Puteri cu exponent rațional: de la radicali la exponenți

Într-un laborator de biologie, o cultură de bacterii se înmulțește de $8$ ori în $3$ ore, iar creșterea este uniformă: în fiecare oră populația se înmulțește cu același factor. Întrebarea firească a laborantului este: cu cât se înmulțește într-o singură oră? Dacă notăm acel factor cu $x$, atunci după trei ore populația s-a înmulțit cu $x\cdot x\cdot x=x^3$, deci $x^3=8$, de unde $x=2$. Până aici, nimic nou. Dar dacă întrebăm cu cât se înmulțește populația în două ore, răspunsul este $2^2=4$, adică exact $\sqrt[3]{8^2}$. Iar dacă vrem să scriem acest lucru scurt, elegant, într-o formulă care să funcționeze pentru orice interval de timp, avem nevoie de o notație nouă: $8^{2/3}=4$.

Aceasta este ideea din spatele întregii lecții. Până acum ai lucrat cu puteri al căror exponent era un număr întreg: $a^5$ înseamnă „$a$ înmulțit cu el însuși de cinci ori", iar $a^{-3}$ înseamnă $\frac{1}{a^3}$. Ce ar putea însemna însă $a^{1/2}$, $a^{2/3}$ sau $a^{-3/4}$? Nu mai putem spune „înmulțit cu el însuși de jumătate de ori" — fraza nu are niciun sens. Vom construi definiția altfel: vom cere ca regulile de calcul cu puteri să rămână valabile, iar această singură cerință va decide, fără nicio libertate, ce trebuie să însemne o putere cu exponent rațional. Este un tipar pe care matematica îl folosește des: extinzi o noțiune păstrând proprietățile, nu cuvintele.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce $a^{1/n}$ trebuie să fie $\sqrt[n]{a}$ și de unde vine această definiție, în loc să o memorezi mecanic.
• Vei ști să enunți corect definiția puterii cu exponent rațional: $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, cu toate condițiile ei.
• Vei ști să argumentezi de ce baza trebuie să fie strict pozitivă și vei vedea contradicția concretă care apare dacă acceptăm baze negative.
• Vei ști să demonstrezi că definiția este corectă, adică nu depinde de forma în care scrii fracția din exponent.
• Vei ști să treci, în ambele sensuri, din scriere cu radicali în scriere cu exponenți și invers.
• Vei ști să calculezi rapid puteri cu exponent rațional de forma $8^{2/3}$, $16^{-3/4}$, ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{2/3}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce știm deja: puteri cu exponent întreg și radicali

Recapitulăm scurt, pentru că întreaga construcție se sprijină aici. Pentru $a\in \mathbb{R}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ am definit $a^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \cdots \cdot a}}$, apoi am extins: $a^0=1$ pentru $a\ne 0$ și $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pentru $a\ne 0$. Toate acestea le-ai studiat în clasa a IX-a, la funcția putere cu exponent întreg.

Regulile de calcul, valabile pentru $a,b\ne 0$ și $m,n\in \mathbb{Z}$, sunt cele pe care le folosești automat:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},(a^m{)}^n=a^{mn},(ab{)}^n=a^n{b}^n.$$

Separat, ai învățat despre radicali: pentru $a\ge 0$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, numărul $\sqrt[n]{a}$ este unicul număr nenegativ a cărui putere a $n$-a este $a$. Pentru $n$ impar radicalul se definește și din numere negative ($\sqrt[3]{-8}=-2$), iar proprietățile radicalilor le-ai adunat în lecția despre radicali, proprietăți și expresii conjugate.

Aceste două lumi — puterile și radicalii — par separate. Lecția de față arată că sunt, de fapt, una singură.

2. Ce ar trebui să însemne $a^{1/n}$

Să presupunem, pentru o clipă, că am reușit cumva să dăm sens simbolului $a^{1/n}$ și că, în lumea nouă, regula $(a^p{)}^q=a^{pq}$ rămâne valabilă. Atunci suntem obligați să acceptăm:

$${\left(a^{1/n}\right)}^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a.$$

Cu alte cuvinte, $a^{1/n}$ trebuie să fie un număr care, ridicat la puterea a $n$-a, dă $a$. Dar exact asta înseamnă $\sqrt[n]{a}$! Nu avem, deci, nicio libertate de alegere: dacă vrem ca regulile să se păstreze, definiția este impusă:

$$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}.$$

Verifică imediat pe un caz concret: $9^{1/2}$ trebuie să fie numărul al cărui pătrat este $9$, adică $3$; iar $27^{1/3}$ trebuie să fie numărul al cărui cub este $27$, adică $3$. Și, într-adevăr, $9^{1/2}=\sqrt{9}=3$, $27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3$.

3. Definiția puterii cu exponent rațional

Trecem acum de la exponentul $\frac{1}{n}$ la un exponent rațional oarecare. Fie $r=\frac{m}{n}$, cu $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Folosind din nou regula $(a^p{)}^q=a^{pq}$, avem $a^{m/n}={\left(a^m\right)}^{1/n}$, deci:

Definiție. Fie $a>0$ un număr real și $r=\frac{m}{n}$ un număr rațional, cu $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Definim

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$

Trei observații care nu trebuie sărite:

• Baza este strict pozitivă. Condiția $a>0$ nu este un capriciu; secțiunea următoare arată ce se strică fără ea.
• Rezultatul este întotdeauna strict pozitiv. Radicalul de ordin $n$ dintr-un număr pozitiv este pozitiv, deci $a^{m/n}>0$ pentru orice $a>0$ și orice $r\in \mathbb{Q}$. Nicio putere cu exponent rațional a unei baze pozitive nu poate fi zero sau negativă.
• Exponentul negativ păstrează sensul vechi: $a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}$, pentru că $\sqrt[n]{a^{-m}}=\sqrt[n]{\frac{1}{a^m}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$.

Un calcul model, făcut în două feluri, ca să vezi că amândouă drumurile duc în același loc. Vrem $8^{2/3}$:

$$8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\text{sau}{8}^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4.$$

Al doilea drum e aproape întotdeauna mai comod: întâi radicalul, apoi ridicarea la putere, pentru că lucrezi cu numere mici. Compară $\sqrt[3]{64}$ cu ${\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2$ — a doua variantă nici măcar nu cere să știi cubul lui $4$.

4. De ce baza trebuie să fie strict pozitivă

Aici stă capcana clasică a capitolului, cea care produce cele mai multe greșeli la teze. Tentația este să scriem, de exemplu, $(-8{)}^{1/3}=\sqrt[3]{-8}=-2$, pentru că radicalul de ordin impar dintr-un număr negativ există. Pare inofensiv. Nu este.

Fracția $\frac{1}{3}$ se poate scrie și $\frac{2}{6}$ — este același număr rațional. Dacă definiția ar accepta baze negative, ar trebui ca cele două scrieri să dea același rezultat. Să calculăm:

$$(-8{)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2,(-8{)}^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-8{)}^2}=\sqrt[6]{64}=2.$$

Am obținut $-2$ și $2$ pentru aceeași putere. Este o contradicție pură: un simbol matematic nu poate desemna două numere diferite. Concluzia nu e că trebuie să alegem una dintre variante, ci că definiția nu funcționează pentru baze negative — pur și simplu.

Mai mult, pentru anumite baze negative expresia nici nu ar avea sens: $(-4{)}^{1/2}=\sqrt{-4}$ nu este număr real. Dacă am accepta baze negative doar „când merge", regulile de calcul s-ar prăbuși una câte una și n-am mai putea scrie nicio formulă generală.

De aceea, convenția fixată de programă și de manuale este limpede și o vei respecta peste tot în acest capitol: la puteri cu exponent rațional neîntreg, baza este strict pozitivă. Radicalul $\sqrt[3]{-8}$ rămâne perfect valabil ca radical; ceea ce nu are voie să existe este scrierea lui ca putere, $(-8{)}^{1/3}$.

5. Definiția este corectă: nu depinde de scrierea fracției

Am văzut că baza negativă strică totul. Rămâne de arătat că, pentru baze pozitive, nu se strică nimic: orice două scrieri ale aceleiași fracții dau același rezultat. Fără această verificare, definiția ar fi doar o speranță.

Teoremă. Fie $a>0$ și fie $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$ două scrieri ale aceluiași număr rațional, cu $m,p\in \mathbb{Z}$ și $n,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Atunci $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p}$.

Demonstrație. Din $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$ obținem, înmulțind încrucișat, relația $mq=np$.

Notăm $x=\sqrt[n]{a^m}$ și $y=\sqrt[q]{a^p}$. Ambele numere sunt strict pozitive, fiind radicali din numere strict pozitive. Ridicăm fiecare dintre ele la puterea $nq$ și folosim regulile de calcul cu exponenți întregi, care sunt deja demonstrate:

$$x^{nq}={\left(x^n\right)}^q={\left(a^m\right)}^q=a^{mq},y^{nq}={\left(y^q\right)}^n={\left(a^p\right)}^n=a^{np}.$$

Cum $mq=np$, cele două rezultate sunt egale: $x^{nq}=y^{nq}$.

Mai rămâne un pas, adesea uitat: din $x^{nq}=y^{nq}$ nu rezultă automat $x=y$ — pentru exponenți pari, $(-3{)}^2=3^2$ fără ca $-3$ să fie $3$. Aici însă știm că $x>0$ și $y>0$, iar pe intervalul $(0,\infty )$ funcția $t\mapsto t^{nq}$ este strict crescătoare, deci injectivă: valori diferite dau rezultate diferite. Prin urmare $x=y$. $■$

Ai văzut noțiunea de injectivitate în clasa a IX-a, la funcții injective, surjective, bijective; iată prima ei folosire serioasă într-o demonstrație de clasa a X-a. Observă și că demonstrația folosește ipoteza $a>0$ în două locuri: ca să știm că $x$ și $y$ există și ca să știm că sunt pozitive. Fără ea, ultimul pas cade — și tocmai de acolo vine contradicția din secțiunea 4.

6. Cazuri speciale: baza $1$, baza $0$, exponentul $0$

Trei situații pe care e bine să le ai fixate:

• Baza $1$: $1^r=\sqrt[n]{1^m}=1$ pentru orice $r\in \mathbb{Q}$. Numărul $1$ rămâne $1$, oricât l-ai ridica.
• Exponentul $0$: $a^0=1$ pentru orice $a>0$. Se potrivește cu definiția: $a^{0/n}=\sqrt[n]{a^0}=\sqrt[n]{1}=1$.
• Baza $0$: convenim $0^r=0$ pentru $r>0$ (într-adevăr, $\sqrt[n]{0^m}=0$ când $m>0$). Pentru $r\le 0$, expresia $0^r$ nu se definește: ar cere împărțirea la zero. Așadar $0^{3/2}=0$, dar $0^{-1/2}$ nu are sens, la fel ca $0^0$.

Reține și un lucru care se vede din a doua observație de la definiție: pentru $a>0$, niciodată $a^r=0$. Această simplă remarcă îți va salva multe exerciții mai târziu, la ecuații exponențiale: dacă ajungi la o „soluție" care ar cere ca o putere să fie nulă sau negativă, ai o pistă falsă.

7. Traducerea în ambele sensuri

În practică, cea mai utilă abilitate din această lecție este traducerea: să transformi orice radical într-o putere și orice putere cu exponent rațional într-un radical. Tabelul de mai jos e dicționarul tău.

De ce merită efortul? Pentru că radicalii de ordine diferite nu se pot înmulți direct, dar puterile da. În clasa a IX-a, ca să calculezi $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{2}$, trebuia să aduci radicalii la același ordin. Acum scrii pur și simplu $2^{1/3}\cdot 2^{1/2}=2^{1/3+1/2}=2^{5/6}=\sqrt[6]{32}$ — o singură adunare de fracții. Regulile de calcul care fac posibilă această scurtătură sunt subiectul lecției următoare, proprietățile puterilor cu exponent rațional.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Primele calcule directe

Calculați: a) $16^{3/4}$; b) $125^{-1/3}$; c) $243^{2/5}$.

Rezolvare. Peste tot aplicăm regula practică: întâi radicalul, apoi puterea.

a) $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$, pentru că $2^4=16$.

b) $125^{-1/3}=\frac{1}{125^{1/3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{125}}=\frac{1}{5}$.

c) $243^{2/5}={\left(\sqrt[5]{243}\right)}^2=3^2=9$, pentru că $3^5=243$.

Observă cum am procedat de fiecare dată: am căutat baza „ascunsă" ($16=2^4$, $125=5^3$, $243=3^5$) și abia apoi am aplicat exponentul. Descompunerea în factori primi este cel mai bun aliat al tău în acest capitol.

Exemplul 2 — Baze fracționare și exponenți negativi

Calculați: a) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{2/3}$; b) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}$; c) $0,04^{-1/2}$.

Rezolvare. a) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{2/3}=\frac{8^{2/3}}{27^{2/3}}=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$.

b) Exponentul negativ înseamnă „răstoarnă fracția și schimbă semnul exponentului":

$${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}={\left(\frac{81}{16}\right)}^{3/4}=\frac{{\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3}{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}=\frac{3^3}{2^3}=\frac{27}{8}.$$

c) Scriem întâi zecimalul ca fracție ordinară: $0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$. Atunci

$$0,04^{-1/2}={\left(\frac{1}{25}\right)}^{-1/2}=25^{1/2}=\sqrt{25}=5.$$

Trucul de la b) — răsturnarea fracției — merită memorat, pentru că elimină complet lucrul cu exponenți negativi.

Exemplul 3 — Din radical în putere și înapoi

a) Scrieți sub formă de putere cu exponent rațional: $\sqrt[3]{a^5}$, $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}$, $\sqrt{a\sqrt{a}}$, unde $a>0$. b) Scrieți sub formă de radical: $7^{3/5}$, $11^{-2/3}$.

Rezolvare. a) Primele două sunt traduceri directe: $\sqrt[3]{a^5}=a^{5/3}$ și $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}=a^{-1/4}$.

A treia cere un pas în plus. Trecem la exponenți din interior spre exterior:

$$\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a\cdot a^{1/2}}=\sqrt{a^{3/2}}={\left(a^{3/2}\right)}^{1/2}=a^{3/4}.$$

Verificare rapidă pentru $a=16$: $\sqrt{16\sqrt{16}}=\sqrt{16\cdot 4}=\sqrt{64}=8$, iar $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$. ✓

b) $7^{3/5}=\sqrt[5]{7^3}=\sqrt[5]{343}$ și $11^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{11^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{121}}$.

Exemplul 4 — Capcana bazei negative

Un elev scrie: „$(-32{)}^{1/5}=\sqrt[5]{-32}=-2$, deci și $(-32{)}^{2/10}=-2$." Explicați unde greșește.

Rezolvare. Greșeala nu este de calcul, ci de domeniu de valabilitate. Radicalul $\sqrt[5]{-32}=-2$ este corect ca radical, dar scrierea lui sub forma unei puteri cu exponent rațional nu este permisă, pentru că baza este negativă.

Că nu e o simplă pedanterie se vede imediat: $\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$, deci cele două puteri ar trebui să fie egale. Dar

$$\sqrt[10]{(-32{)}^2}=\sqrt[10]{1024}=2\ne -2.$$

Aceeași putere ar avea două valori — imposibil. Concluzia corectă: pentru baze negative nu scriem exponenți raționali. Rămânem la limbajul radicalilor, unde $\sqrt[5]{-32}=-2$ este perfect legitim.

Exemplul 5 — O aplicație de creștere uniformă

Valoarea unui utilaj scade uniform, ajungând după $4$ ani la $\frac{1}{16}$ din valoarea inițială. Cu ce factor se înmulțește valoarea în fiecare an? Dar în primele $3$ ani?

Rezolvare. Fie $k$ factorul anual, $k>0$. După $4$ ani valoarea s-a înmulțit cu $k^4$, deci $k^4=\frac{1}{16}$, de unde

$$k={\left(\frac{1}{16}\right)}^{1/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{16}}=\frac{1}{2}.$$

Valoarea se înjumătățește în fiecare an. În primii $3$ ani, factorul este

$$k^3={\left(\frac{1}{16}\right)}^{3/4}=\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}=\frac{1}{8}.$$

Deci după $3$ ani utilajul valorează a opta parte din prețul de achiziție. Verificare: $\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$, cât trebuie după al patrulea an. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul $N=\frac{64^{2/3}\cdot 81^{1/4}}{4^{3/2}}$. Arătați că $N$ este număr natural și determinați valoarea sa.

Rezolvare. Calculăm separat fiecare factor, descompunând bazele:

• $64^{2/3}={\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2=4^2=16$;
• $81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=3$;
• $4^{3/2}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=2^3=8$.

Prin urmare

$$N=\frac{16\cdot 3}{8}=\frac{48}{8}=6\in \mathbb{N}.$$

O variantă la fel de bună, care anticipează lecția următoare: scriem totul în baza $2$ și $3$. Din $64=2^6$, $4=2^2$, $81=3^4$ obținem $N=\frac{2^{6\cdot \frac{2}{3}}\cdot 3^{4\cdot \frac{1}{4}}}{2^{2\cdot \frac{3}{2}}}=\frac{2^4\cdot 3}{2^3}=2\cdot 3=6$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet, cu toți pașii scriși. La fiecare exercițiu în care apare un exponent rațional neîntreg, verifică mai întâi condiția asupra bazei — la Bacalaureat M1 acest pas se punctează separat.

1. Calculați: $49^{1/2}$, $8^{1/3}$, $81^{1/4}$, $32^{1/5}$.

2. Calculați: $4^{3/2}$, $27^{2/3}$, $16^{5/4}$, $100^{3/2}$.

3. Calculați: $9^{-1/2}$, $8^{-2/3}$, $16^{-3/4}$, $32^{-2/5}$.

4. Scrieți sub formă de putere cu exponent rațional, știind că $a>0$: $\sqrt{a}$, $\sqrt[3]{a^2}$, $\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}$, ${\left(\sqrt[4]{a}\right)}^7$.

5. Scrieți sub formă de radical: $6^{1/3}$, $5^{4/3}$, $2^{-3/4}$, $10^{7/2}$.

6. Calculați: ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{3/2}$, ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{-2/3}$, ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{3/4}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $a$ avem $a^{1/2}=\sqrt{a}$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $a>0$ și un număr rațional $r$ astfel încât $a^r=0$."

9. Calculați $0,25^{-1/2}$, $0,008^{1/3}$ și $0,0016^{-1/2}$, transformând întâi zecimalele în fracții ordinare.

10. Arătați că ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^6=25$, folosind trecerea la exponenți raționali.

11. Simplificați, pentru $a>0$: $\sqrt{a\sqrt{a}}$, $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}$, $\sqrt{a^3\sqrt{a}}$, scriind rezultatele ca puteri cu exponent rațional.

12. Un elev afirmă că $(-27{)}^{1/3}=-3$. Arătați, folosind scrierea $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, de ce această scriere nu este acceptată și precizați care este formularea corectă.

13. (Problemă aplicată.) O investiție se triplează în $6$ ani, crescând uniform. Cu ce factor crește în fiecare an? Scrieți răspunsul ca putere cu exponent rațional, apoi exprimați cu ce factor crește în $3$ ani și dați valoarea exactă a acestuia.

14. Determinați numărul natural $n$ pentru care $2^n=64^{2/3}\cdot 4^{1/2}$.

15. Comparați, fără calculator, numerele $8^{2/3}$ și $16^{3/4}$. Care este mai mare și cu cât?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că numărul $E=\frac{125^{2/3}\cdot 16^{3/4}}{10^2}$ este natural și determinați valoarea sa.

17. Rezolvați în $\mathbb{R}$, folosind definiția puterii cu exponent rațional: $x^{2/3}=4$, unde $x>0$.

18. (Provocare.) Fie $a>0$. Demonstrați că $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}$ și găsiți formula generală pentru un „turn" cu $n$ radicali imbricați de acest tip.

Răspunsuri și explicații

1. $49^{1/2}=\sqrt{49}=7$; $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$; $81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=3$; $32^{1/5}=\sqrt[5]{32}=2$. În fiecare caz căutăm numărul a cărui putere corespunzătoare dă baza.

2. $4^{3/2}={\left(\sqrt{4}\right)}^3=2^3=8$; $27^{2/3}={\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2=3^2=9$; $16^{5/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^5=2^5=32$; $100^{3/2}={\left(\sqrt{100}\right)}^3=10^3=1000$.

3. $9^{-1/2}=\frac{1}{3}$; $8^{-2/3}=\frac{1}{8^{2/3}}=\frac{1}{4}$; $16^{-3/4}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$; $32^{-2/5}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

4. $\sqrt{a}=a^{1/2}$; $\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}$; $\frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}=a^{-3/5}$; ${\left(\sqrt[4]{a}\right)}^7=a^{7/4}$.

5. $6^{1/3}=\sqrt[3]{6}$; $5^{4/3}=\sqrt[3]{5^4}=\sqrt[3]{625}$; $2^{-3/4}=\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$; $10^{7/2}=\sqrt{10^7}=\sqrt{10000000}$.

6. ${\left(\frac{4}{9}\right)}^{3/2}=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$; ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{-2/3}={\left(\frac{8}{27}\right)}^{2/3}=\frac{4}{9}$; ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{3/4}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$.

7. Fals. Egalitatea este corectă doar pentru $a>0$ (și, prin convenție, pentru $a=0$). Pentru $a<0$ niciunul dintre cei doi membri nu are sens ca număr real: $\sqrt{a}$ nu există, iar puterea cu exponent rațional neîntreg nu se definește pentru baze negative.

8. Fals. Pentru $a>0$, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, iar $a^m>0$, deci radicalul este strict pozitiv. Nicio putere cu exponent rațional a unei baze pozitive nu poate fi nulă.

9. $0,25=\frac{1}{4}$, deci $0,25^{-1/2}=4^{1/2}=2$. $0,008=\frac{8}{1000}=\frac{1}{125}$, deci $0,008^{1/3}=\frac{1}{5}=0,2$. $0,0016=\frac{16}{10000}=\frac{1}{625}$, deci $0,0016^{-1/2}=625^{1/2}=25$.

10. ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^6={\left(5^{1/3}\right)}^6=5^{\frac{1}{3}\cdot 6}=5^2=25$. Fără exponenți raționali ai fi avut de calculat $\sqrt[3]{5^6}=\sqrt[3]{15625}$ — același rezultat, dar cu mult mai mult efort.

11. $\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a^{3/2}}=a^{3/4}$; $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt[3]{a^{4/3}}=a^{4/9}$; $\sqrt{a^3\sqrt{a}}=\sqrt{a^{7/2}}=a^{7/4}$. Metoda este mereu aceeași: transformi radicalul interior în putere, aduni exponenții, apoi aplici radicalul exterior.

12. Scrierea $(-27{)}^{1/3}$ nu este acceptată pentru că baza este negativă. Dacă ar fi acceptată, din $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar rezulta $(-27{)}^{2/6}=\sqrt[6]{729}=3$, în timp ce $\sqrt[3]{-27}=-3$: același simbol ar avea două valori. Formularea corectă este cea cu radicali: $\sqrt[3]{-27}=-3$.

13. Fie $k$ factorul anual. Din $k^6=3$ obținem $k=3^{1/6}=\sqrt[6]{3}$. În $3$ ani factorul este $k^3=3^{3/6}=3^{1/2}=\sqrt{3}\approx 1,732$. Deci investiția crește de aproximativ $1,73$ ori în jumătatea perioadei — nu de $1,5$ ori, cum ar sugera intuiția liniară.

14. $64^{2/3}=4^2=16=2^4$ și $4^{1/2}=2=2^1$, deci produsul este $2^5$. Așadar $n=5$.

15. $8^{2/3}=4$ și $16^{3/4}=8$. Al doilea este mai mare, diferența fiind $8-4=4$. (Observă că raportul este exact $2$.)

16. $125^{2/3}={\left(\sqrt[3]{125}\right)}^2=5^2=25$ și $16^{3/4}={\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3=2^3=8$. Atunci $E=\frac{25\cdot 8}{100}=\frac{200}{100}=2\in \mathbb{N}$.

17. Ridicăm ambii membri la puterea $\frac{3}{2}$, operație permisă pentru că ambii membri sunt strict pozitivi: ${\left(x^{2/3}\right)}^{3/2}=4^{3/2}$, adică $x=8$. Verificare: $8^{2/3}=4$ ✓. Soluția este $x=8$.

18. Lucrăm dinspre interior: $\sqrt{a}=a^{1/2}$; apoi $\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a^{3/2}}=a^{3/4}$; în fine $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a\cdot a^{3/4}}=\sqrt{a^{7/4}}=a^{7/8}$. Exponenții obținuți sunt $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8}$, adică $\frac{2^n-1}{2^n}$ pentru un turn cu $n$ radicali. Formula se demonstrează prin inducție (vezi metoda inducției matematice): dacă turnul cu $n$ radicali dă $a^{\frac{2^n-1}{2^n}}$, atunci cel cu $n+1$ radicali dă $\sqrt{a\cdot a^{\frac{2^n-1}{2^n}}}=\sqrt{a^{\frac{2^{n+1}-1}{2^n}}}=a^{\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$. Pe măsură ce $n$ crește, exponentul se apropie de $1$, deci turnul se apropie de $a$.

De reținut

• Definiția: pentru $a>0$, $m\in \mathbb{Z}$ și $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$. Cazul particular esențial: $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
• Baza este strict pozitivă. Pentru baze negative definiția produce contradicții — de exemplu $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar da simultan $-2$ și $2$ pentru $(-8{)}^{1/3}$. Radicalii de ordin impar din numere negative rămân valabili, dar nu se scriu ca puteri.
• Rezultatul este întotdeauna strict pozitiv: $a^r>0$ pentru orice $a>0$ și orice $r\in \mathbb{Q}$. O putere cu bază pozitivă nu poate fi zero sau negativă.
• Definiția este corectă, adică nu depinde de scrierea fracției: dacă $\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$, atunci $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p}$, demonstrație bazată pe injectivitatea funcției $t\mapsto t^{nq}$ pe $(0,\infty )$.
• Rețeta de calcul: descompune baza în factori primi, extrage întâi radicalul și abia apoi ridică la putere; la exponent negativ, răstoarnă fracția.

Greșeli frecvente

• Scrierea unei puteri cu bază negativă: „$(-8{)}^{2/3}=4$". Este interzisă, chiar dacă „iese" un rezultat. Folosește radicali: ${\left(\sqrt[3]{-8}\right)}^2=4$ este corect, $(-8{)}^{2/3}$ nu.
• Confuzia dintre exponentul numărătorului și ordinul radicalului: a scrie $a^{2/3}=\sqrt[2]{a^3}$. Corect este $\sqrt[3]{a^2}$ — numitorul dă ordinul radicalului, numărătorul dă puterea. Mnemotehnic: numitorul stă „dedesubt", ca și indicele radicalului.
• Calculul pe drumul lung: a calcula $64^{5/6}$ ca $\sqrt[6]{64^5}=\sqrt[6]{1073741824}$. Corect și rapid: ${\left(\sqrt[6]{64}\right)}^5=2^5=32$.
• Uitarea semnului la exponent negativ: „$16^{-3/4}=-8$". Exponentul negativ nu schimbă semnul rezultatului, ci îl răstoarnă: $16^{-3/4}=\frac{1}{8}$. Rezultatul rămâne pozitiv.
• Extinderea nepermisă a lui $0^r$: a scrie $0^{-1/2}=0$ sau $0^0=1$ în acest context. Pentru baza $0$ se definesc doar puterile cu exponent strict pozitiv, iar valoarea lor este $0$.

Aplică acasă

1. Dicționarul de buzunar. Fă-ți un tabel cu două coloane, „radical" și „putere", și completează-l cu cel puțin $15$ perechi, luate din exercițiile lecției și din caietul de clasa a IX-a. Ține-l în penar și consultă-l ori de câte ori vezi un radical; în două săptămâni traducerea îți va deveni automată.

2. Depozitul cu dobândă. Caută dobânda anuală oferită de o bancă pentru un depozit (o găsești pe site-ul oricărei bănci). Dacă suma se înmulțește într-un an cu factorul $k$, atunci în șase luni se înmulțește cu $k^{1/2}$. Calculează cu telefonul acest factor pentru dobânda găsită și compară-l cu „jumătate din dobândă" — vei constata că nu sunt egale, iar diferența este chiar efectul capitalizării.

3. Radicalii din bucătărie. O rețetă pentru $4$ persoane trebuie adaptată pentru $9$ persoane, dar diametrul tăvii trebuie să crească astfel încât aria să se înmulțească cu $\frac{9}{4}$. Cum aria depinde de pătratul diametrului, factorul pentru diametru este ${\left(\frac{9}{4}\right)}^{1/2}=\frac{3}{2}$. Măsoară tava din bucătărie și calculează diametrul necesar.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de puteri, exponențiale și logaritmi — cel mai lung bloc de algebră al clasei a X-a la profilul matematică-informatică și una dintre temele cu cea mai mare pondere la Bacalaureatul M1. Ea face joncțiunea între radicalii studiați în clasa a IX-a și noțiunea generală de putere cu exponent real, care se va desăvârși în lecțiile următoare.

Ceea ce verifică lecția, dincolo de calcule: (1) elevul enunță definiția cu tot cu condiția asupra bazei; (2) știe să treacă în ambele sensuri între radicali și exponenți; (3) poate explica, nu doar cita, de ce baza trebuie să fie pozitivă; (4) reproduce demonstrația independenței de scrierea fracției. Întrebări bune de control: „De ce nu are voie baza să fie negativă?" (răspunsul așteptat conține contradicția $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$), „Ce înseamnă numitorul din exponent?" (ordinul radicalului), „Poate o putere cu bază pozitivă să fie egală cu zero?" (nu, niciodată).

Semne că elevul a înțeles: calculează $16^{-3/4}$ mental, în trei secunde, folosind descompunerea $16=2^4$; sesizează singur eroarea din Exemplul 4; nu confundă $\sqrt[3]{-8}$ (corect) cu $(-8{)}^{1/3}$ (interzis). La Bacalaureat M1, aceste puteri apar la Subiectul I ca exerciții de calcul rapid și, mai des, ca pas intermediar în ecuații exponențiale și logaritmice, unde o greșeală aici compromite tot restul rezolvării. Următorul pas firesc este lecția despre proprietățile puterilor cu exponent rațional.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă o putere cu exponent rațional? Pentru o bază $a>0$ și un exponent rațional $\frac{m}{n}$, cu $m$ întreg și $n$ natural nenul, $a^{m/n}$ înseamnă $\sqrt[n]{a^m}$, adică radicalul de ordin $n$ din $a^m$. Echivalent, poți calcula întâi radicalul și apoi ridica la putere: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$ — același rezultat, dar cu numere mai mici.

De ce trebuie ca baza să fie strict pozitivă la puteri cu exponent rațional? Pentru că același număr rațional se poate scrie în mai multe feluri, iar la baze negative scrierile diferite dau rezultate diferite. Exemplul standard: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, dar $\sqrt[3]{-8}=-2$, în timp ce $\sqrt[6]{(-8{)}^2}=2$. Un simbol matematic nu poate avea două valori, deci definiția se restrânge la baze pozitive.

Cât face $8$ la puterea $\frac{2}{3}$? Face $4$. Cel mai rapid drum: $8^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$. Poți verifica și pe celălalt drum: $\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$.

Cum transform un radical într-o putere? Ordinul radicalului devine numitorul exponentului, iar puterea de sub radical devine numărătorul: $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$. De exemplu $\sqrt[5]{a^3}=a^{3/5}$, $\sqrt{a}=a^{1/2}$, iar $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}=a^{-1/4}$.

Ce înseamnă un exponent rațional negativ? Înseamnă inversul puterii cu exponent pozitiv: $a^{-m/n}=\frac{1}{a^{m/n}}$. Semnul minus nu face rezultatul negativ — el răstoarnă fracția. Practic, la baze fracționare este mai simplu să răstorni întâi fracția: ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-3/4}={\left(\frac{81}{16}\right)}^{3/4}=\frac{27}{8}$.

Poate fi zero o putere cu exponent rațional? Pentru o bază strict pozitivă, niciodată: $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$, iar $a^m$ este strict pozitiv, deci și radicalul este strict pozitiv. Singura putere nulă apare cu baza $0$: $0^r=0$, definită doar pentru $r>0$.

Unde apar puterile cu exponent rațional la Bacalaureat M1? La Subiectul I, ca exerciții scurte de calcul (de tipul „arătați că numărul $N$ este natural"), și, mai frecvent, ca pas intermediar în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și logaritmice de la Subiectele II și III. O eroare de definiție aici — mai ales scrierea unei puteri cu bază negativă — se propagă în toată rezolvarea.

Care e legătura dintre această lecție și radicalii din clasa a IX-a? Este aceeași noțiune, îmbrăcată altfel. Avantajul limbajului cu exponenți este că permite calcule imposibile direct cu radicali: $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt{2}$ se scrie $2^{1/3}\cdot 2^{1/2}=2^{5/6}=\sqrt[6]{32}$, adică o simplă adunare de fracții în loc de aducerea radicalilor la același ordin.