Inele de matrice cu structură remarcabilă; izomorfisme cu numere complexe

Ecuația matriceală $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$ pare, la clasa a 12-a, o problemă de forță brută: notezi $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$, ridici la cub și obții un sistem de patru ecuații de gradul al treilea cu patru necunoscute. Nimeni nu duce acel calcul până la capăt. Și totuși problema are o rezolvare de cinci rânduri, pentru că matricea din dreapta face parte dintr-o familie de matrice care se înmulțesc exact ca numerele complexe — iar în numere complexe știi să extragi rădăcini de ordinul $n$ din clasa a X-a. Un inel de matrice cu structură remarcabilă este o submulțime a lui ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ stabilă față de adunare și înmulțire, care conține $I_n$ și formează ea însăși un inel, adesea comutativ sau chiar corp.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. La Transferul de structură prin izomorfism ai folosit deja ideea, dar la nivel de grupuri: o singură operație, înmulțirea. Acum lucrăm cu ambele operații deodată, iar câștigul e pe măsură: vom demonstra că familia aceea de matrice nu e doar un grup, ci un corp izomorf cu $(\mathbb{C},+,\cdot )$ — concluzie la care izomorfismul de grupuri nu putea ajunge.

Ce vei învăța

• Vei ști să arăți că mulțimea $M$ a matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ este parte stabilă față de adunare și înmulțire și formează inel comutativ.
• Vei ști să construiești izomorfismul de inele dintre $(\mathbb{C},+,\cdot )$ și $(M,+,\cdot )$ și să deduci de aici că $M$ este corp.
• Vei ști să traduci în limbajul matricelor conjugatul, modulul, puterile și inversul unui număr complex.
• Vei ști să rezolvi ecuații matriceale de forma $X^n=A$ în $M$, trecând prin rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex.
• Vei ști să studiezi mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)$ și izomorfismul ei cu numerele de forma $a+b\sqrt{2}$.
• Vei ști să recunoști structura unei mulțimi de matrice scriind elementul generic sub forma $a{I}_2+bJ$ și calculând $J^2$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un inel de matrice cu structură remarcabilă?

Inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este, algebric vorbind, un loc neprietenos: înmulțirea nu e comutativă, iar divizorii lui zero mișună, așa cum ai văzut la Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero. Vestea bună este că el conține submulțimi mici, foarte bine crescute.

Definiție. Inelul de matrice cu structură remarcabilă este o submulțime $M\subseteq {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ care este parte stabilă față de adunare și față de înmulțire, conține matricea unitate $I_n$ și formează, cu operațiile induse, un inel (o astfel de submulțime se mai numește și subinel). Interesul lecției este pentru acele submulțimi care sunt, în plus, comutative și chiar corpuri.

Prima familie, cea din programă, este $$M=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}.$$ Notația $A(a,b)$ ne scutește de scrierea completă la fiecare pas. Reține trei valori speciale: $A(0,0)=O_2$, $A(1,0)=I_2$ și $A(0,1)=J$, unde $J=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Egalitatea $A(a,b)=A(c,d)$ are loc dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$, pentru că două matrice sunt egale exact când au toate elementele egale; în particular, $A(a,b)=O_2$ doar pentru $a=b=0$.

O observație de continuitate: la Matricea de rotație și puterile ei ai calculat puterile matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, scriindu-le $\rho R(\theta )$. Este exact aceeași mulțime de matrice, doar că acolo semnul minus stătea în colțul de sus, iar aici stă în cel de jos (înlocuiește $b$ cu $-b$ și obții una din cealaltă). Lecția de față explică de ce funcționa metoda de acolo.

2. Cum se înmulțesc două matrice de forma $A(a,b)$?

Facem calculul o dată, cu grijă, pentru că din el iese tot restul lecției: $$A(a,b)\cdot A(c,d)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& ad+bc\\ -bc-ad& -bd+ac\end{array}\right)=A(ac-bd,ad+bc).$$ Elementul din colțul din stânga-jos este $-(ad+bc)$, iar cel din dreapta-jos este $ac-bd$: matricea produs are exact forma cerută. Deci $M$ este parte stabilă față de înmulțire. La fel de simplu, pentru adunare: $$A(a,b)+A(c,d)=A(a+c,b+d).$$

Acum privește formula produsului și adu-ți aminte de Înmulțirea numerelor complexe: $$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i.$$ Coeficienții sunt aceiași, literă cu literă. Nu e o coincidență, ci punctul în care lecția se leagă: matricea $A(a,b)$ se comportă întocmai ca numărul complex $a+bi$.

De aici rezultă imediat că înmulțirea pe $M$ este comutativă — lucru neobișnuit într-un inel de matrice: $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$, iar schimbând rolurile obținem $A(ca-db,cb+da)$, aceeași matrice. Recunoști aici rețeta în trei pași de la lecția Inelul: definiție, axiome și exemple: pasul 1, partea stabilă, tocmai l-am făcut; pasul 2, moștenirea asociativității și a distributivității din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, e gratuit; pasul 3, $O_2=A(0,0)\in M$, $I_2=A(1,0)\in M$ și $-A(a,b)=A(-a,-b)\in M$. Prin urmare mulțimea $M$ este inel comutativ.

Proprietățile lui $M$ se împart în două categorii, iar distincția revine la fiecare problemă de acest tip. Unele se moștenesc de-a gata: asociativitatea adunării și a înmulțirii, comutativitatea adunării, distributivitatea — adevărate în întreg ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, deci și pe orice submulțime a lui. Altele sunt câștigate, adică nu erau adevărate în inelul mare și devin adevărate pe $M$: comutativitatea înmulțirii și, cum vom vedea îndată, absența divizorilor lui zero. De aici lecția de metodă: se verifică prin calcul numai partea stabilă și proprietățile câștigate; restul se invocă în două cuvinte, cu formula „moștenite din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$".

3. Izomorfismul cu corpul numerelor complexe

Formalizăm observația din subsecțiunea precedentă.

Teoremă. Funcția $\phi :\mathbb{C}\to M$, $\phi (a+bi)=A(a,b)$, este izomorfism de inele. În consecință, $(M,+,\cdot )$ este corp comutativ și $\mathbb{C}\simeq M$.

Demonstrație. Funcția este bine definită și bijectivă: fiecare număr complex se scrie în mod unic sub forma $a+bi$ cu $a,b\in \mathbb{R}$ — aceasta este chiar definiția egalității a două numere complexe din clasa a X-a — iar $A(a,b)=A(c,d)$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$. Inversa ei este ${\phi }^{-1}(A(a,b))=a+bi$.

Verificăm cele trei condiții din definiția morfismului de inele, fixată la Morfisme și izomorfisme de inele și corpuri. Fie $z=a+bi$ și $w=c+di$.

• Adunarea: $\phi (z+w)=\phi ((a+c)+(b+d)i)=A(a+c,b+d)=A(a,b)+A(c,d)=\phi (z)+\phi (w)$.
• Înmulțirea: $\phi (zw)=\phi ((ac-bd)+(ad+bc)i)=A(ac-bd,ad+bc)=A(a,b)A(c,d)=\phi (z)\phi (w)$, prin calculul din subsecțiunea 2.
• Unitatea: $\phi (1)=\phi (1+0\cdot i)=A(1,0)=I_2$.

Așadar $\phi$ este izomorfism de inele. Prin transport de structură, toate axiomele corpului $\mathbb{C}$ se mută în $M$: $M$ este inel comutativ cu $I_2\ne O_2$ și orice element nenul este inversabil. $■$

Merită să vezi și forma explicită a inversului, pentru că e cerută des. Determinantul se calculează imediat: $$\det A(a,b)=a\cdot a-b\cdot (-b)=a^2+b^2.$$ Dacă $A(a,b)\ne O_2$, atunci $a^2+b^2>0$, deci matricea este inversabilă după criteriul determinantului din clasa a XI-a, Matrice inversabilă: criteriul determinantului. Mai mult, inversa rămâne în $M$: $$A(a,b{)}^{-1}=A\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right),$$ formulă care este traducerea exactă a lui $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$. Verificarea se face înmulțind: $A(a,b)\cdot A\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)=A\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},\frac{-ab+ab}{a^2+b^2}\right)=A(1,0)=I_2$.

Ce e nou față de lecția despre transferul de structură. Acolo ai stabilit un izomorfism de grupuri între $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și mulțimea matricelor nenule din $M$ cu înmulțirea — o singură operație. Aici respectăm și adunarea, deci obținem un izomorfism de inele, iar concluzia „$M$ este corp" nu se poate trage decât așa: structura de corp vorbește despre ambele operații deodată. O precizare care îți economisește o confuzie: acolo, izomorfismul a fost scris $a+bi\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, adică tocmai $A(a,-b)$. Mulțimea este aceeași, iar ambele funcții sunt izomorfisme; ele diferă doar prin semnul lui $b$, adică prin faptul că una trece mai întâi numărul în conjugatul lui. Într-o problemă alegi o singură parametrizare și rămâi la ea.

4. Ce se transportă prin izomorfism?

Un izomorfism traduce tot ce se exprimă prin operații. Iată dicționarul complet, de învățat pe de rost:

Două verificări care confirmă dicționarul. Prima: relația $|zw{|}^2=|z{|}^2|w{|}^2$ devine $\det (A(a,b)A(c,d))=\det A(a,b)\cdot \det A(c,d)$, adică exact teorema despre determinantul produsului a două matrice din clasa a XI-a. A doua: $J^2=A(0,1{)}^2=A(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=A(-1,0)=-I_2$, care este traducerea lui $i^2=-1$.

De aici se citește și o scriere foarte utilă a elementului generic: $$A(a,b)=a{I}_2+bJ,\text{cu }{J}^2=-I_2.$$ Adică $M$ este exact mulțimea „numerelor" $a+bJ$, unde $J$ joacă rolul lui $i$. Vom folosi această idee în subsecțiunea 7.

5. Ecuații matriceale rezolvate cu numere complexe

Acum putem rezolva problema din deschidere. Rețeta are patru pași:

1. recunoști că matricea din enunț aparține lui $M$ și îi afli numărul complex corespunzător;
2. traduci ecuația matriceală într-o ecuație în $\mathbb{C}$;
3. rezolvi în $\mathbb{C}$, de regulă cu forma trigonometrică și cu rădăcinile de ordinul $n$;
4. traduci înapoi fiecare soluție complexă în matricea ei.

Problemă. Rezolvăm în $M$ ecuația $X^3=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ -8& 0\end{array}\right)$.

Pasul 1. Matricea din dreapta este $A(0,8)$, deci îi corespunde numărul complex $8i$.

Pasul 2. Notăm $z={\phi }^{-1}(X)$. Cum $\phi$ este izomorfism, $\phi (z^3)=\phi (z{)}^3=X^3$, deci ecuația devine $z^3=8i$.

Pasul 3. Scriem $8i$ în formă trigonometrică, cu notațiile de la Forma trigonometrică: modul și argument: modulul este $8$, iar argumentul redus este $\frac{\pi }{2}$, deci $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$. Rădăcinile de ordinul $3$ sunt, după formula din clasa a X-a, $$z_k=\sqrt[3]{8}\left(\cos \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3}+i\sin \frac{\frac{\pi }{2}+2k\pi }{3}\right)=2\left(\cos \frac{\pi +4k\pi }{6}+i\sin \frac{\pi +4k\pi }{6}\right),k\in \{0,1,2\}.$$ Argumentele sunt $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{3\pi }{2}$, deci $$z_0=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i,z_1=-\sqrt{3}+i,z_2=2(0-i)=-2i.$$

Pasul 4. Traducem înapoi: $$X_1=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right),X_2=\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3}& 1\\ -1& -\sqrt{3}\end{array}\right),X_3=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right).$$

Două observații care închid rezolvarea. Prima: numărul soluțiilor este exact trei, nici mai mult, nici mai puțin, pentru că $\phi$ este bijectivă, iar în $\mathbb{C}$ un număr nenul are exact trei rădăcini de ordinul al treilea; deci, dacă la un exercițiu îți ies patru matrice sau doar una, ai greșit undeva. A doua: verificarea unei soluții se face cel mai ieftin tot prin determinant. Pentru $X_3=A(0,-2)$ avem $\det X_3=0+4=4$, iar $\det A(0,8)=64$; într-adevăr, $4^3=64$, ceea ce e consistent cu $\det (X^3)=(\det X{)}^3$. Este o verificare parțială, dar costă cinci secunde și prinde majoritatea greșelilor de calcul.

⚠️ O precizare de onestitate. Am rezolvat ecuația în $M$, nu în tot ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Izomorfismul vorbește doar despre matricele din $M$; dacă enunțul cere soluțiile din întregul inel de matrice, argumentul nu mai este complet. La Bacalaureat M1 enunțul precizează întotdeauna mulțimea în care se caută soluțiile — citește-l cu atenție.

6. Al doilea inel remarcabil: numerele de forma $a+b\sqrt{2}$

Aceeași idee funcționează cu un alt radical. Considerăm mulțimea $$N=\left\{B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{Q}\right\}.$$ Produsul a două astfel de matrice este $$B(a,b)B(c,d)=\left(\begin{array}{cc}ac+2bd& 2ad+2bc\\ bc+ad& 2bd+ac\end{array}\right)=B(ac+2bd,ad+bc),$$ iar suma este $B(a+c,b+d)$. Comparăm cu regula de înmulțire din corpul $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, stabilită la lecția precedentă: $$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.$$ Din nou aceiași coeficienți. Funcția $\psi :\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to N$, $\psi (a+b\sqrt{2})=B(a,b)$, este deci izomorfism de inele: e bijectivă (scrierea $a+b\sqrt{2}$ cu $a,b$ raționale este unică, pentru că $\sqrt{2}$ este irațional), respectă ambele operații și duce $1$ în $B(1,0)=I_2$. Cum $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ este corp, $N$ este corp.

Determinantul confirmă: $\det B(a,b)=a^2-2b^2$, adică exact produsul $(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2})$, numit norma numărului $a+b\sqrt{2}$. El se anulează doar pentru $a=b=0$ — altfel am avea ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$ cu $\frac{a}{b}$ rațional, fals.

Ce se schimbă dacă cerem coeficienți întregi. Mulțimea $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$, corespunzătoare matricelor $B(a,b)$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$, este inel integru, dar nu este corp: inversul lui $a+b\sqrt{2}$ este $\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}$ și are coeficienți întregi numai dacă $a^2-2b^2\in \{-1,1\}$. De pildă $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, pentru că norma lui este $4$. În schimb $1+\sqrt{2}$ are, pentru că norma lui este $1-2=-1$, iar inversul este $-1+\sqrt{2}$.

7. Cum recunoști structura unei mulțimi de matrice?

Cele două exemple se scriu la fel: elementul generic este $a{I}_2+bJ$, pentru o matrice fixă $J$. Tot secretul stă în $J^2$.

Rețeta, în trei pași: (1) scrii elementul generic ca $a{I}_2+bJ$; (2) calculezi $J^2$ și îl exprimi în funcție de $I_2$; (3) dacă $J^2=d{I}_2$, mulțimea se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$, unde „$\sqrt{d}$" este $i$ când $d=-1$.

Criteriul pentru corp este limpede: mulțimea este corp exact atunci când $\det (a{I}_2+bJ)=0$ numai pentru $a=b=0$. Pentru $M$ avem $a^2+b^2$, care se anulează doar în origine, oricare ar fi $a,b$ reale. Pentru $N$ avem $a^2-2b^2$, care se anulează doar în origine atât timp cât $a,b$ sunt raționale — dacă am admite coeficienți reali, matricea $B(\sqrt{2},1)$ ar avea determinantul $0$ și mulțimea ar avea divizori ai lui zero.

Corpurile construite aici nu sunt un capăt de drum, ci un punct de plecare: la lecția următoare, Inelul polinoamelor cu coeficienți într-un corp comutativ, corpul devine mulțimea din care se iau coeficienții unui polinom.

Al treilea rând al tabelului merită privit separat, ca avertisment. Mulțimea $T=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}$ este parte stabilă, comutativă, conține $I_2$ — deci este inel comutativ. Dar nu este corp: matricea $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ este nenulă, iar pătratul ei este $O_2$, deci este divizor al lui zero. Nu orice inel de matrice de formă frumoasă este corp.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Un produs calculat pe două căi

Calculăm $A(1,2)\cdot A(3,-1)$, adică $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$.

Direct: elementul $(1,1)$ este $1\cdot 3+2\cdot 1=5$; elementul $(1,2)$ este $1\cdot (-1)+2\cdot 3=5$; elementul $(2,1)$ este $-2\cdot 3+1\cdot 1=-5$; elementul $(2,2)$ este $-2\cdot (-1)+1\cdot 3=5$. Deci produsul este $\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ -5& 5\end{array}\right)=A(5,5)$.

Prin numere complexe: $(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$, deci produsul este $A(5,5)$. Același rezultat, cu jumătate din efort — și fără riscul de a greși un semn.

Exemplul 2. Inversa unei matrice din $M$

Determinăm inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)=A(3,4)$.

Numărul complex corespunzător este $z=3+4i$, cu $|z{|}^2=9+16=25$. Atunci $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$, deci $$A(3,4{)}^{-1}=A\left(\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right)=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right).$$ Verificare: $\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 4& 3\end{array}\right)=\frac{1}{25}\left(\begin{array}{cc}25& 0\\ 0& 25\end{array}\right)=I_2$. Observă că $\det A(3,4)=25$, adică exact $|z{|}^2$.

Exemplul 3. O putere mare, calculată în trei rânduri

Calculăm ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)}^{10}=A(1,1{)}^{10}$.

Numărul complex corespunzător este $z=1+i$. Cum $z^2=1+2i+i^2=2i$, avem $$z^{10}=(z^2{)}^5=(2i{)}^5=32\cdot i^5=32i,$$ pentru că $i^5=i^4\cdot i=i$. Prin urmare $A(1,1{)}^{10}=A(0,32)=\left(\begin{array}{cc}0& 32\\ -32& 0\end{array}\right)$.

Ca verificare parțială, $\det A(1,1)=2$, deci determinantul puterii a zecea trebuie să fie $2^{10}=1024$; într-adevăr, $\det A(0,32)=0+32^2=1024$. Compară metoda cu drumul lung de la Puterea unei matrice pătratice: zece înmulțiri de matrice, față de o ridicare la puterea a cincea a unui număr.

Exemplul 4. O ecuație matriceală de gradul al doilea

Rezolvăm în $M$ ecuația $X^2=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$.

Matricea din dreapta este $A(0,2)$, deci îi corespunde $2i$. Ecuația devine $z^2=2i$. Căutăm $z=x+yi$ cu $x,y$ reale: $z^2=x^2-y^2+2xyi$, deci $x^2-y^2=0$ și $2xy=2$. Din prima, $y=\pm x$; cum $xy=1>0$, rămâne $y=x$, iar din $x^2=1$ obținem $x=1$ sau $x=-1$. Soluțiile sunt $z=1+i$ și $z=-1-i$, adică $$X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{sau}X=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 1& -1\end{array}\right).$$ Verificare pentru prima: pătratul ei are elementul $(1,1)$ egal cu $1-1=0$ și elementul $(1,2)$ egal cu $1+1=2$. Corect.

Exemplul 5. Inelul matricelor de forma $B(a,b)$

Arătăm că $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$ este inversabilă în $N$ și calculăm inversa, apoi cubul matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$.

Prima matrice este $B(3,2)$, deci îi corespunde $3+2\sqrt{2}$, cu norma $9-8=1$. Inversul este $\frac{3-2\sqrt{2}}{1}=3-2\sqrt{2}$, adică $B(3,-2)=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ -2& 3\end{array}\right)$. Verificare: produsul are elementul $(1,1)$ egal cu $9-8=1$ și elementul $(1,2)$ egal cu $-12+12=0$, deci este $I_2$.

A doua matrice este $B(1,1)$, corespunzând lui $1+\sqrt{2}$. Calculăm $(1+\sqrt{2}{)}^3=1+3\sqrt{2}+3\cdot 2+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}$, deci cubul este $B(7,5)=\left(\begin{array}{cc}7& 10\\ 5& 7\end{array}\right)$.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $M=\left\{A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R}\right\}$.

a) Arătați că $M$ este parte stabilă față de înmulțirea matricelor și că $\det A(a,b)=a^2+b^2$.

Produsul $A(a,b)A(c,d)$ are elementul $(1,1)$ egal cu $ac-bd$, elementul $(1,2)$ egal cu $ad+bc$, elementul $(2,1)$ egal cu $-bc-ad=-(ad+bc)$ și elementul $(2,2)$ egal cu $-bd+ac$. Deci produsul este $A(ac-bd,ad+bc)\in M$. Determinantul: $\det A(a,b)=a\cdot a-b\cdot (-b)=a^2+b^2$.

b) Arătați că funcția $\phi :\mathbb{C}\to M$, $\phi (a+bi)=A(a,b)$, este izomorfism de inele.

Funcția e bijectivă, pentru că scrierea $a+bi$ este unică, iar $A(a,b)=A(c,d)$ dă $a=c$ și $b=d$. Respectă adunarea: $\phi (z+w)=A(a+c,b+d)=\phi (z)+\phi (w)$. Respectă înmulțirea: $\phi (zw)=A(ac-bd,ad+bc)=\phi (z)\phi (w)$, prin punctul a). Și $\phi (1)=A(1,0)=I_2$. Deci $\phi$ este izomorfism de inele, iar $(M,+,\cdot )$ este corp.

c) Rezolvați în $M$ ecuația $X^4=I_2$.

Prin izomorfism, ecuația devine $z^4=1$ în $\mathbb{C}$, adică $z\in U_4=\{1,i,-1,-i\}$, rădăcinile de ordinul $4$ ale unității. Traducem înapoi: soluțiile sunt $A(1,0)=I_2$, $A(0,1)$, $A(-1,0)=-I_2$ și $A(0,-1)$, adică patru matrice. Este structura obișnuită a unei probleme din Subiectul al II-lea la Bacalaureat M1: două subpuncte de verificare a structurii și unul de aplicare.

Să exersăm

Înainte de orice calcul cu matrice din $M$, scrie numărul complex corespunzător: aproape întotdeauna scurtează rezolvarea la jumătate.

1. Calculează $A(2,3)+A(1,-5)$ și $A(2,3)\cdot A(1,-5)$, pe ambele căi.

2. Determină $\det A(a,b)$ și precizează pentru ce valori ale lui $a$ și $b$ matricea $A(a,b)$ nu este inversabilă.

3. Calculează $J^2$ și $J^4$, unde $J=A(0,1)$, și spune cărui fapt din numere complexe îi corespunde fiecare rezultat.

4. Determină inversa matricei $A(1,-1)$.

5. Calculează $A(1,1{)}^8$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea $M$ a matricelor de forma $A(a,b)$ este corp comutativ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este corp, pentru că orice matrice cu determinantul nenul este inversabilă."

8. Rezolvă în $M$ ecuația $X^2=-I_2$.

9. Rezolvă în $M$ ecuația $X^3=8I_2$.

10. Arată că mulțimea $N$ a matricelor de forma $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{Q}$, este parte stabilă față de înmulțire.

11. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$ în $N$.

12. Calculează $B(1,1{)}^2$ și verifică rezultatul prin ridicarea la pătrat a numărului $1+\sqrt{2}$.

13. (Problemă aplicată.) O transformare a planului duce punctul de coordonate $(x,y)$ în punctul de coordonate $(ax+by,-bx+ay)$. Arată că matricea transformării este $A(a,b)$ și explică, folosind $\det A(a,b)=a^2+b^2$, de ce transformarea este inversabilă pentru orice pereche $(a,b)\ne (0,0)$.

14. Arată că mulțimea $T$ a matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$, este inel comutativ, dar nu este corp.

15. Scrie $A(a,b)$ sub forma $a{I}_2+bJ$ și verifică, prin această scriere, că $A(a,b)\cdot A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $M$ ca în lecție. a) Arată că $A(a,b)\cdot A(a,-b)=(a^2+b^2)I_2$. b) Deduce forma inversei lui $A(a,b)$ pentru $(a,b)\ne (0,0)$. c) Rezolvă în $M$ ecuația $X^2=A(0,2)$.

17. Arată că transpusa unei matrice din $M$ rămâne în $M$ și că ${}^{t}A(a,b)=A(a,-b)$; precizează căruia dintre conceptele din $\mathbb{C}$ îi corespunde transpunerea.

18. (Provocare.) Găsește o matrice $J$ cu $J^2=3I_2$ și descrie mulțimea $\{a{I}_2+bJ\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$: cu ce mulțime de numere este ea izomorfă și este corp?

Răspunsuri și explicații

1. Suma: $A(2,3)+A(1,-5)=A(3,-2)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 3\end{array}\right)$. Produsul, prin complexe: $(2+3i)(1-5i)=2-10i+3i-15i^2=17-7i$, deci $A(17,-7)=\left(\begin{array}{cc}17& -7\\ 7& 17\end{array}\right)$. Calculul direct dă același rezultat.

2. $\det A(a,b)=a^2+b^2$. Suma a două pătrate de numere reale se anulează doar când ambele sunt nule, deci singura matrice neinversabilă din $M$ este $A(0,0)=O_2$.

3. $J^2=A(0,1{)}^2=A(-1,0)=-I_2$, corespunzând lui $i^2=-1$. Apoi $J^4=(J^2{)}^2=(-I_2{)}^2=I_2$, corespunzând lui $i^4=1$.

4. Numărul complex este $1-i$, cu modulul la pătrat $1+1=2$, deci inversul este $\frac{1+i}{2}$. Prin urmare $A(1,-1{)}^{-1}=A\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$.

5. Cu $z=1+i$ avem $z^2=2i$, deci $z^8=(2i{)}^4=16i^4=16$. Prin urmare $A(1,1{)}^8=A(16,0)=16I_2$.

6. Adevărat. Este exact teorema din subsecțiunea 3: $\phi$ este izomorfism de inele de la $\mathbb{C}$ la $M$, iar prin transport de structură $M$ moștenește toate axiomele corpului comutativ $\mathbb{C}$.

7. Fals. Afirmația confundă „unele elemente sunt inversabile" cu „toate elementele nenule sunt inversabile". Matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ este nenulă, dar are determinantul $0$, deci nu e inversabilă. În plus, înmulțirea matricelor nu e comutativă.

8. Ecuația devine $z^2=-1$, cu soluțiile $z=i$ și $z=-i$. Deci $X=A(0,1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ sau $X=A(0,-1)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

9. Ecuația devine $z^3=8$, cu rădăcinile $2$, $2\epsilon$ și $2{\epsilon }^2$, unde $\epsilon =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Deci $z\in \{2,-1+i\sqrt{3},-1-i\sqrt{3}\}$, iar soluțiile sunt $2I_2$, $A(-1,\sqrt{3})$ și $A(-1,-\sqrt{3})$.

10. $B(a,b)B(c,d)$ are elementul $(1,1)$ egal cu $ac+2bd$, elementul $(1,2)$ egal cu $2ad+2bc=2(ad+bc)$, elementul $(2,1)$ egal cu $bc+ad$ și elementul $(2,2)$ egal cu $2bd+ac$. Deci produsul este $B(ac+2bd,ad+bc)\in N$.

11. Matricea este $B(1,1)$, corespunzând lui $1+\sqrt{2}$, cu norma $1-2=-1$. Inversul este $\frac{1-\sqrt{2}}{-1}=-1+\sqrt{2}$, adică $B(-1,1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$. Verificare: produsul are elementul $(1,1)$ egal cu $-1+2=1$ și elementul $(1,2)$ egal cu $2-2=0$.

12. $B(1,1{)}^2=B(1+2,1+1)=B(3,2)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$. Verificare: $(1+\sqrt{2}{)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$. Coeficienții coincid.

13. Scriind transformarea matriceal, $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, deci matricea este $A(a,b)$. Cum $\det A(a,b)=a^2+b^2>0$ pentru $(a,b)\ne (0,0)$, matricea este inversabilă, iar transformarea are inversă. Geometric, ea este o rotație compusă cu o omotetie de raport $\sqrt{a^2+b^2}$.

14. Produsul $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& ad+bc\\ 0& ac\end{array}\right)$ rămâne de aceeași formă, iar rezultatul nu se schimbă la inversarea ordinii, deci $T$ este inel comutativ (conține $I_2$ și opusele). Nu este corp: $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ este nenulă, dar pătratul ei este $O_2$, deci este divizor al lui zero și nu are invers.

15. $a{I}_2+bJ=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& b\\ -b& 0\end{array}\right)=A(a,b)$. Atunci $(a{I}_2+bJ)(c{I}_2+dJ)=ac{I}_2+(ad+bc)J+bd{J}^2$, iar $J^2=-I_2$ dă $(ac-bd)I_2+(ad+bc)J=A(ac-bd,ad+bc)$.

16. a) $A(a,b)A(a,-b)=A(a\cdot a-b(-b),a(-b)+ba)=A(a^2+b^2,0)=(a^2+b^2)I_2$. b) Împărțind cu $a^2+b^2\ne 0$, obținem $A(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}A(a,-b)$. c) Ecuația devine $z^2=2i$; cu $z=x+yi$ avem $x^2-y^2=0$ și $2xy=2$, deci $y=x$ și $x^2=1$. Soluțiile sunt $A(1,1)$ și $A(-1,-1)$.

17. Transpusa lui $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ se obține schimbând liniile cu coloanele: ${}^{t}A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=A(a,-b)\in M$. Prin izomorfism, îi corespunde numărul $a-bi$, adică conjugatul lui $a+bi$.

18. De exemplu $J=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 0\end{array}\right)$, pentru care $J^2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3I_2$. Atunci $a{I}_2+bJ=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)$, iar mulțimea este izomorfă cu $\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$, prin $a+b\sqrt{3}\mapsto a{I}_2+bJ$. Este corp, pentru că determinantul $a^2-3b^2$ se anulează doar pentru $a=b=0$ ($\sqrt{3}$ fiind irațional).

De reținut

• Mulțimea $M$ a matricelor de forma $A(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ este parte stabilă față de adunare și înmulțire, iar produsul se calculează după regula $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$.
• Funcția $\phi (a+bi)=A(a,b)$ este izomorfism de inele de la $\mathbb{C}$ la $M$, deci $M$ este corp comutativ, deși este inclus într-un inel necomutativ cu divizori ai lui zero.
• Determinantul lui $A(a,b)$ este $a^2+b^2$, adică pătratul modulului numărului complex corespunzător, iar transpusa corespunde conjugatului.
• Ecuațiile matriceale $X^n=A$ din $M$ se rezolvă traducându-le în ecuația $z^n={\phi }^{-1}(A)$ și extrăgând rădăcinile de ordinul $n$ ale numărului complex, cu forma trigonometrică.
• Structura unei mulțimi de matrice de forma $\{a{I}_2+bJ\}$ se citește din $J^2$: dacă $J^2=d{I}_2$, mulțimea se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$, iar este corp exact când determinantul se anulează numai pentru $a=b=0$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $M$ și tot inelul ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Rezultatul „este corp" este adevărat despre $M$, nu despre matricele de ordin $2$ în general. La fel, o ecuație rezolvată prin izomorfism dă soluțiile din $M$; dacă enunțul cere soluțiile din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, argumentul nu e complet.
• Greșirea semnului în formula produsului. Elementul din colțul de jos-stânga al produsului este $-(ad+bc)$, nu $ad+bc$. Verificarea rapidă: rezultatul trebuie să aibă din nou forma $A(\cdot ,\cdot )$, cu aceleași două numere pe diagonală.
• Presupunerea că orice mulțime „frumoasă" de matrice este corp. Mulțimea matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ este inel comutativ, dar are divizori ai lui zero. Testul decisiv este determinantul: dacă se poate anula fără ca matricea să fie nulă, structura nu e corp.
• Uitarea condiției $\phi (1)=I_2$. La verificarea izomorfismului se scriu adesea doar cele două condiții cu operațiile. A treia, $\phi (1)=I_2$, este obligatorie în definiția morfismului de inele și se verifică într-un singur rând.
• Amestecul celor două forme de scriere. În clasa a XI-a familia se scria $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$, aici se scrie $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$. Mulțimea e aceeași, dar corespondența cu $a+bi$ se schimbă la semnul lui $b$ — alege o singură convenție într-o problemă și rămâi la ea.

Aplică acasă

1. Dicționarul, scris de mână. Copiază tabelul din subsecțiunea 4 pe o fișă și completează-l cu încă trei rânduri, alese de tine: partea reală, partea imaginară și numărul $z+\bar{z}$. Pentru fiecare, scrie ce operație cu matrice îi corespunde și verifică pe exemplul $z=2-3i$.

2. Fabrica de ecuații matriceale. Alege un număr complex simplu, de exemplu $z=1+i\sqrt{3}$, ridică-l la puterea a treia și scrie matricea rezultatului. Ai obținut astfel enunțul unei ecuații $X^3=A$. Dă-o unui coleg și verifică apoi împreună toate cele trei soluții.

3. Vânătoarea de structuri. Pentru fiecare dintre matricele $\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, calculează $J^2$ și exprimă-l prin $I_2$ și $J$. Spune, pentru fiecare, cu ce mulțime de numere este izomorfă mulțimea $\{a{I}_2+bJ\}$ și dacă este corp.

Pentru părinți și profesori

Lecția este vârful capitolului de structuri algebrice, pentru că adună trei ani de materie într-un singur enunț: matrice din clasa a XI-a, numere complexe din clasa a X-a și structura de corp din lecțiile precedente. Miezul evaluabil este izomorfismul $\phi (a+bi)=A(a,b)$, cu cele trei condiții verificate complet, și consecința lui practică — rezolvarea ecuațiilor matriceale prin trecerea la numere complexe.

De verificat în caiet: (1) formula produsului $A(a,b)A(c,d)=A(ac-bd,ad+bc)$ este dedusă, nu memorată; (2) la izomorfism apar toate trei condițiile, inclusiv $\phi (1)=I_2$; (3) determinantul este legat explicit de modulul numărului complex; (4) la ecuațiile matriceale se scrie mulțimea în care se caută soluțiile. Întrebări de control: „De ce se înmulțesc aceste matrice ca numerele complexe?"; „Cum arăți că $M$ este corp fără să verifici axiomele?"; „Ce înseamnă $J^2=-I_2$?"; „Ce corespunde transpunerii în numere complexe?".

La BAC, pe programa veche, tipul acesta de problemă apare aproape ritualic în Subiectul al II-lea: se cere partea stabilă, apoi izomorfismul, apoi o putere sau o ecuație. Semn că elevul a înțeles: primind o matrice cu structura $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, scrie imediat numărul complex asociat și nu mai atinge înmulțirea de matrice decât la final, când traduce răspunsul înapoi.

Întrebări frecvente

Ce sunt inelele de matrice cu structură remarcabilă? Sunt submulțimi ale lui ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ care rămân stabile la adunare și înmulțire, conțin matricea unitate și formează, cu operațiile induse, un inel. Cele mai importante la clasa a 12-a sunt mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$, izomorfă cu numerele complexe, și cea a matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)$.

De ce matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ se înmulțesc ca numerele complexe? Pentru că produsul lor este $A(ac-bd,ad+bc)$, iar produsul numerelor complexe $(a+bi)(c+di)$ este $(ac-bd)+(ad+bc)i$. Coeficienții coincid, deci funcția care duce $a+bi$ în matricea corespunzătoare respectă înmulțirea. La fel se întâmplă și cu adunarea.

Cum arăt că o mulțime de matrice este corp? Arăți întâi că este parte stabilă față de ambele operații și conține $I_2$, apoi construiești un izomorfism către un corp cunoscut, de obicei $\mathbb{C}$ sau $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Prin transport de structură, toate axiomele se mută. Verificarea rapidă a inversabilității: determinantul elementului generic trebuie să se anuleze numai pentru elementul nul.

Cum se rezolvă ecuația matriceală $X^n=A$? Verifici că $A$ aparține mulțimii $M$, îi afli numărul complex corespunzător $z_0$, rezolvi în $\mathbb{C}$ ecuația $z^n=z_0$ cu forma trigonometrică și rădăcinile de ordinul $n$, apoi traduci fiecare soluție înapoi în matrice. Ecuația are exact $n$ soluții în $M$, câte rădăcini are numărul complex.

Care este determinantul matricei $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$? Este $a^2+b^2$, adică pătratul modulului numărului complex $a+bi$. De aceea matricea este inversabilă pentru orice pereche $(a,b)$ diferită de $(0,0)$: o sumă de două pătrate de numere reale se anulează doar când ambele numere sunt nule.

Ce reprezintă transpusa unei astfel de matrice? Reprezintă conjugatul numărului complex corespunzător: ${}^{t}A(a,b)=A(a,-b)$, iar $\overline{a+bi}=a-bi$. Din această corespondență se citește și formula inversei, pentru că $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$ devine $A(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}{}^{t}A(a,b)$.

Este orice inel comutativ de matrice un corp? Nu. Mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ este inel comutativ, dar conține divizori ai lui zero: pătratul matricei cu $a=0$ și $b=1$ este matricea nulă. Un inel comutativ este corp numai dacă orice element nenul are invers, iar aici determinantul se poate anula fără ca matricea să fie nulă.

Cum recunosc rapid structura unei mulțimi de matrice? Scrii elementul generic sub forma $a{I}_2+bJ$ și calculezi $J^2$. Dacă $J^2=-I_2$, mulțimea se comportă ca numerele complexe; dacă $J^2=d{I}_2$ cu $d>0$ care nu e pătrat perfect, se comportă ca numerele $a+b\sqrt{d}$; dacă $J^2=O_2$, apar divizori ai lui zero și structura nu e corp.