Ecuații exponențiale rezolvate prin substituție

În farmacologie există o mărime pe care medicii o urmăresc atent: concentrația unui medicament în sânge. Ea nu scade lin, ci ca rezultat a două procese exponențiale suprapuse — absorbția din stomac și eliminarea prin rinichi. Pentru un anumit preparat, concentrația în miligrame pe litru, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=12\cdot 2^{-t}-8\cdot 4^{-t}$. Întrebarea firească a medicului: la ce momente concentrația este exact $4$ mg/l, pragul sub care medicamentul nu mai are efect?

Ecuația care apare, $12\cdot 2^{-t}-8\cdot 4^{-t}=4$, nu seamănă cu nimic din lecția despre ecuații exponențiale elementare: degeaba încerci să aduci totul la aceeași bază, pentru că necunoscuta apare la două „etaje" diferite. Și totuși ecuația este, în adâncul ei, o ecuație de gradul al doilea deghizată. Procedeul care o dezbracă de deghizare se numește substituție și este una dintre cele mai productive idei din algebra de liceu. Îl vei învăța aici în cele patru variante care apar la Bacalaureatul M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație exponențială de tip pătratic și să alegi notația potrivită, $t=a^x$.
• Vei ști de ce se pune obligatoriu condiția $t>0$ și cum se respinge o rădăcină care nu o respectă.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile cu $a^x$ și $a^{k-x}$, aducându-le la forma $t+\frac{c}{t}=m$.
• Vei ști să rezolvi ecuații omogene de tipul $\alpha \cdot 4^x+\beta \cdot 6^x+\gamma \cdot 9^x=0$.
• Vei ști să folosești bazele conjugate, al căror produs este $1$, ca la $(2+\sqrt{3}{)}^x+(2-\sqrt{3}{)}^x=4$.
• Vei ști să revii corect la variabila inițială și să verifici soluțiile în ecuația de plecare.

Hai să descoperim împreună

1. O ecuație care refuză aducerea la aceeași bază

Privește ecuația

$$4^x-5\cdot 2^x+4=0.$$

Metoda din lecția precedentă cerea să scriem ambii membri ca puteri ale aceleiași baze. Aici nu merge: în stânga sunt trei termeni, iar egalitatea nu este de forma $a^{f(x)}=a^{g(x)}$. Ce se poate face totuși este să observăm legătura dintre puteri:

$$4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2.$$

Am folosit regula ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$, valabilă pentru orice exponenți reali, așa cum ai văzut la puteri cu exponent real. Dacă notăm $t=2^x$, atunci $4^x=t^2$, iar ecuația devine

$$t^2-5t+4=0,$$

adică o ecuație de gradul al doilea, exact cea din clasa a IX-a, de la deducerea formulelor de rezolvare. Rădăcinile ei sunt $t_1=1$ și $t_2=4$.

Dar atenție: $t$ nu este răspunsul cerut. Necunoscuta problemei este $x$. Revenim la ea:

• din $2^x=1=2^0$ obținem $x=0$;
• din $2^x=4=2^2$ obținem $x=2$.

Verificare: pentru $x=0$, $1-5+4=0$ ✓; pentru $x=2$, $16-20+4=0$ ✓. Deci $S=\{0,2\}$.

2. Condiția $t>0$ — pasul pe care se pierd puncte

Substituția nu este o simplă schimbare de literă. Când scrii $t=a^x$, noua necunoscută moștenește o restricție: funcția exponențială ia numai valori strict pozitive. Ai demonstrat asta la proprietățile funcției exponențiale: imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to (0,\infty )$, $f(x)=a^x$, este chiar intervalul $(0,\infty )$.

Deci substituția corectă se scrie întotdeauna așa: notăm $t=a^x$, unde $t>0$.

De ce contează? Rezolvăm $4^x-2^x-12=0$. Cu $t=2^x>0$ obținem $t^2-t-12=0$, cu discriminantul $\Delta =1+48=49$ și rădăcinile

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}\Rightarrow t_1=4,t_2=-3.$$

Rădăcina $t_2=-3$ nu este acceptabilă, pentru că $2^x$ nu poate fi niciodată negativ. O respingem motivat, nu în tăcere: la examen, propoziția „valoarea $t=-3$ se respinge, deoarece $2^x>0$" este punctată separat. Rămâne $2^x=4$, adică $x=2$. Verificare: $16-4-12=0$ ✓, deci $S=\{2\}$.

Reține și reciproca acestei discipline: dacă amândouă rădăcinile ies negative, ecuația nu are soluții reale. Nu e o greșeală de calcul, e chiar răspunsul.

3. Rețeta completă, în cinci pași

Orice ecuație exponențială de tip pătratic se rezolvă după același tipar. Îl scriem o dată și îl vom folosi mereu:

1. Identifici baza comună. Cauți puterea „mică" din care se obțin toate celelalte: în $9^x-4\cdot 3^x+3=0$ baza este $3$, pentru că $9^x=(3^x{)}^2$.
2. Notezi $t=a^x$ și scrii explicit condiția $t>0$.
3. Transformi fiecare termen: $a^{2x}=t^2$, $a^{x+k}=a^k\cdot t$, $a^{-x}=\frac{1}{t}$, $a^{k-x}=\frac{a^k}{t}$.
4. Rezolvi ecuația obținută în $t$ și filtrezi rădăcinile după condiția $t>0$.
5. Revii la $x$, rezolvând ecuațiile elementare $a^x=t_i$, și verifici în ecuația inițială.

Pasul 3 merită subliniat: acolo apar cele mai multe erori. Fii atent la exponenții compuși:

$$3^{x+1}=3^x\cdot 3=3t,2^{x+3}=2^x\cdot 8=8t,2^{2x+1}={\left(2^x\right)}^2\cdot 2=2t^2.$$

Fiecare dintre aceste transformări este o simplă aplicare a regulii $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$. Nu o „ghici" — scrie-o. Cine notează grăbit „$3^{x+1}=t$" ajunge la o ecuație în care $9^x$ nu se mai exprimă prin $t$ și se blochează.

Aplicăm rețeta pe $9^x-4\cdot 3^{x+1}+27=0$: baza comună este $3$, notăm $t=3^x$, $t>0$, avem $9^x=t^2$ și $3^{x+1}=3t$, deci $t^2-12t+27=0$, cu $\Delta =36$ și rădăcinile $t_1=3$, $t_2=9$, ambele pozitive. Revenim: $x=1$ și $x=2$. Verificare: $9-36+27=0$ ✓ și $81-108+27=0$ ✓, deci $S=\{1,2\}$.

4. Când apar $a^x$ și $a^{-x}$: forma $t+\frac{c}{t}$

A doua familie clasică este cea în care exponenții sunt opuși sau au suma constantă. Rezolvăm

$$3^x+3^{2-x}=10.$$

Scriem al doilea termen folosind regula împărțirii puterilor: $3^{2-x}=\frac{3^2}{3^x}=\frac{9}{3^x}$. Notăm $t=3^x$, $t>0$, și obținem

$$t+\frac{9}{t}=10.$$

Înmulțim cu $t$ — operație permisă tocmai pentru că $t>0$, deci $t\ne 0$ — și ajungem la $t^2-10t+9=0$, cu rădăcinile $t_1=1$ și $t_2=9$. Ambele convin. Revenim: $3^x=1\Rightarrow x=0$ și $3^x=9\Rightarrow x=2$.

Verificare: $3^0+3^2=1+9=10$ ✓ și $3^2+3^0=9+1=10$ ✓. Deci $S=\{0,2\}$.

Semnalul care îți spune că ești în această familie: suma exponenților este constantă (aici $x+(2-x)=2$), deci produsul celor două puteri este constant.

5. Ecuații omogene: împărțirea la o putere

A treia familie arată așa:

$$3\cdot 4^x-5\cdot 6^x+2\cdot 9^x=0.$$

Cele trei baze — $4$, $6$ și $9$ — nu sunt independente: $4^x=2^{2x}$, $6^x=2^x{3}^x$ și $9^x=3^{2x}$, deci fiecare termen are „gradul" $2$ în perechea $\left(2^x,3^x\right)$. O astfel de ecuație se numește omogenă.

Metoda: împărțim toată ecuația la una dintre puterile extreme, de exemplu la $9^x$. Avem dreptul, pentru că $9^x>0$ pentru orice $x$ real — nu împărțim niciodată la ceva care s-ar putea anula. Cum $\frac{4}{9}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ și $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, obținem

$$3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-5{\left(\frac{2}{3}\right)}^x+2=0.$$

Notăm $u={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, $u>0$, și ajungem la $3u^2-5u+2=0$, cu $\Delta =25-24=1$ și rădăcinile $u_1=1$, $u_2=\frac{2}{3}$, ambele pozitive. Revenim: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1\Rightarrow x=0$ și ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1$.

Verificare: pentru $x=0$, $3-5+2=0$ ✓; pentru $x=1$, $3\cdot 4-5\cdot 6+2\cdot 9=12-30+18=0$ ✓. Deci $S=\{0,1\}$.

6. Baze conjugate: când produsul lor este 1

Ultima familie, foarte iubită de examinatori:

$${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x+{\left(2-\sqrt{3}\right)}^x=4.$$

Cheia se vede dacă înmulțești bazele: $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$. Sunt numere conjugate, exact cele din lecția de clasa a IX-a despre radicali și expresii conjugate. Prin urmare $2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, deci ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^x$ este inversul lui ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x$.

Notăm $t={\left(2+\sqrt{3}\right)}^x$, $t>0$, și ecuația devine $t+\frac{1}{t}=4$, adică $t^2-4t+1=0$, cu $\Delta =12$ și

$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}.$$

Ambele sunt strict pozitive ($\sqrt{3}\approx 1,73<2$). Revenim la $x$:

• ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x=2+\sqrt{3}\Rightarrow x=1$;
• ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^x=2-\sqrt{3}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$.

Verificare: pentru $x=1$ suma este $2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$ ✓; pentru $x=-1$ suma este $\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4$ ✓. Deci $S=\{-1,1\}$.

7. Înapoi la medicament

Răspundem la întrebarea din deschidere: $12\cdot 2^{-t}-8\cdot 4^{-t}=4$, cu $t\ge 0$ timpul în ore. Notăm $s=2^{-t}$, $s>0$; atunci $4^{-t}={\left(2^{-t}\right)}^2=s^2$, iar ecuația devine $12s-8s^2=4$, adică $2s^2-3s+1=0$, cu rădăcinile $s_1=1$ și $s_2=\frac{1}{2}$. Revenim: $t=0$ și $t=1$.

Verificare: la $t=0$, $C=12-8=4$ ✓; la $t=1$, $C=6-2=4$ ✓. Aici ambele soluții au sens fizic — dar la problemele practice o soluție matematic corectă poate fi respinsă de context (timp negativ), iar respingerea se scrie explicit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tipul de bază, cu bază 3

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $9^x-10\cdot 3^x+9=0$.

Rezolvare. Notăm $t=3^x$, $t>0$. Cum $9^x={\left(3^x\right)}^2=t^2$, ecuația devine $t^2-10t+9=0$, cu $\Delta =100-36=64$ și rădăcinile $t_1=1$, $t_2=9$. Ambele verifică $t>0$.

Revenim: $3^x=1=3^0\Rightarrow x=0$; $3^x=9=3^2\Rightarrow x=2$.

Verificare: $1-10+9=0$ ✓ și $81-90+9=0$ ✓. Deci $S=\{0,2\}$. $■$

Exemplul 2 — Bază 5, cu o rădăcină de reținut

Rezolvați ecuația $25^x-6\cdot 5^x+5=0$.

Rezolvare. Cu $t=5^x>0$: $t^2-6t+5=0$, deci $t_1=1$ și $t_2=5$. Revenim: $5^x=1\Rightarrow x=0$ și $5^x=5\Rightarrow x=1$.

Verificare: $1-6+5=0$ ✓; $25-30+5=0$ ✓. Deci $S=\{0,1\}$. $■$

Exemplul 3 — Discriminant nul: o singură soluție

Rezolvați ecuația $4^x-2^{x+3}+16=0$.

Rezolvare. Scriem întâi $2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8\cdot 2^x$. Notăm $t=2^x$, $t>0$:

$$t^2-8t+16=0⟺(t-4{)}^2=0⟺t=4.$$

Discriminantul este $\Delta =0$, deci rădăcina este dublă. Revenim: $2^x=4\Rightarrow x=2$. Verificare: $16-32+16=0$ ✓, deci $S=\{2\}$.

Atenție la formulare: rădăcina dublă în $t$ nu înseamnă „două soluții" în $x$. Ecuația inițială are exact o soluție. $■$

Exemplul 4 — Coeficient în fața lui $t^2$

Rezolvați ecuația $2^{2x+1}-9\cdot 2^x+4=0$.

Rezolvare. Descompunem exponentul: $2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2=2{\left(2^x\right)}^2$. Cu $t=2^x>0$ obținem

$$2t^2-9t+4=0,\Delta =81-32=49,t_{1,2}=\frac{9\pm 7}{4}.$$

Deci $t_1=4$ și $t_2=\frac{1}{2}$, ambele pozitive, de unde $x=2$, respectiv $x=-1$.

Verificare: $2^5-36+4=0$ ✓ și $\frac{1}{2}-\frac{9}{2}+4=0$ ✓. Deci $S=\{-1,2\}$. $■$

Exemplul 5 — Exponenți cu sumă constantă

Rezolvați ecuația $5^x+5^{2-x}=26$.

Rezolvare. Observăm că $x+(2-x)=2$, constant. Scriem $5^{2-x}=\frac{25}{5^x}$ și notăm $t=5^x$, $t>0$:

$$t+\frac{25}{t}=26|\cdot t\Rightarrow t^2-26t+25=0\Rightarrow t_1=1,t_2=25.$$

Revenim: $5^x=1\Rightarrow x=0$ și $5^x=25\Rightarrow x=2$.

Verificare: $5^0+5^2=1+25=26$ ✓ și $5^2+5^0=26$ ✓. Deci $S=\{0,2\}$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1: ecuație omogenă

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\cdot 4^x-5\cdot 6^x+3\cdot 9^x=0$.

Rezolvare. Ecuația este omogenă în $2^x$ și $3^x$. Împărțim la $9^x$, ceea ce este permis deoarece $9^x>0$ pentru orice $x$ real:

$$2{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}-5{\left(\frac{2}{3}\right)}^x+3=0.$$

Notăm $u={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, $u>0$. Obținem $2u^2-5u+3=0$, cu $\Delta =25-24=1$ și $u_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}$, adică $u_1=1$ și $u_2=\frac{3}{2}$. Ambele sunt pozitive.

Revenim: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1\Rightarrow x=0$; iar ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{3}{2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\Rightarrow x=-1$.

Verificare: pentru $x=0$, $2-5+3=0$ ✓; pentru $x=-1$, $2\cdot \frac{1}{4}-5\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{2}-\frac{5}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3-5+2}{6}=0$ ✓. Deci $S=\{-1,0\}$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată notația și condiția $t>0$, apoi verifică soluțiile în ecuația inițială.

1. Rezolvă $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.

2. Rezolvă $9^x-4\cdot 3^x+3=0$.

3. Rezolvă $4^x-6\cdot 2^x-16=0$ și explică de ce una dintre rădăcinile ecuației în $t$ se respinge.

4. Rezolvă $25^x-4\cdot 5^x-5=0$.

5. Rezolvă $16^x-10\cdot 4^x+16=0$. (Soluțiile nu sunt numere întregi.)

6. Rezolvă $3^{2x+1}-28\cdot 3^x+9=0$.

7. Rezolvă $2^x+2^{3-x}=6$.

8. Rezolvă $5^x+5^{1-x}=6$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $4^x+2^x+1=0$ are exact două soluții reale."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La substituția $t=3^x$ se pune condiția $t>0$ pentru că funcția exponențială are numai valori strict pozitive."

11. Rezolvă $4^x-2^{x+1}-8=0$.

12. Rezolvă $9^x+3^{x+2}-10=0$.

13. Rezolvă ecuația omogenă $2\cdot 4^x-5\cdot 6^x+3\cdot 9^x=0$ împărțind, de data aceasta, la $4^x$. Compară rezultatul cu Exemplul 6.

14. Rezolvă ${\left(3+2\sqrt{2}\right)}^x+{\left(3-2\sqrt{2}\right)}^x=6$, după ce arăți că bazele sunt conjugate.

15. (Problemă aplicată.) Două culturi de bacterii pornesc în același moment. După $t$ ore, prima are $2^t$ mii de celule, iar a doua $4^t$ mii de celule. După cât timp diferența dintre a doua și prima cultură ajunge la $12$ mii de celule?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-6\cdot 2^x+8=0$.

17. Determină valorile reale ale parametrului $m$ pentru care ecuația $4^x-m\cdot 2^x+4=0$ are soluție unică.

18. (Provocare.) Rezolvă $8^x+18^x=2\cdot 27^x$. (Indicație: împarte la $27^x$ și observă că apar $u^3$ și $u$, unde $u={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$.)

Răspunsuri și explicații

1. Cu $t=2^x>0$: $t^2-3t+2=0$, deci $t\in \{1,2\}$ și $x\in \{0,1\}$. Verificare: $1-3+2=0$ ✓, $4-6+2=0$ ✓.

2. Cu $t=3^x>0$: $t^2-4t+3=0$, deci $t\in \{1,3\}$ și $x\in \{0,1\}$. Verificare: $1-4+3=0$ ✓, $9-12+3=0$ ✓.

3. Cu $t=2^x>0$: $t^2-6t-16=0$, $\Delta =100$, deci $t_1=8$ și $t_2=-2$. Rădăcina $-2$ se respinge, pentru că $2^x>0$ pentru orice $x$ real. Rămâne $2^x=8\Rightarrow x=3$. Verificare: $64-48-16=0$ ✓. $S=\{3\}$.

4. Cu $t=5^x>0$: $t^2-4t-5=0$, cu rădăcinile $5$ și $-1$; se respinge $-1$, deci $x=1$. Verificare: $25-20-5=0$ ✓.

5. Cu $t=4^x>0$ (căci $16^x={\left(4^x\right)}^2$): $t^2-10t+16=0$, deci $t_1=2$ și $t_2=8$. Revenim: $2^{2x}=2^1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$; $2^{2x}=2^3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Verificare: $4-20+16=0$ ✓ și $64-80+16=0$ ✓. $S=\left\{\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right\}$.

6. $3^{2x+1}=3\cdot {\left(3^x\right)}^2$, deci cu $t=3^x>0$: $3t^2-28t+9=0$, $\Delta =676=26^2$, iar $t_1=9$, $t_2=\frac{1}{3}$. Revenim: $x=2$, respectiv $x=-1$. Verificare: $243-252+9=0$ ✓ și $\frac{1-28+27}{3}=0$ ✓. $S=\{-1,2\}$.

7. $2^{3-x}=\frac{8}{2^x}$; cu $t=2^x>0$: $t+\frac{8}{t}=6\Rightarrow t^2-6t+8=0\Rightarrow t\in \{2,4\}$, deci $x\in \{1,2\}$. Verificare: $2+4=6$ ✓, $4+2=6$ ✓.

8. $5^{1-x}=\frac{5}{5^x}$; cu $t=5^x>0$: $t^2-6t+5=0\Rightarrow t\in \{1,5\}$, deci $x\in \{0,1\}$. Verificare: $1+5=6$ ✓, $5+1=6$ ✓.

9. Fals. Cu $t=2^x>0$ se obține $t^2+t+1=0$, cu $\Delta =-3<0$: nu există nicio valoare reală a lui $t$. De altfel $4^x>0$ și $2^x>0$, deci membrul stâng este strict mai mare decât $1$. Ecuația nu are soluții.

10. Adevărat. Imaginea funcției $f(x)=3^x$ este $(0,\infty )$, deci orice valoare pe care o poate lua $t$ este strict pozitivă. Condiția servește la respingerea rădăcinilor negative sau nule ale ecuației în $t$.

11. $2^{x+1}=2\cdot 2^x$; cu $t=2^x>0$: $t^2-2t-8=0$, cu rădăcinile $4$ și $-2$; se respinge $-2$, deci $x=2$. Verificare: $16-8-8=0$ ✓.

12. $3^{x+2}=9\cdot 3^x$; cu $t=3^x>0$: $t^2+9t-10=0$, cu rădăcinile $1$ și $-10$; se respinge $-10$, deci $x=0$. Verificare: $1+9-10=0$ ✓.

13. Împărțind la $4^x>0$ obținem $3{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-5{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+2=0$. Cu $v={\left(\frac{3}{2}\right)}^x>0$: $3v^2-5v+2=0$, deci $v_1=1$ și $v_2=\frac{2}{3}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-1}$, de unde $x=0$, respectiv $x=-1$. Aceleași soluții ca în Exemplul 6: $S=\{-1,0\}$. Nu contează la care putere împarți, doar substituția se schimbă.

14. Bazele sunt conjugate: $\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=9-8=1$. Cu $t={\left(3+2\sqrt{2}\right)}^x>0$: $t+\frac{1}{t}=6\Rightarrow t^2-6t+1=0\Rightarrow t=3\pm 2\sqrt{2}$, ambele pozitive, deci $x=1$ și $x=-1$. Verificare pentru $x=1$: $3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=6$ ✓. $S=\{-1,1\}$.

15. Condiția este $4^t-2^t=12$. Cu $s=2^t>0$: $s^2-s-12=0$, cu rădăcinile $4$ și $-3$; se respinge $-3$, deci $2^t=4$ și $t=2$. Verificare: după $2$ ore prima cultură are $4$ mii, a doua $16$ mii, diferența $12$ mii ✓.

16. Cu $t=2^x>0$: $t^2-6t+8=0$, deci $t_1=2$ și $t_2=4$, de unde $x=1$ și $x=2$. Verificare: $4-12+8=0$ ✓, $16-24+8=0$ ✓. $S=\{1,2\}$.

17. Cu $t=2^x>0$ ecuația devine $t^2-mt+4=0$. Funcția exponențială fiind injectivă, fiecărei rădăcini $t>0$ îi corespunde exact o valoare a lui $x$; deci ecuația inițială are soluție unică dacă și numai dacă ecuația în $t$ are exact o rădăcină strict pozitivă. Produsul rădăcinilor este $t_1{t}_2=4>0$, deci ele au același semn — nu putem avea una pozitivă și una negativă. Rămâne cazul rădăcinii duble: $\Delta =m^2-16=0\Rightarrow m\in \{-4,4\}$. Pentru $m=4$: $t=2>0$, deci $x=1$ — convine. Pentru $m=-4$: $t=-2$ se respinge și ecuația nu are soluții. Răspuns: $m=4$.

18. Împărțim la $27^x>0$ și obținem ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^x=2$. Cu $u={\left(\frac{2}{3}\right)}^x>0$: $u^3+u-2=0$, adică $(u-1)\left(u^2+u+2\right)=0$. Al doilea factor are $\Delta =1-8=-7<0$, deci nu se anulează niciodată; rămâne $u=1$, adică $x=0$. Verificare: $1+1=2$ ✓. $S=\{0\}$.

De reținut

• Orice ecuație de forma $\alpha a^{2x}+\beta a^x+\gamma =0$ devine o ecuație de gradul al doilea prin notația $t=a^x$, deoarece $a^{2x}={\left(a^x\right)}^2$.
• Substituția vine cu o condiție obligatorie: $t>0$, pentru că funcția exponențială ia numai valori strict pozitive. Rădăcinile negative sau nule se resping, motivat.
• Exponenții compuși se descompun înainte de substituție: $a^{x+k}=a^k\cdot t$, $a^{2x+1}=a\cdot t^2$, $a^{k-x}=\frac{a^k}{t}$.
• Ecuațiile omogene ($4^x$, $6^x$, $9^x$) se rezolvă împărțind la una dintre puterile extreme — operație permisă, pentru că orice putere exponențială este strict pozitivă.
• Când bazele au produsul $1$ (baze conjugate, ca $2\pm \sqrt{3}$), a doua putere este inversa primei și se ajunge la $t+\frac{1}{t}=m$.

Greșeli frecvente

• Uiți condiția $t>0$ și accepți o rădăcină negativă. Din $t=-3$ ai scrie „$2^x=-3$", ceea ce este imposibil; la examen, respingerea explicită a rădăcinii se punctează.
• Confuzi $a^{2x}$ cu $2a^x$. Corect este $a^{2x}={\left(a^x\right)}^2=t^2$, nu $2t$. Verifică pe un caz numeric: $2^{2\cdot 3}=64$, în timp ce $2\cdot 2^3=16$.
• Te oprești la valoarea lui $t$. Necunoscuta este $x$: trebuie rezolvate ecuațiile elementare $a^x=t_i$.
• Greșești descompunerea exponentului compus: $2^{x+3}$ nu este $t+8$, ci $8t$; $3^{2x+1}$ nu este $3t^2+1$, ci $3t^2$. Regula este $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$.
• La ecuațiile omogene împarți fără justificare. Scrie mereu „împărțim la $9^x>0$" — dacă expresia la care împarți s-ar putea anula, împărțirea ar fi interzisă și ai pierde soluții.

Aplică acasă

1. Fabrica de ecuații. Alege două numere pozitive „frumoase", de exemplu $t_1=2$ și $t_2=8$, și scrie ecuația de gradul al doilea cu aceste rădăcini: $t^2-10t+16=0$. Înlocuiește apoi $t$ cu $2^x$ și obții o ecuație exponențială al cărei răspuns îl știi dinainte. Fă cinci astfel de ecuații și dă-le unui coleg spre rezolvare.

2. Detectivul de rădăcini respinse. Construiește, cu aceeași metodă, o ecuație care are o rădăcină pozitivă și una negativă în $t$ (pornind, de exemplu, de la $t_1=4$ și $t_2=-3$). Rezolv-o și scrie în două rânduri de ce a doua rădăcină nu produce nicio soluție în $x$.

3. Modelul din farmacie. Caută pe prospectul unui medicament informația despre „timpul de înjumătățire". Dacă acesta este de $T$ ore, cantitatea rămasă din doza inițială $D$ după $t$ ore este $D\cdot 2^{-t/T}$. Scrie modelul și calculează după cât timp rămâne un sfert din doză.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce metoda substituției la ecuațiile exponențiale, una dintre tehnicile-cheie ale segmentului CS din programa de matematică-informatică (competențele X.CS.2.1, X.CS.3.1 și X.CS.5.1). Verificarea esențială nu este calculul discriminantului — acela se știe din clasa a IX-a — ci disciplina de metodă: alegerea bazei comune, scrierea explicită a condiției $t>0$, respingerea motivată a rădăcinilor nepotrivite și revenirea la variabila inițială.

Întrebări bune de control: „De ce se pune condiția $t>0$?" (funcția exponențială are imaginea $(0,\infty )$); „Cum scrii $2^{x+3}$ în funcție de $t=2^x$?" ($8t$); „De ce ai voie să împarți o ecuație omogenă la $9^x$?" (pentru că $9^x>0$, deci nenul). Semne că elevul a înțeles: nu confundă $a^{2x}$ cu $2a^x$, verifică soluțiile în ecuația inițială și înțelege că o rădăcină dublă în $t$ dă o singură soluție în $x$.

La Bacalaureatul M1, ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție apar constant, cel mai des în Subiectul al II-lea, în formele $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ ori $9^x-4\cdot 3^x+3=0$. Baremul acordă puncte separate pentru notație și condiție, pentru rezolvarea ecuației de gradul al doilea și pentru revenirea la $x$ — de aceea redactarea completă este obligatorie. Continuarea firească este lecția despre inecuații exponențiale, unde aceeași substituție se folosește, dar cu grija suplimentară a sensului inegalității.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație exponențială de tip pătratic? Este o ecuație în care necunoscuta apare la exponent, iar puterile care intervin sunt una pătratul celeilalte — de exemplu $4^x$ și $2^x$, sau $9^x$ și $3^x$. Prin notația $t=2^x$, respectiv $t=3^x$, ea se transformă într-o ecuație obișnuită de gradul al doilea.

De ce trebuie pusă condiția $t>0$ la substituție? Pentru că $t$ înlocuiește o putere exponențială, iar $a^x>0$ pentru orice $x$ real, indiferent de baza $a>0$. Orice rădăcină negativă sau nulă a ecuației în $t$ este imposibilă și se respinge, cu motivarea scrisă.

Cum recunosc că trebuie să folosesc substituția? Când ecuația are trei termeni și nu poate fi adusă la forma „aceeași bază de o parte și de alta", dar puterile care apar se exprimă una prin cealaltă. Semnalele tipice: apar $a^{2x}$ și $a^x$; apar $a^x$ și $a^{-x}$; apar trei baze de forma $b^2$, $bc$, $c^2$. Dacă ambele rădăcini în $t$ ies negative, ecuația pur și simplu nu are soluții reale — de exemplu $4^x+3\cdot 2^x+2=0$.

Cum rezolv o ecuație exponențială omogenă? Împarți întreaga ecuație la una dintre puterile extreme (la $9^x$ sau la $4^x$, dacă bazele sunt $4$, $6$ și $9$), justificând că acea putere este strict pozitivă. Obții o ecuație de gradul al doilea în $u={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, respectiv în ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$, cu aceleași soluții finale.

Ce sunt bazele conjugate la ecuațiile exponențiale? Două baze al căror produs este $1$, de exemplu $2+\sqrt{3}$ și $2-\sqrt{3}$, ori $3+2\sqrt{2}$ și $3-2\sqrt{2}$. Atunci a doua putere este inversa primei, iar ecuația se reduce la $t+\frac{1}{t}=m$, adică la $t^2-mt+1=0$.

Ce legătură are metoda aceasta cu ecuațiile bipătrate din clasa a IX-a? Este exact aceeași idee. La ecuațiile bipătrate notai $y=x^2$ (cu $y\ge 0$) și obțineai o ecuație de gradul al doilea; aici notezi $t=a^x$ (cu $t>0$). În ambele cazuri, substituția coboară gradul problemei, iar condiția asupra noii necunoscute vine din mulțimea valorilor expresiei înlocuite. Verificarea finală, prin înlocuire în ecuația inițială, rămâne obligatorie în ambele cazuri.