Graficul unei funcții și citirea lui

Deschide orice ziar, orice buletin meteo, orice raport medical: vei găsi grafice. Linia care urcă și coboară pe ecranul monitorului de lângă patul de spital, curba prețului la energie, coloana temperaturilor pe zilele săptămânii. Niciunul dintre acești oameni — medic, jurnalist, economist — nu citește formule. Toți citesc imagini. Iar imaginea aceea spune, dintr-o privire, lucruri pe care un tabel cu o mie de numere le ascunde: unde a fost maximul, când a scăzut brusc, cât a durat perioada bună.

Graficul unei funcții este exact acest instrument: traducerea unei legi matematice într-un desen din care se citește. Programa de clasa a IX-a insistă anume pe această deprindere — se numește lectură grafică și înseamnă să extragi din desen informații numerice precise: valoarea funcției într-un punct, punctele în care funcția atinge o valoare dată, locurile în care taie axele. Ai deja tot ce-ți trebuie: reperul cartezian din lecția despre coordonatele unui punct din plan și noțiunea de funcție din lecția despre domeniu, codomeniu și valori. Le punem acum împreună.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este graficul unei funcții ca mulțime de puncte și cum se obține reprezentarea lui în reperul cartezian.
• Vei ști să decizi dacă un punct dat aparține sau nu graficului și să determini un parametru din condiția de apartenență.
• Vei ști să citești valoarea $f(m)$ folosind dreapta verticală $x=m$.
• Vei ști să găsești toate punctele în care funcția ia o valoare dată, folosind dreapta orizontală $y=m$.
• Vei ști să citești de pe grafic domeniul, valorile extreme și intersecțiile cu axele.
• Vei ști să aplici testul dreptei verticale: când o curbă desenată este graficul unei funcții și când nu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, de fapt, graficul

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție, cu $D\subseteq \mathbb{R}$. Se numește graficul funcției $f$ mulțimea perechilor

$$G_f=\{(x,f(x))\mid x\in D\}.$$

Cu alte cuvinte: iei fiecare argument din domeniu, îl împerechezi cu valoarea lui și obții o mulțime de perechi de numere. Fiecare pereche este, în reperul cartezian, un punct: abscisa este argumentul, ordonata este valoarea. Desenul obținut se numește reprezentarea grafică a funcției.

În vorbirea curentă (și în enunțuri) se spune „graficul" și pentru mulțime, și pentru desen. Nu e o problemă, dar merită să știi diferența: graficul este un obiect matematic exact, desenul este doar poza lui.

Reține regula de aur a lecturii, cea de la care pornește tot restul:

$$\text{punctul }A(x_0,y_0)\text{ aparține graficului}⟺y_0=f(x_0).$$

Pe orizontală citim argumentele, pe verticală citim valorile. Toate exercițiile de lectură grafică sunt variații pe această singură propoziție.

2. De la formulă la desen

Rețeta de trasare are trei pași: alegi câteva argumente comode, calculezi valorile, marchezi punctele.

Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$, tabelul arată așa:

Marcăm punctele $(-1,-3)$, $(0,-2)$, $(1,-1)$, $(2,0)$, $(3,1)$, $(4,2)$ și observăm că sunt coliniare — se așază pe o dreaptă. Nu e o coincidență: vei vedea în lecția despre funcția afină că graficul oricărei funcții de forma $f(x)=ax+b$ este o dreaptă, exact dreapta de ecuație $y=ax+b$ din geometria analitică.

Atenție însă la un lucru pe care mulți îl uită: unirea punctelor cu o linie este legitimă numai dacă domeniul este un interval. Pentru $f:\{0,1,2,3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$, graficul este alcătuit doar din patru puncte izolate; a le uni ar însemna să inventezi valori pentru argumente care nu sunt în domeniu.

3. Apartenența unui punct la grafic

Aceasta este cea mai frecventă cerință de la teze. Se dă funcția și un punct; se cere să decizi dacă punctul e pe grafic. Metoda: înlocuiești abscisa în formulă și compari cu ordonata.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$, și punctele $A(3,1)$, $B(-1,-6)$.

• Pentru $A$: $f(3)=6-5=1$, iar ordonata lui $A$ este tot $1$. Deci $A\in G_f$.
• Pentru $B$: $f(-1)=-2-5=-7$, iar ordonata lui $B$ este $-6\ne -7$. Deci $B\notin G_f$.

Varianta cu parametru este la fel de simplă, doar că se rezolvă o ecuație:

• „Determinați $a$ astfel încât $P(a,3)$ să aparțină graficului." Punem $f(a)=3$, adică $2a-5=3$, deci $a=4$.
• „Determinați $m$ astfel încât $Q(2,m)$ să aparțină graficului." Aici e și mai direct: $m=f(2)=-1$.

Diferența dintre cele două este instructivă. Când ordonata e necunoscută, doar calculezi. Când abscisa e necunoscută, rezolvi o ecuație — și s-ar putea să găsești mai multe soluții sau niciuna.

4. Citirea „din $x$ în $y$": dreapta verticală

Să trecem la lectura propriu-zisă. Ai desenul, nu ai formula. Cum afli $f(2)$?

Procedeu. Te așezi pe axa $Ox$ în punctul de abscisă $2$, urci (sau cobori) pe verticala $x=2$ până întâlnești graficul, apoi mergi orizontal spre axa $Oy$ și citești ordonata. Acel număr este $f(2)$.

Verticala $x=m$ este exact dreapta studiată în lecția despre poziția dreptei în plan: toate punctele ei au aceeași abscisă $m$. Iar pentru că funcția dă o singură valoare fiecărui argument, verticala poate întâlni graficul în cel mult un punct. Aceasta e observația care duce direct la punctul 7.

Să lucrăm pe un grafic concret, la care vom reveni de mai multe ori.

Funcția $f:[-3,4]\to \mathbb{R}$ desenată acolo este dată pe ramuri de segmente. Citim direct de pe desen: $f(-3)=4$, $f(-2)=2$, $f(-1)=0$, $f(0)=-1$, $f(1)=-2$, $f(2)=0$, $f(3)=2$, $f(4)=4$.

5. Citirea „din $y$ în $x$": dreapta orizontală

Întrebarea inversă sună așa: pentru ce argumente funcția ia valoarea $m$? Sau, în limbaj practic: „în ce momente a fost temperatura exact de $2$ grade?".

Procedeu. Te așezi pe axa $Oy$ în dreptul valorii $m$, trasezi orizontala $y=m$ și marchezi toate punctele în care ea taie graficul. Abscisele acelor puncte sunt răspunsurile.

Pe graficul de mai sus:

• pentru $m=2$: orizontala $y=2$ taie linia frântă în două puncte, de abscise $x=-2$ și $x=3$. Deci $f(x)=2$ are două soluții.
• pentru $m=4$: orizontala $y=4$ atinge graficul în capete, la $x=-3$ și $x=4$ — tot două soluții.
• pentru $m=-2$: orizontala trece exact prin vârful de jos, deci o singură soluție, $x=1$.
• pentru $m=-5$: orizontala nu întâlnește deloc graficul. Ecuația $f(x)=-5$ nu are soluții.

Deosebirea față de citirea verticală este esențială: orizontala poate tăia graficul de câte ori vrea. Zero, o dată, de zece ori, ba chiar de o infinitate de ori (dacă graficul are o porțiune orizontală la înălțimea $m$). Verticala, în schimb, are voie o singură dată. Asimetria aceasta este chiar definiția funcției, tradusă în desen.

6. Intersecțiile cu axele, citite pe grafic

Două valori speciale se citesc mereu primele, pentru că au înțeles practic imediat.

Intersecția cu $Oy$. Punctele axei $Oy$ au abscisa $0$, deci graficul taie această axă în punctul $(0,f(0))$ — și numai în el, dacă $0$ este în domeniu. În aplicații, $f(0)$ este „valoarea de pornire": prețul fix al unei curse, nivelul inițial al apei, taxa de bază.

Intersecțiile cu $Ox$. Punctele axei $Ox$ au ordonata $0$, deci graficul taie această axă în punctele de forma $(x_0,0)$ cu $f(x_0)=0$. Numerele $x_0$ se numesc zerourile funcției și corespund exact citirii orizontale cu $m=0$. Spre deosebire de intersecția cu $Oy$, aici pot fi mai multe puncte — sau niciunul.

Pe graficul nostru: $f(0)=-1$, deci intersecția cu $Oy$ este $(0,-1)$; zerourile sunt $x=-1$ și $x=2$, deci intersecțiile cu $Ox$ sunt $(-1,0)$ și $(2,0)$.

7. Testul dreptei verticale

Nu orice linie desenată în plan este graficul unei funcții. Criteriul de recunoaștere e simplu și decurge din unicitatea valorii:

O curbă din plan este graficul unei funcții dacă și numai dacă orice dreaptă verticală o intersectează în cel mult un punct.

Exemple de curbe care pică testul:

• Cercul de ecuație $x^2+y^2=25$: verticala $x=3$ îl taie în $(3,4)$ și $(3,-4)$. Argumentului $3$ i-ar corespunde două valori — inadmisibil.
• Parabola culcată $x=y^2$: verticala $x=4$ o taie în $(4,2)$ și $(4,-2)$. Același defect.

Merită comparat cu testul dreptei orizontale, pe care îl vei întâlni în lecția despre funcții injective, surjective, bijective: verticala decide dacă avem funcție, orizontala decide ce fel de funcție avem. Două teste, două întrebări complet diferite — nu le amesteca.

8. Domeniul și valorile, citite de pe desen

Ultima deprindere din programă: să extragi din desen cine este domeniul și ce valori ia funcția.

Domeniul se citește proiectând graficul pe axa $Ox$ — adică „turtind" desenul pe orizontală. Pentru linia noastră frântă, capetele au abscisele $-3$ și $4$, iar între ele graficul există peste tot: domeniul este $[-3,4]$.

Valorile se citesc proiectând graficul pe axa $Oy$. Cea mai de jos poziție a graficului este la înălțimea $-2$ (în punctul $C$), cea mai de sus la $4$ (în capete). Toate înălțimile intermediare sunt atinse, deci funcția ia exact valorile din intervalul $[-2,4]$.

De aici se citesc și valorile extreme: valoarea minimă este $-2$, atinsă pentru $x=1$, iar valoarea maximă este $4$, atinsă pentru $x=-3$ și $x=4$. Într-un context practic — să zicem că graficul arată temperatura dintr-o seră între orele $-3$ și $4$ față de miezul zilei — asta înseamnă: cel mai frig a fost la ora corespunzătoare lui $x=1$, iar cel mai cald la capete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Apartenența la grafic

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+4$. Stabiliți dacă punctele $M(2,2)$ și $N(-3,1)$ aparțin graficului lui $f$.

Rezolvare. $f(2)=-2+4=2$, egal cu ordonata lui $M$, deci $M\in G_f$.

$f(-3)=3+4=7\ne 1$, deci $N\notin G_f$. $■$

Exemplul 2 — Determinarea unui parametru

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-3$. Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A(2,m+1)$ aparține graficului lui $f$.

Rezolvare. Condiția de apartenență cere ca ordonata să fie egală cu valoarea funcției în abscisă:

$$m+1=f(2)=4\cdot 2-3=5.$$

De aici $m=4$. Verificare: pentru $m=4$, punctul este $A(2,5)$, iar $f(2)=5$. ✓ $■$

Exemplul 3 — Trasare din tabel de valori

Reprezentați grafic funcția $f:\{-2,-1,0,1,2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$, și precizați cum arată graficul.

Rezolvare. Tabelul de valori: $f(-2)=-5$, $f(-1)=-2$, $f(0)=1$, $f(1)=4$, $f(2)=7$.

Graficul este format din cinci puncte izolate: $(-2,-5)$, $(-1,-2)$, $(0,1)$, $(1,4)$, $(2,7)$. Punctele sunt coliniare (fiecare pas de $1$ pe orizontală urcă exact $3$ pe verticală), dar nu le unim, pentru că domeniul conține doar cinci numere. $■$

Exemplul 4 — Lectură completă pe o linie frântă

Graficul funcției $g:[-2,5]\to \mathbb{R}$ este linia frântă care unește, în ordine, punctele $P(-2,-3)$, $Q(0,1)$, $R(2,1)$ și $S(5,-5)$. Citiți: a) $g(-1)$ și $g(4)$; b) soluțiile ecuației $g(x)=-1$; c) zerourile funcției; d) valoarea maximă și valoarea minimă.

Rezolvare. Scriem întâi funcția pe ramuri, citind pantele segmentelor.

• Pe $[-2,0]$: de la $-3$ la $1$ pe o lungime de $2$, deci creșterea este $2$ pe unitate: $g(x)=2x+1$.
• Pe $(0,2]$: segment orizontal, $g(x)=1$.
• Pe $(2,5]$: de la $1$ la $-5$ pe o lungime de $3$, deci scăderea este $2$ pe unitate: $g(x)=5-2x$.

a) $-1$ este pe prima ramură: $g(-1)=-2+1=-1$. Iar $4$ este pe a treia: $g(4)=5-8=-3$.

b) Căutăm intersecțiile cu orizontala $y=-1$. Prima ramură: $2x+1=-1\Rightarrow x=-1$, care este în $[-2,0]$. ✓ A doua ramură dă mereu $1$, deci nicio soluție. A treia: $5-2x=-1\Rightarrow x=3$, care este în $(2,5]$. ✓ Soluțiile sunt $x=-1$ și $x=3$.

c) Zerourile: $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\in [-2,0]$ ✓; a doua ramură nu se anulează; $5-2x=0\Rightarrow x=\frac{5}{2}\in (2,5]$ ✓. Deci graficul taie axa $Ox$ în $\left(-\frac{1}{2},0\right)$ și $\left(\frac{5}{2},0\right)$.

d) Cel mai sus urcă graficul la înălțimea $1$, pe tot segmentul orizontal: valoarea maximă este $1$, atinsă pentru orice $x\in [0,2]$. Cel mai jos coboară în capătul $S$: valoarea minimă este $-5$, atinsă pentru $x=5$. $■$

Exemplul 5 — Este graficul unei funcții?

Decideți dacă mulțimea punctelor din plan care satisfac $x^2+y^2=25$ poate fi graficul unei funcții $f:[-5,5]\to \mathbb{R}$.

Rezolvare. Aplicăm testul dreptei verticale. Pentru $x=3$ obținem $9+y^2=25$, deci $y^2=16$, cu soluțiile $y=4$ și $y=-4$. Verticala $x=3$ taie cercul în două puncte distincte, $(3,4)$ și $(3,-4)$.

Prin urmare argumentul $3$ ar avea două valori, ceea ce contrazice definiția funcției. Cercul nu este graficul unei funcții. $■$

(Observație utilă: dacă păstrăm doar semicercul superior, adică punctele cu $y\ge 0$, obținem graficul unei funcții — fiecărei abscise îi rămâne o singură ordonată.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$. a) Arătați că punctul $A(3,1)$ aparține graficului funcției $f$. b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f$ intersectează axele de coordonate.

Rezolvare. a) $f(3)=2\cdot 3-5=1$, adică exact ordonata punctului $A$. Deci $A\in G_f$.

b) Cu axa $Oy$: punem $x=0$ și obținem $f(0)=-5$, deci punctul $(0,-5)$.

Cu axa $Ox$: punem $f(x)=0$, adică $2x-5=0$, de unde $x=\frac{5}{2}$, deci punctul $\left(\frac{5}{2},0\right)$. $■$

Reține tiparul, pentru că se repetă la fiecare examen: $x=0$ pentru $Oy$, $y=0$ pentru $Ox$. Nu invers.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Unde ți se dă un grafic descris prin punctele lui, desenează-l întâi — lectura se face mult mai sigur pe desen decât în minte.

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Stabilește dacă punctele $A(2,4)$, $B(-1,-5)$ și $C(0,2)$ aparțin graficului funcției.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$. Determină: a) numărul real $a$ pentru care $P(a,3)\in G_f$; b) numărul real $m$ pentru care $Q(2,m)\in G_f$.

3. Alcătuiește tabelul de valori și reprezintă grafic funcția $f:\{-1,0,1,2,3,4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Câte puncte are graficul?

4. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+4$. Determină coordonatele punctelor în care graficul intersectează axele de coordonate.

5. Graficul funcției $f:[-3,4]\to \mathbb{R}$ este linia frântă care unește, în ordine, punctele $A(-3,4)$, $B(-1,0)$, $C(1,-2)$ și $D(4,4)$. Citește $f(-2)$, $f(0)$, $f(2)$ și $f(3)$.

6. Pentru funcția de la exercițiul 5, determină toate soluțiile ecuației $f(x)=2$ și explică, în cuvinte, ce reprezintă ele pe desen.

7. Pentru funcția de la exercițiul 5, citește: a) domeniul de definiție; b) zerourile funcției; c) valoarea minimă și valoarea maximă, precizând în ce puncte sunt atinse.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă verticală poate intersecta graficul unei funcții în două puncte."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă orizontală poate intersecta graficul unei funcții în două puncte."

10. Decide, cu justificare, dacă mulțimea punctelor care satisfac $x=y^2$ poate fi graficul unei funcții definite pe $[0,\infty )$.

11. (Problemă aplicată.) Graficul care descrie nivelul apei dintr-un rezervor, în metri, în funcție de timpul $t$ măsurat în ore, este linia frântă prin punctele $(0,6)$, $(4,2)$, $(6,2)$ și $(10,8)$. a) Care era nivelul la $t=0$? b) În ce interval a rămas nivelul constant? c) Când a fost nivelul minim și cât a fost?

12. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-3$. Determină numărul real $m$ pentru care punctul $A(2,m+1)$ aparține graficului.

13. Se știe că punctul $T(1,5)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+b$. Determină $b$ și apoi calculează $f(-2)$.

14. Pe graficul unei funcții $f$ se citesc: $f(-2)=3$, $f(0)=3$ și $f(4)=-1$. Câte puncte de intersecție are graficul cu orizontala $y=3$, cel puțin? Poate graficul să taie verticala $x=0$ în două puncte? Justifică ambele răspunsuri.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$. a) Arătați că punctul $A(3,1)$ aparține graficului funcției $f$. b) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate.

16. Graficul funcției $g:[-2,5]\to \mathbb{R}$ este linia frântă prin punctele $P(-2,-3)$, $Q(0,1)$, $R(2,1)$, $S(5,-5)$. a) Scrie $g$ pe ramuri. b) Calculează $g(-1)$ și $g(4)$. c) Rezolvă $g(x)=-1$.

17. (Problemă aplicată.) Doi elevi citesc același grafic al temperaturii dintr-o zi. Primul spune: „la ora $9$ au fost $12$ grade". Al doilea spune: „au fost $12$ grade la orele $9$ și $17$". Explică ce citire a făcut fiecare (verticală sau orizontală) și de ce ambele afirmații pot fi adevărate simultan.

18. (Provocare.) O funcție $f:[0,6]\to \mathbb{R}$ are graficul o linie frântă cu următoarele proprietăți: trece prin $(0,-4)$, are exact două zerouri, valoarea maximă $3$ este atinsă într-un singur punct, iar valoarea minimă este $-4$. Construiește un astfel de grafic (dă coordonatele vârfurilor liniei frânte), scrie funcția pe ramuri și verifică toate cele patru condiții prin calcul.

Răspunsuri și explicații

1. $f(2)=4$, deci $A\in G_f$. $f(-1)=-5$, deci $B\in G_f$. $f(0)=-2\ne 2$, deci $C\notin G_f$.

2. a) $2a-5=3\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4$. b) $m=f(2)=4-5=-1$. Diferența: la a) necunoscuta e abscisa, deci rezolvăm o ecuație; la b) necunoscuta e ordonata, deci doar calculăm.

3. Valorile sunt $-3,-2,-1,0,1,2$ pentru $x=-1,0,1,2,3,4$. Graficul are exact șase puncte izolate, coliniare, dar neunite — domeniul e o mulțime finită.

4. Cu $Oy$: $f(0)=4$, deci punctul $(0,4)$. Cu $Ox$: $-x+4=0\Rightarrow x=4$, deci punctul $(4,0)$.

5. $f(-2)=2$, $f(0)=-1$, $f(2)=0$, $f(3)=2$. (Se citesc direct de pe segmente; pe ramuri, funcția este $-2x-2$ pe $[-3,-1]$, $-x-1$ pe $(-1,1]$ și $2x-4$ pe $(1,4]$.)

6. Orizontala $y=2$ taie graficul în două puncte: $x=-2$ (pe primul segment, $-2x-2=2$) și $x=3$ (pe al treilea, $2x-4=2$). Ele sunt argumentele pentru care funcția atinge valoarea $2$ — pe desen, abscisele punctelor de intersecție cu orizontala.

7. a) Domeniul este $[-3,4]$, citit prin proiecția graficului pe $Ox$. b) Zerourile: $-2x-2=0\Rightarrow x=-1$ și $2x-4=0\Rightarrow x=2$; deci $x=-1$ și $x=2$. c) Valoarea minimă este $-2$, atinsă pentru $x=1$; valoarea maximă este $4$, atinsă pentru $x=-3$ și pentru $x=4$.

8. Fals. Ar însemna că argumentului respectiv îi corespund două valori, ceea ce contrazice definiția funcției. Verticala taie graficul în cel mult un punct — exact conținutul testului dreptei verticale.

9. Adevărat. Nimic nu interzice ca două argumente diferite să aibă aceeași valoare. Exemplu: pe graficul de la exercițiul 5, orizontala $y=2$ taie graficul în două puncte.

10. Nu, dacă privim mulțimea întreagă: pentru $x=4$ avem $y^2=4$, deci $y=2$ și $y=-2$ — verticala $x=4$ o taie de două ori. Dacă păstrăm doar ramura cu $y\ge 0$, obținem graficul unei funcții.

11. a) $6$ metri (ordonata punctului de abscisă $0$). b) Între $t=4$ și $t=6$, unde segmentul este orizontal la înălțimea $2$. c) Nivelul minim, $2$ metri, s-a menținut pe tot intervalul $[4,6]$ ore.

12. $m+1=f(2)=8-3=5$, deci $m=4$.

13. Din $f(1)=5$: $3+b=5\Rightarrow b=2$. Deci $f(x)=3x+2$ și $f(-2)=-6+2=-4$.

14. Orizontala $y=3$ taie graficul în cel puțin două puncte: cel de abscisă $-2$ și cel de abscisă $0$, ambele având ordonata $3$. Verticala $x=0$ nu poate tăia graficul în două puncte: valoarea $f(0)$ este unică, deci intersecția este un singur punct, $(0,3)$.

15. a) $f(3)=6-5=1$, egal cu ordonata lui $A$, deci $A\in G_f$. b) Cu $Oy$: $(0,-5)$, pentru că $f(0)=-5$. Cu $Ox$: $2x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{2}$, deci $\left(\frac{5}{2},0\right)$.

16. a) $g(x)=2x+1$ pe $[-2,0]$; $g(x)=1$ pe $(0,2]$; $g(x)=5-2x$ pe $(2,5]$. b) $g(-1)=-1$ și $g(4)=5-8=-3$. c) $2x+1=-1\Rightarrow x=-1\in [-2,0]$ ✓; ramura constantă nu dă soluții; $5-2x=-1\Rightarrow x=3\in (2,5]$ ✓. Soluții: $x=-1$ și $x=3$.

17. Primul elev a făcut o citire verticală: a plecat de la ora $9$ pe axa orizontală și a citit valoarea, adică $f(9)=12$. Al doilea a făcut o citire orizontală: a plecat de la valoarea $12$ și a găsit toate momentele în care e atinsă, adică soluțiile ecuației $f(t)=12$. Ambele sunt corecte: aceeași temperatură poate apărea de două ori într-o zi (o dată dimineața, o dată după-amiaza), fără ca definiția funcției să fie încălcată.

18. O soluție posibilă: linia frântă prin $(0,-4)$, $(2,0)$, $(4,3)$ și $(6,-1)$. Pe ramuri: $f(x)=2x-4$ pe $[0,2]$; $f(x)=\frac{3}{2}(x-2)$ pe $(2,4]$; $f(x)=3-2(x-4)=11-2x$ pe $(4,6]$. Verificări: $f(0)=-4$ ✓; zerourile sunt $x=2$ (prima ramură) și $11-2x=0\Rightarrow x=\frac{11}{2}\in (4,6]$ ✓, deci exact două; maximul este $3$, atins doar în $x=4$ ✓; minimul este $-4$, atins în $x=0$, iar celălalt capăt dă $f(6)=-1>-4$ ✓.

De reținut

• Graficul funcției $f:D\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor $(x,f(x))$ cu $x\in D$: pe orizontală argumentele, pe verticală valorile.
• Punctul $A(x_0,y_0)$ aparține graficului dacă și numai dacă $y_0=f(x_0)$ — un singur criteriu, folosit la toate exercițiile de apartenență.
• Citirea verticală ($x=m$) dă valoarea $f(m)$ și are cel mult un rezultat. Citirea orizontală ($y=m$) dă toate argumentele cu $f(x)=m$ și poate avea oricâte rezultate.
• Graficul taie axa $Oy$ în $(0,f(0))$ și axa $Ox$ în punctele $(x_0,0)$ cu $f(x_0)=0$ (zerourile funcției).
• Testul dreptei verticale: o curbă este graficul unei funcții doar dacă orice verticală o taie în cel mult un punct. Domeniul se citește proiectând pe $Ox$, valorile proiectând pe $Oy$.

Greșeli frecvente

• Confunzi axele la citire. Argumentul se ia mereu pe orizontală, valoarea pe verticală. „Temperatura la ora $9$" înseamnă pornire de pe $Ox$, nu de pe $Oy$.
• Unești punctele când domeniul e o mulțime finită. Dacă funcția e definită doar pe $\{0,1,2,3\}$, graficul are patru puncte și atât; linia continuă ar sugera valori care nu există.
• Cauți intersecția cu $Ox$ punând $x=0$. Este exact invers: cu $Ox$ pui $y=0$, cu $Oy$ pui $x=0$. Scrie-ți regula pe marginea caietului.
• Dai o singură soluție la $f(x)=m$. Orizontala poate tăia graficul de mai multe ori; verifică fiecare ramură sau fiecare porțiune a desenului înainte să te oprești.
• Amesteci testul verticalei cu testul orizontalei. Verticala răspunde la „este funcție?", orizontala la „câte argumente dau aceeași valoare?". Sunt întrebări diferite.

Aplică acasă

1. Ziua ta, în grafic. Notează din oră în oră, timp de opt ore, o mărime care se schimbă: temperatura din cameră, procentul de baterie al telefonului, numărul de pagini citite. Desenează graficul pe hârtie milimetrică și răspunde la trei întrebări prin lectură: valoarea la a treia oră, momentele în care mărimea a fost egală cu o valoare aleasă de tine, valoarea maximă și când a fost atinsă.

2. Testul verticalei în natură. Caută în manuale, ziare sau pe internet cinci curbe desenate (traiectoria unei mingi, conturul unui munte, un cerc, o spirală, un grafic de bursă). Aplică fiecăreia testul dreptei verticale și decide care ar putea fi graficul unei funcții. Explică în scris de ce pică cele care pică.

3. Grafice pe calculator. Într-o aplicație gratuită de tip GeoGebra sau Desmos, trasează $y=2x-5$ și adaugă apoi dreapta $y=3$. Citește pe ecran abscisa punctului de intersecție și verifică rezultatul prin calcul, rezolvând $2x-5=3$. Repetă cu $y=-1$ și cu $y=0$.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește deprinderea centrală a întregii unități: lectura grafică. Programa de clasa a IX-a o cere explicit — elevul trebuie să extragă din reprezentări grafice date informații de tip cantitativ (valori, zerouri, extreme) și calitativ (unde crește, unde e pozitivă). Accentul nu cade pe frumusețea desenului, ci pe corectitudinea citirii și pe exprimarea în limbaj matematic a ceea ce s-a citit.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că punctul $(2,7)$ e pe graficul lui $f$?" (că $f(2)=7$); „Câte puncte are graficul în comun cu verticala $x=3$?" (cel mult unul); „Dar cu orizontala $y=3$?" (oricâte); „Cum găsesc intersecția cu $Ox$?" (rezolv $f(x)=0$). Semne că a înțeles: nu confundă cele două sensuri de citire, verifică toate ramurile atunci când caută soluțiile ecuației $f(x)=m$ și nu unește punctele unui grafic definit pe mulțime finită.

La teze și la Bacalaureat, cerințele tipice sunt: „arătați că punctul $A$ aparține graficului funcției", „determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului cu axele", „determinați numărul real $m$ astfel încât punctul dat să aparțină graficului". Toate se rezolvă cu același criteriu de apartenență, aplicat cu grijă la ce este necunoscut: abscisa (ecuație) sau ordonata (calcul direct).

Întrebări frecvente

Ce este graficul unei funcții? Mulțimea tuturor punctelor de forma $(x,f(x))$, cu $x$ în domeniul funcției, desenate într-un reper cartezian. Pe orizontală se pun argumentele, pe verticală valorile corespunzătoare.

Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții? Înlocuiești abscisa punctului în formula funcției și compari rezultatul cu ordonata. Dacă cele două numere coincid, punctul aparține graficului; dacă nu, nu aparține.

Cum citesc valoarea unei funcții direct de pe grafic? Pornești de pe axa orizontală din dreptul argumentului, mergi pe verticală până întâlnești graficul, apoi orizontal spre axa $Oy$ și citești ordonata. Acel număr este valoarea funcției în argumentul respectiv.

Cum aflu în ce puncte funcția atinge o valoare dată? Trasezi dreapta orizontală la înălțimea acelei valori și marchezi toate intersecțiile ei cu graficul. Abscisele punctelor găsite sunt argumentele căutate; pot fi mai multe sau niciunul.

Cum găsesc intersecțiile graficului cu axele? Cu axa $Oy$: calculezi $f(0)$ și obții punctul $(0,f(0))$. Cu axa $Ox$: rezolvi ecuația $f(x)=0$ și obții punctele $(x_0,0)$ pentru fiecare soluție $x_0$ găsită.

Ce este testul dreptei verticale? Un criteriu grafic prin care recunoști dacă o curbă desenată este graficul unei funcții: orice dreaptă verticală trebuie să taie curba în cel mult un punct. Cercul, de exemplu, pică testul.

De ce nu se unesc punctele când domeniul este o mulțime finită? Pentru că linia dintre două puncte ar sugera că funcția are valori și pentru argumentele intermediare, care nu fac parte din domeniu. Graficul unei funcții definite pe o mulțime finită este format doar din puncte izolate.

Cum citesc domeniul și mulțimea valorilor de pe un grafic? Domeniul este proiecția graficului pe axa orizontală (ce abscise sunt acoperite), iar valorile sunt proiecția pe axa verticală (ce înălțimi sunt atinse). Capetele acestor proiecții dau valoarea minimă și valoarea maximă.