Acasă · Lecții · clasa a X-a · Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcini întregi și raționale

Ecuații algebrice cu coeficienți întregi: rădăcini întregi și raționale

Pentru ecuația de gradul al doilea ai o formulă. Pentru gradul al treilea și al patrulea există formule, dar sunt atât de greoaie încât nimeni nu le folosește. De la gradul al cincilea încolo, matematicianul norvegian Niels Abel a demonstrat, în 1824, un rezultat surprinzător: nu există și nu poate exista o formulă generală care să dea rădăcinile prin radicali. Cu alte cuvinte, la ecuațiile de grad mare nu ai unde să introduci coeficienții ca să iasă răspunsul.

Și totuși ecuațiile de grad mare se rezolvă zi de zi, la clasă și la examen. Cum? Printr-o schimbare de strategie: în loc să căutăm o formulă, restrângem drastic lista suspecților. Dacă ecuația are coeficienți întregi, rădăcinile ei raționale — dacă există — nu pot fi orice număr: numărătorul lor trebuie să dividă termenul liber, iar numitorul, coeficientul dominant. Dintr-o infinitate de candidați rămâne o listă scurtă, pe care o testezi rând pe rând. Aceasta este metoda cea mai des folosită la Bacalaureat M1 și ea face obiectul lecției de față.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema rădăcinilor întregi: orice rădăcină întreagă divide termenul liber.
Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema rădăcinilor raționale: dacă $\frac{p}{q}$ este rădăcină, atunci $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ .
Vei ști să construiești lista completă de candidați și să nu uiți semnele negative.
Vei ști să testezi candidații rapid, cu schema lui Horner, coborând în același timp gradul ecuației.
Vei ști să duci rezolvarea până la capăt: toate rădăcinile, inclusiv cele complexe.
Vei ști ce concluzie tragi când niciun candidat nu este rădăcină.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație algebrică

O ecuație algebrică este o ecuație de forma $f (x) = 0$ , unde $f$ este un polinom neconstant. Gradul ecuației este gradul polinomului. Rezolvarea ei înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor polinomului, noțiune discutată la Rădăcinile unui polinom.

În această lecție lucrăm cu ecuații ai căror coeficienți sunt numere întregi:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0, a_{i} \in Z, a_{n} \neq = 0.$

Observă că nu e o restricție mare: dacă ai coeficienți raționali, înmulțești ecuația cu numitorul comun și obții coeficienți întregi, fără să schimbi rădăcinile. Ecuația $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{2}{3} x + 1 = 0$ devine, după înmulțirea cu $6$ , ecuația $3 x^{3} - 4 x + 6 = 0$ .

2. Teorema rădăcinilor întregi

Teoremă. Fie ecuația $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ cu coeficienți întregi. Dacă $x_{0} \in Z$ este rădăcină, atunci $x_{0}$ divide termenul liber $a_{0}$ .

Demonstrație. Din $f (x_{0}) = 0$ avem

$a_{n} x_{0}^{n} + a_{n - 1} x_{0}^{n - 1} + \dots + a_{1} x_{0} + a_{0} = 0.$

Trecem $a_{0}$ în membrul drept și dăm factor comun $x_{0}$ în stânga:

$x_{0} (a_{n} x_{0}^{n - 1} + a_{n - 1} x_{0}^{n - 2} + \dots + a_{1}) = - a_{0} .$

Paranteza este un număr întreg (sumă de produse de numere întregi), deci $- a_{0}$ este un multiplu întreg al lui $x_{0}$ . Prin urmare $x_{0} ∣ a_{0}$ . $■$

Concluzia practică: rădăcinile întregi se caută numai printre divizorii termenului liber, pozitivi și negativi. Pentru $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ , candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ — opt numere, în loc de o infinitate.

3. Teorema rădăcinilor raționale

Ce facem când rădăcinile nu sunt întregi? Ecuația $2 x - 1 = 0$ are rădăcina $\frac{1}{2}$ , care nu divide nimic. Teorema se extinde elegant:

Teoremă. Fie ecuația $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ cu coeficienți întregi și fie $\frac{p}{q}$ o rădăcină rațională scrisă ca fracție ireductibilă ( $p, q \in Z$ , $q \neq = 0$ , $p$ și $q$ prime între ele). Atunci:

$p ∣ a_{0} ș i q ∣ a_{n} .$

Demonstrație. Înlocuim $x = \frac{p}{q}$ în ecuație și înmulțim totul cu $q^{n}$ :

$a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} q + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n} = 0.$

Pentru $p ∣ a_{0}$ : toți termenii, în afară de ultimul, conțin factorul $p$ . Îl dăm factor comun:

$p (a_{n} p^{n - 1} + a_{n - 1} p^{n - 2} q + \dots + a_{1} q^{n - 1}) = - a_{0} q^{n} .$

Deci $p ∣ a_{0} q^{n}$ . Cum $p$ și $q$ sunt prime între ele, $p$ și $q^{n}$ sunt și ele prime între ele, deci $p ∣ a_{0}$ .

Pentru $q ∣ a_{n}$ : toți termenii, în afară de primul, conțin factorul $q$ :

$q (a_{n - 1} p^{n - 1} + \dots + a_{1} p q^{n - 2} + a_{0} q^{n - 1}) = - a_{n} p^{n} .$

Deci $q ∣ a_{n} p^{n}$ și, cu același argument, $q ∣ a_{n}$ . $■$

Corolar important. Dacă ecuația este monică ( $a_{n} = 1$ ), atunci $q ∣ 1$ , deci $q = \pm 1$ și orice rădăcină rațională este de fapt întreagă. La ecuațiile monice cu coeficienți întregi, cauți doar printre divizorii termenului liber.

✏️Ilustrație: schema listei de candidați pentru 3x³ − 5x² − 4x + 4 = 0 — două coloane, „p | 4: ±1, ±2, ±4" și „q | 3: ±1, ±3", cu săgeți care compun toate fracțiile p/q într-o listă finală

4. Cum construiești lista candidaților

Pentru $3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$ :

divizorii termenului liber $a_{0} = 4$ : $p \in {\pm 1, \pm 2, \pm 4}$ ;
divizorii coeficientului dominant $a_{n} = 3$ : $q \in {\pm 1, \pm 3}$ ;
candidații $\frac{p}{q}$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}$ .

Douăsprezece numere. Trei observații care îți salvează timp:

Nu uita semnele negative. Este greșeala cea mai frecventă: se testează doar candidații pozitivi și se ratează jumătate din rădăcini.
Începe cu $\pm 1$ . $f (1)$ este suma coeficienților, iar $f (- 1)$ este suma coeficienților cu semne alternate — se calculează din minte.
Teorema nu garantează nimic. Ea spune doar unde pot fi rădăcinile raționale. Este perfect posibil ca niciun candidat să nu fie rădăcină; atunci ecuația nu are rădăcini raționale.

5. Testarea cu schema lui Horner

Ai putea calcula $f (c)$ prin înlocuire directă, dar Schema lui Horner face două lucruri deodată: îți spune dacă $c$ este rădăcină (ultimul număr de pe linie este restul, adică $f (c)$ ) și, dacă este, îți dă direct câtul — adică ecuația de grad mai mic pe care o rezolvi mai departe.

Pentru $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , testăm $c = - 1$ :

	$2$	$- 3$	$- 3$	$2$
$c = - 1$	$2$	$- 5$	$2$	$0$

Restul este $0$ , deci $- 1$ este rădăcină, iar câtul este $2 x^{2} - 5 x + 2$ . Ecuația inițială devine

$(x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2) = 0,$

iar trinomul se rezolvă cu formula obișnuită: $Δ = 25 - 16 = 9$ , deci $x = \frac{5 \pm 3}{4}$ , adică $x = 2$ sau $x = \frac{1}{2}$ . Rădăcinile ecuației sunt $- 1$ , $2$ și $\frac{1}{2}$ .

Legătura cu divizibilitatea este Teorema lui Bézout: $c$ este rădăcină exact atunci când polinomul se divide cu $x - c$ .

6. Rețeta completă, pas cu pas

Aduci la coeficienți întregi, dacă e cazul (înmulțești cu numitorul comun).
Scrii lista candidaților $\frac{p}{q}$ , cu $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ , cu tot cu semne.
Testezi candidații cu Horner, începând cu $\pm 1$ .
Cobori gradul cu fiecare rădăcină găsită și reiei căutarea pe cât — lista candidaților se scurtează, pentru că se schimbă termenul liber.
Când ai ajuns la gradul 2, folosești formula cu discriminant. Dacă $Δ < 0$ , scrii rădăcinile complexe conjugate.
Verifici fiecare rădăcină prin înlocuire în ecuația inițială și verifici numărul total de rădăcini (cu multiplicitate) — trebuie să fie egal cu gradul.

7. Când nu există rădăcini raționale

Ecuația $x^{3} - 2 = 0$ are candidații $\pm 1, \pm 2$ . Verificăm: $1 - 2 = - 1 \neq = 0$ ; $- 1 - 2 = - 3 \neq = 0$ ; $8 - 2 = 6 \neq = 0$ ; $- 8 - 2 = - 10 \neq = 0$ . Niciunul nu e rădăcină, deci ecuația nu are rădăcini raționale.

Asta nu înseamnă că nu are soluții! Rădăcina reală este $32$ , iar celelalte două sunt complexe. Metoda din această lecție găsește doar rădăcinile raționale; când ele lipsesc, ecuația se atacă altfel (substituții, grupări, forma trigonometrică).

Mai mult, chiar acest raționament este o demonstrație a iraționalității: pentru că $2$ este rădăcină a ecuației $x^{2} - 2 = 0$ , iar singurii candidați raționali sunt $\pm 1$ și $\pm 2$ , dintre care niciunul nu verifică, rezultă că $2$ nu este rațional.

✏️Ilustrație: diagramă în trei pași — „lista de candidați" (o coloană de numere), „filtrul Horner" (o pâlnie), „rădăcinile găsite" (două-trei numere care trec), cu majoritatea candidaților reținuți de pâlnie

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ecuație monică, rădăcini întregi

Rezolvați în $C$ ecuația $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ .

Rezolvare. Ecuația este monică, deci rădăcinile raționale sunt întregi și divid $- 6$ : candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

$f (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , deci $x = 1$ este rădăcină. Aplicăm Horner:

	$1$	$- 6$	$11$	$- 6$
$c = 1$	$1$	$- 5$	$6$	$0$

Câtul este $x^{2} - 5 x + 6$ , cu $Δ = 25 - 24 = 1$ , deci $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ , adică $2$ și $3$ .

Soluțiile sunt $x \in {1, 2, 3}$ . Verificare prin Viète: suma $1 + 2 + 3 = 6$ ✓ (egală cu $- \frac{- 6}{1}$ ), produsul $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ ✓.

Exemplul 2 — Doi pași de Horner

Rezolvați ecuația $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$ .

Rezolvare. Candidați: divizorii lui $12$ , adică $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ .

$f (1) = 1 - 3 - 4 + 12 = 6 \neq = 0$ . $f (- 1) = - 1 - 3 + 4 + 12 = 12 \neq = 0$ . $f (2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$ ✓

	$1$	$- 3$	$- 4$	$12$
$c = 2$	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

Câtul $x^{2} - x - 6$ are $Δ = 1 + 24 = 25$ , deci $x = \frac{1 \pm 5}{2}$ : rădăcinile $3$ și $- 2$ .

Soluțiile sunt $x \in {2, 3, - 2}$ . (Se putea și prin grupare: $x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x^{2} - 4)$ .)

Exemplul 3 — Prima rădăcină fracționară

Rezolvați ecuația $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .

Rezolvare. Aici $a_{0} = 2$ și $a_{3} = 2$ , deci $p \in {\pm 1, \pm 2}$ , $q \in {\pm 1, \pm 2}$ , iar candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ .

$f (1) = 2 - 3 - 3 + 2 = - 2 \neq = 0$ . $f (- 1) = - 2 - 3 + 3 + 2 = 0$ ✓

	$2$	$- 3$	$- 3$	$2$
$c = - 1$	$2$	$- 5$	$2$	$0$

Câtul $2 x^{2} - 5 x + 2$ are $Δ = 25 - 16 = 9$ , deci $x = \frac{5 \pm 3}{4}$ : rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$ .

Soluțiile sunt $x \in {- 1, 2, \frac{1}{2}}$ . Verificare cu Viète: produsul rădăcinilor trebuie să fie $- \frac{2}{2} = - 1$ , iar $(- 1) \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = - 1$ ✓.

Exemplul 4 — Coeficient dominant care nu este 2

Rezolvați ecuația $3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Rezolvare. $p ∣ 4$ , deci $p \in {\pm 1, \pm 2, \pm 4}$ ; $q ∣ 3$ , deci $q \in {\pm 1, \pm 3}$ . Candidații: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}$ .

$f (1) = 3 - 5 - 4 + 4 = - 2 \neq = 0$ . $f (- 1) = - 3 - 5 + 4 + 4 = 0$ ✓

	$3$	$- 5$	$- 4$	$4$
$c = - 1$	$3$	$- 8$	$4$	$0$

Câtul $3 x^{2} - 8 x + 4$ are $Δ = 64 - 48 = 16$ , deci $x = \frac{8 \pm 4}{6}$ : rădăcinile $2$ și $\frac{2}{3}$ .

Soluțiile: $x \in {- 1, 2, \frac{2}{3}}$ . Observă că $\frac{2}{3}$ era pe listă exact în forma prezisă de teoremă: $2 ∣ 4$ și $3 ∣ 3$ .

Exemplul 5 — Gradul al patrulea

Rezolvați ecuația $2 x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .

Rezolvare. $p ∣ 4$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ ; $q ∣ 2$ : $\pm 1, \pm 2$ . Candidați: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}$ .

$f (1) = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0$ ✓ Aplicăm Horner cu $c = 1$ , apoi căutăm mai departe pe cât.

	$2$	$- 1$	$- 9$	$4$	$4$
$c = 1$	$2$	$1$	$- 8$	$- 4$	$0$
$c = 2$	$2$	$5$	$2$	$0$

Am obținut $2 x^{2} + 5 x + 2$ , cu $Δ = 25 - 16 = 9$ , deci $x = \frac{- 5 \pm 3}{4}$ : rădăcinile $- \frac{1}{2}$ și $- 2$ .

Soluțiile sunt $x \in {1, 2, - 2, - \frac{1}{2}}$ . Verificare: produsul rădăcinilor trebuie să fie $\frac{4}{2} = 2$ , iar $1 \cdot 2 \cdot (- 2) \cdot (- \frac{1}{2}) = 2$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie ecuația $2 x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$ . a) Arătați că ecuația are o singură rădăcină rațională și determinați-o. b) Rezolvați ecuația în $C$ .

Rezolvare. a) $p ∣ - 1$ : $p \in {\pm 1}$ ; $q ∣ 2$ : $q \in {\pm 1, \pm 2}$ . Candidații sunt $\pm 1$ și $\pm \frac{1}{2}$ .

$f (1) = 2 + 1 + 1 - 1 = 3 \neq = 0$ ; $f (- 1) = - 2 + 1 - 1 - 1 = - 3 \neq = 0$ ; $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ ✓; $f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{3}{2} \neq = 0$ .

Singura rădăcină rațională este $x = \frac{1}{2}$ .

b) Coborâm gradul cu Horner:

	$2$	$1$	$1$	$- 1$
$c = \frac{1}{2}$	$2$	$2$	$2$	$0$

Câtul este $2 x^{2} + 2 x + 2 = 2 (x^{2} + x + 1)$ . Rezolvăm $x^{2} + x + 1 = 0$ : $Δ = 1 - 4 = - 3 < 0$ , deci, ca la Ecuația de gradul al doilea cu discriminant negativ,

$x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm i 3}{2} .$

Soluțiile în $C$ sunt $x \in {\frac{1}{2}, \frac{- 1 + i 3}{2}, \frac{- 1 - i 3}{2}}$ — o rădăcină rațională și o pereche de rădăcini complexe conjugate, exact cum trebuie la coeficienți reali.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie mai întâi lista completă de candidați, cu semne. Verifică la final fiecare rădăcină în ecuația inițială și numără rădăcinile: trebuie să fie atâtea cât gradul.

1. Scrie lista candidaților pentru ecuația $x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = 0$ , apoi rezolv-o.

2. Rezolvă $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

3. Rezolvă $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12 = 0$ . Ce observi la rădăcini?

4. Rezolvă $x^{3} + x^{2} - 4 x - 4 = 0$ (se poate și prin grupare).

5. Rezolvă $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ . Atenție la coeficientul lipsă.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice rădăcină rațională a unei ecuații cu coeficienți întregi este un număr întreg."

7. Scrie lista candidaților pentru $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2 = 0$ și verifică, prin Horner, care dintre ei sunt rădăcini.

8. Rezolvă $3 x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ .

9. Rezolvă $4 x^{3} - 4 x^{2} - x + 1 = 0$ .

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă niciun divizor al termenului liber nu este rădăcină, atunci ecuația nu are soluții."

11. Arată că ecuația $x^{3} + x + 1 = 0$ nu are rădăcini raționale.

12. Rezolvă $2 x^{4} - 9 x^{3} + 14 x^{2} - 9 x + 2 = 0$ .

13. Rezolvă $2 x^{4} - x^{3} - 9 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ pornind de la $x = - 2$ .

14. (Problemă aplicată.) O cutie fără capac are dimensiunile $x$ , $x - 1$ și $x - 2$ centimetri, iar volumul ei este de $6$ centimetri cubi. Scrie ecuația, rezolv-o și precizează dimensiunile cutiei.

15. Determină $m \in Z$ astfel încât $x = 3$ să fie rădăcină a ecuației $x^{3} - 4 x^{2} + m x - 6 = 0$ , apoi rezolvă complet ecuația în $C$ .

16. Rezolvă ecuația $\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + x = 0$ , aducând-o mai întâi la coeficienți întregi.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f = 2 X^{3} + X^{2} - 5 X + 2$ . a) Arătați că $x = 1$ este rădăcină a lui $f$ . b) Determinați toate rădăcinile raționale ale lui $f$ . c) Descompuneți $f$ în factori de gradul întâi.

18. (Provocare.) Folosind teorema rădăcinilor raționale aplicată ecuației $x^{2} - 2 = 0$ , demonstrează că $2$ este un număr irațional.

Răspunsuri și explicații

1. Candidați (ecuație monică): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $f (- 1) = - 1 + 2 + 5 - 6 = 0$ ✓; Horner dă câtul $x^{2} + x - 6$ , cu rădăcinile $2$ și $- 3$ . Soluții: $x \in {- 1, 2, - 3}$ .

2. Candidați: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ . $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓; câtul este $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ . Soluții: $x \in {1, 3, - 2}$ .

3. $f (2) = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$ ✓; câtul $x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ , deci $x = 2$ apare din nou. Soluții: $x = 2$ (rădăcină dublă) și $x = - 3$ . Descompunerea este $(x - 2)^{2} (x + 3)$ .

4. Grupare: $x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = (x + 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ . Soluții: $x \in {- 1, 2, - 2}$ .

5. Coeficienții sunt $1, 0, - 7, 6$ . $f (1) = 1 - 7 + 6 = 0$ ✓; Horner cu $c = 1$ dă $x^{2} + x - 6$ , cu rădăcinile $2$ și $- 3$ . Soluții: $x \in {1, 2, - 3}$ .

6. Fals în general — $2 x - 1 = 0$ are rădăcina $\frac{1}{2}$ . Este însă adevărat pentru ecuațiile monice: dacă $a_{n} = 1$ , atunci $q ∣ 1$ , deci $q = \pm 1$ și rădăcina este întreagă.

7. Candidați: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ . Horner arată că $- 1$ este rădăcină (linia $2, - 5, 2, 0$ ), iar din $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ obținem $2$ și $\frac{1}{2}$ . Soluții: ${- 1, 2, \frac{1}{2}}$ .

8. $p ∣ 2$ , $q ∣ 3$ : candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}$ . $f (1) = 3 + 2 - 7 + 2 = 0$ ✓; câtul $3 x^{2} + 5 x - 2$ are $Δ = 25 + 24 = 49$ , deci $x = \frac{- 5 \pm 7}{6}$ : rădăcinile $\frac{1}{3}$ și $- 2$ . Soluții: ${1, - 2, \frac{1}{3}}$ .

9. Grupare: $4 x^{2} (x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (4 x^{2} - 1) = (x - 1) (2 x - 1) (2 x + 1)$ . Soluții: $x \in {1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}}$ .

10. Fals. Teorema restrânge doar căutarea rădăcinilor raționale. Ecuația poate avea rădăcini iraționale sau complexe: $x^{3} - 2 = 0$ nu are nicio rădăcină rațională, dar are soluția reală $32$ .

11. Ecuația e monică, deci candidații sunt divizorii lui $1$ : $\pm 1$ . $f (1) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq = 0$ și $f (- 1) = - 1 - 1 + 1 = - 1 \neq = 0$ . Niciun candidat nu verifică, deci nu există rădăcini raționale.

12. $p ∣ 2$ , $q ∣ 2$ : candidații $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ . $f (1) = 2 - 9 + 14 - 9 + 2 = 0$ ✓; Horner cu $c = 1$ dă $2 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 2$ , iar din nou cu $c = 1$ dă $2 x^{2} - 5 x + 2$ , cu rădăcinile $2$ și $\frac{1}{2}$ . Soluții: $x = 1$ (dublă), $x = 2$ , $x = \frac{1}{2}$ .

13. Horner cu $c = - 2$ pe $2, - 1, - 9, 4, 4$ dă linia $2, - 5, 1, 2, 0$ , deci câtul este $2 x^{3} - 5 x^{2} + x + 2$ . Continuând cu $c = 1$ obținem $2 x^{2} - 3 x - 2$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ și rădăcinile $2$ și $- \frac{1}{2}$ . Soluții: ${- 2, 1, 2, - \frac{1}{2}}$ — aceleași ca la Exemplul 5.

14. $x (x - 1) (x - 2) = 6$ , adică $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$ . Candidații: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ ; $f (3) = 27 - 27 + 6 - 6 = 0$ ✓. Horner dă câtul $x^{2} + 2$ , cu $Δ = - 8 < 0$ , deci nicio altă soluție reală. Dimensiunile sunt $3$ , $2$ și $1$ centimetri (volum $6$ ✓).

15. $f (3) = 27 - 36 + 3 m - 6 = 0 \Rightarrow 3 m = 15 \Rightarrow m = 5$ . Ecuația devine $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 6 = 0$ ; Horner cu $c = 3$ dă câtul $x^{2} - x + 2$ , cu $Δ = 1 - 8 = - 7 < 0$ . Soluțiile în $C$ : $x = 3$ și $x_{1, 2} = \frac{1 \pm i 7}{2}$ .

16. Înmulțim cu $2$ : $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$ , adică $x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$ . Soluții: $x \in {0, 1, 2}$ . (Observă că $x = 0$ este rădăcină pentru că termenul liber este $0$ .)

17. a) $f (1) = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$ ✓. b) Candidați: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$ ; Horner cu $c = 1$ dă câtul $2 x^{2} + 3 x - 2$ , cu $Δ = 9 + 16 = 25$ și rădăcinile $\frac{1}{2}$ și $- 2$ — toate trei raționale. c) $f = 2 (X - 1) (X - \frac{1}{2}) (X + 2) = (X - 1) (2 X - 1) (X + 2)$ .

18. Numărul $2$ verifică ecuația $x^{2} - 2 = 0$ , care are coeficienți întregi și este monică. Dacă $2$ ar fi rațional, ar trebui să fie o rădăcină rațională a acestei ecuații, deci un divizor întreg al lui $- 2$ : unul dintre $\pm 1, \pm 2$ . Verificăm: $1 - 2 = - 1$ , $4 - 2 = 2$ — niciunul nu dă $0$ . Contradicție, deci $2 \in / Q$ .

De reținut

Teorema rădăcinilor întregi: dacă $x_{0} \in Z$ este rădăcină a unei ecuații cu coeficienți întregi, atunci $x_{0} ∣ a_{0}$ (termenul liber).
Teorema rădăcinilor raționale: dacă fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină, atunci $p ∣ a_{0}$ și $q ∣ a_{n}$ . Lista candidaților se scrie cu ambele semne.
La ecuațiile monice, orice rădăcină rațională este întreagă — cauți doar printre divizorii termenului liber.
Schema lui Horner testează candidatul și coboară gradul dintr-o singură trecere: ultimul număr este $f (c)$ , restul liniei este câtul.
Teorema spune unde pot fi rădăcinile raționale, nu că ele există. Dacă niciun candidat nu verifică, ecuația nu are rădăcini raționale — dar poate avea rădăcini iraționale sau complexe.

Greșeli frecvente

Uitarea candidaților negativi. Divizorii lui $6$ sunt $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ , nu doar cei pozitivi. Jumătate din rădăcini se pierd așa.
Ignorarea coeficientului dominant. Pentru $3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4$ , rădăcina $\frac{2}{3}$ apare doar dacă ai pus și numitorii $q ∣ 3$ pe listă.
Coeficienții lipsă neînscriși în Horner. În $x^{3} - 7 x + 6$ , linia lui Horner pornește cu $1, 0, - 7, 6$ — dacă sari zeroul, tot calculul e greșit.
Oprirea după prima rădăcină. O ecuație de gradul al treilea are trei rădăcini (cu multiplicitate). După ce cobori gradul, rezolvi până la capăt, inclusiv rădăcinile complexe.
„Nu am găsit rădăcini raționale, deci ecuația nu are soluții." Confuzie gravă între „rațional" și „real". Ecuația $x^{3} - 2 = 0$ are soluția $32$ .

Aplică acasă

Fabrica de ecuații. Alege trei numere raționale simple (de exemplu $2$ , $- 3$ și $\frac{1}{2}$ ), formează polinomul $2 (x - 2) (x + 3) (x - \frac{1}{2})$ și desfă parantezele. Verifică apoi că, plecând de la coeficienții obținuți, teorema rădăcinilor raționale îți dă exact rădăcinile alese de tine printre candidați.
Cronometrează metoda. Ia cinci ecuații de gradul al treilea din culegere și rezolvă-le, măsurând timpul. Notează de fiecare dată câți candidați ai avut și al câtelea testat a fost primul rădăcină. Vei observa că $\pm 1$ rezolvă surprinzător de des primul pas — de aceea se testează întotdeauna primii.
Iraționale demonstrate. Folosind raționamentul de la exercițiul 18, demonstrează că $3$ , $35$ și $6$ sunt iraționale, scriind pentru fiecare ecuația cu coeficienți întregi pe care o verifică și lista candidaților raționali.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce metoda standard de rezolvare a ecuațiilor algebrice de grad superior — singura care se aplică efectiv la clasă și la examen, de vreme ce formulele generale nu există de la gradul al cincilea încolo. Valoarea ei formativă depășește calculul: elevul vede cum o teoremă de divizibilitate transformă o căutare infinită într-una finită.

Ce verifică lecția: scrierea completă a listei de candidați (cu semne și cu numitori), aplicarea corectă a schemei lui Horner (inclusiv coeficienții nuli), coborârea gradului până la o ecuație de gradul al doilea și încheierea în $C$ . Întrebări bune de control: „De ce numitorul trebuie să dividă coeficientul dominant?", „Ce concluzie tragi dacă niciun candidat nu e rădăcină?", „De ce la ecuațiile monice rădăcinile raționale sunt automat întregi?".

Semne că elevul a înțeles: scrie lista candidaților fără să omită semnele, folosește Horner ca instrument de coborâre a gradului (nu doar de verificare) și distinge clar între „nu are rădăcini raționale" și „nu are soluții". La Bacalaureat M1, cerința apare aproape sesiune de sesiune, în trei subpuncte: verificarea unei rădăcini date, determinarea celorlalte și descompunerea polinomului în factori.

Întrebări frecvente

Cum găsesc rădăcinile întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi? Le cauți printre divizorii termenului liber, pozitivi și negativi, pentru că orice rădăcină întreagă divide termenul liber. Le testezi apoi cu schema lui Horner sau prin înlocuire directă.

Ce spune teorema rădăcinilor raționale? Că, dacă fracția ireductibilă $\frac{p}{q}$ este rădăcină a unei ecuații cu coeficienți întregi, atunci numărătorul $p$ divide termenul liber $a_{0}$ , iar numitorul $q$ divide coeficientul dominant $a_{n}$ .

Cum scriu lista candidaților p/q? Faci lista divizorilor lui $a_{0}$ (cu ambele semne), lista divizorilor lui $a_{n}$ , apoi formezi toate fracțiile posibile. Pentru $3 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 4$ obții $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{4}{3}$ .

De ce e util să folosesc schema lui Horner? Pentru că face două lucruri simultan: ultimul număr de pe linie este $f (c)$ , deci îți spune dacă $c$ e rădăcină, iar celelalte numere formează câtul, adică ecuația de grad mai mic pe care o rezolvi mai departe.

Ce fac dacă niciun candidat nu este rădăcină? Concluzionezi că ecuația nu are rădăcini raționale. Ea poate avea totuși rădăcini iraționale sau complexe, care se caută prin alte metode (substituții, grupări, forma trigonometrică).

De ce la ecuațiile monice rădăcinile raționale sunt întregi? Pentru că, dacă $a_{n} = 1$ , condiția $q ∣ a_{n}$ devine $q ∣ 1$ , deci $q = \pm 1$ și fracția $\frac{p}{q}$ este de fapt un număr întreg.

Ce fac dacă ecuația are coeficienți fracționari? Înmulțești toată ecuația cu numitorul comun al coeficienților. Rădăcinile nu se schimbă, iar ecuația nouă are coeficienți întregi, deci se poate aplica teorema.

Unde apar aceste ecuații la Bacalaureat M1? La subiectul de polinoame: se cere de regulă verificarea unei rădăcini, determinarea celorlalte rădăcini raționale, rezolvarea completă în $C$ și descompunerea polinomului în factori.