Noțiunea de matrice: pe scurt

O matrice de tipul $m\times n$ este un tablou dreptunghiular de numere complexe, scris între paranteze rotunde, cu $m$ linii, $n$ coloane și exact $m\cdot n$ elemente. Un tabel de date devine astfel obiect matematic: etichetele dispar, dar informația lor trece în poziție. Vânzările a două magazine pentru trei articole se scriu $V=\left(\begin{array}{ccc}18& 24& 9\\ 30& 15& 12\end{array}\right)$, iar $v_{23}=12$ înseamnă „al doilea magazin, al treilea articol”.

În $a_{ij}$, primul indice arată linia, al doilea coloana, iar ordinea nu se schimbă niciodată. Inversarea ei este greșeala numărul unu a capitolului, tocmai pentru că nu dă niciun semnal de eroare: calculul merge mai departe, cu numere greșite. Mulțimea matricelor cu $m$ linii și $n$ coloane se notează ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$; când $m=n$, matricea este pătratică de ordin $n$ și scriem ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Lucrăm implicit peste $\mathbb{C}$.

Scrierea compactă $A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}$ permite definirea unei matrice printr-o formulă în $i$ și $j$, de pildă $a_{ij}=4i-j$; tabloul se completează linie cu linie, ținând $i$ fix și lăsând $j$ să parcurgă coloanele. O matrice cu o singură linie se numește matrice linie, una cu o singură coloană matrice coloană — formele în care vor fi scrise mai târziu necunoscutele unui sistem. Reține: aceleași numere așezate altfel dau o altă matrice.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=3i-2j$. Elementul $a_{32}$ este:

   • a) $5$
   • b) $0$
   • c) $-5$
   • d) $13$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $5$

   Primul indice este linia, al doilea coloana, deci $i=3$ și $j=2$: $a_{32}=3\cdot 3-2\cdot 2=9-4=5$. Varianta $0$ vine din inversarea indicilor ($a_{23}=3\cdot 2-2\cdot 3=0$), varianta $-5$ din scrierea pe dos a formulei, iar $13$ din pierderea semnului minus.

2. Se consideră $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$, unde $a_{ij}=i\cdot j-4$. Câte elemente nule are $A$?

   • a) niciunul
   • b) exact unul
   • c) exact două
   • d) exact trei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) exact unul

   Completăm linie cu linie: pentru $i=1$ obținem $-3,-2,-1$, iar pentru $i=2$ obținem $-2,0,2$. Deci $A=\left(\begin{array}{ccc}-3& -2& -1\\ -2& 0& 2\end{array}\right)$ și singurul element nul este $a_{22}=2\cdot 2-4=0$.

3. Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_{5,3}(\mathbb{C})$. Care dintre afirmații este adevărată?

   • a) $A$ are $53$ de elemente
   • b) elementul $a_{35}$ este bine definit
   • c) coloana a doua a lui $A$ are $5$ elemente
   • d) $A$ este pătratică de ordin $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) coloana a doua a lui $A$ are $5$ elemente

   O coloană are atâtea elemente câte linii are matricea, adică $5$. Formatul este o pereche, deci numărul de elemente este $5\cdot 3=15$, nu „$53$”. Scrierea $a_{35}$ nu desemnează niciun număr, pentru că $j=5>3$. Iar $A$ nu este pătratică, fiindcă $5\ne 3$.