și $\pi +\frac{\pi }{6}$, cad în cadrane diferite — I, respectiv III — și au sinusuri de semne opuse. De aceea enunțurile serioase precizează un interval pentru $x$, nu doar cadranul, iar tu trebuie să pornești mereu de la acel interval.

6. Forma rațională pentru tangenta jumătății: fără radicali

Există un mod de a calcula $\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ care evită complet radicalii și, odată cu ei, problema semnului. Pornim de la formulele dublului, scrise pentru $\frac{x}{2}$:

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},1+\cos x=1+\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1\right)=2{\cos }^2\frac{x}{2},1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}.$$

Împărțind prima relație la a doua:

$$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\mathrm{tg}\frac{x}{2},$$

iar împărțind a treia la prima obținem a doua formă. Deci:

$$\boxed{\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}}$$

Frumusețea acestor formule este că poartă singure semnul corect: nu apare niciun radical, deci nicio ambiguitate. Prima variantă cere $\cos x\ne -1$, a doua cere $\sin x\ne 0$; cel puțin una dintre ele funcționează întotdeauna acolo unde $\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ există.

7. Substituția universală (extensie)

Notăm $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$. Atunci, folosind ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}$ (relația $1+{\mathrm{tg}}^{2}u=\frac{1}{{\cos }^{2}u}$ din lecția despre calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta):

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\mathrm{tg}\frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2},$$

$$\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm{tg}x=\frac{2t}{1-t^2}.$$

Aceste trei relații se numesc substituția universală: transformă orice expresie trigonometrică în $x$ într-o expresie rațională în $t$. Este o unealtă puternică, pe care o vei folosi la ecuațiile trigonometrice și, în clasa a XII-a, la integrale. Deocamdată reține-o ca pe o extensie elegantă a formulelor dublului — nu e obligatorie pentru exercițiile de bază.

8. Valori exacte noi: π/8 și verificarea la π/12

Formulele jumătății îmbogățesc din nou tabelul de valori. Pentru $\frac{\pi }{8}=22,5^{\circ }$, jumătatea lui $\frac{\pi }{4}$, cu $\frac{\pi }{8}$ în cadranul I (deci toate semnele plus):

$$\cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,924,\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\approx 0,383.$$

Pentru tangentă folosim forma rațională, care e mult mai simplă:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}=\frac{\sin \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1.$$

O verificare frumoasă a coerenței întregii teorii: aplicând formula jumătății lui $30^{\circ }$ obținem $\sin 15^{\circ }=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, în timp ce în lecția precedentă calculasem $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Sunt egale? Ridicăm a doua expresie la pătrat: $\frac{6-2\sqrt{12}+2}{16}=\frac{8-4\sqrt{3}}{16}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ — exact pătratul primei. Ambele sunt pozitive, deci sunt egale. Două drumuri diferite, același rezultat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unghiul dublu din sinus

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin 2x$, $\cos 2x$ și $\mathrm{tg}2x$.

Rezolvare. În cadranul I cosinusul e pozitiv: $\cos x=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Atunci

$$\sin 2x=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25},\cos 2x=1-2\cdot \frac{9}{25}=\frac{7}{25},\mathrm{tg}2x=\frac{24/25}{7/25}=\frac{24}{7}.$$

Verificare: ${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(\frac{7}{25}\right)}^2=\frac{576+49}{625}=1$ ✓ Ambele valori fiind pozitive, $2x$ este tot în cadranul I. $■$

Exemplul 2 — Unghiul dublu dintr-un cadran nefavorabil

Se știe că $\cos x=-\frac{3}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Calculați $\sin 2x$ și $\cos 2x$.

Rezolvare. În cadranul II sinusul e pozitiv: $\sin x=\frac{4}{5}$. Atunci

$$\sin 2x=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25},\cos 2x=2\cdot \frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}.$$

Ambele negative, deci $2x$ este în cadranul III — coerent, fiindcă din $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ rezultă $2x\in (\pi ,2\pi )$, iar semnele restrâng la $(\pi ,\frac{3\pi }{2})$. $■$

Exemplul 3 — Cosinusul lui π/8

Calculați $\cos \frac{\pi }{8}$ sub formă exactă.

Rezolvare. Folosim ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$ cu $x=\frac{\pi }{4}$:

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}.$$

Cum $\frac{\pi }{8}$ este în cadranul I, cosinusul e pozitiv, deci $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,924$. Plauzibil: $\frac{\pi }{8}$ e un unghi mic, deci cosinusul lui e aproape de $1$. $■$

Exemplul 4 — Jumătatea de unghi, cu cadran determinat

Se știe că $\cos x=\frac{1}{3}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin \frac{x}{2}$ și $\cos \frac{x}{2}$.

Rezolvare. Pasul obligatoriu, primul: din $0<x<\frac{\pi }{2}$ rezultă $0<\frac{x}{2}<\frac{\pi }{4}$, deci $\frac{x}{2}$ este în cadranul I și ambele funcții sunt pozitive. Apoi:

$$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Verificare: $\frac{6}{9}+\frac{3}{9}=1$ ✓ $■$

Exemplul 5 — Substituția universală la lucru

Se știe că $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$. Calculați $\sin x$ și $\cos x$.

Rezolvare. Cu $t=\frac{1}{2}$ avem $1+t^2=\frac{5}{4}$, deci

$$\sin x=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5},\cos x=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}.$$

Observă că nu am avut nevoie de niciun cadran: substituția universală determină complet $\sin x$ și $\cos x$ din $t$, fără ambiguitate. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Arătați că, pentru orice număr real $x$, are loc egalitatea $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$.

Rezolvare. Descompunem $3x=2x+x$ și aplicăm formula sinusului sumei:

$$\sin 3x=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=2\sin x\cos x\cdot \cos x+(1-2{\sin }^{2}x)\sin x.$$

Înlocuim ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ în primul termen:

$$\sin 3x=2\sin x(1-{\sin }^{2}x)+\sin x-2{\sin }^{3}x=2\sin x-2{\sin }^{3}x+\sin x-2{\sin }^{3}x=3\sin x-4{\sin }^{3}x.■$$

Verificare pe un caz cunoscut: pentru $x=30^{\circ }$, membrul stâng este $\sin 90^{\circ }=1$, iar cel drept $3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Regula de aur a acestei lecții: înainte de a scoate un radical, scrie în ce interval se află $\frac{x}{2}$ — abia apoi decide semnul.

1. Se știe că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Calculează $\sin 2x$ și $\cos 2x$, apoi precizează cadranul lui $2x$.

2. Deduce formula $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ pornind de la $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$.

3. Se știe că $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}$. Calculează $\mathrm{tg}2x$.

4. Calculează $E=2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$.

5. Calculează $F={\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$ avem $\cos 2x=2\cos x$."

7. Exprimă ${\sin }^{2}3x$ folosind $\cos 6x$.

8. Se știe că $\cos x=\frac{1}{3}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculează $\cos \frac{x}{2}$ și $\sin \frac{x}{2}$.

9. Calculează valorile exacte ale lui $\sin \frac{\pi }{8}$ și $\cos \frac{\pi }{8}$.

10. Arată că $\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1$, folosind forma rațională a tangentei jumătății.

11. (Problemă aplicată.) O minge este aruncată cu viteza de $20$ m/s, iar bătaia se calculează cu $d=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}$, unde $g=10$ m/s². Calculează bătaia pentru $\alpha =30^{\circ }$, $\alpha =45^{\circ }$ și $\alpha =60^{\circ }$. Ce observi la primul și la al treilea rezultat?

12. Se știe că $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$. Calculează $\sin 2x$.

13. Se știe că $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=3$. Calculează $\sin x$ și $\cos x$, apoi precizează cadranul lui $x$.

14. Demonstrează formula $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ și precizează condiția de existență.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculează $\cos x$. b) Calculează $\sin 2x$ și $\cos 2x$. c) Calculează $\cos \frac{x}{2}$.

16. Demonstrează că $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$.

17. (Raționament.) Explică de ce cadranul lui $x$ nu determină singur semnul lui $\sin \frac{x}{2}$ și dă un exemplu concret de două valori ale lui $x$ care corespund aceluiași punct pe cerc, dar au $\sin \frac{x}{2}$ de semne diferite.

18. (Provocare.) Notând $c=\cos 36^{\circ }$, folosește relația $\cos 108^{\circ }=-\cos 72^{\circ }$ împreună cu formulele unghiului triplu și dublu pentru a arăta că $4c^2-2c-1=0$ și deduce că $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\cos x=\frac{3}{5}$ (cadranul I), deci $\sin 2x=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{25}$ și $\cos 2x=1-2\cdot \frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$. Sinus pozitiv, cosinus negativ înseamnă că $2x$ este în cadranul II — deși $x$ era în cadranul I. Dublarea unui unghi îl poate muta în alt cadran.

2. În $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ înlocuim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ (formula fundamentală) și obținem $\cos 2x={\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$.

3. $\mathrm{tg}2x=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$.

4. Recunoaștem structura $2\sin u\cos u=\sin 2u$ cu $u=15^{\circ }$, deci $E=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

5. Recunoaștem ${\cos }^{2}u-{\sin }^{2}u=\cos 2u$ cu $u=\frac{\pi }{8}$, deci $F=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

6. Fals. Contraexemplu: pentru $x=0$ avem $\cos 0=1$ în stânga și $2\cos 0=2$ în dreapta. Formula corectă este $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ — pătratul, nu simpla dublare, este esențial.

7. Aplicăm liniarizarea cu $u=3x$: ${\sin }^{2}3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$.

8. Întâi cadranul: $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow \frac{x}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$, cadranul I, ambele semne plus. Apoi $\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,816$ și $\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$.

9. Cu $x=\frac{\pi }{4}$ în formulele jumătății și $\frac{\pi }{8}$ în cadranul I: $\cos \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,924$ și $\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\approx 0,383$.

10. $\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}=\frac{\sin \frac{\pi }{4}}{1+\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$. Amplificăm cu conjugata $2-\sqrt{2}$: $\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4-2}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1\approx 0,414$.

11. $\frac{v^2}{g}=\frac{400}{10}=40$ m. Deci $d(30^{\circ })=40\sin 60^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,6$ m; $d(45^{\circ })=40\sin 90^{\circ }=40$ m; $d(60^{\circ })=40\sin 120^{\circ }=20\sqrt{3}\approx 34,6$ m. Primul și al treilea rezultat coincid, pentru că $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }$: unghiuri complementare dau aceeași bătaie. Maximul, $40$ m, se atinge la $45^{\circ }$.

12. Ridicăm la pătrat: $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x$. Deci $\frac{1}{4}=1+\sin 2x$, de unde $\sin 2x=-\frac{3}{4}$.

13. Cu $t=3$: $1+t^2=10$, deci $\sin x=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ și $\cos x=\frac{1-9}{10}=-\frac{4}{5}$. Sinus pozitiv, cosinus negativ: $x$ este în cadranul II. Verificare: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓

14. Scriem $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ și $1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$ (din $\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1$). Raportul lor este $\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$. Condiție: $1+\cos x\ne 0$, adică $x\ne \pi +2k\pi$.

15. a) În cadranul II cosinusul e negativ: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. b) $\sin 2x=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$ și $\cos 2x=1-2\cdot \frac{9}{25}=\frac{7}{25}$. c) Din $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ rezultă $\frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\frac{x}{2}$ e în cadranul I și cosinusul e pozitiv: $\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\approx 0,316$.

16. $\cos 3x=\cos (2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=(2{\cos }^{2}x-1)\cos x-2\sin x\cos x\sin x$. Înlocuim ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $\cos 3x=2{\cos }^{3}x-\cos x-2\cos x(1-{\cos }^{2}x)=2{\cos }^{3}x-\cos x-2\cos x+2{\cos }^{3}x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$ ✓

17. Pentru că punctele de pe cerc se repetă din $2\pi$ în $2\pi$, dar jumătățile lor se repetă doar din $\pi$ în $\pi$ — iar $\pi$ mută punctul în cadranul diametral opus, unde sinusul are semn opus. Exemplu concret: $x_1=\frac{\pi }{3}$ și $x_2=2\pi +\frac{\pi }{3}$ au același punct asociat pe cerc, dar $\frac{x_1}{2}=\frac{\pi }{6}$ dă $\sin \frac{x_1}{2}=\frac{1}{2}>0$, iar $\frac{x_2}{2}=\pi +\frac{\pi }{6}$ dă $\sin \frac{x_2}{2}=-\frac{1}{2}<0$. Concluzia practică: enunțul trebuie să precizeze un interval pentru $x$, nu doar cadranul.

18. Fie $c=\cos 36^{\circ }$. Cum $108^{\circ }=3\cdot 36^{\circ }$ și $72^{\circ }=2\cdot 36^{\circ }$, iar $108^{\circ }=180^{\circ }-72^{\circ }$, avem $\cos 108^{\circ }=-\cos 72^{\circ }$, adică $4c^3-3c=-(2c^2-1)$. Aducem totul în stânga: $4c^3+2c^2-3c-1=0$. Observăm că $c=-1$ este rădăcină ($-4+2+3-1=0$), deci factorizăm: $(c+1)(4c^2-2c-1)=0$. Cum $c=\cos 36^{\circ }>0$, rămâne $4c^2-2c-1=0$, cu soluțiile $c=\frac{2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$. Alegem soluția pozitivă: $\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx 0,809$ ✓ (Este chiar jumătate din numărul de aur — motivul pentru care pentagonul regulat și secțiunea de aur sunt strâns legate.)

De reținut

• Unghiul dublu: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$, $\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$.
• Alegi forma lui $\cos 2x$ după ce ți se dă: cunoști $\cos x$ → folosești $2{\cos }^{2}x-1$; cunoști $\sin x$ → folosești $1-2{\sin }^{2}x$.
• Liniarizarea: ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ și ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ — coboară puterea și dublează argumentul.
• Jumătatea de unghi: $\left|\sin \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$, $\left|\cos \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$. Semnul se decide din cadranul lui $\frac{x}{2}$, determinat prin împărțirea la $2$ a intervalului lui $x$.
• Forma rațională $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ nu are radicali, deci nu are ambiguitate de semn — folosește-o ori de câte ori poți.

Greșeli frecvente

• „$\sin 2x=2\sin x$". Cea mai des întâlnită greșeală din toată trigonometria. Corect: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ — factorul $\cos x$ nu poate lipsi. Test rapid: la $x=90^{\circ }$, stânga dă $\sin 180^{\circ }=0$, iar varianta greșită ar da $2$.
• Semnul radicalului decis din cadranul lui $x$. Se scrie „$x$ e în cadranul II, deci $\sin \frac{x}{2}>0$" fără a împărți intervalul. Corect: se calculează întâi intervalul lui $\frac{x}{2}$, apoi se citește semnul.
• Confuzia dintre cele trei forme ale lui $\cos 2x$. Se scrie $\cos 2x=2{\sin }^{2}x-1$ (semne inversate). Reține: la cosinus se pornește de la $\cos$ cu plus ($2{\cos }^{2}x-1$) și de la $\sin$ cu minus ($1-2{\sin }^{2}x$).
• Condițiile uitate la $\mathrm{tg}2x$. Formula cere $\cos x\ne 0$ și ${\mathrm{tg}}^{2}x\ne 1$; la $x=\frac{\pi }{4}$, numitorul se anulează pentru că $2x=\frac{\pi }{2}$, unde tangenta nu există.
• Liniarizarea aplicată invers. Se scrie ${\cos }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ (formula sinusului). Mnemotehnică: cosinusul „ține cu" plusul, sinusul „ține cu" minusul.

Aplică acasă

1. Experimentul aruncării. Aruncă o minge mică (sau un ghemotoc de hârtie) de trei ori, încercând unghiuri aproximative de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$, cu aceeași forță. Măsoară cu pasul distanțele. Se confirmă că $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ dau aproximativ aceeași bătaie, iar $45^{\circ }$ o depășește pe amândouă? Notează rezultatele și explică-le cu formula $d=\frac{v^2\sin 2\alpha }{g}$.

2. Tabelul jumătăților. Pornind de la valorile cunoscute pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$, calculează cu formulele jumătății valorile exacte pentru $15^{\circ }$, $22,5^{\circ }$ și $30^{\circ }$ (ultima ca verificare: trebuie să regăsești $\frac{1}{2}$). Confruntă fiecare rezultat cu calculatorul, cu trei zecimale.

3. Detectorul de formule. Deschide un manual sau caută online cinci expresii trigonometrice și încearcă să recunoști în ele, în sens invers, tiparele lecției: $2\sin u\cos u$, ${\cos }^{2}u-{\sin }^{2}u$, $1-2{\sin }^{2}u$, $\frac{2\mathrm{tg}u}{1-{\mathrm{tg}}^{2}u}$. Câte dintre ele se comprimă într-o singură funcție de argument dublu?

Pentru părinți și profesori

Lecția valorifică direct formulele de sumă demonstrate anterior: programa de matematică-informatică cere explicit ca formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate să fie deduse din formulele pentru $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$, nu memorate izolat. Elevul trebuie să poată reface deducerea în mai puțin de un minut, la tablă, fără notițe — este cel mai bun indicator că a înțeles structura, nu doar litera formulelor.

Punctul cel mai delicat, și cel care merită cel mai mult timp de lucru, este semnul la formulele jumătății. Programa cere explicit calcularea lui $\sin \frac{x}{2}$ și $\cos \frac{x}{2}$ „când se cunoaște una dintre valorile $\sin x$ sau $\cos x$ și cadranul"; disciplina corectă este: scrii intervalul lui $x$ → îl împarți la $2$ → citești cadranul lui $\frac{x}{2}$ → abia apoi scoți radicalul. Exercițiul 17 arată de ce simpla mențiune a cadranului lui $x$ nu este suficientă.

Întrebări bune de control: „Care sunt cele trei forme ale lui $\cos 2x$ și când o alegi pe fiecare?"; „De ce $\sin 2x$ nu e $2\sin x$?"; „Dacă $x$ e în cadranul II, în ce cadran e $\frac{x}{2}$?" (în cadranul I, dacă $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$); „De ce forma $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ e mai comodă decât radicalul?". Semne că a înțeles: recunoaște tiparele în sens invers (comprimă $2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }$ în $\sin 30^{\circ }$ instantaneu) și nu scoate niciodată un radical fără să scrie mai întâi intervalul jumătății.

La Bacalaureat M1, tipul standard este exact structura Exercițiului 15: se dă $\sin x$ (sau $\cos x$) și un interval, se cer pe rând cealaltă funcție, funcțiile unghiului dublu și, la punctul de dificultate maximă, o funcție a jumătății. Formulele de liniarizare apar la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, iar formulele unghiului triplu în probleme de demonstrat. Lecția pregătește direct transformarea sumelor în produse și, mai departe, ecuațiile trigonometrice reductibile.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele unghiului dublu? $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ (echivalent $2{\cos }^{2}x-1$ sau $1-2{\sin }^{2}x$) și $\mathrm{tg}2x=\frac{2\mathrm{tg}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}x}$. Toate se obțin punând $b=a$ în formulele pentru sumă.

De ce cos 2x are trei forme? Pentru că formula de bază, ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$, poate fi rescrisă cu formula fundamentală eliminând fie sinusul, fie cosinusul. Cele trei forme sunt egale între ele; alegi forma care conține funcția pe care o cunoști deja din enunț.

Cum calculez sin(x/2) dacă știu cos x? Din ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$ obții $\left|\sin \frac{x}{2}\right|$; apoi determini cadranul lui $\frac{x}{2}$, împărțind la $2$ intervalul dat pentru $x$, și pui semnul corespunzător. Radicalul singur nu îți dă niciodată semnul.

De ce nu pot decide semnul doar din cadranul lui x? Pentru că același punct de pe cerc corespunde unei infinități de valori ale lui $x$, care diferă prin multipli de $2\pi$; jumătățile lor diferă prin multipli de $\pi$ și cad alternativ în cadrane diametral opuse, cu semne diferite. Ai nevoie de un interval concret pentru $x$.

Care e formula pentru tg(x/2) fără radicali? $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}$. Este preferabilă formei cu radical pentru că poartă automat semnul corect; prima variantă cere $\cos x\ne -1$, a doua cere $\sin x\ne 0$.

Ce este substituția universală? Notând $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$, avem $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ și $\mathrm{tg}x=\frac{2t}{1-t^2}$. Ea transformă orice expresie trigonometrică într-una rațională în $t$ și e foarte utilă la ecuații.

Cât este cos 22,5° exact? $\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\approx 0,924$, obținut din formula jumătății aplicată lui $45^{\circ }$. Analog, $\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1$.

La ce folosesc formulele de liniarizare? Ele înlocuiesc ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$ cu expresii de gradul întâi în $\cos 2x$. Sunt indispensabile la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice care conțin pătrate, la demonstrarea unor identități și, în clasele terminale, la calculul integralelor funcțiilor trigonometrice.