Algoritmul împărțirii pas cu pas

Teorema împărțirii cu rest ne-a promis că, pentru orice $f$ și orice $g \neq = 0$ , câtul și restul există și sunt unice. Promisiunea este liniștitoare, dar deocamdată nu ne spune cum arată ele. Demonstrația existenței conținea însă, ascunsă, chiar rețeta: la fiecare pas scădem din deîmpărțit un multiplu potrivit al împărțitorului, ales astfel încât termenul de grad maxim să dispară.

Lecția de față transformă acea idee într-o procedură de calcul organizată pe hârtie — aceeași pe care o folosești de ani buni la împărțirea numerelor în scris, doar că, în loc de cifre, muți monoame. Este o deprindere de mână, care se învață făcând: după cinci-șase împărțiri complet efectuate, nu vei mai avea nevoie să te gândești la pași.

Ce vei învăța

Vei ști să pregătești cele două polinoame pentru împărțire: ordonare descrescătoare și completarea cu zerouri a termenilor lipsă.
Vei ști cele patru mișcări ale unui pas de algoritm: împarte, înmulțește, scade, coboară.
Vei ști să efectuezi complet o împărțire cu rest nenul, inclusiv cu împărțitor de gradul al doilea.
Vei ști să recunoști o împărțire exactă și să folosești rezultatul ei ca descompunere în factori.
Vei ști să verifici orice împărțire prin înmulțirea înapoi $f = g \cdot q + r$ și să depistezi astfel greșelile de calcul.
Vei ști să determini parametri din condiția ca împărțirea să dea un anumit rest.

Hai să descoperim împreună

1. Aceeași procedură ca la numere

Să ne uităm o clipă la $2479 : 23$ . Ce faci, de fapt? Iei prima „bucată" a deîmpărțitului, vezi de câte ori intră $23$ în ea, scrii cifra la cât, înmulțești, scazi și cobori cifra următoare. Repeți până când ce a rămas devine mai mic decât $23$ .

La polinoame, mecanismul e identic, cu două traduceri: „de câte ori intră" devine împărțirea termenilor dominanți, iar „mai mic decât împărțitorul" devine grad mai mic decât gradul împărțitorului. Nimic altceva nu se schimbă.

2. Pregătirea: ordonează și completează

Înainte de primul pas, ambele polinoame se scriu ordonat descrescător după grade. Dacă lipsește un termen, îl scrii cu coeficientul $0$ — sau, cel puțin, îi lași locul liber în schemă. Un polinom scris $3 X - 5 + 2 X^{3}$ trebuie rescris $2 X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 3 X - 5$ .

Această regulă pare o formalitate, dar este cea mai frecventă sursă de greșeli din tot capitolul. Când termenii lipsă nu au loc rezervat, coloanele se deplasează, iar la scădere aduni termeni de grade diferite. Rezervă locul, chiar dacă acolo scrii zero.

3. Algoritmul, în patru mișcări

Repeți următorul pas cât timp gradul restului parțial este cel puțin egal cu gradul împărțitorului:

Împarte termenul dominant al restului parțial la termenul dominant al împărțitorului. Rezultatul este un monom — următorul termen al câtului.
Înmulțește acest monom cu tot împărțitorul.
Scade produsul obținut din restul parțial. Termenul dominant se anulează, prin construcție.
Coboară termenii rămași și reia.

Când gradul a coborât sub gradul împărțitorului, te oprești: ce a rămas este restul.

Atenție la mișcarea a treia. Se scade, deci toate semnele produsului se schimbă. Cea mai bună tehnică: scrie produsul cu semnele schimbate din capul locului și adună. Vei evita astfel greșeala clasică „am uitat să schimb semnul la al doilea termen".

4. O împărțire completă, pas cu pas

Împărțim $f = 2 X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} + 4 X - 5$ la $g = X^{2} - X + 2$ . Amândouă sunt deja ordonate și complete.

Pasul 1. Termenii dominanți: $2 X^{4}$ și $X^{2}$ . Împărțim: $2 X^{4} : X^{2} = 2 X^{2}$ — primul termen al câtului. Înmulțim cu tot împărțitorul:

$2 X^{2} \cdot (X^{2} - X + 2) = 2 X^{4} - 2 X^{3} + 4 X^{2} .$

Scădem din $f$ :

$(2 X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} + 4 X - 5) - (2 X^{4} - 2 X^{3} + 4 X^{2}) = - X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 5.$

Verifică fiecare coeficient: $- 3 - (- 2) = - 1$ la $X^{3}$ , $1 - 4 = - 3$ la $X^{2}$ , iar $4 X$ și $- 5$ coboară neatinși.

Pasul 2. Restul parțial are gradul $3 \geq 2$ , deci continuăm. Termenii dominanți: $- X^{3}$ și $X^{2}$ , deci $- X^{3} : X^{2} = - X$ — al doilea termen al câtului. Înmulțim:

$- X \cdot (X^{2} - X + 2) = - X^{3} + X^{2} - 2 X .$

Scădem:

$(- X^{3} - 3 X^{2} + 4 X - 5) - (- X^{3} + X^{2} - 2 X) = - 4 X^{2} + 6 X - 5.$

La $X^{2}$ : $- 3 - 1 = - 4$ ; la $X$ : $4 - (- 2) = 6$ ; termenul liber coboară.

Pasul 3. Gradul este încă $2 \geq 2$ . Împărțim: $- 4 X^{2} : X^{2} = - 4$ — al treilea termen al câtului. Înmulțim:

$- 4 \cdot (X^{2} - X + 2) = - 4 X^{2} + 4 X - 8.$

Scădem:

$(- 4 X^{2} + 6 X - 5) - (- 4 X^{2} + 4 X - 8) = 2 X + 3.$

Oprire. Restul $2 X + 3$ are gradul $1 < 2$ , deci algoritmul se încheie. Am obținut

$q = 2 X^{2} - X - 4, r = 2 X + 3.$

Iată aceeași împărțire în forma compactă, așezată pe coloane după grade — deîmpărțitul în stânga, împărțitorul și câtul în dreapta:

$$\begin{array}{rrrrr|l} 2X^4 & {}-3X^3 & {}+X^2 & {}+4X & {}-5 & ;X^2 - X + 2 \ 2X^4 & {}-2X^3 & {}+4X^2 & & & ;\overline{;2X^2 - X - 4;} \ \hline & -X^3 & {}-3X^2 & {}+4X & {}-5 & \ & -X^3 & {}+X^2 & {}-2X & & \ \hline & & -4X^2 & {}+6X & {}-5 & \ & & -4X^2 & {}+4X & {}-8 & \ \hline & & & 2X & {}+3 & \end{array}$$

Verificarea, obligatorie. Înmulțim câtul cu împărțitorul și adunăm restul:

$(X^{2} - X + 2) (2 X^{2} - X - 4) = 2 X^{4} - X^{3} - 4 X^{2} - 2 X^{3} + X^{2} + 4 X + 4 X^{2} - 2 X - 8,$

adică $2 X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} + 2 X - 8$ . Adunând restul $2 X + 3$ obținem $2 X^{4} - 3 X^{3} + X^{2} + 4 X - 5$ , exact deîmpărțitul. ✓

✏️Ilustrație: schema împărțirii de mai sus desenată ca la tablă, cu bara verticală care separă deîmpărțitul de împărțitor, câtul scris sub împărțitor și trei săgeți curbate care marchează cele trei runde „împarte – înmulțește – scade"

5. O împărțire exactă

Împărțim $f = X^{3} - 7 X + 6$ la $g = X - 2$ . Observă întâi termenul lipsă: $f = X^{3} + 0 \cdot X^{2} - 7 X + 6$ .

$X^{3} : X = X^{2}$ ; $X^{2} (X - 2) = X^{3} - 2 X^{2}$ ; scădem: $2 X^{2} - 7 X + 6$ .
$2 X^{2} : X = 2 X$ ; $2 X (X - 2) = 2 X^{2} - 4 X$ ; scădem: $- 3 X + 6$ .
$- 3 X : X = - 3$ ; $- 3 (X - 2) = - 3 X + 6$ ; scădem: $0$ .

Restul este $0$ , deci $q = X^{2} + 2 X - 3$ și împărțirea este exactă:

$X^{3} - 7 X + 6 = (X - 2) (X^{2} + 2 X - 3) = (X - 2) (X - 1) (X + 3),$

unde ultima descompunere vine din rezolvarea trinomului. Ai obținut, dintr-o singură împărțire, factorizarea completă și, odată cu ea, toate rădăcinile polinomului — motivul pentru care algoritmul acesta este unealta principală de descompunere a polinoamelor de grad mare.

6. Termeni lipsă: capcana cea mai costisitoare

Împărțim $f = X^{4} - 16$ la $g = X^{2} - 2 X$ . Aici lipsesc trei termeni în deîmpărțit și unul în împărțitor. Scriem complet:

$f = X^{4} + 0 \cdot X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X - 16, g = X^{2} - 2 X + 0.$

$X^{4} : X^{2} = X^{2}$ ; $X^{2} (X^{2} - 2 X) = X^{4} - 2 X^{3}$ ; scădem: $2 X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X - 16$ .
$2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ ; $2 X (X^{2} - 2 X) = 2 X^{3} - 4 X^{2}$ ; scădem: $4 X^{2} + 0 \cdot X - 16$ .
$4 X^{2} : X^{2} = 4$ ; $4 (X^{2} - 2 X) = 4 X^{2} - 8 X$ ; scădem: $8 X - 16$ .

Gradul restului este $1 < 2$ , deci ne oprim: $q = X^{2} + 2 X + 4$ și $r = 8 X - 16$ .

Verificare: $(X^{2} - 2 X) (X^{2} + 2 X + 4) = X^{4} + 2 X^{3} + 4 X^{2} - 2 X^{3} - 4 X^{2} - 8 X = X^{4} - 8 X$ ; adunând $8 X - 16$ obținem $X^{4} - 16$ ✓.

7. Când coeficientul dominant al împărțitorului nu este 1

Dacă $g$ are coeficientul dominant diferit de $1$ , la fiecare pas împarți efectiv la acel coeficient — deci apar fracții, chiar dacă ambele polinoame au coeficienți întregi. Nu este o greșeală, ci ceea ce garantează teorema: câtul și restul există în $C [X]$ , nu neapărat în $Z [X]$ .

Un exemplu-fulger: împărțind $6 X^{3} + X^{2} - 5 X + 2$ la $3 X - 1$ obții pe rând $2 X^{2}$ , apoi $X$ , apoi $- \frac{4}{3}$ , cu restul $\frac{2}{3}$ . Vei vedea calculul complet în Exemplul 4.

8. Trei controale care te scutesc de greșeli

Înainte de a considera o împărțire terminată, fă aceste trei verificări. Iau împreună mai puțin de un minut.

Gradul câtului. Trebuie să fie $grad f - grad g$ . Dacă nu iese, ai sărit sau ai dublat un pas.
Gradul restului. Trebuie să fie strict mai mic decât $grad g$ . Dacă nu este, algoritmul trebuia continuat.
Înmulțirea înapoi. $g \cdot q + r$ trebuie să dea exact $f$ , coeficient cu coeficient. Este singura verificare care prinde absolut orice greșeală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Împărțire exactă la un binom

Efectuați împărțirea lui $f = 3 X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 8$ la $g = X - 2$ .

Rezolvare.

$3 X^{3} : X = 3 X^{2}$ ; $3 X^{2} (X - 2) = 3 X^{3} - 6 X^{2}$ ; scădem: $X^{2} + 2 X - 8$ .
$X^{2} : X = X$ ; $X (X - 2) = X^{2} - 2 X$ ; scădem: $4 X - 8$ .
$4 X : X = 4$ ; $4 (X - 2) = 4 X - 8$ ; scădem: $0$ .

Deci $q = 3 X^{2} + X + 4$ și $r = 0$ . Verificare: $(X - 2) (3 X^{2} + X + 4) = 3 X^{3} + X^{2} + 4 X - 6 X^{2} - 2 X - 8 = 3 X^{3} - 5 X^{2} + 2 X - 8$ ✓.

Exemplul 2 — Împărțitor de gradul al doilea

Determinați câtul și restul împărțirii lui $f = X^{4} + 3 X^{3} - 2 X + 1$ la $g = X^{2} + X - 1$ .

Rezolvare. Completăm termenul lipsă: $f = X^{4} + 3 X^{3} + 0 \cdot X^{2} - 2 X + 1$ .

$X^{4} : X^{2} = X^{2}$ ; $X^{2} (X^{2} + X - 1) = X^{4} + X^{3} - X^{2}$ ; scădem: $2 X^{3} + X^{2} - 2 X + 1$ .
$2 X^{3} : X^{2} = 2 X$ ; $2 X (X^{2} + X - 1) = 2 X^{3} + 2 X^{2} - 2 X$ ; scădem: $- X^{2} + 0 \cdot X + 1$ .
$- X^{2} : X^{2} = - 1$ ; $- 1 \cdot (X^{2} + X - 1) = - X^{2} - X + 1$ ; scădem: $X$ .

Restul $X$ are gradul $1 < 2$ , deci $q = X^{2} + 2 X - 1$ și $r = X$ .

Verificare, pe bucăți: $X^{2} (X^{2} + 2 X - 1) = X^{4} + 2 X^{3} - X^{2}$ ; $X (X^{2} + 2 X - 1) = X^{3} + 2 X^{2} - X$ ; $- 1 \cdot (X^{2} + 2 X - 1) = - X^{2} - 2 X + 1$ . Suma lor este $X^{4} + 3 X^{3} + 0 \cdot X^{2} - 3 X + 1$ , iar adunând restul $X$ obținem $X^{4} + 3 X^{3} - 2 X + 1$ ✓.

Exemplul 3 — Multe locuri goale

Determinați câtul și restul împărțirii lui $f = 2 X^{5} - X^{3} + 4$ la $g = X^{2} + 1$ .

Rezolvare. Scriem $f = 2 X^{5} + 0 \cdot X^{4} - X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X + 4$ .

$2 X^{5} : X^{2} = 2 X^{3}$ ; $2 X^{3} (X^{2} + 1) = 2 X^{5} + 2 X^{3}$ ; scădem: $- 3 X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X + 4$ .
$- 3 X^{3} : X^{2} = - 3 X$ ; $- 3 X (X^{2} + 1) = - 3 X^{3} - 3 X$ ; scădem: $3 X + 4$ .

Gradul restului este $1 < 2$ , deci $q = 2 X^{3} - 3 X$ și $r = 3 X + 4$ .

Verificare: $(X^{2} + 1) (2 X^{3} - 3 X) = 2 X^{5} - 3 X^{3} + 2 X^{3} - 3 X = 2 X^{5} - X^{3} - 3 X$ ; adunând $3 X + 4$ obținem $2 X^{5} - X^{3} + 4$ ✓.

Exemplul 4 — Coeficient dominant diferit de 1

Determinați câtul și restul împărțirii lui $f = 6 X^{3} + X^{2} - 5 X + 2$ la $g = 3 X - 1$ .

Rezolvare.

$6 X^{3} : 3 X = 2 X^{2}$ ; $2 X^{2} (3 X - 1) = 6 X^{3} - 2 X^{2}$ ; scădem: $3 X^{2} - 5 X + 2$ .
$3 X^{2} : 3 X = X$ ; $X (3 X - 1) = 3 X^{2} - X$ ; scădem: $- 4 X + 2$ .
$- 4 X : 3 X = - \frac{4}{3}$ ; $- \frac{4}{3} (3 X - 1) = - 4 X + \frac{4}{3}$ ; scădem: $2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ .

Deci $q = 2 X^{2} + X - \frac{4}{3}$ și $r = \frac{2}{3}$ , un rest constant — corect, pentru că împărțitorul are gradul $1$ .

Verificare: $(3 X - 1) (2 X^{2} + X - \frac{4}{3}) = 6 X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 2 X^{2} - X + \frac{4}{3} = 6 X^{3} + X^{2} - 5 X + \frac{4}{3}$ ; adunând $\frac{2}{3}$ obținem $6 X^{3} + X^{2} - 5 X + 2$ ✓.

Exemplul 5 — Depistarea unei greșeli

Un elev a împărțit $f = X^{4} - 16$ la $g = X - 2$ și a obținut câtul $X^{3} - 8$ și restul $0$ . Verificați rezultatul și corectați-l dacă este cazul.

Rezolvare. Verificăm prin înmulțire înapoi:

$(X - 2) (X^{3} - 8) = X^{4} - 8 X - 2 X^{3} + 16 = X^{4} - 2 X^{3} - 8 X + 16 \neq = X^{4} - 16.$

Rezultatul este greșit. Sursa erorii se ghicește ușor: elevul a „simplificat" gândindu-se la $X^{4} : X = X^{3}$ și $- 16 : (- 2) = 8$ , adică a împărțit termen cu termen — ceea ce nu este niciodată permis.

Efectuăm corect, cu toți termenii lipsă completați ( $X^{4} + 0 \cdot X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X - 16$ ): obținem succesiv $X^{3}$ , $2 X^{2}$ , $4 X$ , $8$ , cu restul $0$ . Deci $q = X^{3} + 2 X^{2} + 4 X + 8$ .

Verificare: $(X - 2) (X^{3} + 2 X^{2} + 4 X + 8) = X^{4} + 2 X^{3} + 4 X^{2} + 8 X - 2 X^{3} - 4 X^{2} - 8 X - 16 = X^{4} - 16$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $f = X^{3} + 2 X^{2} + a X + b$ , cu $a, b \in R$ . Determinați $a$ și $b$ astfel încât $f$ să se dividă cu $g = X^{2} + X - 2$ , apoi determinați câtul.

Rezolvare. Efectuăm împărțirea lăsând parametrii la locul lor.

$X^{3} : X^{2} = X$ ; $X (X^{2} + X - 2) = X^{3} + X^{2} - 2 X$ ; scădem: $X^{2} + (a + 2) X + b$ .
$X^{2} : X^{2} = 1$ ; $1 \cdot (X^{2} + X - 2) = X^{2} + X - 2$ ; scădem: $(a + 1) X + (b + 2)$ .

Restul este $(a + 1) X + (b + 2)$ . Împărțirea este exactă exact când restul este polinomul nul, adică

$a + 1 = 0 ș i b + 2 = 0 ⟹ a = - 1, b = - 2.$

Câtul este $q = X + 1$ , iar $f = X^{3} + 2 X^{2} - X - 2$ .

Verificare: $(X^{2} + X - 2) (X + 1) = X^{3} + X^{2} - 2 X + X^{2} + X - 2 = X^{3} + 2 X^{2} - X - 2$ ✓. (Un control suplimentar: pentru $b = 5$ restul ar fi $7$ , nenul — deci condiția chiar restrânge valorile.)

Să exersăm

Efectuează fiecare împărțire pe caiet, în schema cu bară, și verifică de fiecare dată prin înmulțire înapoi. Notează, înainte de calcul, ce grad trebuie să aibă câtul — te ajută să nu sari pași.

1. Efectuează împărțirea lui $X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 12$ la $X + 3$ .

2. Efectuează împărțirea lui $2 X^{3} - 5 X^{2} + 4 X - 1$ la $X - 1$ .

3. Efectuează împărțirea lui $X^{4} - 1$ la $X - 1$ și scrie descompunerea obținută.

4. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{4} + 2 X^{3} - X + 5$ la $X^{2} + 1$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă la un pas al algoritmului termenul dominant al restului parțial nu se anulează, înseamnă că am greșit un calcul."

6. Determină câtul și restul împărțirii lui $3 X^{3} + 2 X^{2} - X + 4$ la $X^{2} - X + 1$ .

7. Determină câtul și restul împărțirii lui $X^{5} - 3 X^{2} + 2$ la $X^{2} - 1$ , având grijă la termenii lipsă.

8. Efectuează împărțirea lui $6 X^{3} - X^{2} - 5 X + 2$ la $2 X - 1$ .

9. Determină $m \in R$ astfel încât restul împărțirii lui $X^{3} - 2 X^{2} + m X + 3$ la $X - 1$ să fie egal cu $5$ . Precizează și câtul.

10. Efectuează împărțirea lui $X^{4} + X^{2} + 1$ la $X^{2} + X + 1$ și scrie descompunerea rezultată.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La împărțirea a două polinoame cu coeficienți întregi, câtul are întotdeauna coeficienți întregi."

12. (Problemă aplicată.) Volumul unei cutii în formă de paralelipiped este $V = X^{3} + 6 X^{2} + 11 X + 6$ , iar aria bazei este $S = X^{2} + 5 X + 6$ . Determină înălțimea cutiei, efectuând împărțirea, și verifică prin înmulțire.

13. Determină câtul și restul împărțirii lui $2 X^{4} - X^{3} + 3 X - 1$ la $X^{2} + X$ .

14. Un elev a împărțit $X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ la $X - 2$ și a obținut câtul $X^{2} + 3$ și restul $2$ . Verifică prin înmulțire înapoi dacă rezultatul este corect și explică de ce câtul nu are termen în $X$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f = X^{3} + 3 X^{2} + a X + b$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați restul împărțirii lui $f$ la $X^{2} + X - 1$ , în funcție de $a$ și $b$ . b) Determinați $a$ și $b$ pentru care împărțirea este exactă și precizați câtul.

16. Efectuează împărțirea lui $X^{3} + 1$ la $X + 1$ și compară rezultatul cu formula sumei de cuburi.

17. Efectuează împărțirea lui $X^{4} - 5 X^{2} + 4$ la $X^{2} - 3 X + 2$ și scrie descompunerea completă a deîmpărțitului în factori de gradul întâi.

18. (Provocare.) Arată, efectuând împărțirea, că $X^{4} + 4$ se divide cu $X^{2} - 2 X + 2$ și scrie descompunerea obținută. (Este identitatea lui Sophie Germain.)

Răspunsuri și explicații

1. $q = X^{2} - 4$ , $r = 0$ . După primul pas ( $X^{2}$ ) restul parțial este $- 4 X - 12$ , de gradul $1$ , deci câtul nu are termen în $X$ (coeficientul lui este $0$ ) și urmează direct $- 4$ . Verificare: $(X + 3) (X^{2} - 4) = X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 12$ ✓. Descompunerea: $(X + 3) (X - 2) (X + 2)$ .

2. $q = 2 X^{2} - 3 X + 1$ , $r = 0$ . Verificare: $(X - 1) (2 X^{2} - 3 X + 1) = 2 X^{3} - 3 X^{2} + X - 2 X^{2} + 3 X - 1 = 2 X^{3} - 5 X^{2} + 4 X - 1$ ✓.

3. $q = X^{3} + X^{2} + X + 1$ , $r = 0$ , deci $X^{4} - 1 = (X - 1) (X^{3} + X^{2} + X + 1)$ . Verificare prin desfacere: termenii se reduc telescopic ✓.

4. $q = X^{2} + 2 X - 1$ , $r = - 3 X + 6$ . Verificare: $(X^{2} + 1) (X^{2} + 2 X - 1) = X^{4} + 2 X^{3} - X^{2} + X^{2} + 2 X - 1 = X^{4} + 2 X^{3} + 2 X - 1$ ; adunând $- 3 X + 6$ obținem $X^{4} + 2 X^{3} - X + 5$ ✓.

5. Adevărat. Monomul de la cât este ales tocmai ca produsul lui cu împărțitorul să aibă exact același termen dominant ca restul parțial. Dacă după scădere acel termen supraviețuiește, ori ai împărțit greșit termenii dominanți, ori ai greșit un semn la scădere.

6. $q = 3 X + 5$ , $r = X - 1$ . Verificare: $(X^{2} - X + 1) (3 X + 5) = 3 X^{3} + 5 X^{2} - 3 X^{2} - 5 X + 3 X + 5 = 3 X^{3} + 2 X^{2} - 2 X + 5$ ; adunând $X - 1$ obținem $3 X^{3} + 2 X^{2} - X + 4$ ✓.

7. Completăm: $X^{5} + 0 \cdot X^{4} + 0 \cdot X^{3} - 3 X^{2} + 0 \cdot X + 2$ . Se obține $q = X^{3} + X - 3$ și $r = X - 1$ . Verificare: $(X^{2} - 1) (X^{3} + X - 3) = X^{5} + X^{3} - 3 X^{2} - X^{3} - X + 3 = X^{5} - 3 X^{2} - X + 3$ ; adunând $X - 1$ dă $X^{5} - 3 X^{2} + 2$ ✓.

8. $q = 3 X^{2} + X - 2$ , $r = 0$ . Verificare: $(2 X - 1) (3 X^{2} + X - 2) = 6 X^{3} + 2 X^{2} - 4 X - 3 X^{2} - X + 2 = 6 X^{3} - X^{2} - 5 X + 2$ ✓. Aici coeficienții câtului au ieșit întregi, deși coeficientul dominant al împărțitorului este $2$ — se poate întâmpla, dar nu e garantat.

9. Efectuând împărțirea se obține câtul $X^{2} - X + (m - 1)$ și restul $m + 2$ . Condiția $m + 2 = 5$ dă $m = 3$ , iar câtul devine $X^{2} - X + 2$ . Verificare: $(X - 1) (X^{2} - X + 2) + 5 = X^{3} - X^{2} + 2 X - X^{2} + X - 2 + 5 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X + 3$ ✓.

10. $q = X^{2} - X + 1$ , $r = 0$ , deci $X^{4} + X^{2} + 1 = (X^{2} + X + 1) (X^{2} - X + 1)$ . Verificare: produsul dă $X^{4} - X^{3} + X^{2} + X^{3} - X^{2} + X + X^{2} - X + 1 = X^{4} + X^{2} + 1$ ✓.

11. Fals. Contraexemplu: $2 X^{2} + 1$ împărțit la $3 X$ dă câtul $\frac{2}{3} X$ și restul $1$ . Coeficienții câtului rămân întregi doar dacă coeficientul dominant al împărțitorului este $1$ sau $- 1$ (sau, întâmplător, dacă toate împărțirile ies exacte, ca la exercițiul 8).

12. Înălțimea este câtul: $h = X + 1$ , cu restul $0$ . Verificare: $(X^{2} + 5 X + 6) (X + 1) = X^{3} + X^{2} + 5 X^{2} + 5 X + 6 X + 6 = X^{3} + 6 X^{2} + 11 X + 6$ ✓. (Cutia are dimensiunile $X + 1$ , $X + 2$ , $X + 3$ .)

13. Completăm deîmpărțitul: $2 X^{4} - X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 3 X - 1$ ; împărțitorul este $X^{2} + X + 0$ . Se obține $q = 2 X^{2} - 3 X + 3$ și $r = - 1$ . Verificare: $(X^{2} + X) (2 X^{2} - 3 X + 3) = 2 X^{4} - 3 X^{3} + 3 X^{2} + 2 X^{3} - 3 X^{2} + 3 X = 2 X^{4} - X^{3} + 3 X$ ; adunând $- 1$ obținem $2 X^{4} - X^{3} + 3 X - 1$ ✓.

14. $(X - 2) (X^{2} + 3) + 2 = X^{3} + 3 X - 2 X^{2} - 6 + 2 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ ✓ — rezultatul este corect. Câtul nu are termen în $X$ pentru că, după primul pas, restul parțial este $3 X - 4$ , de gradul $1$ : se sare direct la termenul constant al câtului. Coeficientul lipsă este de fapt $0$ .

15. a) Primul pas dă monomul $X$ și restul parțial $2 X^{2} + (a + 1) X + b$ ; al doilea dă monomul $2$ și restul $(a - 1) X + (b + 2)$ . Deci câtul este $X + 2$ , iar restul $(a - 1) X + (b + 2)$ . (Control: pentru $a = 5$ , $b = 1$ restul ar fi $4 X + 3$ .) b) Împărțirea este exactă când restul se anulează: $a = 1$ și $b = - 2$ ; câtul rămâne $X + 2$ . Verificare: $(X^{2} + X - 1) (X + 2) = X^{3} + 3 X^{2} + X - 2$ ✓.

16. $q = X^{2} - X + 1$ , $r = 0$ , deci $X^{3} + 1 = (X + 1) (X^{2} - X + 1)$ — exact formula sumei de cuburi $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ pentru $a = X$ , $b = 1$ .

17. $q = X^{2} + 3 X + 2$ , $r = 0$ . Cum $X^{2} - 3 X + 2 = (X - 1) (X - 2)$ și $X^{2} + 3 X + 2 = (X + 1) (X + 2)$ , obținem $X^{4} - 5 X^{2} + 4 = (X - 1) (X - 2) (X + 1) (X + 2)$ ✓ — se verifică și direct, prin substituția $X^{2} = t$ .

18. Completăm: $X^{4} + 0 \cdot X^{3} + 0 \cdot X^{2} + 0 \cdot X + 4$ . Pașii dau $X^{2}$ , apoi $2 X$ , apoi $2$ , cu restul $0$ ; deci $q = X^{2} + 2 X + 2$ și $X^{4} + 4 = (X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2)$ . Verificare: $(X^{2} - 2 X + 2) (X^{2} + 2 X + 2) = (X^{2} + 2)^{2} - (2 X)^{2} = X^{4} + 4 X^{2} + 4 - 4 X^{2} = X^{4} + 4$ ✓.

De reținut

Pregătirea contează: ordonează descrescător ambele polinoame și completează cu $0$ toți termenii lipsă. Aici se produc majoritatea greșelilor.
Un pas = patru mișcări: împarte termenii dominanți, înmulțește monomul obținut cu tot împărțitorul, scade, coboară restul termenilor.
Oprirea: algoritmul se încheie când gradul restului parțial devine strict mai mic decât gradul împărțitorului.
Verificarea prin înmulțire înapoi — $g \cdot q + r = f$ — este obligatorie și prinde orice eroare de calcul; costă mai puțin de un minut.
Rest $0$ înseamnă descompunere: din $f = g \cdot q$ obții direct o factorizare a lui $f$ , adesea continuabilă prin rezolvarea unui trinom.

Greșeli frecvente

Termenii lipsă necompletați. Fără locul rezervat cu $0$ , coloanele se deplasează și aduni monoame de grade diferite. Scrie explicit $0 \cdot X^{k}$ la fiecare grad absent.
Semnele la scădere. Se scade tot produsul, deci toate semnele lui se schimbă. Cea mai sigură tehnică: schimbă semnele întâi și apoi adună.
Împărțirea termen cu termen. $\frac{X ^{4} - 16}{X - 2}$ nu este $X^{3} - 8$ ; fracțiile de polinoame nu se simplifică termen cu termen. Singura cale corectă este algoritmul.
Oprirea prea devreme sau prea târziu. Criteriul este strict: continui cât timp $grad (rest par ț ial) \geq grad g$ . Un rest de același grad cu împărțitorul înseamnă că mai ai un pas de făcut.
Înmulțirea doar cu primul termen al împărțitorului. Monomul de la cât se înmulțește cu întregul împărțitor, nu numai cu termenul lui dominant.

Aplică acasă

Cinci împărțiri cronometrate. Alege din manual cinci împărțiri de polinoame și rezolvă-le cronometrându-te. Notează timpul la fiecare: vei vedea cum scade de la câteva minute la sub un minut, pe măsură ce mișcările devin automate.
Fabrica de exerciții cu răspuns garantat. Alege un $g$ de gradul $2$ , un $q$ de gradul $2$ și un $r$ de gradul $1$ și calculează $f = g q + r$ . Peste o zi, împarte $f$ la $g$ și compară cu ce ai pornit. Ai astfel oricâte exerciții cu răspunsul deja verificat.
Împărțire pe caiet, verificare pe calculator. Efectuează o împărțire pe hârtie, apoi verific-o într-o foaie de calcul: pune coeficienții lui $g$ și ai lui $q$ pe două linii și calculează cu formule coeficienții produsului. Diferența față de $f$ trebuie să fie exact restul.

Pentru părinți și profesori

Lecția este una de tehnică, nu de teorie: se învață făcând. Elevul trebuie să efectueze cel puțin șase-șapte împărțiri complete înainte ca procedura să devină sigură. Verifică în caiet: (1) termenii lipsă sunt completați cu $0$ ; (2) coloanele sunt aliniate după grade; (3) la fiecare pas se înmulțește cu tot împărțitorul; (4) la final apare verificarea prin înmulțire înapoi.

Întrebări bune de control: „Ce grad trebuie să aibă câtul?"; „Când te oprești din împărțit?"; „De ce completăm cu zerouri?"; „Cum verifici că nu ai greșit?". Semne că elevul a înțeles: își anunță singur gradul câtului înainte de calcul și face verificarea fără să i se ceară.

La Bacalaureat M1 împărțirea apare rareori ca cerință izolată, dar este pasul intermediar în foarte multe probleme: descompunerea unui polinom după ce s-a găsit o rădăcină, determinarea parametrilor din condiții de divizibilitate, aflarea câtului la o împărțire exactă. În multe dintre aceste situații schema lui Horner o va înlocui, dar numai când împărțitorul este de forma $X - a$ ; pentru împărțitori de grad mai mare, algoritmul de față rămâne singura cale.

Întrebări frecvente

Cum se împart două polinoame pas cu pas? Ordonezi ambele polinoame descrescător și completezi cu zerouri termenii lipsă. Apoi, la fiecare pas, împarți termenul dominant al restului parțial la termenul dominant al împărțitorului, înmulțești monomul obținut cu tot împărțitorul, scazi și cobori termenii rămași. Te oprești când gradul restului scade sub gradul împărțitorului.

De ce trebuie completate cu zero termenii lipsă? Pentru ca fiecare grad să aibă coloana lui în schemă. Fără locurile goale rezervate, la scădere ajung unul sub altul monoame de grade diferite, iar rezultatul iese greșit fără ca eroarea să fie vizibilă.

Când se oprește algoritmul împărțirii? Când gradul restului parțial devine strict mai mic decât gradul împărțitorului — sau când restul devine polinomul nul. Ce a rămas în acel moment este restul împărțirii.

Cum verific dacă am împărțit corect polinoamele? Înmulțești câtul cu împărțitorul și adaugi restul: trebuie să obții exact deîmpărțitul. Verifici în plus că gradul câtului este $grad f - grad g$ și că gradul restului este mai mic decât gradul împărțitorului.

Pot să simplific fracția de polinoame termen cu termen? Nu. $\frac{X ^{4} - 16}{X - 2}$ nu este $X^{3} - 8$ , la fel cum $\frac{a + b}{c}$ nu este $\frac{a}{c} + b$ . Singura cale corectă de a obține câtul este algoritmul împărțirii (sau schema lui Horner, când împărțitorul are forma $X - a$ ).

De ce îmi ies fracții la cât, deși polinoamele au coeficienți întregi? Pentru că la fiecare pas împarți la coeficientul dominant al împărțitorului. Dacă acesta nu este $1$ sau $- 1$ , apar în mod natural fracții — nu este o greșeală, ci exact ce garantează teorema împărțirii cu rest.

Ce înseamnă că restul a ieșit zero? Că împărțirea este exactă, adică $f = g \cdot q$ și $g$ divide pe $f$ . Practic, ai obținut o descompunere în factori a deîmpărțitului, adesea continuabilă prin rezolvarea câtului ca ecuație.

Când folosesc algoritmul și când schema lui Horner? Schema lui Horner funcționează doar pentru împărțitori de forma $X - a$ , unde este mult mai rapidă. Pentru orice alt împărțitor — de gradul al doilea sau mai mare, ori de forma $a X + b$ cu $a \neq = 1$ — folosești algoritmul de față.