Monotonia și valoarea extremă (maxim sau minim)

Un magazin care ridică prețul câștigă mai mult pe fiecare produs, dar vinde mai puține bucăți. La început venitul crește; de la un punct încolo, scade. Undeva la mijloc există un preț la care câștigul este cel mai mare — și tot interesul afacerii este să găsească exact acel punct. Aceeași structură apare la mingea aruncată (urcă, apoi coboară), la grădina cu gard fix (aria crește, apoi scade), la doza unui medicament, la turația unui motor.

Toate aceste situații au un lucru în comun: funcția care le descrie nu are un singur sens de variație. Ea crește pe o porțiune și scade pe alta, iar între cele două se află un punct de cotitură. La funcția de gradul al doilea, punctul acela este vârful — și l-ai calculat deja în lecția despre parabolă: vârf, axă de simetrie, ramuri. Ce urmează acum este limbajul precis cu care descriem această cotitură: intervale de monotonie, tabel de variație, punct de extrem și valoare extremă.

Ce vei învăța

Vei ști să explici de ce o funcție de gradul al doilea nu este monotonă pe tot $R$ .
Vei ști să determini intervalele de monotonie, cu vârful ca punct de separare.
Vei ști să demonstrezi monotonia pornind de la forma canonică, nu doar să o citești de pe desen.
Vei ști să alcătuiești corect un tabel de variație.
Vei ști să deosebești punctul de extrem ( $x_{V}$ ) de valoarea extremă ( $y_{V}$ ) și să spui când e maxim și când e minim.
Vei ști să compari două valori ale funcției fără să le calculezi, doar după distanța față de axa de simetrie.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „crescătoare" și „descrescătoare"

Reamintim definițiile, aceleași folosite la monotonia funcției afine. Fie $f$ o funcție și $I$ un interval din domeniul ei.

$f$ este strict crescătoare pe $I$ dacă pentru orice $x_{1}, x_{2} \in I$ cu $x_{1} < x_{2}$ rezultă $f (x_{1}) < f (x_{2})$ : argumente mai mari dau valori mai mari.
$f$ este strict descrescătoare pe $I$ dacă din $x_{1} < x_{2}$ rezultă $f (x_{1}) > f (x_{2})$ : argumente mai mari dau valori mai mici.

Atenție la formularea completă: monotonia se afirmă pe un interval, nu global și nu într-un punct. Fraza „funcția este crescătoare" fără să spui unde este incompletă și, la funcția de gradul al doilea, aproape sigur greșită.

2. De ce parabola nu poate fi monotonă pe $R$

Luăm cea mai simplă parabolă, $f (x) = x^{2}$ , și două perechi de valori:

$f (- 2) = 4 > f (- 1) = 1, f (1) = 1 < f (2) = 4.$

În prima pereche argumentul a crescut (de la $- 2$ la $- 1$ ) și valoarea a scăzut; în a doua, argumentul a crescut și valoarea a crescut. O funcție nu poate fi, în același timp, crescătoare și descrescătoare pe aceeași mulțime — deci $f$ nu este monotonă pe $R$ .

Explicația e chiar simetria: valorile se repetă de o parte și de alta a axei, deci funcția trebuie neapărat să se întoarcă din drum. Un singur loc poate fi acela: vârful.

3. Demonstrația: de la forma canonică la monotonie

Nu ne mulțumim cu desenul. Pornim de la forma canonică $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ și calculăm diferența valorilor în două puncte oarecare $x_{1}$ și $x_{2}$ :

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = a [(x_{2} - x_{V})^{2} - (x_{1} - x_{V})^{2}] .$

Aplicăm formula $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ cu $u = x_{2} - x_{V}$ și $v = x_{1} - x_{V}$ :

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V}) .$

Această egalitate este cheia întregii lecții. Presupunem $x_{1} < x_{2}$ , deci $x_{2} - x_{1} > 0$ , și analizăm ultimul factor.

Cazul $x_{1} < x_{2} \leq x_{V}$ . Atunci $x_{1} < x_{V}$ și $x_{2} \leq x_{V}$ , deci $x_{1} + x_{2} < 2 x_{V}$ , adică $x_{1} + x_{2} - 2 x_{V} < 0$ . Produsul $(x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V})$ este negativ. Prin urmare:

dacă $a > 0$ : $f (x_{2}) - f (x_{1}) < 0$ , deci $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, x_{V}]$ ;
dacă $a < 0$ : $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ , deci $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, x_{V}]$ .

Cazul $x_{V} \leq x_{1} < x_{2}$ . Acum $x_{1} \geq x_{V}$ și $x_{2} > x_{V}$ , deci $x_{1} + x_{2} - 2 x_{V} > 0$ , iar produsul este pozitiv. Prin urmare:

dacă $a > 0$ : $f$ este strict crescătoare pe $[x_{V}, \infty)$ ;
dacă $a < 0$ : $f$ este strict descrescătoare pe $[x_{V}, \infty)$ .

Demonstrația e completă și, observă, nu s-a sprijinit deloc pe desen. Rezultatul se sintetizează într-o singură frază: parabola își schimbă sensul de variație exact în vârf, iar semnul lui $a$ decide care este primul sens.

4. Tabelul de variație

Toate informațiile se strâng într-un tabel standard, pe care îl vei folosi la fiecare exercițiu. Pentru $a > 0$ :

$x$	$- \infty$		$x_{V}$		$+ \infty$
$f (x)$		descrește	$y_{V}$	crește

Pentru $a < 0$ :

$x$	$- \infty$		$x_{V}$		$+ \infty$
$f (x)$		crește	$y_{V}$	descrește

Pe caiet, în locul cuvintelor se desenează săgeți: $↘$ pentru descreștere, $↗$ pentru creștere. În celula din mijloc se scrie valoarea $y_{V}$ , nu abscisa — este greșeala numărul unu la această lecție.

Exemplu. Pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ : $a = 1 > 0$ , $x_{V} = \frac{6}{2} = 3$ , $y_{V} = f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ . Tabelul arată descreștere pe $(- \infty, 3]$ , valoarea $- 4$ în $x = 3$ , apoi creștere pe $[3, \infty)$ .

5. Punct de extrem și valoare extremă

Din forma canonică am dedus, în lecția precedentă, că $f (x) - y_{V} = a (x - x_{V})^{2}$ , cu pătratul mereu nenegativ. De aici:

dacă $a > 0$ , atunci $f (x) \geq y_{V}$ pentru orice $x$ , cu egalitate numai în $x = x_{V}$ . Spunem că funcția are valoare minimă $y_{V}$ , atinsă în punctul de minim $x_{V}$ ;
dacă $a < 0$ , atunci $f (x) \leq y_{V}$ pentru orice $x$ , cu egalitate numai în $x = x_{V}$ . Funcția are valoare maximă $y_{V}$ , atinsă în punctul de maxim $x_{V}$ .

Distincția dintre cele două noțiuni trebuie stăpânită perfect, pentru că enunțurile o exploatează:

Întrebarea	Răspunsul
Care este valoarea maximă (sau minimă)?	$y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$
În ce punct se atinge?	$x_{V} = - \frac{b}{2 a}$
Care sunt coordonatele punctului de extrem al graficului?	$V (x_{V}, y_{V})$

Reține și mnemonicul: cu $a > 0$ parabola „ține apa" (cupă) și are minim; cu $a < 0$ parabola „varsă apa" (boltă) și are maxim.

Exemplu. $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ are $a = - 2 < 0$ , deci maxim. $x_{V} = - \frac{12}{- 4} = 3$ și $y_{V} = f (3) = - 18 + 36 - 5 = 13$ . Valoarea maximă este $13$ și se atinge în $x = 3$ . Prin formulă: $Δ = 144 - 40 = 104$ , iar $- \frac{104}{- 8} = 13$ ✓.

6. Monotonia pe un interval dat

Multe cerințe restrâng funcția la un interval $[p, q]$ . Regula e simplă și se decide comparând intervalul cu $x_{V}$ :

dacă tot intervalul este la stânga vârfului ( $q \leq x_{V}$ ), funcția are un singur sens de variație pe el;
dacă tot intervalul este la dreapta vârfului ( $p \geq x_{V}$ ), la fel, dar în sens invers;
dacă vârful cade în interiorul intervalului ( $p < x_{V} < q$ ), funcția își schimbă sensul acolo, iar intervalul se rupe în două.

Exemplu. $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ pe $[0, 3]$ . Avem $x_{V} = 2 \in (0, 3)$ , deci vârful e înăuntru. Funcția este strict descrescătoare pe $[0, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, 3]$ . Valorile la capete și în vârf: $f (0) = 1$ , $f (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ , $f (3) = 9 - 12 + 1 = - 2$ . Cea mai mică valoare pe interval este $- 3$ , atinsă în vârf.

7. Compararea valorilor fără calcul

Iată o consecință care economisește timp la evaluări. Din $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ se vede că valoarea depinde numai de distanța $∣ x - x_{V} ∣$ până la axa de simetrie. Prin urmare:

dacă $a > 0$ : cu cât $x$ este mai departe de $x_{V}$ , cu atât $f (x)$ este mai mare;
dacă $a < 0$ : cu cât $x$ este mai departe de $x_{V}$ , cu atât $f (x)$ este mai mic.

Exemplu. Pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ (deci $x_{V} = 3$ , $a > 0$ ), ordonăm $f (0)$ , $f (2)$ , $f (5)$ fără a le calcula. Distanțele sunt $∣0 - 3∣ = 3$ , $∣2 - 3∣ = 1$ , $∣5 - 3∣ = 2$ . Cea mai mică distanță dă cea mai mică valoare, deci $f (2) < f (5) < f (0)$ . Verificare: $f (2) = - 3$ , $f (5) = 25 - 30 + 5 = 0$ , $f (0) = 5$ ✓.

8. Probleme cu parametru

Cerințele de tip „determinați $m$ astfel încât funcția să fie crescătoare pe intervalul $I$ " se rezolvă traducând condiția în poziția vârfului:

Cerință (pentru $a > 0$ )	Condiție
$f$ crescătoare pe $[k, \infty)$	$x_{V} \leq k$
$f$ descrescătoare pe $(- \infty, k]$	$x_{V} \geq k$

Pentru $a < 0$ cele două condiții se schimbă între ele. Ideea rămâne aceeași: intervalul cerut trebuie să încapă în ramura potrivită.

Exemplu. Determinăm $m$ astfel încât $f (x) = x^{2} - 2 (m - 1) x + 3$ să fie strict crescătoare pe $[2, \infty)$ . Aici $a = 1 > 0$ și $x_{V} = \frac{2 ( m - 1 )}{2} = m - 1$ . Condiția $x_{V} \leq 2$ devine $m - 1 \leq 2$ , deci $m \leq 3$ .

9. Extremul ca răspuns la o problemă reală

Valoarea extremă nu e un exercițiu de dragul exercițiului — de foarte multe ori ea este răspunsul cerut. Grădina cu gard de $24$ m are aria $A (x) = - x^{2} + 12 x$ , cu $a < 0$ , deci maxim: $x_{V} = 6$ , $A (6) = 36$ . Cea mai mare arie posibilă este $36$ m², obținută pentru un pătrat de latură $6$ m. Cinematograful cu $V (p) = - 10 p^{2} + 500 p$ are maximul în $p_{V} = 25$ , cu $V (25) = 6250$ lei.

Fii atent la două lucruri, mereu aceleași: răspunde la întrebarea pusă (dacă se cere prețul, dai $x_{V}$ ; dacă se cere venitul, dai $y_{V}$ ) și verifică dacă punctul de extrem cade în domeniul cu sens al problemei. Un studiu mai amănunțit al acestor situații, cu modelarea de la zero, urmează în lecția despre probleme de maxim și minim în context.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Intervale de monotonie și extrem

Determinați intervalele de monotonie și valoarea extremă a funcției $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

Rezolvare. $a = 1 > 0$ , deci ramurile sunt în sus și funcția are minim.

$x_{V} = - \frac{- 6}{2} = 3, y_{V} = f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4.$

Prin urmare $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 3]$ și strict crescătoare pe $[3, \infty)$ . Valoarea minimă este $- 4$ și se atinge în punctul de minim $x = 3$ .

Verificare rapidă: $f (2) = - 3$ și $f (4) = 16 - 24 + 5 = - 3$ , ambele mai mari decât $- 4$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Tabel de variație pentru $a < 0$

Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f (x) = - x^{2} + 8 x - 12$ și precizați valoarea extremă.

Rezolvare. $a = - 1 < 0$ , deci maxim. $x_{V} = - \frac{8}{- 2} = 4$ și $y_{V} = f (4) = - 16 + 32 - 12 = 4$ .

$x$	$- \infty$		$4$		$+ \infty$
$f (x)$		$↗$	$4$	$↘$

Funcția este strict crescătoare pe $(- \infty, 4]$ și strict descrescătoare pe $[4, \infty)$ ; valoarea maximă este $4$ , atinsă în $x = 4$ .

Control: $f (2) = - 4 + 16 - 12 = 0$ și $f (6) = - 36 + 48 - 12 = 0$ — valori egale, ambele sub maxim ✓. $■$

Exemplul 3 — Monotonia pe un interval închis

Studiați monotonia funcției $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ pe intervalul $[0, 3]$ și determinați cea mai mică și cea mai mare valoare pe acest interval.

Rezolvare. $x_{V} = 2$ , iar $2 \in (0, 3)$ : vârful cade în interiorul intervalului, deci acesta se rupe în două.

Pe $[0, 2]$ funcția este strict descrescătoare, iar pe $[2, 3]$ strict crescătoare. Calculăm valorile relevante: $f (0) = 1$ , $f (2) = 4 - 8 + 1 = - 3$ , $f (3) = 9 - 12 + 1 = - 2$ .

Cea mai mică valoare pe interval este $- 3$ (în vârf), iar cea mai mare este $1$ (în capătul $x = 0$ ). Observă că cel mai mare rezultat nu apare în vârf, ci într-un capăt — pe intervale mărginite, capetele trebuie întotdeauna verificate. $■$

Exemplul 4 — Comparare fără calcul

Fie $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ . Comparați $f (1)$ cu $f (4)$ fără a calcula valorile, apoi verificați prin calcul.

Rezolvare. $x_{V} = - \frac{12}{- 4} = 3$ și $a = - 2 < 0$ . Distanțele față de axa de simetrie sunt $∣1 - 3∣ = 2$ și $∣4 - 3∣ = 1$ . Cum $a < 0$ , valoarea scade pe măsură ce ne depărtăm de $x_{V}$ ; punctul $4$ este mai aproape, deci

$f (4) > f (1) .$

Verificare: $f (1) = - 2 + 12 - 5 = 5$ și $f (4) = - 32 + 48 - 5 = 11$ , iar $11 > 5$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Un profit maxim

Profitul lunar al unei firme, în mii de lei, este $P (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ , unde $x$ reprezintă numărul de sute de produse fabricate. Determinați producția care aduce profit maxim și valoarea acestuia.

Rezolvare. $a = - 1 < 0$ , deci funcția are maxim.

$x_{V} = - \frac{40}{- 2} = 20, P (20) = - 400 + 800 - 300 = 100.$

Profitul maxim este de $100$ mii de lei și se obține pentru $x = 20$ , adică pentru $2000$ de produse fabricate.

Interpretare a monotoniei: până la $2000$ de produse profitul crește (economia de scară lucrează în favoarea firmei), iar peste această cantitate începe să scadă (costurile suplimentare depășesc câștigul). Verificare de coerență: $P (18) = - 324 + 720 - 300 = 96$ și $P (22) = - 484 + 880 - 300 = 96$ — valori egale, ambele sub $100$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ . a) Scrieți $f$ sub formă canonică. b) Determinați valoarea maximă a funcției și punctul în care este atinsă. c) Arătați că $f (x) \leq 13$ pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare. a) $x_{V} = 3$ și $y_{V} = f (3) = - 18 + 36 - 5 = 13$ , deci

$f (x) = - 2 (x - 3)^{2} + 13.$

Verificare prin desfacere: $- 2 (x^{2} - 6 x + 9) + 13 = - 2 x^{2} + 12 x - 18 + 13 = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ ✓.

b) Cum $a = - 2 < 0$ , funcția are maxim. Valoarea maximă este $13$ , atinsă în punctul de maxim $x = 3$ .

c) Din forma canonică, $f (x) - 13 = - 2 (x - 3)^{2}$ . Cum $(x - 3)^{2} \geq 0$ pentru orice $x$ real, rezultă $- 2 (x - 3)^{2} \leq 0$ , deci $f (x) - 13 \leq 0$ , adică $f (x) \leq 13$ . Egalitatea are loc doar pentru $x = 3$ . $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Începe fiecare exercițiu cu semnul lui $a$ și cu $x_{V}$ — restul decurge singur.

1. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ și precizează sensul pe fiecare.

2. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f (x) = - x^{2} + 8 x - 12$ .

3. Precizează dacă funcția are maxim sau minim și calculează valoarea extremă: a) $f (x) = x^{2} - 2 x$ ; b) $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 1$ ; c) $f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 3$ ; d) $f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$ .

4. Alcătuiește tabelul de variație pentru $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

5. Alcătuiește tabelul de variație pentru $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ este crescătoare pe $R$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a < 0$ , funcția de gradul al doilea are valoare maximă."

8. Fie $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ . Studiază monotonia pe intervalul $[0, 3]$ și determină cea mai mică și cea mai mare valoare pe acest interval.

9. Fără a calcula valorile, compară $f (1)$ cu $f (4)$ pentru $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ . Verifică apoi prin calcul.

10. Fără a calcula valorile, ordonează crescător numerele $f (0)$ , $f (2)$ și $f (5)$ pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . Verifică apoi prin calcul.

11. (Problemă aplicată.) Ai $24$ m de gard pentru o parcelă dreptunghiulară de latură $x$ , deci cu aria $A (x) = - x^{2} + 12 x$ . Determină dimensiunile parcelei de arie maximă și valoarea acestei arii.

12. (Problemă aplicată.) Venitul unui cinema este $V (p) = - 10 p^{2} + 500 p$ (lei), unde $p$ este prețul biletului. Determină prețul care aduce venit maxim și venitul corespunzător. Ce se întâmplă cu venitul dacă prețul crește peste această valoare?

13. Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f (x) = x^{2} - 2 (m - 1) x + 3$ este strict crescătoare pe intervalul $[2, \infty)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 5$ . a) Scrie $f$ sub formă canonică. b) Determină valoarea maximă a funcției și punctul de maxim. c) Arată că $f (x) \leq 13$ pentru orice $x$ real.

15. Determină numărul real $b$ știind că valoarea minimă a funcției $f (x) = x^{2} + b x + 5$ este egală cu $1$ .

16. (Problemă aplicată.) Profitul lunar al unei firme este $P (x) = - x^{2} + 40 x - 300$ (mii lei), unde $x$ este numărul de sute de produse. a) Pentru ce producție profitul este maxim? b) Cât este profitul maxim? c) Ce se poate spune despre monotonia profitului între $1000$ și $2000$ de produse?

17. Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f (x) = - x^{2} + 4 m x + 1$ este strict descrescătoare pe intervalul $[3, \infty)$ .

18. (Provocare.) a) Pornind de la forma canonică, demonstrează identitatea $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V})$ . b) Folosește-o pentru a demonstra riguros că $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ este strict crescătoare pe $[3, \infty)$ . c) Ce condiție trebuie să îndeplinească două numere $x_{1} \neq = x_{2}$ pentru ca $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ? Regăsești astfel un rezultat din lecția despre vârf și axa de simetrie.

Răspunsuri și explicații

1. $a = 1 > 0$ și $x_{V} = 3$ . Funcția este strict descrescătoare pe $(- \infty, 3]$ și strict crescătoare pe $[3, \infty)$ .

2. $a = - 1 < 0$ și $x_{V} = - \frac{8}{- 2} = 4$ . Funcția este strict crescătoare pe $(- \infty, 4]$ și strict descrescătoare pe $[4, \infty)$ .

3. a) $a > 0$ , minim; $x_{V} = 1$ , $f (1) = - 1$ : valoarea minimă este $- 1$ . b) $a = - 3 < 0$ , maxim; $x_{V} = - \frac{6}{- 6} = 1$ , $f (1) = - 3 + 6 + 1 = 4$ : valoarea maximă este $4$ . c) $a = 2 > 0$ , minim; $x_{V} = - \frac{8}{4} = - 2$ , $f (- 2) = 8 - 16 + 3 = - 5$ : valoarea minimă este $- 5$ . d) $a = - 1 < 0$ , maxim; $x_{V} = 3$ , $f (3) = - 9 + 18 - 8 = 1$ : valoarea maximă este $1$ .

4. $a = 1 > 0$ , $x_{V} = 2$ , $y_{V} = f (2) = - 3$ .

$x$	$- \infty$		$2$		$+ \infty$
$f (x)$		$↘$	$- 3$	$↗$

5. $a = - 2 < 0$ , $x_{V} = 3$ , $y_{V} = f (3) = 13$ .

$x$	$- \infty$		$3$		$+ \infty$
$f (x)$		$↗$	$13$	$↘$

6. Fals. Aici $x_{V} = 2$ , deci funcția descrește pe $(- \infty, 2]$ și crește abia după. Contraexemplu numeric: $f (0) = 3$ și $f (1) = 1 - 4 + 3 = 0$ ; argumentul a crescut, valoarea a scăzut, deci funcția nu este crescătoare pe $R$ .

7. Adevărat. Din forma canonică, $f (x) - y_{V} = a (x - x_{V})^{2}$ . Pătratul este nenegativ, iar $a < 0$ , deci $f (x) - y_{V} \leq 0$ , adică $f (x) \leq y_{V}$ pentru orice $x$ , cu egalitate doar în $x_{V}$ . Prin urmare $y_{V}$ este valoarea maximă.

8. $x_{V} = 2 \in (0, 3)$ , deci funcția este strict descrescătoare pe $[0, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, 3]$ . Valorile: $f (0) = 1$ , $f (2) = - 3$ , $f (3) = - 2$ . Cea mai mică valoare pe interval este $- 3$ (în vârf), iar cea mai mare este $1$ (în capătul $x = 0$ ).

9. $x_{V} = 3$ , $a < 0$ . Distanțele: $∣1 - 3∣ = 2$ și $∣4 - 3∣ = 1$ ; punctul mai apropiat de axă dă valoarea mai mare, deci $f (4) > f (1)$ . Prin calcul: $f (1) = 5$ , $f (4) = 11$ ✓.

10. $x_{V} = 3$ , $a > 0$ . Distanțele: $∣0 - 3∣ = 3$ , $∣2 - 3∣ = 1$ , $∣5 - 3∣ = 2$ . Cu $a > 0$ , valoarea crește odată cu distanța, deci $f (2) < f (5) < f (0)$ . Prin calcul: $f (2) = - 3$ , $f (5) = 0$ , $f (0) = 5$ ✓.

11. $a = - 1 < 0$ , deci maxim. $x_{V} = 6$ și $A (6) = - 36 + 72 = 36$ . Latura a doua este $12 - 6 = 6$ , deci parcela de arie maximă este pătratul cu latura $6$ m, cu aria de $36$ m². (Domeniul cu sens este $x \in (0, 12)$ , iar $6$ îi aparține ✓.)

12. $x_{V} = - \frac{500}{- 20} = 25$ și $V (25) = - 6250 + 12500 = 6250$ . Prețul optim este $25$ de lei, cu un venit de $6250$ de lei. Peste $25$ de lei funcția este strict descrescătoare, deci venitul scade: biletele scumpite alungă mai mulți spectatori decât câștigul pe bilet.

13. $a = 1 > 0$ , deci funcția crește pe $[x_{V}, \infty)$ . Cum $x_{V} = \frac{2 ( m - 1 )}{2} = m - 1$ , condiția ca $[2, \infty)$ să fie inclus în intervalul de creștere este $m - 1 \leq 2$ , adică $m \leq 3$ . Deci $m \in (- \infty, 3]$ .

14. a) $x_{V} = 3$ , $y_{V} = 13$ , deci $f (x) = - 2 (x - 3)^{2} + 13$ ; desfăcut, se regăsește $- 2 x^{2} + 12 x - 5$ ✓. b) $a < 0$ , deci valoarea maximă este $13$ , atinsă în punctul de maxim $x = 3$ . c) $f (x) - 13 = - 2 (x - 3)^{2} \leq 0$ pentru orice $x$ , deoarece $(x - 3)^{2} \geq 0$ ; rezultă $f (x) \leq 13$ , cu egalitate doar pentru $x = 3$ .

15. $a = 1 > 0$ , deci există minim, egal cu $y_{V}$ . Avem $x_{V} = - \frac{b}{2}$ și $y_{V} = f (- \frac{b}{2}) = \frac{b ^{2}}{4} - \frac{b ^{2}}{2} + 5 = 5 - \frac{b ^{2}}{4}$ . Condiția $5 - \frac{b ^{2}}{4} = 1$ dă $b^{2} = 16$ , deci $b = 4$ sau $b = - 4$ . Verificare pentru $b = 4$ : $f (x) = x^{2} + 4 x + 5$ , cu $x_{V} = - 2$ și $f (- 2) = 4 - 8 + 5 = 1$ ✓.

16. a) $a = - 1 < 0$ , $x_{V} = - \frac{40}{- 2} = 20$ , deci producția optimă este de $20$ sute, adică $2000$ de produse. b) $P (20) = - 400 + 800 - 300 = 100$ , adică $100$ mii de lei. c) Între $1000$ și $2000$ de produse, adică pentru $x \in [10, 20]$ , intervalul este la stânga vârfului, deci profitul este strict crescător: fiecare sută de produse în plus aduce mai mult profit.

17. $a = - 1 < 0$ , deci funcția descrește pe $[x_{V}, \infty)$ . Aici $x_{V} = - \frac{4 m}{- 2} = 2 m$ , iar condiția este $2 m \leq 3$ , adică $m \leq \frac{3}{2}$ . Deci $m \in (- \infty, \frac{3}{2}]$ .

18. a) Din $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ : $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a [(x_{2} - x_{V})^{2} - (x_{1} - x_{V})^{2}]$ . Folosind $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ cu $u = x_{2} - x_{V}$ , $v = x_{1} - x_{V}$ , obținem $u - v = x_{2} - x_{1}$ și $u + v = x_{1} + x_{2} - 2 x_{V}$ , deci $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V})$ .

b) Pentru $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ avem $a = 1$ și $x_{V} = 3$ . Fie $3 \leq x_{1} < x_{2}$ . Atunci $x_{2} - x_{1} > 0$ și $x_{1} + x_{2} - 6 > 0$ (căci $x_{1} \geq 3$ și $x_{2} > 3$ ). Produsul a doi factori pozitivi, înmulțit cu $a = 1 > 0$ , este pozitiv, deci $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ , adică $f (x_{2}) > f (x_{1})$ : funcția este strict crescătoare pe $[3, \infty)$ . $■$

c) $f (x_{1}) = f (x_{2})$ înseamnă $a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V}) = 0$ . Cum $a \neq = 0$ și $x_{1} \neq = x_{2}$ , rămâne $x_{1} + x_{2} - 2 x_{V} = 0$ , adică $x_{V} = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ — exact proprietatea de simetrie demonstrată în lecția despre vârf: două puncte cu aceeași valoare sunt egal depărtate de axa de simetrie.

De reținut

Funcția de gradul al doilea nu este monotonă pe $R$ : își schimbă sensul de variație exact în vârf, la $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ .
Pentru $a > 0$ : descrescătoare pe $(- \infty, x_{V}]$ , crescătoare pe $[x_{V}, \infty)$ , cu valoare minimă $y_{V}$ . Pentru $a < 0$ sensurile se inversează și $y_{V}$ devine valoare maximă.
Punctul de extrem este $x_{V}$ (o abscisă), iar valoarea extremă este $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ (o valoare a funcției). Nu le confunda în răspuns.
Demonstrația se sprijină pe identitatea $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V})$ , obținută din forma canonică.
Valoarea depinde doar de distanța până la axa de simetrie: cu $a > 0$ , mai departe înseamnă mai mare; cu $a < 0$ , mai departe înseamnă mai mic.

Greșeli frecvente

Spui „funcția este crescătoare" fără interval. La gradul al doilea afirmația e mereu incompletă și de obicei falsă; monotonia se enunță întotdeauna pe un interval, precizat explicit.
Confuzi punctul de extrem cu valoarea extremă. Dacă $V (3, - 4)$ , punctul de minim este $3$ , iar valoarea minimă este $- 4$ . Întrebarea „care este minimul funcției?" cere $- 4$ ; „unde se atinge?" cere $3$ .
Scrii $x_{V}$ în celula de mijloc a tabelului de variație. Pe rândul lui $f (x)$ se trec valori, deci acolo merge $y_{V}$ . Abscisa $x_{V}$ stă pe rândul de sus, al lui $x$ .
Pe un interval mărginit, cauți extremul doar în vârf. Dacă vârful nu aparține intervalului — sau chiar dacă aparține — capetele trebuie verificate: cea mai mare valoare pe $[0, 3]$ pentru $x^{2} - 4 x + 1$ este în $x = 0$ , nu în vârf.
La problemele cu parametru inversezi inegalitatea. Pentru $a > 0$ , „crescătoare pe $[k, \infty)$ " cere $x_{V} \leq k$ , nu $x_{V} \geq k$ . Fă un desen mic cu vârful și intervalul, și semnul iese singur.

Aplică acasă

Prețul cel mai bun. Alege un produs pe care l-ai vinde la un târg școlar. Estimează câte bucăți s-ar vinde la trei prețuri diferite, construiește un model liniar al cererii, apoi scrie venitul ca funcție de gradul al doilea. Calculează prețul de venit maxim și compară-l cu intuiția ta inițială. Cât de departe erai?
Tabelul de variație al zilei. Notează din oră în oră temperatura de afară, de dimineața până seara. Desenează punctele, alcătuiește un „tabel de variație" cu creșteri și descreșteri și marchează ora de maxim. Seamănă graficul cu o parabolă? Scrie două motive pentru care modelul pătratic se potrivește doar aproximativ.
Aruncarea perfectă. Aruncă o minge cât mai sus și cronometrează durata totală a zborului. Presupunând modelul $h (t) = - 5 t^{2} + v_{0} t$ , punctul de maxim este la jumătatea duratei. Calculează $v_{0}$ și înălțimea maximă atinsă, apoi verifică dacă rezultatul e plauzibil comparându-l cu înălțimea unui bloc din apropiere.

Pentru părinți și profesori

Lecția formalizează comportamentul „urcă, apoi coboară" al parabolei. Elevul trebuie să plece de aici cu patru lucruri: intervalele de monotonie separate de $x_{V}$ , tabelul de variație scris corect (valori pe rândul funcției, nu abscise), distincția fermă între punct de extrem și valoare extremă, și obișnuința de a verifica capetele pe intervale mărginite. Demonstrația prin identitatea $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a (x_{2} - x_{1}) (x_{1} + x_{2} - 2 x_{V})$ este dată integral și merită parcursă, pentru că înlocuiește „se vede pe desen" cu un argument autentic.

Întrebări bune de control: „Pe ce interval este descrescătoare $f (x) = x^{2} - 8 x + 1$ ?" (pe $(- \infty, 4]$ ); „Care e valoarea minimă și unde se atinge?" ( $f (4) = - 15$ , în $x = 4$ ); „Dacă $a = - 3$ , funcția are maxim sau minim?" (maxim); „Care e mai mare, $f (1)$ sau $f (6)$ , dacă $x_{V} = 4$ și $a > 0$ ?" ( $f (1)$ , fiind mai departe de axă). Semne că a înțeles: începe orice exercițiu cu semnul lui $a$ și cu $x_{V}$ , nu confundă cele două componente ale vârfului și justifică monotonia, nu doar o afirmă.

La teze și la Bacalaureat, cerințele tipice sunt „determinați valoarea maximă/minimă", „arătați că $f (x) \leq k$ pentru orice $x$ real" — rezolvabilă imediat din forma canonică — și „determinați $m$ astfel încât funcția să fie monotonă pe un interval dat". Toate se sprijină pe aceeași unică idee: poziția vârfului. Aplicațiile de optimizare (arii, venituri, profituri) sunt reluate și extinse în lecția dedicată problemelor de maxim și minim.

Întrebări frecvente

Este funcția de gradul al doilea crescătoare sau descrescătoare? Nici una, nici alta pe tot $R$ : ea are ambele comportamente, separate de vârf. Pentru $a > 0$ descrește pe $(- \infty, x_{V}]$ și crește pe $[x_{V}, \infty)$ ; pentru $a < 0$ este exact invers.

Cum aflu dacă funcția are maxim sau minim? Te uiți doar la semnul coeficientului $a$ : dacă $a > 0$ , ramurile sunt în sus și funcția are minim; dacă $a < 0$ , ramurile sunt în jos și funcția are maxim. Valoarea extremă este întotdeauna $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ .

Care este diferența dintre punct de minim și valoare minimă? Punctul de minim este abscisa $x_{V}$ , adică unde se atinge cea mai mică valoare; valoarea minimă este $y_{V}$ , adică cât este acea valoare. Împreună formează vârful $V (x_{V}, y_{V})$ .

Cum alcătuiesc tabelul de variație? Pe primul rând treci $x$ , de la $- \infty$ la $+ \infty$ , cu $x_{V}$ la mijloc. Pe al doilea rând treci $f (x)$ , cu o săgeată de descreștere sau creștere de fiecare parte, după semnul lui $a$ , și cu valoarea $y_{V}$ scrisă în celula centrală.

Cum studiez monotonia pe un interval dat? Compari intervalul cu $x_{V}$ . Dacă vârful e în afara lui, funcția are un singur sens de variație pe tot intervalul; dacă e înăuntru, intervalul se rupe în două părți, cu sensuri opuse.

Cum compar două valori ale funcției fără să le calculez? Măsori distanța fiecărui argument până la $x_{V}$ . Pentru $a > 0$ , argumentul mai depărtat dă valoarea mai mare; pentru $a < 0$ , argumentul mai depărtat dă valoarea mai mică.

Cum determin un parametru dintr-o condiție de monotonie? Exprimi $x_{V}$ în funcție de parametru și impui ca intervalul cerut să cadă integral în ramura potrivită. De exemplu, pentru $a > 0$ și cerința „crescătoare pe $[2, \infty)$ ", condiția este $x_{V} \leq 2$ .

Unde se folosesc maximul și minimul în practică? La orice problemă de optimizare modelată pătratic: aria maximă cu perimetru dat, venitul sau profitul maxim în funcție de preț, înălțimea maximă a unei traiectorii, consumul minim de material. În fiecare caz, răspunsul se citește din vârful parabolei.