Proprietățile funcției exponențiale

Când arheologii găsesc un os vechi, îi măsoară proporția de carbon-14 rămasă. Dacă a mai rămas $50\%$, obiectul are $5730$ de ani; dacă a mai rămas $25\%$, are dublu. Metoda funcționează dintr-un motiv matematic precis, pe care puțini îl formulează explicit: funcția exponențială este injectivă. O anumită proporție rămasă corespunde unei singure vârste posibile — dacă două vârste diferite ar da aceeași proporție, datarea ar fi imposibilă.

Și mai mult: orice proporție măsurată, oricât de mică, provine de la o vârstă reală. Asta e surjectivitatea pe intervalul $(0,+\infty )$. Cele două laolaltă înseamnă bijectivitate, iar bijectivitatea e cea care garantează că funcția se poate „întoarce din drum" — că din valoare putem reconstitui exponentul. Funcția care face drumul invers se numește logaritm și o vei studia peste câteva lecții. Până atunci, lecția de față demonstrează, una câte una, proprietățile funcției exponențiale — nu citite de pe grafic, ci dovedite, cum se cere la Bacalaureatul M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să justifici semnul funcției exponențiale și să precizezi imaginea ei.
• Vei ști să demonstrezi monotonia funcției exponențiale, separat pentru $a>1$ și pentru $0<a<1$.
• Vei ști să demonstrezi injectivitatea și să o folosești sub forma $a^u=a^v\Rightarrow u=v$, cheia tuturor ecuațiilor exponențiale.
• Vei ști să argumentezi surjectivitatea pe $(0,+\infty )$ și, de aici, bijectivitatea.
• Vei ști să folosești proprietatea de morfism $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$ și consecințele ei.
• Vei ști să determini imaginea unor funcții construite cu exponențiale, de tipul $a^x+b$.

Hai să descoperim împreună

1. Lista proprietăților și ce anume demonstrăm

Fie $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$, $a\ne 1$. Iată sinteza, pe care o vom justifica rând cu rând:

Diferența dintre cele două coloane e într-un singur rând: monotonia. Restul e comun — și tocmai de aceea majoritatea raționamentelor se fac o singură dată.

2. Semnul și imaginea

Propoziție. Pentru orice $x\in \mathbb{R}$ avem $a^x>0$.

Demonstrație. Din regula $a^x\cdot a^{-x}=a^{x-x}=a^0=1$ rezultă că $a^x\ne 0$ (altfel produsul ar fi zero, nu $1$). Pe de altă parte, $a^x={\left(a^{x/2}\right)}^2\ge 0$ ca pătrat al unui număr real. Un număr nenul și nenegativ este strict pozitiv. $■$

Imaginea funcției este întreg intervalul $(0,+\infty )$ — asta o vom obține din surjectivitate, în secțiunea 6. Deocamdată reține consecința practică: ecuația $a^x=b$ nu are nicio soluție dacă $b\le 0$. E prima verificare pe care o faci la orice ecuație exponențială și e adesea răspunsul complet.

3. Lema fundamentală

Lemă. Fie $a>1$. Atunci $a^t>1$ dacă și numai dacă $t>0$.

Demonstrație. „$\Leftarrow$" Pentru $t$ rațional pozitiv, $t=\frac{p}{q}$ cu $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: din $a>1$ obținem $a^p>1$, iar $\sqrt[q]{a^p}>1$, pentru că dacă am avea $\sqrt[q]{a^p}\le 1$, ridicând la puterea $q$ ar rezulta $a^p\le 1$, fals. Pentru $t$ irațional pozitiv alegem un rațional $r$ cu $0<r<t$; prin definiția puterii cu exponent real ca valoare-limită a puterilor cu exponenți raționali, avem $a^t\ge a^r>1$.

„$\Rightarrow$" Prin contrapoziție: dacă $t=0$, atunci $a^t=1$; dacă $t<0$, atunci $a^t=\frac{1}{a^{-t}}$, iar $-t>0$ dă $a^{-t}>1$, deci $a^t<1$. În ambele cazuri $a^t\ne 1$ și nu e supraunitar. $■$

Varianta pentru bază subunitară. Dacă $0<a<1$, atunci $\frac{1}{a}>1$ și $a^t={\left(\frac{1}{a}\right)}^{-t}$, deci $a^t>1$ dacă și numai dacă $t<0$. Totul se răstoarnă — de aici vine, mai târziu, schimbarea sensului la inecuații.

Consecință folosită la orice pas: $a^t=1⟺t=0$, indiferent de bază (cu $a\ne 1$).

4. Monotonia, demonstrată

Teoremă. Funcția $f(x)=a^x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ dacă $a>1$ și strict descrescătoare dacă $0<a<1$.

Demonstrație. Fie $x_1<x_2$, deci $x_2-x_1>0$. Scriem diferența valorilor și dăm factor comun:

$$a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right).$$

Primul factor, $a^{x_1}$, este strict pozitiv (secțiunea 2), deci semnul diferenței e dat exclusiv de paranteză.

• Dacă $a>1$: lema dă $a^{x_2-x_1}>1$, deci paranteza e strict pozitivă și $a^{x_2}>a^{x_1}$ — creștere strictă.
• Dacă $0<a<1$: varianta subunitară a lemei dă $a^{x_2-x_1}<1$, deci paranteza e strict negativă și $a^{x_2}<a^{x_1}$ — descreștere strictă. $■$

Compară cu demonstrația monotoniei funcției putere din lecția despre graficul funcției putere: acolo dădeam factor comun multiplicativ pe baze, aici pe exponenți. Aceeași idee, două funcții diferite.

5. Injectivitatea — proprietatea care rezolvă ecuațiile

Teoremă. Funcția exponențială este injectivă.

Demonstrație 1 (prin monotonie). Fiind strict monotonă (crescătoare sau descrescătoare, după bază), două argumente diferite dau obligatoriu valori diferite — criteriul studiat la funcții injective, surjective, bijective.

Demonstrație 2 (directă, cea cerută la examen). Fie $x_1,x_2$ cu $a^{x_1}=a^{x_2}$. Împărțind prin $a^{x_2}>0$ obținem $a^{x_1-x_2}=1$, iar consecința lemei dă $x_1-x_2=0$, adică $x_1=x_2$. $■$

Forma sub care o vei folosi de zeci de ori de acum înainte:

$$\boxed{a^u=a^v⟺u=v}(a>0,a\ne 1).$$

Echivalența e valabilă în ambele sensuri: implicația de la dreapta la stânga e evidentă, cea de la stânga la dreapta este exact injectivitatea. Pe ea se sprijină întreaga metodă de rezolvare din lecția despre ecuațiile exponențiale elementare.

Atenție la condiția asupra bazei. Dacă $a=1$, echivalența cade: $1^3=1^7$, dar $3\ne 7$. De aceea baza $1$ e exclusă din definiție.

6. Surjectivitatea și bijectivitatea

Teoremă. Funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, este surjectivă, deci bijectivă.

Argument. Fie $b>0$ oarecare. Graficul funcției este o curbă continuă care, pentru $a>1$, coboară spre valori oricât de apropiate de $0$ atunci când $x$ scade și urcă spre valori oricât de mari când $x$ crește. Prin urmare dreapta orizontală $y=b$ este întâlnită de curbă; fiind și injectivă, curba o întâlnește exact o dată. Deci pentru orice $b>0$ ecuația $a^x=b$ are exact o soluție reală.

Concluzia are două fețe, ambele importante:

• Imaginea funcției exponențiale este exact $(0,+\infty )$: nicio valoare pozitivă nu scapă, nicio valoare nepozitivă nu e atinsă.
• Fiind bijectivă, funcția exponențială admite inversă. Această inversă este funcția logaritmică; soluția unică a ecuației $a^x=b$ se va nota $x={\log }_{a}b$. Așa se naște, în lecția despre logaritmul unui număr, o noțiune care pare nouă, dar e doar exponențiala citită invers.

7. Morfismul: proprietatea care traduce adunarea în înmulțire

Propoziție. Pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$:

$$f(x+y)=f(x)\cdot f(y),f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)},f(0)=1,f(-x)=\frac{1}{f(x)}.$$

Toate sunt rescrieri ale regulilor de calcul cu puteri. Prima spune ceva profund: funcția exponențială transformă adunarea în înmulțire. Verificare pe cifre, cu $f(x)=3^x$: $f(2)\cdot f(5)=9\cdot 243=2187=3^7=f(7)$. ✓

Consecință: valorile în puncte echidistante formează o progresie geometrică. Într-adevăr,

$$\frac{f(x+1)}{f(x)}=a^{(x+1)-x}=a,$$

deci raportul a doi termeni consecutivi este constant, egal cu baza. Aceasta este „semnătura" exponențialei și criteriul practic de recunoaștere a unui model exponențial într-un tabel de date: la pași egali pe orizontală, valorile se înmulțesc cu același factor (spre deosebire de funcția de gradul I, la care se adună aceeași constantă).

8. Imaginea unor funcții construite cu exponențiale

La examen apar frecvent funcții de tipul $g(x)=a^x+b$ sau $g(x)=c\cdot a^x$. Imaginea lor se deduce imediat din $\mathrm{Im}(a^x)=(0,+\infty )$:

• $g(x)=a^x+b$ are $\mathrm{Im}g=(b,+\infty )$, iar $g(x)>b$ pentru orice $x$ real;
• $g(x)=c\cdot a^x$ cu $c>0$ are $\mathrm{Im}g=(0,+\infty )$;
• $g(x)=-a^x$ are $\mathrm{Im}g=(-\infty ,0)$.

Toate rămân injective (o funcție strict monotonă compusă cu o translație sau cu o înmulțire nenulă rămâne strict monotonă), dar nu sunt surjective spre $\mathbb{R}$ — observație care se cere explicit în subiectul II.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonie și comparare

Fie $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=(0,7{)}^x$. Stabiliți monotonia și comparați $f(2)$ cu $f(3)$, fără a calcula valorile.

Rezolvare. Baza $0,7$ este subunitară, deci $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. Din $2<3$ rezultă $f(2)>f(3)$.

Control numeric: $f(2)=0,49$ și $f(3)=0,343$, deci într-adevăr $f(2)>f(3)$. ✓ $■$

Exemplul 2 — Injectivitatea la lucru

Rezolvați ecuația $3^{2x-1}=3^{x+4}$.

Rezolvare. Baza este aceeași și îndeplinește condițiile $a>0$, $a\ne 1$. Funcția exponențială fiind injectivă, egalitatea puterilor obligă egalitatea exponenților:

$$2x-1=x+4⟹x=5.$$

Verificare prin înlocuire în ecuația inițială: $2\cdot 5-1=9$ și $5+4=9$, deci ambii membri sunt $3^9$. ✓ $■$

Exemplul 3 — Morfismul, demonstrat pe caz general

Fie $f(x)=2^x$. Arătați că $f(x)\cdot f(y)=f(x+y)$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, și calculați $f(3)\cdot f(4)$.

Rezolvare. $f(x)\cdot f(y)=2^x\cdot 2^y=2^{x+y}=f(x+y)$, folosind regula produsului de puteri cu aceeași bază, valabilă pentru orice exponenți reali.

Numeric: $f(3)\cdot f(4)=8\cdot 16=128=2^7=f(7)$, iar $3+4=7$. ✓ $■$

Exemplul 4 — Sumă de valori consecutive

Calculați $S=2^0+2^1+2^2+\cdots +2^{10}$.

Rezolvare. Valorile formează o progresie geometrică cu primul termen $1$ și rația $2$ (consecință a morfismului). Suma primilor $11$ termeni este

$$S=\frac{2^{11}-1}{2-1}=2^{11}-1=2048-1=2047.$$

Verificare parțială, prin adunare directă a primilor termeni: $1+2+4+8+16=31=2^5-1$ ✓ — tiparul se confirmă. $■$

Exemplul 5 — Imagine și injectivitate pentru o funcție translatată

Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2^x+3$. Determinați $\mathrm{Im}g$ și arătați că $g$ este injectivă, dar nu surjectivă.

Rezolvare. Imaginea. Din $2^x>0$ rezultă $g(x)>3$; reciproc, pentru orice $y>3$ ecuația $2^x=y-3$ are soluție (membrul drept e strict pozitiv). Deci $\mathrm{Im}g=(3,+\infty )$.

Injectivitatea. Dacă $g(x_1)=g(x_2)$, atunci $2^{x_1}+3=2^{x_2}+3$, deci $2^{x_1}=2^{x_2}$ și, prin injectivitatea exponențialei, $x_1=x_2$. ✓

Nesurjectivitatea. Valoarea $y=1$ nu este atinsă: ar cere $2^x=-2<0$, imposibil. Deci $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ nu e surjectivă. (Devine bijectivă dacă restrângem codomeniul la $(3,+\infty )$.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=2^x-2^{-x}$. a) Arătați că $h$ este impară. b) Arătați că $h$ este strict crescătoare. c) Arătați că $h$ este bijectivă.

Rezolvare. a) $h(-x)=2^{-x}-2^x=-\left(2^x-2^{-x}\right)=-h(x)$, pentru orice $x$ real. Deci $h$ e impară, iar graficul ei e simetric față de origine.

b) Funcția $x\mapsto 2^x$ e strict crescătoare (baza e supraunitară). Funcția $x\mapsto 2^{-x}$ e strict descrescătoare, deci $x\mapsto -2^{-x}$ e strict crescătoare. Suma a două funcții strict crescătoare este strict crescătoare, deci $h$ este strict crescătoare — și, prin urmare, injectivă.

c) Surjectivitatea. Fie $y\in \mathbb{R}$ oarecare. Notăm $t=2^x$, cu condiția $t>0$ (exponențiala ia doar valori strict pozitive). Ecuația $h(x)=y$ devine

$$t-\frac{1}{t}=y⟺t^2-yt-1=0,t=\frac{y\pm \sqrt{y^2+4}}{2}.$$

Cum $\sqrt{y^2+4}>\sqrt{y^2}=|y|$, rădăcina cu semnul minus este strict negativă și se respinge; rămâne $t=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}>0$. Exponențiala fiind bijectivă spre $(0,+\infty )$, există un unic $x$ real cu $2^x=t$. Deci orice $y$ real e atins exact o dată și $h$ este bijectivă. $■$

Control numeric: pentru $y=\frac{3}{2}$ obținem $t=\frac{1,5+2,5}{2}=2$, deci $x=1$; într-adevăr $h(1)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu justificare completă. La fiecare ecuație, verifică soluția prin înlocuire în ecuația inițială.

1. Precizează monotonia funcțiilor: $f(x)=5^x$, $g(x)={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$, $h(x)=(1,01{)}^x$, $u(x)=(0,99{)}^x$.

2. Compară, folosind monotonia: $4^{\sqrt{2}}$ și $4^{1,5}$.

3. Compară, folosind monotonia: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2$ și ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$.

4. Arată că $2^x>0$ pentru orice $x$ real și deduce că ecuația $2^x=-8$ nu are soluții.

5. Rezolvă ecuația $5^{x^2}=5^{3x-2}$.

6. Rezolvă ecuația ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+1}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a^u=a^v$, atunci $u=v$, oricare ar fi $a>0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$, este surjectivă."

9. Determină imaginea funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5^x-2$, și precizează dacă e injectivă.

10. Determină imaginea funcției $u:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $u(x)=-3^x$.

11. Fie $f(x)=3^x$. Calculează $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)$ și verifică rezultatul folosind formula sumei unei progresii geometrice.

12. Arată că, pentru $f(x)=a^x$, are loc $\frac{f(x+2)}{f(x)}=a^2$, oricare ar fi $x$ real.

13. Un tabel conține valorile $6$, $18$, $54$, $162$ pentru $x=0,1,2,3$. Arată că datele urmează un model exponențial, determină baza și scrie formula funcției.

14. (Problemă aplicată.) O substanță radioactivă se înjumătățește la fiecare $8$ zile. Scrie funcția care dă proporția rămasă după $t$ zile și explică, folosind injectivitatea, de ce o proporție măsurată determină un singur timp scurs.

15. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, este bijectivă și explică ce reprezintă soluția ecuației $f(x)=8$.

16. Demonstrează, folosind definiția, că funcția $f(x)=7^x$ este injectivă (pornește de la $f(x_1)=f(x_2)$).

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4^x+4^{-x}$. a) Calculează $f(0)$ și $f(1)$. b) Arată că $f(x)=f(-x)$ pentru orice $x$ real. c) Arată că $f(x)\ge 2$ pentru orice $x$ real.

18. (Provocare.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to (-1,1)$, $f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$. Arată că $f$ este bijectivă. (Indicație: notează $t=2^x$, cu condiția $t>0$.)

Răspunsuri și explicații

1. $f$ crescătoare ($5>1$); $g$ descrescătoare ($\frac{2}{3}<1$); $h$ crescătoare ($1,01>1$); $u$ descrescătoare ($0,99<1$). Reține: contează doar poziția bazei față de $1$, oricât de aproape ar fi de el.

2. Baza $4$ e supraunitară, deci funcția e crescătoare. Cum $\sqrt{2}\approx 1,414<1,5$, rezultă $4^{\sqrt{2}}<4^{1,5}=8$. (Numeric: $7,103<8$ ✓.)

3. Baza $\frac{1}{5}$ e subunitară, deci funcția e descrescătoare. Din $2<3$ rezultă ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2>{\left(\frac{1}{5}\right)}^3$, adică $\frac{1}{25}>\frac{1}{125}$ ✓.

4. $2^x\cdot 2^{-x}=1$ arată că $2^x\ne 0$, iar $2^x={\left(2^{x/2}\right)}^2\ge 0$; deci $2^x>0$. Cum $-8<0$, egalitatea $2^x=-8$ e imposibilă: ecuația nu are soluții.

5. Prin injectivitate, $x^2=3x-2$, adică $x^2-3x+2=0$, cu soluțiile $x_1=1$, $x_2=2$. Verificare: pentru $x=1$, $5^1=5^1$ ✓; pentru $x=2$, $5^4=5^4$ ✓.

6. Prin injectivitate, $2x=x+1$, deci $x=1$. Verificare: ambii membri devin ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$ ✓.

7. Fals, așa cum e formulat: lipsește condiția $a\ne 1$. Contraexemplu: $1^2=1^5$, dar $2\ne 5$. Enunțul devine adevărat pentru $a>0$ și $a\ne 1$.

8. Fals. Valorile lui $3^x$ sunt strict pozitive, deci niciun număr negativ nu e atins: pentru $y=-1$, ecuația $3^x=-1$ nu are soluții. Funcția devine surjectivă doar dacă se ia codomeniul $(0,+\infty )$.

9. Din $5^x>0$ rezultă $g(x)>-2$, iar orice $y>-2$ e atins (ecuația $5^x=y+2$ are soluție). Deci $\mathrm{Im}g=(-2,+\infty )$. Este injectivă: $5^{x_1}-2=5^{x_2}-2\Rightarrow 5^{x_1}=5^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2$.

10. $3^x$ parcurge $(0,+\infty )$, deci $-3^x$ parcurge $(-\infty ,0)$: $\mathrm{Im}u=(-\infty ,0)$. Funcția e strict descrescătoare, deci injectivă.

11. $3+9+27+81=120$. Cu formula progresiei geometrice de prim termen $3$ și rație $3$: $S=3\cdot \frac{3^4-1}{3-1}=3\cdot \frac{80}{2}=120$ ✓.

12. $\frac{f(x+2)}{f(x)}=\frac{a^{x+2}}{a^x}=a^{(x+2)-x}=a^2$, folosind regula câtului. Rezultatul nu depinde de $x$ — încă o formă a proprietății de progresie geometrică.

13. Rapoartele valorilor consecutive sunt $\frac{18}{6}=3$, $\frac{54}{18}=3$, $\frac{162}{54}=3$ — constante, deci model exponențial cu baza $3$. Cum valoarea în $0$ e $6$, formula este $f(x)=6\cdot 3^x$. Verificare: $f(3)=6\cdot 27=162$ ✓.

14. $p(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/8}$. Funcția e strict descrescătoare (bază subunitară, exponent crescător în $t$), deci injectivă: două momente diferite nu pot da aceeași proporție rămasă. Prin urmare o măsurătoare determină un singur timp scurs — exact principiul datării radioactive.

15. Injectivă: strict descrescătoare, fiind cu bază subunitară. Surjectivă spre $(0,+\infty )$: orice $b>0$ e atins exact o dată. Soluția ecuației ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=8$ este $x=-3$ (căci ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$ ✓) și reprezintă exponentul unic care produce valoarea $8$ — adică, în limbajul de peste câteva lecții, logaritmul lui $8$ în baza $\frac{1}{2}$.

16. Fie $7^{x_1}=7^{x_2}$. Împărțim prin $7^{x_2}>0$: $7^{x_1-x_2}=1$. Cum $7^t=1$ doar pentru $t=0$ (baza fiind diferită de $1$), rezultă $x_1-x_2=0$, deci $x_1=x_2$. $■$

17. a) $f(0)=1+1=2$; $f(1)=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$. b) $f(-x)=4^{-x}+4^x=f(x)$ — funcția e pară. c) Notăm $t=4^x>0$. Atunci $f(x)=t+\frac{1}{t}$, iar $t+\frac{1}{t}-2=\frac{t^2-2t+1}{t}=\frac{(t-1{)}^2}{t}\ge 0$, deoarece numărătorul e pătrat perfect și numitorul e strict pozitiv. Deci $f(x)\ge 2$, cu egalitate exact pentru $t=1$, adică $x=0$ — ceea ce se potrivește cu $f(0)=2$ ✓.

18. Notăm $t=2^x$, cu condiția $t>0$. Atunci $f(x)=\frac{t-1}{t+1}$. Injectivitatea: scriem $f(x)=1-\frac{2}{2^x+1}$; funcția $x\mapsto 2^x+1$ e strict crescătoare și pozitivă, deci $x\mapsto \frac{2}{2^x+1}$ e strict descrescătoare, iar $f$ e strict crescătoare — deci injectivă. Surjectivitatea: fie $y\in (-1,1)$; din $\frac{t-1}{t+1}=y$ obținem $t-1=y(t+1)$, deci $t(1-y)=1+y$ și $t=\frac{1+y}{1-y}$. Cum $-1<y<1$, numărătorul și numitorul sunt strict pozitivi, deci $t>0$ — condiția e respectată — și există un unic $x$ cu $2^x=t$. Deci $f$ e bijectivă. (Control: pentru $y=\frac{1}{2}$ iese $t=3$; într-adevăr $\frac{3-1}{3+1}=\frac{1}{2}$ ✓.)

De reținut

• Semnul: $a^x>0$ pentru orice $x$ real. Consecință imediată: ecuația $a^x=b$ nu are soluții pentru $b\le 0$, iar $\mathrm{Im}(a^x)=(0,+\infty )$.
• Monotonia: strict crescătoare pentru $a>1$, strict descrescătoare pentru $0<a<1$. Demonstrația trece prin $a^{x_2}-a^{x_1}=a^{x_1}\left(a^{x_2-x_1}-1\right)$.
• Injectivitatea: $a^u=a^v⟺u=v$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Este proprietatea pe care se sprijină toate ecuațiile exponențiale.
• Bijectivitatea spre $(0,+\infty )$ garantează că ecuația $a^x=b$, cu $b>0$, are exact o soluție — soluție care va primi numele de logaritm.
• Morfismul: $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(0)=1$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$; valorile în puncte echidistante formează o progresie geometrică de rație $a$.

Greșeli frecvente

• Aplici „$a^u=a^v\Rightarrow u=v$" fără a verifica baza. Pentru $a=1$ concluzia e falsă, iar pentru baze diferite în cei doi membri regula nici nu se poate folosi — trebuie mai întâi aduse la aceeași bază.
• Spui că funcția exponențială e surjectivă spre $\mathbb{R}$. Nu este: valorile negative și zero nu sunt atinse niciodată. Surjectivitatea are loc doar spre codomeniul $(0,+\infty )$.
• Uiți condiția $t>0$ la substituții. Când notezi $t=a^x$, condiția $t>0$ face parte din rezolvare; fără ea vei accepta rădăcini negative care nu corespund niciunui $x$ real.
• Confunzi monotonia cu semnul. Funcția ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ este descrescătoare, dar valorile ei rămân strict pozitive, oricât de mari ar fi argumentele. „Scade" nu înseamnă „devine negativă".
• Deduci monotonia din câteva valori. La examen se cere raționamentul general (diferența cu factor comun sau invocarea explicită a poziției bazei față de $1$), nu un tabel cu trei numere.

Aplică acasă

1. Tabelul care se dă de gol. Ia din manualul de biologie sau de fizică un tabel cu date (populație, temperatură, activitate radioactivă) și calculează rapoartele valorilor consecutive. Dacă rapoartele sunt aproximativ constante, ai un model exponențial; determină baza și scrie formula. Dacă sunt constante diferențele, modelul e liniar.

2. Datarea, pas cu pas. Caută timpul de înjumătățire al carbonului-14 ($5730$ de ani) și completează un tabel cu proporția rămasă după $1$, $2$, $3$ și $4$ înjumătățiri. Explică-i cuiva din familie de ce, dacă funcția nu ar fi injectivă, metoda nu ar funcționa.

3. Progresia din portofel. Simulează un depozit bancar cu dobândă fixă și calculează soldul la sfârșitul fiecăruia dintre primii $5$ ani. Verifică faptul că soldurile formează o progresie geometrică și identifică rația — este exact baza funcției exponențiale din model.

Pentru părinți și profesori

Lecția e „inima teoretică" a capitolului: aici se demonstrează, nu se citește de pe grafic. Sunt de urmărit patru demonstrații: pozitivitatea valorilor, monotonia prin factor comun, injectivitatea în forma directă și argumentul de bijectivitate care pregătește logaritmul. Elevul trebuie să iasă din lecție cu automatismul $a^u=a^v⟺u=v$ (cu baza pozitivă și diferită de $1$) și cu reflexul de a verifica semnul membrului drept înainte de a rezolva orice ecuație exponențială.

Întrebări bune de control: „De ce funcția exponențială nu ia niciodată valoarea zero?"; „Ce se schimbă în demonstrația monotoniei dacă baza devine subunitară?" (doar semnul parantezei); „Este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$, bijectivă?" (nu — nu e surjectivă spre $\mathbb{R}$; devine bijectivă spre $(0,+\infty )$). Semne că a înțeles: justifică monotonia printr-un raționament, nu prin exemple; pune condiția $t>0$ la substituții; distinge codomeniul de imagine.

La Bacalaureatul M1, proprietățile de aici sunt folosite în aproape toate problemele cu exponențiale: la rezolvarea ecuațiilor (injectivitate), la demonstrarea unor inegalități de tipul $f(x)\ge 2$ (pozitivitate plus artificiul $(t-1{)}^2\ge 0$), la determinarea imaginii unei funcții și la studiul bijectivității unor funcții compuse, cum e $2^x-2^{-x}$ din Exemplul 6.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile funcției exponențiale? Este definită pe $\mathbb{R}$, ia doar valori strict pozitive, are imaginea $(0,+\infty )$, trece prin $(0,1)$, este strict crescătoare pentru $a>1$ și strict descrescătoare pentru $0<a<1$, este injectivă și bijectivă spre $(0,+\infty )$, iar $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$.

Cum demonstrez că funcția exponențială este injectivă? Pornești de la $a^{x_1}=a^{x_2}$, împarți prin $a^{x_2}>0$ și obții $a^{x_1-x_2}=1$. Cum $a^t=1$ numai pentru $t=0$ (baza fiind diferită de $1$), rezultă $x_1=x_2$.

De ce este importantă injectivitatea funcției exponențiale? Pentru că ea transformă o egalitate de puteri într-o egalitate de exponenți: din $a^u=a^v$ rezultă $u=v$. Fără această proprietate, ecuațiile exponențiale nu s-ar putea rezolva prin aducere la aceeași bază.

Este funcția exponențială bijectivă? Da, dar numai privită ca funcție de la $\mathbb{R}$ la $(0,+\infty )$. Spre $\mathbb{R}$ nu este surjectivă, pentru că valorile nepozitive nu sunt atinse niciodată.

Care este imaginea funcției exponențiale? Intervalul $(0,+\infty )$: orice număr strict pozitiv este atins exact o dată, iar zero și numerele negative nu sunt atinse deloc. Pentru $g(x)=a^x+b$, imaginea devine $(b,+\infty )$.

Ce înseamnă că funcția exponențială transformă adunarea în înmulțire? Înseamnă relația $f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$: dacă aduni exponenții, valorile se înmulțesc. Consecința practică este că valorile în puncte echidistante formează o progresie geometrică, cu rația egală cu baza.

Cum recunosc un model exponențial într-un tabel de date? Calculezi rapoartele valorilor consecutive. Dacă rapoartele sunt (aproximativ) constante, modelul este exponențial, iar raportul comun este baza. Dacă în schimb diferențele sunt constante, modelul este liniar, de gradul I.