Funcțiile parte întreagă și parte fracționară

Un lift are capacitatea de $8$ persoane, iar în hol așteaptă $47$ de oameni. De câte curse complete e nevoie? Împărțim $47$ la $8$ și obținem $5,875$ — dar nu putem face „$5,875$ curse". Ne interesează $5$: numărul de curse pline. Un magazin ambalează ouă câte $10$ în cofraj; din $47$ de ouă ies $4$ cofraje complete. O bandă de asamblare taie o bară de $47$ de centimetri în bucăți de $5$: ies $9$ bucăți și rămâne un rest. De fiecare dată facem aceeași operație: coborâm un număr real la cel mai apropiat întreg aflat dedesubtul lui.

Operația se numește parte întreagă și se notează $[x]$. Ce rămâne după ce o scazi — bucata subunitară care „prisosește" — se numește parte fracționară și se notează $\{x\}$. Împreună formează o pereche de funcții care apar peste tot: la rotunjiri, la numărarea multiplilor, la conversia unităților de măsură și, mai ales, în informatică, unde împărțirea întreagă și operatorul modulo sunt exact aceste două funcții. Programa de mate-info le cere explicit, alături de funcția modul, ca exemple de funcții definite pe ramuri — doar că aici ramurile nu sunt două, ci o infinitate.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi $[x]$ și $\{x\}$ pentru orice număr real, inclusiv negativ, unde se ascund cele mai multe greșeli.
• Vei ști să folosești caracterizarea $[x]=k⟺k\le x<k+1$ și încadrarea $[x]\le x<[x]+1$.
• Vei ști să trasezi graficul în trepte al părții întregi și graficul în dinți de fierăstrău al părții fracționare.
• Vei ști să demonstrezi proprietățile $[x+k]=[x]+k$ și $\{x+k\}=\{x\}$ pentru $k$ întreg, adică periodicitatea părții fracționare.
• Vei ști să rezolvi ecuații cu $[x]$ și $\{x\}$, folosind notațiile $[x]=k$ și $\{x\}=f$ cu $f\in [0,1)$.
• Vei ști să aplici partea întreagă la numărarea multiplilor și la probleme practice de împărțire cu rest.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția părții întregi

Definiție. Partea întreagă a numărului real $x$, notată $[x]$, este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$.

Formulare echivalentă, mult mai comodă la calcule:

$$[x]=k⟺k\in \mathbb{Z}\text{ și }k\le x<k+1.$$

Cu alte cuvinte: $[x]$ este întregul din stânga lui $x$ pe axă (sau chiar $x$, dacă $x$ e întreg). De aici rezultă încadrarea fundamentală, folosită în aproape orice demonstrație:

$$[x]\le x<[x]+1,\text{echivalent}x-1<[x]\le x.$$

Exemple. $[3,7]=3$, $[5]=5$, $[\pi ]=3$, $[0,999]=0$.

Exemplele care despart apele — numerele negative. $[-3,7]=-4$, nu $-3$: pe axă, întregul aflat imediat la stânga lui $-3,7$ este $-4$, iar $-3$ este la dreapta lui. Verifică cu definiția: $-4\le -3,7<-3$ ✓. La fel, $[-0,5]=-1$ și $[-2,5]=-3$, în timp ce $[-2]=-2$.

Reține deci: partea întreagă nu înseamnă „tăierea zecimalelor". Tăierea zecimalelor (trunchierea) ar da $-3$ pentru $-3,7$, ceea ce e greșit. Partea întreagă coboară întotdeauna, niciodată nu urcă.

2. Partea fracționară și descompunerea unui număr

Definiție. Partea fracționară a lui $x$ este $\{x\}=x-[x]$.

Din încadrarea $[x]\le x<[x]+1$, scăzând $[x]$ peste tot, obținem imediat

$$0\le \{x\}<1\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$

Astfel, orice număr real se scrie unic ca

$$x=[x]+\{x\},[x]\in \mathbb{Z},\{x\}\in [0,1),$$

adică „un întreg plus o bucată subunitară". Această descompunere este motorul tuturor ecuațiilor din lecție.

Exemple. $\{3,7\}=3,7-3=0,7$; $\{5\}=0$; $\{-3,7\}=-3,7-(-4)=0,3$; $\{-2,5\}=-2,5+3=0,5$; $\{-1,25\}=-1,25+2=0,75$.

Observă că la numere negative partea fracționară nu este „zecimalele cu semn schimbat": $\{-3,7\}=0,3$, nu $0,7$. Rezultatul e mereu în $[0,1)$, prin construcție.

Consecință utilă: $\{x\}=0⟺x\in \mathbb{Z}⟺[x]=x$.

3. Graficul funcției parte întreagă

Definiție. Funcția parte întreagă este $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$.

Pe fiecare interval $[k,k+1)$, cu $k$ întreg, funcția este constantă, egală cu $k$:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}⋮& \\ -1,& x\in [-1,0)\\ 0,& x\in [0,1)\\ 1,& x\in [1,2)\\ ⋮& \end{array}$$

Graficul este format dintr-o infinitate de segmente orizontale, fiecare închis la capătul din stânga (punct plin) și deschis la cel din dreapta (cerculeț gol). De aceea se numește funcție în trepte (sau funcție-scară). La fiecare număr întreg funcția „sare" cu exact o unitate.

Proprietățile se citesc direct de pe grafic:

• Imaginea: $\mathrm{Im}f=\mathbb{Z}$ — se ating exact numerele întregi, fiecare pe câte un interval întreg de lungime $1$.
• Monotonia: $f$ este crescătoare, dar nu strict: din $x_1<x_2$ rezultă $[x_1]\le [x_2]$, cu egalitate posibilă (de exemplu $[1,2]=[1,9]=1$).
• Injectivitate: nu este injectivă, tocmai din cauza palierelor: $f(1,2)=f(1,9)$, deși $1,2\ne 1,9$. O dreaptă orizontală $y=k$, cu $k$ întreg, taie graficul într-o infinitate de puncte.
• Surjectivitate: nu este surjectivă spre $\mathbb{R}$ (valoarea $0,5$ nu se atinge niciodată); privită însă ca funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}$, ea este surjectivă. Este exact fenomenul din lecția despre funcții injective, surjective, bijective: codomeniul decide verdictul.

4. Graficul funcției parte fracționară

Definiție. Funcția parte fracționară este $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{x\}=x-[x]$.

Pe intervalul $[k,k+1)$ avem $[x]=k$, deci $g(x)=x-k$ — o porțiune de dreaptă cu panta $1$, care pleacă de la $0$ (inclusiv, pentru $x=k$) și urcă spre $1$ fără să-l atingă. Graficul este format din segmente oblice paralele, care se repetă identic din unitate în unitate: forma clasică de dinți de fierăstrău.

• Imaginea: $\mathrm{Im}g=[0,1)$ — valoarea $0$ se atinge (în orice întreg), valoarea $1$ niciodată.
• Periodicitate: $g(x+1)=g(x)$ pentru orice $x$ (demonstrație în secțiunea următoare). Graficul se repetă la fiecare unitate.
• Monotonie: $g$ este strict crescătoare pe fiecare interval $[k,k+1)$, dar nu este monotonă pe $\mathbb{R}$ — la fiecare întreg „cade" brusc de la aproape $1$ la $0$.
• Nu este nici injectivă (de exemplu $g(0,4)=g(3,4)=0,4$), nici surjectivă spre $\mathbb{R}$.

5. Proprietăți, cu demonstrații

P1. $[x]=x⟺x\in \mathbb{Z}$, iar $\{x\}=0⟺x\in \mathbb{Z}$. Demonstrație. Dacă $x\in \mathbb{Z}$, atunci $x$ însuși este cel mai mare întreg $\le x$, deci $[x]=x$ și $\{x\}=0$. Reciproc, dacă $[x]=x$, atunci $x$ este întreg, fiind valoare a părții întregi. $■$

P2 (translația cu un întreg). Pentru orice $x\in \mathbb{R}$ și $k\in \mathbb{Z}$: $[x+k]=[x]+k$. Demonstrație. Pornim de la încadrarea $[x]\le x<[x]+1$ și adunăm $k$:

$$[x]+k\le x+k<[x]+k+1.$$

Numărul $[x]+k$ este întreg (sumă de întregi) și încadrează pe $x+k$ conform caracterizării din secțiunea 1. Prin unicitatea acelui întreg, $[x+k]=[x]+k$. $■$

P3 (periodicitatea părții fracționare). Pentru orice $x$ și orice $k\in \mathbb{Z}$: $\{x+k\}=\{x\}$. Demonstrație. $\{x+k\}=(x+k)-[x+k]=x+k-[x]-k=x-[x]=\{x\}$, folosind P2. $■$ În particular $\{x+1\}=\{x\}$: partea fracționară este periodică, de perioadă $1$.

Atenție: proprietatea funcționează numai pentru $k$ întreg. În general $[x+y]\ne [x]+[y]$: de exemplu $[0,5+0,7]=[1,2]=1$, dar $[0,5]+[0,7]=0+0=0$. Ce rămâne adevărat este inegalitatea $[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1$.

P4. $[x]+[-x]=0$ dacă $x\in \mathbb{Z}$ și $[x]+[-x]=-1$ în rest. Demonstrație. Dacă $x=k\in \mathbb{Z}$, atunci $[x]+[-x]=k-k=0$. Dacă $x\notin \mathbb{Z}$, scriem $x=k+f$ cu $k=[x]$ și $0<f<1$. Atunci $-x=-k-f=(-k-1)+(1-f)$, iar $0<1-f<1$, deci $[-x]=-k-1$. Prin urmare $[x]+[-x]=k+(-k-1)=-1$. $■$

Verificare rapidă: pentru $x=2,3$ avem $[2,3]+[-2,3]=2+(-3)=-1$ ✓; pentru $x=3$ avem $3+(-3)=0$ ✓.

6. Ecuații cu parte întreagă și parte fracționară

Ideea generală. Notezi $[x]=k$ (întreg necunoscut) și $\{x\}=f$ (cu $0\le f<1$), scrii $x=k+f$ și transformi ecuația într-o condiție asupra lui $k$ și $f$. Condiția $0\le f<1$ este cea care limitează valorile posibile ale lui $k$ — de acolo vine finitudinea soluțiilor.

Tipul 1: $[E(x)]=k$, cu $k$ întreg. Se aplică direct caracterizarea: $k\le E(x)<k+1$.

Exemplu. $[x]=3⟺3\le x<4$, deci $S=[3,4)$. Observă că soluția este un interval, nu un număr — o particularitate a acestui tip de ecuații.

Exemplu. $[2x]=5⟺5\le 2x<6⟺x\in \left[\frac{5}{2},3\right)$.

Exemplu. $\left[\frac{x}{2}\right]=3⟺3\le \frac{x}{2}<4⟺x\in [6,8)$.

Dacă membrul drept nu e întreg, ecuația nu are soluții: $[x]=2,5$ este imposibilă, pentru că $\mathrm{Im}$ al părții întregi este $\mathbb{Z}$.

Tipul 2: ecuații care leagă $[x]$ și $\{x\}$. Notezi $[x]=k\in \mathbb{Z}$, $\{x\}=f\in [0,1)$ și rezolvi sistemul.

Exemplu. $[x]=2\{x\}$. Cu notațiile de mai sus: $k=2f$, deci $f=\frac{k}{2}$. Condiția $0\le \frac{k}{2}<1$ dă $0\le k<2$, deci $k\in \{0,1\}$.

• $k=0\Rightarrow f=0\Rightarrow x=0$;
• $k=1\Rightarrow f=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$.

Verificare: $[0]=0=2\{0\}$ ✓; $\left[\frac{3}{2}\right]=1$ și $2\left\{\frac{3}{2}\right\}=2\cdot \frac{1}{2}=1$ ✓. Deci $S=\left\{0,\frac{3}{2}\right\}$.

Tipul 3: ecuații polinomiale în $[x]$. Rezolvi ca pe o ecuație obișnuită, cu necunoscuta $k=[x]$, apoi traduci fiecare soluție întreagă într-un interval.

Exemplu. $[x{]}^2-3[x]+2=0$. Notând $k=[x]$: $k^2-3k+2=0$, cu soluțiile $k=1$ și $k=2$ (sumă $3$, produs $2$). Deci $x\in [1,2)$ sau $x\in [2,3)$, adică $S=[1,3)$.

7. Aplicații: numărare și împărțire cu rest

Partea întreagă este instrumentul standard de numărare a multiplilor.

Propoziție. Numărul multiplilor lui $k$ (natural nenul) din mulțimea $\{1,2,\dots ,n\}$ este $\left[\frac{n}{k}\right]$.

Justificare. Multiplii sunt $k,2k,3k,\dots ,mk$, unde $m$ este cel mai mare natural cu $mk\le n$, adică $m\le \frac{n}{k}$; cel mai mare astfel de întreg este exact $\left[\frac{n}{k}\right]$. $■$

Exemplu. Câți multipli de $7$ sunt până la $500$? Răspuns: $\left[\frac{500}{7}\right]=71$, pentru că $7\cdot 71=497\le 500$, iar $7\cdot 72=504>500$. ✓

Legătura cu împărțirea cu rest. Dacă $a$ și $b$ sunt naturale, $b\ne 0$, teorema împărțirii cu rest dă $a=bq+r$ cu $0\le r<b$. Comparând cu descompunerea $\frac{a}{b}=\left[\frac{a}{b}\right]+\left\{\frac{a}{b}\right\}$, obținem

$$q=\left[\frac{a}{b}\right],r=b\cdot \left\{\frac{a}{b}\right\}.$$

Cu $47$ de obiecte puse câte $5$ în cutie: $\left[\frac{47}{5}\right]=9$ cutii pline și $r=5\cdot \{9,4\}=5\cdot 0,4=2$ obiecte rămase. ✓

În informatică, partea întreagă este operatorul de împărțire întreagă, iar partea fracționară, înmulțită cu împărțitorul, este operatorul modulo. Atenție însă: nu toate limbajele de programare tratează la fel numerele negative — unele coboară (ca partea întreagă matematică), altele trunchiază spre zero. Diferența dintre $-4$ și $-3$ pentru $-3,7$ este exact sursa unei clase întregi de erori de programare.

Rotunjirea la cel mai apropiat întreg se scrie tot cu partea întreagă: $\text{rot}(x)=\left[x+\frac{1}{2}\right]$. Verifică: $\left[2,3+0,5\right]=[2,8]=2$ ✓ și $\left[2,6+0,5\right]=[3,1]=3$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcule directe, cu accent pe negative

Calculați $[4,2]$, $[-4,2]$, $[-7]$, $\{4,2\}$, $\{-4,2\}$ și $\{-0,25\}$.

Rezolvare. $[4,2]=4$, pentru că $4\le 4,2<5$. $[-4,2]=-5$, pentru că $-5\le -4,2<-4$ (întregul din stânga). $[-7]=-7$, numărul fiind întreg.

Pentru părțile fracționare aplicăm $\{x\}=x-[x]$: $\{4,2\}=4,2-4=0,2$; $\{-4,2\}=-4,2-(-5)=0,8$; $\{-0,25\}=-0,25-(-1)=0,75$. Toate rezultatele sunt, corect, în $[0,1)$. $■$

Exemplul 2 — Ecuații de tipul $[E(x)]=k$

Rezolvați în $\mathbb{R}$: a) $[x]=-2$; b) $[3x]=2$; c) $[x]=2,5$.

Rezolvare. a) $-2\le x<-1$, deci $S=[-2,-1)$.

b) $2\le 3x<3⟺\frac{2}{3}\le x<1$, deci $S=\left[\frac{2}{3},1\right)$. Control: $\left[3\cdot \frac{2}{3}\right]=[2]=2$ ✓, iar pentru $x=0,999$, $[2,997]=2$ ✓.

c) $S=\varnothing$: partea întreagă ia doar valori întregi, iar $2,5\notin \mathbb{Z}$. $■$

Exemplul 3 — Ecuație mixtă, rezolvată prin notații

Rezolvați ecuația $3\{x\}+[x]=5$.

Rezolvare. Notăm $k=[x]\in \mathbb{Z}$ și $f=\{x\}\in [0,1)$. Ecuația devine $3f+k=5$, deci $f=\frac{5-k}{3}$.

Impunem condiția $0\le f<1$:

$$0\le \frac{5-k}{3}<1⟺0\le 5-k<3⟺2<k\le 5.$$

Cum $k$ este întreg, $k\in \{3,4,5\}$:

• $k=3\Rightarrow f=\frac{2}{3}\Rightarrow x=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$;
• $k=4\Rightarrow f=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{13}{3}$;
• $k=5\Rightarrow f=0\Rightarrow x=5$.

Verificare: pentru $x=\frac{11}{3}\approx 3,67$: $[x]=3$, $\{x\}=\frac{2}{3}$, iar $3\cdot \frac{2}{3}+3=5$ ✓. Pentru $x=5$: $0+5=5$ ✓. Deci $S=\left\{\frac{11}{3},\frac{13}{3},5\right\}$. $■$

Exemplul 4 — Ecuație cu $x$ și $[x]$

Rezolvați ecuația $x+[x]=4,5$.

Rezolvare. Scriem $x=k+f$, cu $k=[x]\in \mathbb{Z}$ și $f\in [0,1)$. Ecuația devine $k+f+k=4,5$, adică $f=4,5-2k$.

Condiția $0\le 4,5-2k<1$ dă $3,5<2k\le 4,5$, deci $1,75<k\le 2,25$. Singurul întreg este $k=2$, de unde $f=0,5$ și $x=2,5$.

Verificare: $2,5+[2,5]=2,5+2=4,5$ ✓. Deci $S=\{2,5\}$. $■$

Observă mecanismul: condiția $f\in [0,1)$ a strâns valorile posibile ale lui $k$ într-un interval de lungime $\frac{1}{2}$, în care încape un singur întreg. Fără această condiție, ecuația ar părea să aibă o infinitate de soluții.

Exemplul 5 — Numărare cu partea întreagă

a) Câte numere naturale din $\{1,2,\dots ,100\}$ sunt divizibile cu $3$? b) Câte săptămâni complete are un an de $365$ de zile? c) Câte cutii pline de câte $5$ obiecte se pot forma din $47$ de obiecte și câte rămân?

Rezolvare. a) $\left[\frac{100}{3}\right]=33$, pentru că $3\cdot 33=99\le 100$ și $3\cdot 34=102>100$.

b) $\left[\frac{365}{7}\right]=52$ de săptămâni complete, cu $365-7\cdot 52=1$ zi rămasă — motivul pentru care aceeași dată calendaristică „avansează" cu o zi a săptămânii de la un an la altul.

c) $\left[\frac{47}{5}\right]=9$ cutii pline; restul este $47-5\cdot 9=2$ obiecte, adică $5\cdot \left\{\frac{47}{5}\right\}=5\cdot 0,4=2$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-[x]$. a) Calculați $f(2,7)$ și $f(-2,7)$. b) Arătați că $f(x+1)=f(x)$ pentru orice $x$ real. c) Determinați $\mathrm{Im}f$ și precizați dacă $f$ este injectivă.

Rezolvare. a) $f(2,7)=2,7-[2,7]=2,7-2=0,7$. Pentru $-2,7$: $[-2,7]=-3$, deci $f(-2,7)=-2,7+3=0,3$.

b) $f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-([x]+1)=x-[x]=f(x)$, unde am folosit proprietatea P2 cu $k=1$. Deci $f$ este periodică, de perioadă $1$. $■$

c) Din încadrarea $[x]\le x<[x]+1$ rezultă $0\le f(x)<1$, deci $\mathrm{Im}f\subseteq [0,1)$. Reciproc, orice $y\in [0,1)$ este atins chiar în $x=y$ (căci $[y]=0$), deci $\mathrm{Im}f=[0,1)$ prin dublă incluziune. Funcția nu este injectivă: din periodicitate, $f(0,4)=f(1,4)=0,4$, deși $0,4\ne 1,4$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare calcul cu numere negative, desenează mental axa și întreabă-te „care e întregul din stânga?".

1. Calculează: $[6,8]$, $[-6,8]$, $[9]$, $[-9]$, $[0,3]$ și $[-0,3]$.

2. Calculează: $\{6,8\}$, $\{-6,8\}$, $\{9\}$, $\{-0,3\}$ și $\{2,25\}$.

3. Scrie descompunerea $x=[x]+\{x\}$ pentru $x=7,4$ și pentru $x=-1,25$.

4. Rezolvă ecuația $[x]=3$ și scrie mulțimea soluțiilor ca interval.

5. Rezolvă ecuațiile: a) $[x]=-2$; b) $[2x]=5$; c) $\left[\frac{x}{2}\right]=3$.

6. Rezolvă ecuația $\{x\}=\frac{1}{2}$ și descrie mulțimea soluțiilor.

7. Rezolvă ecuația $[x]=2,5$. Justifică răspunsul folosind imaginea funcției parte întreagă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice număr real $x$, $[-x]=-[x]$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice numere reale $x$ și $y$, $[x+y]=[x]+[y]$."

10. Demonstrează că $[x+5]=[x]+5$ pentru orice $x$ real, pornind de la încadrarea părții întregi.

11. Trasează graficul funcției $f(x)=[x]$ pentru $x\in [-2,3)$ și precizează câte trepte are, cu capetele corect marcate.

12. Determină $\mathrm{Im}g$ pentru $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\{x\}$, și explică de ce valoarea $1$ nu se atinge niciodată.

13. Rezolvă ecuația $[x{]}^2-3[x]+2=0$.

14. Rezolvă ecuația $[x]=2\{x\}$, notând $[x]=k$ și $\{x\}=f$.

15. (Problemă aplicată.) Câte numere naturale din $\{1,2,\dots ,500\}$ sunt divizibile cu $7$? Dar câte cutii complete de câte $12$ ouă se pot umple din $500$ de ouă și câte ouă rămân?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]+\{x\}$. a) Calculați $f(3,2)$ și $f(-1,5)$. b) Arătați că $f(x)=x$ pentru orice $x$ real. c) Precizați dacă $f$ este bijectivă.

17. (Raționament.) Demonstrează că $[x]+[-x]=-1$ pentru orice $x$ care nu este întreg, scriind $x=k+f$ cu $0<f<1$.

18. (Provocare.) a) Verifică pe valorile $x=0,3$, $x=0,7$ și $x=2,5$ identitatea lui Hermite $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2x]$. b) Demonstrează identitatea, tratând separat cazurile $\{x\}<\frac{1}{2}$ și $\{x\}\ge \frac{1}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $[6,8]=6$; $[-6,8]=-7$ (întregul din stânga, nu $-6$); $[9]=9$; $[-9]=-9$; $[0,3]=0$; $[-0,3]=-1$.

2. $\{6,8\}=0,8$; $\{-6,8\}=-6,8-(-7)=0,2$; $\{9\}=0$; $\{-0,3\}=-0,3+1=0,7$; $\{2,25\}=0,25$. Toate sunt în $[0,1)$ ✓.

3. $7,4=7+0,4$, cu $[7,4]=7$ și $\{7,4\}=0,4$. Pentru negativ: $[-1,25]=-2$ și $\{-1,25\}=-1,25+2=0,75$, deci $-1,25=-2+0,75$ ✓ (partea întreagă e negativă, partea fracționară rămâne pozitivă).

4. $[x]=3⟺3\le x<4$, deci $S=[3,4)$ — un interval, nu un singur număr.

5. a) $-2\le x<-1$, deci $S=[-2,-1)$. b) $5\le 2x<6⟺x\in \left[\frac{5}{2},3\right)$. c) $3\le \frac{x}{2}<4⟺x\in [6,8)$.

6. $\{x\}=\frac{1}{2}$ înseamnă $x-[x]=\frac{1}{2}$, deci $x=k+\frac{1}{2}$ cu $k\in \mathbb{Z}$. Mulțimea soluțiilor este infinită: $S=\left\{k+\frac{1}{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots ,-1,5;-0,5;0,5;1,5;\dots \right\}$ — consecință directă a periodicității.

7. $S=\varnothing$. Imaginea funcției parte întreagă este $\mathbb{Z}$, iar $2,5$ nu este întreg, deci nu poate fi valoare a lui $[x]$ pentru niciun $x$.

8. Fals. Egalitatea are loc doar pentru $x$ întreg. Contraexemplu: $x=2,3$ dă $[-2,3]=-3$, în timp ce $-[2,3]=-2$. Relația corectă, demonstrată în lecție, este $[x]+[-x]=-1$ pentru $x$ neîntreg.

9. Fals. Contraexemplu: $x=y=0,6$ dau $[1,2]=1$, dar $[0,6]+[0,6]=0$. Ce rămâne adevărat este încadrarea $[x]+[y]\le [x+y]\le [x]+[y]+1$; egalitatea din enunț e garantată doar când cel puțin unul dintre numere e întreg.

10. Din $[x]\le x<[x]+1$, adunând $5$: $[x]+5\le x+5<[x]+5+1$. Numărul $[x]+5$ este întreg și încadrează pe $x+5$ conform caracterizării părții întregi, deci $[x+5]=[x]+5$. $■$

11. Sunt $5$ trepte, la înălțimile $-2,-1,0,1,2$, corespunzând intervalelor $[-2,-1)$, $[-1,0)$, $[0,1)$, $[1,2)$, $[2,3)$. Fiecare segment are punct plin la capătul din stânga și cerculeț gol la cel din dreapta, iar saltul dintre trepte este de exact o unitate.

12. $\mathrm{Im}g=[0,1)$. Din definiție $\{x\}=x-[x]$, iar încadrarea $[x]\le x<[x]+1$ dă $0\le \{x\}<1$. Valoarea $1$ nu se atinge pentru că ar însemna $x-[x]=1$, adică $[x]=x-1$; dar atunci $x$ ar fi întreg și $[x]$ ar fi $x$, contradicție. Valoarea $0$, în schimb, se atinge în orice număr întreg.

13. Notăm $k=[x]$: $k^2-3k+2=0$ are soluțiile $k=1$ și $k=2$. Din $[x]=1$ rezultă $x\in [1,2)$, iar din $[x]=2$ rezultă $x\in [2,3)$. Reunind: $S=[1,3)$.

14. Cu $k=[x]$ și $f=\{x\}$: $k=2f$, deci $f=\frac{k}{2}$. Condiția $0\le \frac{k}{2}<1$ dă $k\in \{0,1\}$. Pentru $k=0$: $f=0$, $x=0$. Pentru $k=1$: $f=\frac{1}{2}$, $x=\frac{3}{2}$. Verificare: $\left[\frac{3}{2}\right]=1=2\cdot \frac{1}{2}$ ✓. Deci $S=\left\{0,\frac{3}{2}\right\}$.

15. Multipli de $7$: $\left[\frac{500}{7}\right]=71$, pentru că $7\cdot 71=497\le 500<504=7\cdot 72$. Cutii de $12$ ouă: $\left[\frac{500}{12}\right]=41$ cutii complete, iar restul este $500-12\cdot 41=500-492=8$ ouă.

16. a) $f(3,2)=3+0,2=3,2$; $f(-1,5)=-2+0,5=-1,5$. b) Prin definiția părții fracționare, $\{x\}=x-[x]$, deci $f(x)=[x]+x-[x]=x$ pentru orice $x$ real: $f$ este chiar funcția identică. c) Fiind funcția identică a lui $\mathbb{R}$, $f$ este bijectivă (injectivă, pentru că $x_1=x_2$ rezultă imediat din $f(x_1)=f(x_2)$, și surjectivă, pentru că orice $y$ e atins în $x=y$).

17. Fie $x\notin \mathbb{Z}$ și $k=[x]$, deci $x=k+f$ cu $0<f<1$. Atunci $-x=-k-f$. Scriem $-k-f=(-k-1)+(1-f)$, unde $-k-1\in \mathbb{Z}$ și $0<1-f<1$. Conform caracterizării părții întregi, $[-x]=-k-1$. Prin urmare $[x]+[-x]=k+(-k-1)=-1$. $■$

18. a) Pentru $x=0,3$: $0+[0,8]=0$ și $[0,6]=0$ ✓. Pentru $x=0,7$: $0+[1,2]=1$ și $[1,4]=1$ ✓. Pentru $x=2,5$: $2+[3]=5$ și $[5]=5$ ✓. b) Scriem $x=k+f$, cu $k=[x]$ și $f\in [0,1)$. Folosind P2, membrul stâng devine $k+\left[k+f+\frac{1}{2}\right]=2k+\left[f+\frac{1}{2}\right]$, iar membrul drept $[2k+2f]=2k+[2f]$. Rămâne de arătat că $\left[f+\frac{1}{2}\right]=[2f]$. Cazul $0\le f<\frac{1}{2}$: atunci $\frac{1}{2}\le f+\frac{1}{2}<1$, deci membrul stâng este $0$; și $0\le 2f<1$, deci membrul drept este tot $0$. ✓ Cazul $\frac{1}{2}\le f<1$: atunci $1\le f+\frac{1}{2}<\frac{3}{2}$, deci membrul stâng este $1$; și $1\le 2f<2$, deci membrul drept este tot $1$. ✓ În ambele cazuri identitatea se verifică, deci $[x]+\left[x+\frac{1}{2}\right]=[2x]$ pentru orice $x$ real. $■$

De reținut

• $[x]$ este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu $x$; caracterizarea de lucru este $[x]=k⟺k\le x<k+1$, de unde încadrarea $[x]\le x<[x]+1$.
• $\{x\}=x-[x]$ aparține întotdeauna intervalului $[0,1)$, iar orice număr real se descompune unic: $x=[x]+\{x\}$.
• Graficul lui $[x]$ este o scară cu trepte de lungime $1$ (punct plin la stânga, cerculeț gol la dreapta), cu $\mathrm{Im}=\mathbb{Z}$; graficul lui $\{x\}$ are formă de dinți de fierăstrău, este periodic de perioadă $1$ și are $\mathrm{Im}=[0,1)$.
• Pentru $k$ întreg: $[x+k]=[x]+k$ și $\{x+k\}=\{x\}$. În general însă $[x+y]\ne [x]+[y]$.
• Ecuațiile se rezolvă notând $[x]=k\in \mathbb{Z}$ și $\{x\}=f\in [0,1)$; condiția $0\le f<1$ este cea care limitează valorile lui $k$. Numărul multiplilor lui $k$ până la $n$ este $\left[\frac{n}{k}\right]$.

Greșeli frecvente

• Confunzi partea întreagă cu trunchierea. $[-3,7]=-4$, nu $-3$. Tăierea zecimalelor merge doar pentru numere pozitive; partea întreagă coboară mereu spre stânga pe axă.
• Calculezi partea fracționară a unui negativ „ștergând semnul". $\{-3,7\}$ nu e $0,7$, ci $0,3$: se aplică formula $\{x\}=x-[x]$, adică $-3,7-(-4)=0,3$. Rezultatul e mereu în $[0,1)$.
• Dai ca soluție un număr, când soluția e un interval. Ecuația $[x]=3$ are ca soluție tot intervalul $[3,4)$, pentru că partea întreagă e constantă pe fiecare treaptă.
• Aplici $[x+y]=[x]+[y]$. Proprietatea de aditivitate e valabilă numai când unul dintre termeni e întreg. Contraexemplu: $[0,6]+[0,6]=0$, dar $[1,2]=1$.
• Uiți condiția $0\le \{x\}<1$ la ecuații. Ea este singura care limitează valorile întregi ale lui $[x]$; fără ea vei „găsi" o infinitate de soluții inexistente sau vei rata soluțiile reale.

Aplică acasă

1. Scara din caiet. Desenează pe hârtie milimetrică graficul lui $[x]$ pentru $x\in [-3,4)$, marcând corect punctele pline și cerculețele goale. Suprapune apoi, cu altă culoare, graficul lui $\{x\}$ pe același interval și verifică vizual identitatea $x=[x]+\{x\}$ pentru trei valori alese de tine, una negativă.

2. Partea întreagă în calculator. Într-o foaie de calcul, folosește funcțiile de rotunjire în jos și de rest pe o coloană cu numere pozitive și negative. Compară rezultatele cu ce ai calculat tu manual. Unde apar diferențe, explică-le: cel mai probabil aplicația trunchiază spre zero în loc să coboare.

3. Numărătoarea din viața reală. Alege trei situații de împărțire cu rest din jurul tău (paginile unei cărți grupate câte $16$, minutele unei zile împărțite în ore, banii dintr-un buget împărțiți în tranșe egale). Scrie pentru fiecare câtul ca parte întreagă și restul cu ajutorul părții fracționare, apoi verifică prin numărare directă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce, conform programei de matematică-informatică, funcțiile parte întreagă și parte fracționară, alături de funcția modul, ca exemple fundamentale de funcții definite pe ramuri. Noutatea față de tot ce a întâlnit elevul până acum este că ramurile sunt în număr infinit, iar graficul nu mai e continuu: apar salturi. Este primul contact cu ideea de funcție în trepte și cu cea de funcție periodică.

Întrebări bune de control: „Cât este $[-2,5]$ și de ce nu $-2$?"; „De ce partea fracționară a unui număr negativ este tot pozitivă?"; „De ce soluția ecuației $[x]=3$ este un interval?"; „Ce condiție limitează valorile lui $k$ atunci când notezi $[x]=k$?". Semne că a înțeles: calculează corect pe negative fără ezitare, marchează corect capetele închise și deschise pe grafic, impune sistematic condiția $0\le \{x\}<1$ și verifică fiecare soluție găsită prin înlocuire.

La Bacalaureatul M1 și la concursuri, aceste funcții apar în ecuații de tipul celor din lecție, în probleme de numărare (multipli, divizori, exponentul unui număr prim într-un factorial) și în întrebări despre periodicitate, monotonie sau imagine. Legătura cu informatica este directă și merită semnalată elevului: împărțirea întreagă și operatorul modulo sunt exact aceste două funcții, iar comportamentul lor pe numere negative este o sursă clasică de erori de programare.

Întrebări frecvente

Ce este partea întreagă a unui număr? Este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu numărul dat, notat $[x]$. Pe axă, este întregul aflat imediat la stânga lui $x$ (sau chiar $x$, dacă $x$ este întreg): $[3,7]=3$, $[5]=5$.

Cât este partea întreagă a unui număr negativ? Se coboară, nu se taie zecimalele: $[-3,7]=-4$, pentru că $-4\le -3,7<-3$. Este cea mai frecventă greșeală din capitol — rezultatul $-3$ ar fi întregul din dreapta, nu din stânga.

Ce este partea fracționară și ce valori poate lua? Este diferența $\{x\}=x-[x]$, adică ce rămâne după ce scazi partea întreagă. Ia întotdeauna valori în intervalul $[0,1)$: nu poate fi negativă și nu poate atinge $1$.

Cum arată graficul funcției parte întreagă? Este o „scară": pe fiecare interval $[k,k+1)$ funcția e constantă și egală cu $k$, deci graficul e format din segmente orizontale, cu punct plin la stânga și cerculeț gol la dreapta, iar la fiecare întreg apare un salt de o unitate.

De ce funcția parte fracționară este periodică? Pentru că adunarea unui întreg nu îi schimbă valoarea: $\{x+1\}=\{x\}$, ceea ce rezultă din $[x+1]=[x]+1$. Graficul se repetă identic din unitate în unitate, de unde forma de dinți de fierăstrău.

Cum rezolv o ecuație cu partea întreagă? Dacă ecuația e de forma $[E(x)]=k$ cu $k$ întreg, folosești caracterizarea $k\le E(x)<k+1$ și obții un interval. Dacă apar și $[x]$, și $\{x\}$, notezi $[x]=k$ întreg și $\{x\}=f\in [0,1)$, iar condiția asupra lui $f$ îți limitează valorile posibile ale lui $k$.

Cum aflu câți multipli ai unui număr sunt până la n? Numărul multiplilor lui $k$ din $\{1,2,\dots ,n\}$ este $\left[\frac{n}{k}\right]$. De exemplu, multiplii lui $7$ până la $500$ sunt $\left[\frac{500}{7}\right]=71$.

Unde se folosesc aceste funcții în informatică? Împărțirea întreagă returnează $\left[\frac{a}{b}\right]$, iar operatorul modulo returnează restul, egal cu $b\cdot \left\{\frac{a}{b}\right\}$. Atenție la numere negative: unele limbaje coboară (ca partea întreagă matematică), altele trunchiază spre zero, iar diferența produce erori greu de depistat.