Ce este o funcție: domeniu, codomeniu, valori

Intri într-o parcare cu barieră automată și iei tichetul. La ieșire, aparatul îți cere o sumă. Nu negociezi cu el, nu-l rogi frumos: pentru un timp de staționare dat, aparatul afișează exact un preț. Dacă doi șoferi au stat amândoi 40 de minute și primesc sume diferite, ceva e stricat în aparat. Iar dacă aparatul nu afișează nimic pentru 40 de minute, e la fel de stricat. Aceste două cerințe — pentru fiecare intrare există un răspuns și răspunsul este unic — sunt, cuvânt cu cuvânt, definiția noțiunii pe care o începem astăzi.

Se numește funcție și este cel mai important instrument de modelare din toată matematica de liceu. Ori de câte ori o mărime depinde de alta — prețul de cantitate, distanța de timp, nota de numărul de puncte, temperatura de ora zilei — în spate stă o funcție. În clasele mici ai lucrat cu formule; de acum înainte vei lucra cu funcții, adică vei spune de fiecare dată nu doar cum se calculează, ci și de unde pleci și unde ajungi. Lecția aceasta așază vocabularul: domeniu, codomeniu, valoare. Pe el se sprijină tot capitolul, începând cu graficul unei funcții și citirea lui.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți definiția funcției și să explici de ce sunt necesare ambele condiții: existența și unicitatea valorii.
Vei ști să identifici cele trei ingrediente ale unei funcții: domeniul, codomeniul și legea de corespondență.
Vei ști să calculezi valori ale unei funcții și, invers, să afli argumentul când se dă valoarea.
Vei ști să recunoști dacă o corespondență dată prin diagramă, tabel sau enunț este sau nu funcție, justificând răspunsul.
Vei ști să descrii aceeași funcție prin formulă, tabel, diagramă sau cuvinte și să treci de la o descriere la alta.
Vei ști să determini domeniul maxim de definiție când se dă numai formula și să lucrezi cu funcții definite pe ramuri.

Hai să descoperim împreună

1. Trei ingrediente, nu unul singur

Când spui „funcția $f (x) = 2 x + 1$ " ai spus, de fapt, doar o treime din poveste. O funcție se dă complet prin trei date:

o mulțime nevidă $A$ , numită domeniul de definiție — mulțimea intrărilor permise;
o mulțime nevidă $B$ , numită codomeniul — mulțimea în care se caută ieșirile;
o lege de corespondență $f$ , care fiecărui element din $A$ îi asociază un element din $B$ .

Se scrie $f : A \to B$ și se citește „ $f$ definită pe $A$ cu valori în $B$ ". Pentru un element concret $x \in A$ , elementul care i se asociază se notează $f (x)$ și se numește valoarea funcției în $x$ sau imaginea lui $x$ prin $f$ . Uneori se folosește și notația cu săgeată barată: $x \mapsto 2 x + 1$ .

De ce contează atât de mult domeniul? Pentru că el spune ce are voie să intre. Legea „împarte la $x - 3$ " este perfect sănătoasă pe mulțimea numerelor diferite de $3$ și complet fără sens dacă îi permiți lui $x$ să fie $3$ . Domeniul nu e un detaliu birocratic: el face diferența dintre o funcție corectă și o formulă care se blochează.

2. Regula de aur: exact o valoare

Definiție. Fie $A$ și $B$ două mulțimi nevide. O funcție definită pe $A$ cu valori în $B$ este o corespondență care asociază fiecărui element $x \in A$ un singur element $f (x) \in B$ .

Citește definiția pe bucăți, pentru că fiecare cuvânt costă:

fiecărui — nu ai voie să lași niciun element al domeniului fără răspuns. Dacă un $x$ din $A$ nu primește nimic, corespondența nu e funcție. (Soluția corectă în astfel de situații este să micșorezi domeniul, nu să ignori problema.)
un singur — nu ai voie să dai două răspunsuri diferite pentru aceeași intrare. Ambiguitatea distruge funcția.

Elementele codomeniului, în schimb, sunt tratate mult mai relaxat: un element din $B$ poate fi valoarea mai multor elemente din $A$ , sau poate să nu fie atins de nimeni. Nicio problemă. Regula strictă privește numai plecarea, nu sosirea.

Exemplu. Fie $A = {1, 2, 3}$ , $B = {a, b, c}$ și corespondența $1 \mapsto a$ , $2 \mapsto a$ , $3 \mapsto c$ . Este funcție: fiecare element din $A$ are exact o săgeată. Faptul că $a$ primește două săgeți, iar $b$ niciuna, nu încalcă nimic.

Contraexemplu din viața reală. Corespondența „elev $\mapsto$ numărul lui de telefon" nu este funcție pe mulțimea tuturor elevilor: unii au două numere (ambiguitate), alții niciunul (lipsă). În schimb „elev $\mapsto$ data nașterii" este funcție impecabilă: fiecare are exact una.

3. Cum calculăm valorile

A calcula $f (x_{0})$ înseamnă a înlocui, peste tot în lege, litera $x$ cu numărul $x_{0}$ . Atât. Greșeala clasică este să uiți parantezele la numerele negative.

Exemplu. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 4$ . Atunci:

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 4 = 4, f (2) = - 3 \cdot 2 + 4 = - 2, f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 4 = 3 + 4 = 7.$

Se poate și cu numere care nu sunt întregi: $f (\frac{1}{3}) = - 3 \cdot \frac{1}{3} + 4 = - 1 + 4 = 3$ .

Există și drumul invers: se dă valoarea și se caută argumentul. Atunci scrii ecuația $f (x) =$ valoarea dată și o rezolvi. Pentru aceeași funcție, întrebarea „pentru ce $x$ avem $f (x) = 10$ ?" înseamnă $- 3 x + 4 = 10$ , deci $- 3 x = 6$ , adică $x = - 2$ . Verificare: $f (- 2) = 6 + 4 = 10$ . ✓

Reține distincția, pentru că e sursă de confuzie la lucrări: $f (2)$ este un număr (valoarea în $2$ ), pe când $f (x) = 2$ este o ecuație (o întrebare despre $x$ ).

4. Patru feluri de a descrie aceeași funcție

Legea de corespondență nu trebuie neapărat să fie o formulă. O funcție poate fi dată:

a) Prin diagramă cu săgeți — potrivită pentru domenii finite și mici. Desenezi două ovale și tragi săgețile.

b) Prin tabel de valori — tot pentru domenii finite. De exemplu, pentru $f : {- 2, - 1, 0, 1, 2} \to Z$ , $f (x) = 3 x - 1$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$- 7$	$- 4$	$- 1$	$2$	$5$

c) Prin formulă — cel mai des întâlnit caz. „ $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 1$ " spune totul într-un rând.

d) Prin grafic — mulțimea punctelor $(x, f (x))$ desenate într-un reper cartezian, cel pe care l-ai construit în lecția despre coordonatele unui punct din plan. Este descrierea cea mai bogată vizual și îi dedicăm lecția următoare.

e) Prin cuvinte — „fiecărui număr natural îi asociem restul împărțirii lui la $5$ ". Perfect valabilă, atâta timp cât e neambiguă.

Un lucru esențial: aceste descrieri sunt interschimbabile. Din formulă obții tabelul înlocuind; din tabel poți ghici formula, dacă datele sunt regulate; din formulă obții graficul. Iar în probleme practice, cel mai adesea pornești de la un enunț în cuvinte și construiești formula — acesta e pasul numit modelare matematică.

5. Funcții definite pe ramuri

Multe situații reale nu se lasă prinse într-o singură formulă. Tariful unei parcări, de pildă: $5$ lei pentru prima oră (începută), apoi câte $3$ lei pentru fiecare oră suplimentară. Matematic, scriem funcția pe ramuri, adică pe cazuri:

$P (t) = {5, 5 + 3 (t - 1), 0 < t \leq 1 t > 1$

unde $t$ este timpul de staționare în ore. Verificăm câteva valori: $P (\frac{1}{2}) = 5$ lei, $P (1) = 5$ lei, $P (3) = 5 + 3 \cdot 2 = 11$ lei, $P (4) = 5 + 3 \cdot 3 = 14$ lei.

Este aceasta o funcție adevărată? Da, și e important să înțelegi de ce: cele două cazuri acoperă tot domeniul (orice $t > 0$ intră fie în primul, fie în al doilea) și nu se suprapun (niciun $t$ nu intră în amândouă). Exact cele două condiții din definiție, traduse în limbajul ramurilor. Când scrii singur o funcție pe ramuri, verifică mereu aceste două lucruri; altfel ai construit un aparat de parcare stricat.

6. Domeniul maxim de definiție

Uneori enunțul scurtează: „se consideră funcția $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ ", fără să spună cine e domeniul. Convenția este atunci limpede: domeniul este cea mai mare submulțime a lui $R$ pe care formula are sens. Se numește domeniu maxim de definiție și se notează de obicei $D$ .

În clasa a IX-a, la nivelul acesta, apare o singură restricție de care trebuie să ții cont: numitorul nu poate fi zero. (Mai târziu se vor adăuga restricțiile de la radical și de la logaritm.) Deci:

pentru $f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ punem condiția $x - 3 \neq = 0$ , adică $D = R ∖ {3}$ ;
pentru $g (x) = \frac{3}{2 x + 1}$ punem $2 x + 1 \neq = 0$ , adică $D = R ∖ {- \frac{1}{2}}$ ;
pentru $h (x) = 5 x - 8$ nu există nicio restricție: $D = R$ .

Atenție la o subtilitate de limbaj: dacă enunțul precizează domeniul, el are întâietate. „ $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = 5 x - 8$ " este o funcție definită pe $[0, 4]$ și nicăieri altundeva, oricât de cuminte ar fi formula în rest.

7. Dependența funcțională în lumea reală

Programa numește funcțiile dependențe funcționale — și numele e bine ales. Ori de câte ori spui „mărimea $y$ depinde de mărimea $x$ ", verifici de fapt dacă avem o funcție.

Câteva exemple care merită gândite:

Costul unei călătorii cu taxiul depinde de distanță: $C (d) = 4 + 2, 5 \cdot d$ lei, dacă pornirea costă $4$ lei și kilometrul $2, 5$ lei. Este funcție: pentru fiecare distanță, un singur preț.
Distanța parcursă de o mașină cu viteză constantă depinde de timp: $d (t) = 60 t$ km la $60$ km/h.
Numărul de bacterii dintr-o cultură depinde de oră — o dependență studiată cu progresii geometrice, cum ai văzut în lecția despre dobânda compusă și dinamica populației.
„Prenumele $\mapsto$ persoana" nu este funcție: sunt zeci de mii de persoane pe nume Maria. Ambiguitate curată.

Ultimul exemplu e cel mai instructiv. O corespondență nu devine funcție pentru că ne-ar plăcea nouă; devine funcție doar dacă trece testul unicității. Iar când nu-l trece, matematicianul nu se supără — schimbă domeniul sau schimbă întrebarea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul de valori

Fie $f : {- 3, - 1, 0, 2, 5} \to Z$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Alcătuiți tabelul de valori.

Rezolvare. Înlocuim pe rând: $f (- 3) = - 6 + 1 = - 5$ ; $f (- 1) = - 2 + 1 = - 1$ ; $f (0) = 0 + 1 = 1$ ; $f (2) = 4 + 1 = 5$ ; $f (5) = 10 + 1 = 11$ .

$x$	$- 3$	$- 1$	$0$	$2$	$5$
$f (x)$	$- 5$	$- 1$	$1$	$5$	$11$

Observă că toate valorile sunt numere întregi, deci alegerea codomeniului $Z$ este corectă. $■$

Exemplul 2 — Este sau nu funcție?

Fie $A = {1, 2, 3}$ și $B = {5, 6, 7}$ . Decideți care dintre corespondențele următoare este funcție de la $A$ la $B$ : (i) $1 \mapsto 5$ , $2 \mapsto 7$ , $3 \mapsto 5$ ; (ii) $1 \mapsto 6$ , $3 \mapsto 7$ ; (iii) $1 \mapsto 5$ , $1 \mapsto 6$ , $2 \mapsto 7$ , $3 \mapsto 7$ .

Rezolvare. (i) Este funcție: fiecare dintre $1$ , $2$ , $3$ primește exact o valoare. Faptul că $5$ apare de două ori și că $6$ nu apare deloc este permis.

(ii) Nu este funcție: elementul $2$ din domeniu nu primește nicio valoare. Condiția „fiecărui element" este încălcată.

(iii) Nu este funcție: elementul $1$ primește două valori diferite, $5$ și $6$ . Condiția „un singur element" este încălcată. $■$

Exemplul 3 — Valoarea, în ambele sensuri

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x + 5$ . a) Calculați $f (0)$ , $f (3)$ și $f (- \frac{1}{2})$ . b) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = 11$ .

Rezolvare. a) $f (0) = 5$ ; $f (3) = - 6 + 5 = - 1$ ; $f (- \frac{1}{2}) = - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 5 = 1 + 5 = 6$ .

b) Rezolvăm ecuația $- 2 x + 5 = 11$ . Scădem $5$ : $- 2 x = 6$ , deci $x = - 3$ . Verificare: $f (- 3) = 6 + 5 = 11$ . ✓ $■$

Exemplul 4 — Funcție pe ramuri

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 3, 2 x, x < 1 x \geq 1$ . Calculați $f (- 2)$ , $f (0)$ , $f (1)$ și $f (4)$ .

Rezolvare. Pentru fiecare argument, întâi decidem în ce ramură cade, apoi calculăm.

$- 2 < 1$ , deci folosim prima ramură: $f (- 2) = - 2 + 3 = 1$ .
$0 < 1$ , prima ramură: $f (0) = 0 + 3 = 3$ .
$1 \geq 1$ , deci a doua ramură (atenție la semnul $\geq$ !): $f (1) = 2 \cdot 1 = 2$ .
$4 \geq 1$ , a doua ramură: $f (4) = 8$ . $■$

Greșeala tipică aici este să calculezi $f (1)$ cu prima formulă, obținând $4$ . Citește întotdeauna cu grijă unde e semnul de egal.

Exemplul 5 — Domeniul maxim

Determinați domeniul maxim de definiție pentru: a) $f (x) = \frac{x + 2}{x - 4}$ ; b) $g (x) = \frac{5 x}{x ^{2} - 9}$ .

Rezolvare. a) Condiția este $x - 4 \neq = 0$ , adică $x \neq = 4$ . Deci $D_{f} = R ∖ {4}$ .

b) Descompunem numitorul: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ . Condiția $x^{2} - 9 \neq = 0$ înseamnă $x \neq = 3$ și $x \neq = - 3$ . Deci $D_{g} = R ∖ {- 3, 3}$ . $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . a) Arătați că $f (2) + f (0) = - 2$ . b) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = 2 x$ .

Rezolvare. a) $f (2) = 3 \cdot 2 - 4 = 2$ și $f (0) = 3 \cdot 0 - 4 = - 4$ . Prin urmare $f (2) + f (0) = 2 + (- 4) = - 2$ . ✓

b) Ecuația $f (x) = 2 x$ se scrie $3 x - 4 = 2 x$ . Trecem $2 x$ în stânga: $x - 4 = 0$ , deci $x = 4$ . Verificare: $f (4) = 12 - 4 = 8$ și $2 \cdot 4 = 8$ . ✓ $■$

Observă structura tipică a subiectelor de examen: o cerință de calcul direct (înlocuiești și aduni) și una de tip ecuație (egalezi și rezolvi). Ambele se sprijină exclusiv pe definiția valorii unei funcții.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toate calculele scrise. La întrebările „este funcție?", răspunsul fără justificare nu valorează nimic.

1. Fie $f : {- 3, - 1, 0, 2, 5} \to Z$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Scrie tabelul de valori și precizează domeniul și codomeniul.

2. Fie $A = {a, b, c}$ și $B = {1, 2}$ . Decide care corespondență este funcție de la $A$ la $B$ și justifică: (i) $a \mapsto 1$ , $b \mapsto 1$ , $c \mapsto 2$ ; (ii) $a \mapsto 2$ , $b \mapsto 1$ ; (iii) $a \mapsto 1$ , $a \mapsto 2$ , $b \mapsto 2$ , $c \mapsto 1$ .

3. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = - 3 x + 4$ . Calculează $f (0)$ , $f (2)$ , $f (- 1)$ și $f (\frac{1}{3})$ .

4. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 7$ . Determină numerele reale $x$ pentru care: a) $f (x) = 13$ ; b) $f (x) = - 2$ .

5. Determină domeniul maxim de definiție pentru: a) $f (x) = \frac{x + 2}{x - 4}$ ; b) $g (x) = \frac{3}{2 x + 1}$ ; c) $h (x) = 7 x - 1$ .

6. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = {x + 3, 2 x, x < 1 x \geq 1$ . Calculează $f (- 2)$ , $f (0)$ , $f (1)$ și $f (4)$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o funcție, două elemente diferite ale domeniului nu pot avea aceeași valoare."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice element al codomeniului trebuie să fie valoarea funcției în cel puțin un punct."

9. (Problemă aplicată.) O cursă cu taxiul costă $4$ lei la pornire, plus $2, 5$ lei pentru fiecare kilometru parcurs. a) Scrie funcția $C$ care dă costul în funcție de distanța $d$ (în kilometri). b) Cât costă o cursă de $6$ km? c) Ce distanță ai parcurs dacă ai plătit $29$ de lei?

10. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = a x + 3$ , unde $a$ este un număr real. Știind că $f (2) = 11$ , determină $a$ și apoi calculează $f (- 1)$ .

11. Precizează, cu justificare, care dintre corespondențele următoare sunt funcții: a) fiecărui elev din clasă i se asociază înălțimea lui în centimetri; b) fiecărui elev din clasă i se asociază o materie la care are nota $10$ ; c) fiecărui număr natural $n$ i se asociază restul împărțirii lui $n$ la $4$ .

12. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x - 5$ . Calculează $f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ .

13. Un tabel de valori arată astfel: pentru $x$ egal cu $0, 1, 2, 3$ se obțin valorile $- 1, 2, 5, 8$ . Găsește o formulă de tipul $f (x) = a x + b$ care produce acest tabel și verifică-o pe toate cele patru perechi.

14. (Problemă aplicată.) Un abonament de telefon costă $25$ de lei pe lună și include $300$ de minute; fiecare minut suplimentar costă $0, 15$ lei. Scrie pe ramuri funcția care dă costul lunar $C (m)$ , unde $m$ este numărul total de minute vorbite, și calculează $C (200)$ și $C (500)$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 4$ . a) Arătați că $f (2) + f (0) = - 2$ . b) Determinați numărul real $x$ pentru care $f (x) = 2 x$ .

16. Explică, în două-trei rânduri, diferența dintre $f (3)$ și ecuația $f (x) = 3$ , folosind funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 5$ . Calculează, pentru fiecare, rezultatul.

17. Câte funcții $f : {1, 2} \to {a, b, c}$ se pot defini? Enumeră-le sistematic, notând fiecare funcție prin perechea $(f (1), f (2))$ .

18. (Provocare.) O funcție $f : R \to R$ are proprietatea că $f (x + 1) = f (x) + 3$ pentru orice număr real $x$ , iar $f (0) = 2$ . a) Calculează $f (1)$ , $f (2)$ și $f (5)$ . b) Găsește o formulă pentru $f (n)$ , unde $n$ este număr natural, și explică legătura cu progresia aritmetică și rația.

Răspunsuri și explicații

1. Valorile sunt $- 5, - 1, 1, 5, 11$ , în ordinea $x = - 3, - 1, 0, 2, 5$ . Domeniul este mulțimea ${- 3, - 1, 0, 2, 5}$ , codomeniul este $Z$ . (Codomeniul nu este mulțimea valorilor obținute — el este mulțimea în care căutăm valorile.)

2. (i) Este funcție: $a$ , $b$ , $c$ primesc fiecare exact o valoare; repetarea valorii $1$ este permisă. (ii) Nu este funcție: elementul $c$ rămâne fără valoare. (iii) Nu este funcție: elementul $a$ primește două valori diferite, $1$ și $2$ .

3. $f (0) = 4$ ; $f (2) = - 6 + 4 = - 2$ ; $f (- 1) = 3 + 4 = 7$ ; $f (\frac{1}{3}) = - 1 + 4 = 3$ .

4. a) $5 x - 7 = 13 \Rightarrow 5 x = 20 \Rightarrow x = 4$ . b) $5 x - 7 = - 2 \Rightarrow 5 x = 5 \Rightarrow x = 1$ . Verificări: $f (4) = 13$ ✓, $f (1) = - 2$ ✓.

5. a) $x - 4 \neq = 0$ , deci $D = R ∖ {4}$ . b) $2 x + 1 \neq = 0$ , deci $x \neq = - \frac{1}{2}$ și $D = R ∖ {- \frac{1}{2}}$ . c) Formula e o expresie de gradul întâi, fără numitor: $D = R$ .

6. $f (- 2) = 1$ (prima ramură, căci $- 2 < 1$ ); $f (0) = 3$ (prima ramură); $f (1) = 2$ (a doua ramură, pentru că egalitatea $x = 1$ este inclusă în condiția $x \geq 1$ ); $f (4) = 8$ (a doua ramură).

7. Fals. Definiția interzice ca un element al domeniului să aibă două valori, nu ca două elemente să aibă aceeași valoare. Contraexemplu: funcția constantă $f : R \to R$ , $f (x) = 7$ , unde toate elementele au aceeași valoare, este o funcție perfect corectă. (Funcțiile la care valorile sunt mereu diferite au un nume special — sunt injective — și le vei studia în lecția despre funcții injective, surjective, bijective.)

8. Fals. Codomeniul poate conține elemente neatinse. Exemplu: $f : {1, 2} \to {5, 6, 7}$ , $f (1) = 5$ , $f (2) = 6$ este funcție, deși $7$ nu este valoarea nimănui.

9. a) $C (d) = 4 + 2, 5 d$ lei. b) $C (6) = 4 + 15 = 19$ lei. c) Rezolvăm $4 + 2, 5 d = 29 \Rightarrow 2, 5 d = 25 \Rightarrow d = 10$ km. Verificare: $4 + 2, 5 \cdot 10 = 29$ ✓.

10. Din $f (2) = 11$ : $2 a + 3 = 11 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ . Deci $f (x) = 4 x + 3$ și $f (- 1) = - 4 + 3 = - 1$ .

11. a) Este funcție: fiecare elev are exact o înălțime. b) Nu este funcție în general: un elev poate avea $10$ la mai multe materii (ambiguitate) sau la niciuna (lipsă). c) Este funcție: împărțirea cu rest dă un singur rest, iar acesta există pentru orice $n$ .

12. $f (0) = - 5$ , $f (1) = - 3$ , $f (2) = - 1$ , $f (3) = 1$ . Suma este $- 5 - 3 - 1 + 1 = - 8$ .

13. Valorile cresc cu $3$ la fiecare creștere cu $1$ a lui $x$ , deci $a = 3$ ; iar $f (0) = - 1$ dă $b = - 1$ . Formula este $f (x) = 3 x - 1$ . Verificare: $f (0) = - 1$ ✓, $f (1) = 2$ ✓, $f (2) = 5$ ✓, $f (3) = 8$ ✓.

14. $C (m) = {25, 25 + 0, 15 (m - 300), 0 \leq m \leq 300 m > 300$ . Atunci $C (200) = 25$ lei (nu se depășesc minutele incluse), iar $C (500) = 25 + 0, 15 \cdot 200 = 25 + 30 = 55$ lei.

15. a) $f (2) = 2$ , $f (0) = - 4$ , deci $f (2) + f (0) = - 2$ . ✓ b) $3 x - 4 = 2 x \Rightarrow x = 4$ ; verificare: $f (4) = 8 = 2 \cdot 4$ . ✓

16. $f (3)$ este un număr: valoarea funcției în punctul $3$ , adică $f (3) = 12 - 5 = 7$ . Ecuația $f (x) = 3$ este o întrebare despre argument: $4 x - 5 = 3 \Rightarrow 4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ . Primul rezultat este o valoare, al doilea este un argument.

17. Sunt $3 \cdot 3 = 9$ funcții: $f (1)$ se poate alege în $3$ moduri, independent $f (2)$ tot în $3$ . Lista perechilor $(f (1), f (2))$ : $(a, a)$ , $(a, b)$ , $(a, c)$ , $(b, a)$ , $(b, b)$ , $(b, c)$ , $(c, a)$ , $(c, b)$ , $(c, c)$ .

18. a) $f (1) = f (0) + 3 = 5$ ; $f (2) = f (1) + 3 = 8$ ; continuând, $f (3) = 11$ , $f (4) = 14$ , $f (5) = 17$ . b) La fiecare pas de $1$ în argument, valoarea crește cu $3$ , deci $f (n) = 2 + 3 n$ . Verificare: $f (0) = 2$ ✓, $f (5) = 2 + 15 = 17$ ✓. Șirul $f (0), f (1), f (2), \dots$ este exact o progresie aritmetică cu primul termen $2$ și rația $3$ — relația $f (x + 1) = f (x) + 3$ este, cuvânt cu cuvânt, definiția rației.

De reținut

O funcție $f : A \to B$ înseamnă trei lucruri: domeniul $A$ , codomeniul $B$ și o lege care asociază fiecărui $x \in A$ exact un element $f (x) \in B$ .
Condiția de funcție se verifică numai la plecare: fiecare element al domeniului are o valoare și numai una. Elementele codomeniului pot fi atinse de mai multe ori sau deloc.
$f (x_{0})$ se obține înlocuind $x$ cu $x_{0}$ în lege; invers, pentru a găsi argumentul dintr-o valoare dată rezolvi ecuația $f (x) =$ valoarea.
Aceeași funcție se poate descrie prin diagramă, tabel, formulă, grafic sau cuvinte; trecerea de la o descriere la alta este o deprindere de bază.
Când se dă doar formula, domeniul este cel maxim pe care formula are sens (la nivelul acesta: numitorul nenul). Dacă enunțul precizează domeniul, acela contează.

Greșeli frecvente

Confunzi codomeniul cu mulțimea valorilor obținute. Codomeniul este mulțimea în care căutăm valorile și poate fi mai larg decât mulțimea valorilor efectiv atinse; asta nu strică nimic.
Uiți parantezele la argumente negative. Pentru $f (x) = - 3 x + 4$ , scrii $f (- 1) = - 3 \cdot (- 1) + 4 = 7$ , nu $- 3 \cdot - 1 + 4$ calculat în grabă ca $- 3 - 1 + 4 = 0$ .
La funcții pe ramuri, alegi ramura greșită la capete. Dacă ramura a doua e dată pentru $x \geq 1$ , atunci $f (1)$ se calculează cu ea, nu cu prima.
Confunzi $f (2)$ cu $f (x) = 2$ . Primul e un număr de calculat; al doilea, o ecuație de rezolvat. Citește cerința de două ori.
Declari „este funcție" fără să verifici toate elementele domeniului. Un singur element rămas fără valoare, sau cu două valori, strică totul — la fel cum o singură ușă descuiată strică o casă încuiată.

Aplică acasă

Aparatul de parcare din cartier. Fotografiază (sau notează) grila de tarife de la o parcare, un abonament de transport sau un tarif de curier. Scrie funcția corespunzătoare — cel mai probabil pe ramuri — și calculează trei valori. Verifică apoi două dintre ele cu prețul afișat: dacă nu se potrivesc, ai găsit fie o greșeală de model, fie o clauză ascunsă în tarif.
Vânătoarea de non-funcții. Găsește trei corespondențe din viața ta care nu sunt funcții și explică, pentru fiecare, care condiție cade: existența sau unicitatea. Sugestii de pornit: „materie $\mapsto$ profesor", „zi $\mapsto$ film văzut", „prieten $\mapsto$ numărul lui de telefon".
Tabel în foaie de calcul. Într-o aplicație de calcul tabelar, pune în prima coloană numerele de la $- 5$ la $5$ și în a doua coloană formula $= 3 \cdot x - 1$ . Ai construit un tabel de valori. Schimbă apoi coeficientul $3$ în $- 2$ și observă cum se schimbă toate valorile deodată — este primul pas spre înțelegerea rolului coeficienților, subiectul lecției despre funcția afină.

Pentru părinți și profesori

Lecția instalează vocabularul de bază al întregului capitol de funcții: domeniu, codomeniu, lege de corespondență, valoare. Este o lecție de precizie, nu de calcul greu — dificultatea reală nu stă în aritmetică, ci în disciplina de a spune de unde pleacă funcția și unde ajunge. Elevii vin din gimnaziu obișnuiți să vadă doar formula; aici formula devine unul dintre trei ingrediente.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă $f : A \to B$ ?"; „Poate o funcție să ia aceeași valoare de două ori?" (da); „Poate un element al domeniului să aibă două valori?" (nu, niciodată); „De ce nu e funcție corespondența «elev $\mapsto$ o materie la care are 10»?"; „Care e domeniul maxim al funcției $\frac{1}{x - 2}$ ?". Semne că a înțeles: verifică ambele condiții din definiție înainte să răspundă, distinge $f (2)$ de ecuația $f (x) = 2$ și alege corect ramura la funcții definite pe cazuri.

La teze și la Bacalaureat, această noțiune apare rar singură, dar stă în spatele aproape tuturor subiectelor de algebră: calculul unor valori ( $f (1) + f (2)$ ), rezolvarea ecuației $f (x) = m$ , determinarea unui parametru din condiția $f (x_{0}) = y_{0}$ . Un elev care stăpânește definiția nu se rătăcește nici mai târziu, la funcția de gradul al doilea sau la funcțiile trigonometrice — se schimbă doar legea, nu și regulile jocului.

Întrebări frecvente

Ce este o funcție în matematică, pe înțelesul tuturor? O regulă care, pentru fiecare intrare permisă, dă exact o ieșire. Ca un automat: pui un cod, primești un singur produs. Formal, o funcție $f : A \to B$ asociază fiecărui element al domeniului $A$ un singur element al codomeniului $B$ .

Care este diferența dintre domeniu și codomeniu? Domeniul este mulțimea intrărilor permise (de acolo pleacă săgețile), iar codomeniul este mulțimea în care căutăm ieșirile (acolo ajung săgețile). Toate elementele domeniului trebuie folosite; elementele codomeniului pot rămâne neatinse.

Cum îmi dau seama dacă o corespondență este funcție? Verifici două lucruri, în ordinea aceasta: fiecare element al domeniului primește cel puțin o valoare și fiecare primește cel mult una. Dacă un element rămâne fără valoare sau primește două valori diferite, corespondența nu este funcție.

Ce înseamnă domeniul maxim de definiție? Este cea mai mare mulțime de numere reale pentru care formula funcției are sens. În clasa a IX-a, restricția principală este ca numitorul să fie diferit de zero: pentru $f (x) = \frac{1}{x - 5}$ , domeniul maxim este $R ∖ {5}$ .

Cum calculez $f (- 2)$ dacă știu formula funcției? Înlocuiești litera $x$ cu $- 2$ peste tot în formulă, punând numărul între paranteze. De exemplu, pentru $f (x) = 4 x + 7$ obții $f (- 2) = 4 \cdot (- 2) + 7 = - 8 + 7 = - 1$ .

Ce este o funcție definită pe ramuri? O funcție care are formule diferite pe porțiuni diferite ale domeniului — de exemplu un tarif care se schimbă după prima oră. Ca să fie corectă, ramurile trebuie să acopere tot domeniul și să nu se suprapună.

Două elemente diferite pot avea aceeași valoare? Da, este perfect permis. Funcția constantă $f (x) = 5$ dă aceeași valoare pentru orice argument și este o funcție validă. Interzisă este doar situația inversă: un argument cu două valori.

De ce se învață funcțiile la clasa a IX-a? Pentru că sunt limbajul standard în care se descriu dependențele dintre mărimi — în fizică, chimie, economie, informatică. Din clasa a IX-a înainte, aproape toate temele de algebră (funcția afină, funcția de gradul al doilea, funcțiile trigonometrice) sunt studii ale unor funcții particulare.