Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R

Când descompui un număr natural în factori primi, te oprești când niciun factor nu mai poate fi rupt: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ și mai departe nu se poate. Polinoamele au aceeași poveste — se descompun în „cărămizi" care nu mai pot fi sparte — cu o răsucire care le face mult mai interesante: răspunsul depinde de mulțimea din care iei coeficienții.

Polinomul $X^2+1$ pare o cărămidă indivizibilă atâta timp cât lucrezi cu numere reale: nu are nicio rădăcină reală, deci nu se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali. Dacă însă îți permiți numere complexe, el se rupe imediat: $X^2+1=(X-i)(X+i)$. Aceeași expresie, două răspunsuri diferite — pentru că întrebarea „se mai poate descompune?" nu are sens fără să precizezi unde. Lecția aceasta îți dă forma finală a răspunsului în cele două cazuri cerute de programă: peste $\mathbb{C}$ și peste $\mathbb{R}$.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești corect noțiunea de polinom ireductibil peste o mulțime de numere.
• Vei ști de ce, peste $\mathbb{C}$, singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi.
• Vei ști să demonstrezi că rădăcinile complexe nereale ale unui polinom cu coeficienți reali apar în perechi conjugate.
• Vei ști că, peste $\mathbb{R}$, factorii ireductibili au gradul 1 sau gradul 2 cu discriminant negativ.
• Vei ști să descompui un polinom în ambele moduri, pornind de la rădăcinile lui.
• Vei ști să recunoști descompuneri clasice: $X^4-1$, $X^3-1$, $X^4+X^2+1$, $X^4+4$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „ireductibil"

Definiție. Fie $K$ una dintre mulțimile $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$. Un polinom $f$ de grad cel puțin $1$, cu coeficienți în $K$, se numește ireductibil peste $K$ dacă nu poate fi scris ca produs de două polinoame cu coeficienți în $K$, ambele de grad mai mic decât gradul lui $f$.

Două precizări care evită confuziile:

• Descompunerea $X^2+1=2\left(\frac{1}{2}{X}^2+\frac{1}{2}\right)$ nu contează: unul dintre factori are gradul $0$. Constantele nu „rup" nimic, exact cum $1$ nu descompune numerele.
• Orice polinom de gradul întâi este ireductibil peste orice mulțime: nu îl poți scrie ca produs de două polinoame de grad strict mai mic decât $1$, adică de grad $0$, pentru că produsul a două constante rămâne constantă.

Analogia cu numerele prime este exactă: factorii ireductibili sunt „numerele prime" ale lumii polinoamelor, iar descompunerea în factori ireductibili este unică (până la ordinea factorilor și la constante).

2. Peste C: totul se sparge în factori de gradul întâi

La Teorema fundamentală a algebrei. Descompunerea canonică ai văzut că orice polinom neconstant cu coeficienți complecși are cel puțin o rădăcină complexă și că, aplicând repetat acest fapt, se ajunge la

$$f=a_n(X-x_1)(X-x_2)\cdots (X-x_n),$$

unde $x_1,\dots ,x_n$ sunt rădăcinile lui $f$, scrise fiecare de câte ori indică ordinul lor de multiplicitate.

Consecință. Peste $\mathbb{C}$, un polinom este ireductibil dacă și numai dacă are gradul $1$.

Într-adevăr: dacă gradul e $\ge 2$, descompunerea canonică îl scrie ca produs de cel puțin doi factori de gradul întâi, deci nu e ireductibil; iar polinoamele de gradul întâi sunt ireductibile, cum am văzut. Peste numerele complexe, așadar, nu există „cărămizi" mai mari decât gradul întâi — descompunerea merge întotdeauna până la capăt.

Exemplu imediat: $X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$, patru factori liniari, pentru că rădăcinile sunt $1,-1,i,-i$.

3. Rădăcinile nereale ale unui polinom real vin în perechi

Peste $\mathbb{R}$ situația e diferită, iar motivul e o proprietate a conjugării pe care merită să o vezi demonstrată aici, pentru că ea susține tot restul lecției.

Lemă. Fie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ un polinom cu coeficienți reali și $z\in \mathbb{C}$. Atunci $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$.

Demonstrație. Conjugarea se comportă bine față de adunare și înmulțire — proprietăți stabilite la Conjugatul unui număr complex: $\overline{u+v}=\bar{u}+\bar{v}$ și $\overline{uv}=\bar{u}\cdot \bar{v}$, de unde $\overline{z^k}={\bar{z}}^k$. În plus, un număr real este propriul său conjugat, deci $\overline{a_k}=a_k$. Atunci:

$$\overline{f(z)}=\overline{\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k}=\sum _{k=0}^n\overline{a_k{z}^k}=\sum _{k=0}^n\overline{a_k}\cdot \overline{z^k}=\sum _{k=0}^n{a}_k{\bar{z}}^k=f(\bar{z}).■$$

Consecință. Dacă $f$ are coeficienți reali și $z$ este rădăcină a lui $f$, atunci și $\bar{z}$ este rădăcină. Într-adevăr, din $f(z)=0$ rezultă $f(\bar{z})=\overline{f(z)}=\bar{0}=0$.

Vom relua acest rezultat, cu tot cu discuția despre multiplicitate și cu varianta pentru coeficienți raționali, în lecția Ecuații algebrice cu coeficienți reali și raționali: rădăcini conjugate. Aici ne interesează doar consecința asupra descompunerii.

4. O pereche conjugată dă un factor real de gradul al doilea

Fie $z=a+bi$ o rădăcină nereală ($b\ne 0$) a unui polinom cu coeficienți reali. Atunci și $\bar{z}=a-bi$ este rădăcină, deci în descompunerea peste $\mathbb{C}$ apar amândoi factorii $X-z$ și $X-\bar{z}$. Îi înmulțim:

$$(X-z)(X-\bar{z})=X^2-(z+\bar{z})X+z\bar{z}=X^2-2aX+(a^2+b^2).$$

Am folosit $z+\bar{z}=2a$ și $z\bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$. Rezultatul are coeficienți reali, iar discriminantul lui este

$$\Delta =4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2<0,$$

pentru că $b\ne 0$. Deci perechea conjugată se „strânge" într-un trinom real fără rădăcini reale — un trinom care, peste $\mathbb{R}$, nu mai poate fi descompus.

Reciproc, orice trinom $X^2+pX+q$ cu coeficienți reali și $\Delta <0$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$: dacă s-ar scrie ca produs de doi factori reali de gradul întâi, ar avea rădăcini reale, ceea ce contrazice $\Delta <0$.

5. Teorema descompunerii peste R

Punând totul cap la cap:

Teoremă. Peste $\mathbb{R}$, polinoamele ireductibile sunt exact:

• polinoamele de gradul întâi, $aX+b$ cu $a\ne 0$;
• polinoamele de gradul al doilea cu discriminant negativ, $a{X}^2+bX+c$ cu $\Delta =b^2-4ac<0$.

Prin urmare, orice polinom cu coeficienți reali se descompune într-un produs de factori de gradul întâi (unul pentru fiecare rădăcină reală, repetat după multiplicitate) și de trinoame cu discriminant negativ (unul pentru fiecare pereche de rădăcini conjugate).

Două consecințe pe care le folosești des:

• Un polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Rădăcinile nereale se grupează câte două, deci numărul lor este par; dacă gradul e impar, cel puțin una rămâne singură, adică reală.
• Peste $\mathbb{R}$ nu există factori ireductibili de grad $\ge 3$. Oricât de complicat ar arăta un polinom real, descompunerea lui se oprește la gradul $2$.

6. Rețeta practică

Ai un polinom cu coeficienți reali și ți se cere descompunerea în ambele mulțimi. Procedezi așa:

1. Găsești rădăcinile. Cauți rădăcini raționale printre divizorii termenului liber, coborî gradul cu schema lui Horner, apoi rezolvi ce rămâne — de regulă un trinom.
2. Scrii descompunerea peste $\mathbb{C}$: câte un factor $X-x_k$ pentru fiecare rădăcină, repetat după multiplicitate. Numărul total de factori liniari este egal cu gradul.
3. Scrii descompunerea peste $\mathbb{R}$: păstrezi factorii liniari ai rădăcinilor reale și grupezi câte două rădăcinile conjugate, înlocuind perechea cu $X^2-2aX+(a^2+b^2)$.
4. Verifici. Înmulțești la loc, măcar parțial, sau verifici termenul liber și coeficientul dominant.

Uneori nu ai nevoie de rădăcini deloc: grupările ingenioase merg mai repede. De exemplu,

$$X^4+X^2+1=(X^4+2X^2+1)-X^2=(X^2+1{)}^2-X^2=(X^2-X+1)(X^2+X+1),$$

iar ambii factori au $\Delta =1-4=-3<0$, deci descompunerea peste $\mathbb{R}$ e gata.

7. Peste Q povestea e alta

Merită spus, chiar dacă programa cere doar $\mathbb{C}$ și $\mathbb{R}$: peste $\mathbb{Q}$ pot exista polinoame ireductibile de orice grad. Polinomul $X^2-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$, pentru că $\sqrt{2}$ nu e rațional, dar peste $\mathbb{R}$ se rupe: $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$.

Morala e cea din deschidere: întrebarea „este ireductibil?" nu are răspuns fără să precizezi mulțimea coeficienților. La examen, cerința spune întotdeauna explicit „peste $\mathbb{R}$" sau „peste $\mathbb{C}$" — citește-o cu atenție, pentru că răspunsurile diferă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Descompunerea lui $X^4-1$

Descompuneți $f=X^4-1$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Folosim formula diferenței de pătrate, de două ori:

$$X^4-1=(X^2-1)(X^2+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1).$$

Peste $\mathbb{R}$: ne oprim aici. Factorii $X-1$ și $X+1$ au gradul întâi, iar $X^2+1$ are $\Delta =-4<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$.

Peste $\mathbb{C}$: mai spargem trinomul, $X^2+1=(X-i)(X+i)$, și obținem

$$X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i).$$

Patru factori liniari, cât gradul — semn că descompunerea e completă.

Exemplul 2 — $X^3-1$ și rădăcinile unității

Descompuneți $f=X^3-1$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Din formula diferenței de cuburi: $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$.

Peste $\mathbb{R}$: trinomul are $\Delta =1-4=-3<0$, deci este ireductibil; descompunerea se oprește.

Peste $\mathbb{C}$: rezolvăm $X^2+X+1=0$ și obținem $X_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, deci

$$X^3-1=(X-1)\left(X-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(X-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right).$$

Cele trei rădăcini sunt rădăcinile de ordinul $3$ ale unității, întâlnite la Rădăcinile unității și poligoanele regulate; observă că cele două nereale sunt conjugate, exact cum prezice lema din secțiunea 3.

Exemplul 3 — Când știi o rădăcină complexă

Descompuneți peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$ polinomul $f=X^4-2X^3+6X^2-2X+5$, știind că $i$ este rădăcină.

Rezolvare. Coeficienții sunt reali, deci și $-i$ este rădăcină. Prin urmare $f$ se divide cu

$$(X-i)(X+i)=X^2+1.$$

Efectuăm împărțirea (sau aplicăm de două ori schema lui Horner, cu $i$ apoi cu $-i$) și obținem câtul $X^2-2X+5$:

$$f=(X^2+1)(X^2-2X+5).$$

Verificare rapidă: termenul liber $1\cdot 5=5$ ✓, coeficientul dominant $1$ ✓.

Peste $\mathbb{R}$: ambii factori au discriminant negativ ($-4$, respectiv $4-20=-16$), deci descompunerea de mai sus este cea finală.

Peste $\mathbb{C}$: rezolvăm $X^2-2X+5=0$, cu $\Delta =-16$, deci $X_{1,2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$. Descompunerea completă este

$$f=(X-i)(X+i)\left(X-(1+2i)\right)\left(X-(1-2i)\right).$$

Exemplul 4 — Identitatea lui Sophie Germain

Descompuneți $f=X^4+4$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Polinomul nu are nicio rădăcină reală (suma unui pătrat perfect și a lui $4$ e mereu pozitivă), dar asta nu îl face ireductibil peste $\mathbb{R}$ — un polinom de gradul al patrulea nu poate fi ireductibil peste $\mathbb{R}$. Adunăm și scădem $4X^2$:

$$X^4+4=(X^4+4X^2+4)-4X^2=(X^2+2{)}^2-(2X{)}^2=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2).$$

Ambii factori au $\Delta =4-8=-4<0$, deci aceasta este descompunerea peste $\mathbb{R}$.

Peste $\mathbb{C}$: din $X^2-2X+2=0$ obținem $X=1\pm i$; din $X^2+2X+2=0$ obținem $X=-1\pm i$. Deci

$$X^4+4=(X-(1+i))(X-(1-i))(X-(-1+i))(X-(-1-i)).$$

Verificare: $(1+i)(1-i)(-1+i)(-1-i)=2\cdot 2=4$, iar produsul rădăcinilor trebuie să fie $(-1{)}^4\cdot \frac{4}{1}=4$ ✓.

Exemplul 5 — Descompunere cu rădăcini multiple

Descompuneți $f=X^4-2X^2+1$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

Rezolvare. Recunoaștem pătratul unui binom: $X^4-2X^2+1=(X^2-1{)}^2$. Mai departe,

$$f=[(X-1)(X+1){]}^2=(X-1{)}^2(X+1{)}^2.$$

Aceeași descompunere este valabilă și peste $\mathbb{R}$, și peste $\mathbb{C}$, pentru că toți factorii sunt deja de gradul întâi cu coeficienți reali. Polinomul are doar două rădăcini distincte, $1$ și $-1$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$ — noțiune discutată la Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate. Numărul factorilor liniari, numărați cu multiplicitate, rămâne egal cu gradul: $2+2=4$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Descompuneți $f=X^6-1$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Vedem polinomul ca diferență de pătrate:

$$X^6-1=(X^3{)}^2-1^2=(X^3-1)(X^3+1).$$

Aplicăm formulele pentru diferența și suma de cuburi:

$$X^3-1=(X-1)(X^2+X+1),X^3+1=(X+1)(X^2-X+1).$$

Prin urmare

$$X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1).$$

Ambele trinoame au $\Delta =1-4=-3<0$, deci sunt ireductibile peste $\mathbb{R}$ și descompunerea este finală. (Peste $\mathbb{C}$ s-ar sparge fiecare trinom în doi factori liniari, obținând cele șase rădăcini de ordinul $6$ ale unității.)

Să exersăm

Precizează de fiecare dată peste ce mulțime lucrezi și verifică la final coeficientul dominant și termenul liber prin înmulțire.

1. Este $X^2+4$ ireductibil peste $\mathbb{R}$? Dar peste $\mathbb{C}$? Justifică.

2. Descompune $X^2-9$ peste $\mathbb{R}$.

3. Descompune $X^4-16$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice polinom de gradul al treilea cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală."

5. Descompune $X^3+8$ peste $\mathbb{R}$.

6. Arată că $X^2-4X+7$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$, apoi descompune-l peste $\mathbb{C}$.

7. Descompune $X^4+5X^2+6$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$. (Indicație: notează $X^2=y$.)

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Peste $\mathbb{R}$ există polinoame ireductibile de gradul al treilea."

9. Știind că $2i$ este rădăcină a lui $f=X^3-2X^2+4X-8$, descompune $f$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$.

10. Descompune $X^4+X^2+1$ peste $\mathbb{R}$, folosind gruparea din lecție.

11. Câți factori liniari (numărați cu multiplicitate) apare în descompunerea peste $\mathbb{C}$ a unui polinom de gradul al șaptelea? Justifică.

12. Descompune $2X^3-2X$ peste $\mathbb{R}$, dând factor comun.

13. (Problemă aplicată.) Volumul unei cutii paralelipipedice este $V(x)=x^3-x^2-4x+4$ (în centimetri cubi), unde $x$ este o lungime în centimetri. Descompune $V$ în factori de gradul întâi și determină pentru ce valori ale lui $x$ volumul se anulează.

14. Descompune $X^4-1$ peste $\mathbb{C}$ și verifică, folosind relațiile lui Viète, că produsul rădăcinilor este $-1$.

15. Arată că $X^4+1$ nu are rădăcini reale, apoi descompune-l peste $\mathbb{R}$ folosind identitatea $(X^2+1{)}^2-2X^2$.

16. Descompune $X^3-3X^2+4X-2$ peste $\mathbb{R}$ și peste $\mathbb{C}$, știind că $X=1$ este rădăcină.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f=X^4-3X^3+3X^2-3X+2$. a) Arătați că $X=1$ și $X=2$ sunt rădăcini ale lui $f$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$. c) Descompuneți $f$ peste $\mathbb{C}$.

18. (Provocare.) Descompune $X^4-5X^2+4$ peste $\mathbb{R}$, apoi arată că polinomul $X^8-1$ are, în descompunerea peste $\mathbb{R}$, exact doi factori de gradul întâi și trei factori de gradul al doilea.

Răspunsuri și explicații

1. Peste $\mathbb{R}$ da, este ireductibil: are gradul $2$ și $\Delta =-16<0$. Peste $\mathbb{C}$ nu: $X^2+4=(X-2i)(X+2i)$, pentru că $(2i{)}^2=-4$.

2. $X^2-9=(X-3)(X+3)$ — diferență de pătrate, ambii factori de gradul întâi cu coeficienți reali.

3. $X^4-16=(X^2-4)(X^2+4)=(X-2)(X+2)(X^2+4)$ peste $\mathbb{R}$; peste $\mathbb{C}$, $X^4-16=(X-2)(X+2)(X-2i)(X+2i)$.

4. Adevărat. Rădăcinile nereale ale unui polinom cu coeficienți reali apar în perechi conjugate, deci sunt în număr par. Gradul fiind impar ($3$), rămâne cel puțin o rădăcină reală.

5. Suma de cuburi: $X^3+8=(X+2)(X^2-2X+4)$. Trinomul are $\Delta =4-16=-12<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$.

6. $\Delta =16-28=-12<0$, deci nu are rădăcini reale și, având gradul $2$, este ireductibil peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{C}$: $X_{1,2}=\frac{4\pm i\sqrt{12}}{2}=2\pm i\sqrt{3}$, deci $f=(X-2-i\sqrt{3})(X-2+i\sqrt{3})$.

7. Cu $y=X^2$: $y^2+5y+6=(y+2)(y+3)$, deci peste $\mathbb{R}$ avem $X^4+5X^2+6=(X^2+2)(X^2+3)$ (ambii factori au $\Delta <0$). Peste $\mathbb{C}$: $(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})(X-i\sqrt{3})(X+i\sqrt{3})$.

8. Fals. Peste $\mathbb{R}$, factorii ireductibili au gradul $1$ sau gradul $2$ cu $\Delta <0$. Un polinom real de gradul al treilea are cel puțin o rădăcină reală $x_0$, deci se divide cu $X-x_0$.

9. Coeficienții fiind reali, și $-2i$ este rădăcină, deci $f$ se divide cu $(X-2i)(X+2i)=X^2+4$. Împărțind, $f=(X^2+4)(X-2)$. Peste $\mathbb{R}$ aceasta e forma finală ($\Delta =-16<0$); peste $\mathbb{C}$: $f=(X-2)(X-2i)(X+2i)$.

10. $X^4+X^2+1=(X^2+1{)}^2-X^2=(X^2-X+1)(X^2+X+1)$. Ambii factori au $\Delta =-3<0$, deci sunt ireductibili peste $\mathbb{R}$.

11. Exact șapte. Descompunerea canonică peste $\mathbb{C}$ conține câte un factor liniar pentru fiecare rădăcină, numărată cu multiplicitatea ei, iar suma multiplicităților este egală cu gradul polinomului.

12. $2X^3-2X=2X(X^2-1)=2X(X-1)(X+1)$. (Constanta $2$ nu este factor ireductibil — este doar coeficientul dominant.)

13. $V(1)=1-1-4+4=0$, deci $X-1$ este factor. Prin grupare: $x^3-x^2-4x+4=x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$. Volumul se anulează pentru $x\in \{1,2,-2\}$; în context, doar $x=1$ și $x=2$ au sens (lungimile sunt pozitive).

14. $X^4-1=(X-1)(X+1)(X-i)(X+i)$. Produsul rădăcinilor: $1\cdot (-1)\cdot i\cdot (-i)=-1\cdot (-i^2)=-1\cdot 1=-1$. Prin Viète, produsul este $(-1{)}^4\frac{a_0}{a_4}=\frac{-1}{1}=-1$ ✓.

15. Pentru orice $x$ real, $x^4\ge 0$, deci $x^4+1\ge 1>0$: nu există rădăcini reale. Totuși $X^4+1=(X^2+1{)}^2-2X^2=(X^2-\sqrt{2}X+1\left)\right(X^2+\sqrt{2}X+1)$, ambii factori cu $\Delta =2-4=-2<0$.

16. Cu $X=1$ rădăcină, împărțim și obținem $f=(X-1)(X^2-2X+2)$. Trinomul are $\Delta =4-8=-4<0$, deci peste $\mathbb{R}$ ne oprim. Peste $\mathbb{C}$: $X_{1,2}=1\pm i$, deci $f=(X-1)(X-1-i)(X-1+i)$.

17. a) $f(1)=1-3+3-3+2=0$ ✓; $f(2)=16-24+12-6+2=0$ ✓. b) Împărțind succesiv cu $X-1$ și $X-2$ rămâne $X^2+1$, deci $f=(X-1)(X-2)(X^2+1)$; trinomul are $\Delta =-4<0$, deci descompunerea peste $\mathbb{R}$ este completă. c) $f=(X-1)(X-2)(X-i)(X+i)$.

18. $X^4-5X^2+4=(X^2-1)(X^2-4)=(X-1)(X+1)(X-2)(X+2)$. Pentru $X^8-1$: $X^8-1=(X^4-1)(X^4+1)=(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)$ — doi factori de gradul întâi (din rădăcinile reale $1$ și $-1$) și trei trinoame cu discriminant negativ, corespunzând celor trei perechi de rădăcini conjugate. Total: $2+3\cdot 2=8$ ✓.

De reținut

• Ireductibil peste $K$ înseamnă că nu poate fi scris ca produs de două polinoame cu coeficienți în $K$, ambele de grad mai mic. Răspunsul depinde de $K$.
• Peste $\mathbb{C}$, polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi; orice polinom se scrie $a_n(X-x_1)\cdots (X-x_n)$.
• Dacă un polinom are coeficienți reali, atunci $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$, deci rădăcinile nereale apar în perechi conjugate.
• O pereche conjugată $a\pm bi$ dă factorul real $X^2-2aX+(a^2+b^2)$, cu $\Delta =-4b^2<0$. Peste $\mathbb{R}$, factorii ireductibili au gradul $1$ sau gradul $2$ cu $\Delta <0$.
• Consecință utilă: orice polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, iar peste $\mathbb{R}$ nu există factori ireductibili de grad mai mare decât $2$.

Greșeli frecvente

• „Nu are rădăcini reale, deci e ireductibil peste $\mathbb{R}$." Adevărat doar la gradul $2$. $X^4+4$ nu are rădăcini reale, dar se descompune: $(X^2-2X+2)(X^2+2X+2)$.
• Uitarea celei de-a doua rădăcini conjugate. Dacă $2+3i$ e rădăcină a unui polinom real, atunci și $2-3i$ este; altfel îți iese un polinom cu coeficienți complecși.
• Constantele numărate ca factori ireductibili. În $2X(X-1)(X+1)$, factorii ireductibili sunt $X$, $X-1$, $X+1$; numărul $2$ este doar coeficientul dominant.
• Confuzia dintre $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ în cerință. Citește enunțul: „peste $\mathbb{R}$" înseamnă că te oprești la trinoamele cu $\Delta <0$, „peste $\mathbb{C}$" înseamnă că mergi până la factori liniari.
• Numărul greșit de factori. Peste $\mathbb{C}$, numărul factorilor liniari (cu multiplicitate) este exact gradul. Dacă îți ies mai puțini, ai pierdut o rădăcină multiplă.

Aplică acasă

1. Colecția de identități. Scrie pe o fișă formulele care produc descompuneri rapide: $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$, $(a\pm b{)}^2$, plus trucul $X^4+4a^4=(X^2-2aX+2a^2)(X^2+2aX+2a^2)$. Testează fiecare formulă pe un exemplu numeric ales de tine și verifică prin înmulțire.

2. Fabrica de polinoame reale. Alege două numere complexe conjugate (de exemplu $3\pm i$) și un număr real (de exemplu $-2$). Formează polinomul $(X+2)(X^2-6X+10)$, desfă parantezele și verifică faptul că toți coeficienții obținuți sunt reali — o demonstrație experimentală a lemei din secțiunea 3.

3. Verificare cu instrumente digitale. Într-un program de calcul simbolic online, cere descompunerea polinomului $X^6-1$ mai întâi „peste numerele reale", apoi „peste numerele complexe", și compară cu rezolvarea ta de la Exemplul 6. Notează ce notații folosește programul și în ce ordine listează factorii.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide capitolul de structură al polinoamelor: după ce teorema fundamentală a algebrei garantează existența rădăcinilor, aici se răspunde la întrebarea „cât de departe merge descompunerea?". Ideea centrală, adesea trecută cu vederea, este că ireductibilitatea este relativă la mulțimea coeficienților — același polinom e cărămidă într-un context și se sparge în altul.

Ce verifică lecția: definiția corectă a ireductibilității (ambii factori de grad strict mai mic), caracterizarea peste $\mathbb{C}$ (doar gradul $1$) și peste $\mathbb{R}$ (gradul $1$ sau gradul $2$ cu $\Delta <0$), demonstrația perechilor conjugate și rețeta practică de descompunere. Întrebări bune de control: „De ce nu poate exista un factor ireductibil de gradul al treilea peste $\mathbb{R}$?", „Câte rădăcini nereale poate avea un polinom real de gradul al cincilea?", „Ce se schimbă în descompunere dacă trecem de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{C}$?".

Semne că elevul a înțeles: recunoaște singur că un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini reale se descompune totuși peste $\mathbb{R}$, grupează perechile conjugate fără să greșească semnul și justifică fiecare factor de gradul al doilea prin discriminant. La Bacalaureat M1, cerința apare de regulă în trei pași: se dă o rădăcină complexă, se cere a doua prin conjugare, apoi descompunerea completă.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că un polinom este ireductibil? Înseamnă că nu poate fi scris ca produs de două polinoame de grad mai mic, ambele cu coeficienți în aceeași mulțime. Noțiunea depinde de mulțime: $X^2+1$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar nu și peste $\mathbb{C}$.

Care sunt polinoamele ireductibile peste C? Doar cele de gradul întâi. Din teorema fundamentală a algebrei, orice polinom de grad cel puțin $2$ are o rădăcină complexă, deci se divide cu un factor liniar și nu poate fi ireductibil.

Care sunt polinoamele ireductibile peste R? Cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea cu discriminant negativ. Nu există polinoame reale ireductibile de grad mai mare sau egal cu $3$.

De ce rădăcinile complexe ale unui polinom cu coeficienți reali apar în perechi? Pentru că, la coeficienți reali, $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$. Dacă $f(z)=0$, atunci $f(\bar{z})=\bar{0}=0$, deci și conjugatul este rădăcină. Perechea $a\pm bi$ dă factorul real $X^2-2aX+a^2+b^2$.

Cum descompun un polinom peste R când știu o rădăcină complexă? Adaugi conjugata ei, formezi trinomul $X^2-2aX+(a^2+b^2)$, împarți polinomul la acest trinom și descompui câtul. Trinomul rămâne ca factor ireductibil, pentru că discriminantul lui este negativ.

De ce un polinom de grad impar cu coeficienți reali are mereu o rădăcină reală? Pentru că rădăcinile nereale se grupează câte două (conjugate), deci numărul lor este par. Dacă gradul este impar, cel puțin o rădăcină rămâne nepereche, adică reală.

Se poate descompune un polinom fără să-i știu rădăcinile? Da, prin grupări și identități: diferență de pătrate, sumă și diferență de cuburi, sau trucul „adun și scad" din descompunerea lui $X^4+4$. Sunt adesea mai rapide decât căutarea rădăcinilor.

Ce se cere la Bacalaureat M1 la acest subiect? De regulă se dă o rădăcină complexă a unui polinom cu coeficienți reali, se cere justificarea faptului că și conjugata este rădăcină, apoi descompunerea în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$ și, uneori, peste $\mathbb{C}$.