Forma trigonometrică: modul și argument redus

Un controlor de trafic aerian nu spune niciodată „avionul este la 12 kilometri est și 9 kilometri nord". Spune „avionul este la 15 kilometri, pe direcția 53 de grade". Ambele descrieri arată același punct, dar a doua este de multe ori mai utilă: cât de departe și în ce direcție. Exact aceeași alegere o avem și pentru numerele complexe.

Până acum ai scris orice număr complex sub forma $z=a+bi$ și, la planul complex, l-ai reprezentat prin punctul de coordonate $(a,b)$. Forma algebrică este ideală la adunare — se adună separat coordonatele. Dar la înmulțire devine greoaie, iar la ridicarea la putere de-a dreptul nepractică: încearcă să calculezi $(1+i{)}^{20}$ desfăcând paranteza. În această lecție construim a doua descriere a unui număr complex, prin distanță și direcție, care va transforma înmulțirea într-o operație aproape banală și va face posibile formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești argumentul redus al unui număr complex nenul și de ce se ia în $[0,2\pi )$.
• Vei ști să scrii orice număr complex nenul sub forma trigonometrică $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$.
• Vei ști să determini cadranul în care se află imaginea unui număr, din semnele părții reale și ale părții imaginare.
• Vei ști argumentele numerelor situate pe axe: $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$.
• Vei ști când două numere scrise trigonometric sunt egale și de ce forma trigonometrică este unică.
• Vei ști să recunoști scrierile care par trigonometrice, dar nu sunt, și să le corectezi.

Hai să descoperim împreună

1. Distanță și direcție: coordonatele polare

Fie $z=a+bi$ un număr complex nenul, cu imaginea geometrică $M(a,b)$ în planul complex. Poziția lui $M$ poate fi descrisă în două feluri.

Prin coordonate carteziene: perechea $(a,b)$, adică deplasarea pe orizontală și pe verticală.

Prin coordonate polare: perechea formată din distanța $OM$ și din unghiul pe care semidreapta $OM$ îl face cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric.

Prima mărime îți este deja cunoscută: este modulul

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=OM.$$

A doua este noutatea lecției. Ea se citește exact pe cercul trigonometric studiat în clasa a IX-a: dacă notăm cu $\phi$ unghiul căutat, punctul de pe cercul de rază $1$ asociat lui $\phi$ are coordonatele $(\cos \phi ,\sin \phi )$. Punctul $M$ se află pe aceeași semidreaptă, dar la distanța $r$ în loc de $1$, deci coordonatele lui sunt de $r$ ori mai mari:

$$a=r\cos \phi ,b=r\sin \phi .$$

2. Argumentul și argumentul redus

Unghiul $\phi$ nu este unic: dacă adaugi o rotație completă, punctul revine în același loc. Numerele $\phi$, $\phi +2\pi$, $\phi -2\pi$, $\phi +4\pi$ dau toate același punct — exact periodicitatea pe care ai văzut-o la cercul trigonometric.

Definiție. Se numește argument al numărului complex nenul $z=a+bi$ orice număr real $\phi$ pentru care $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$, unde $r=|z|$. Argumentul aflat în intervalul $[0,2\pi )$ se numește argument redus și se notează $\arg z$.

Mulțimea tuturor argumentelor lui $z$ este deci $\{\phi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, unde $\phi =\arg z$. Convenția pe care o folosim în toate lecțiile acestui capitol este:

Argumentul redus se ia întotdeauna în $[0,2\pi )$. Intervalul este închis la stânga și deschis la dreapta: $0$ este permis, $2\pi$ nu — pentru că ar da același punct ca $0$.

Numărul $0$ nu are argument. Imaginea lui este chiar originea, iar prin origine trec toate semidreptele; nicio direcție nu este privilegiată. Reține: modulul lui $0$ este $0$, dar argumentul nu există. De aceea toate enunțurile din această lecție cer $z\ne 0$.

3. Forma trigonometrică

Teoremă. Orice număr complex nenul $z$ se scrie în mod unic sub forma

$$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),r=|z|>0,\phi =\arg z\in [0,2\pi ).$$

Demonstrație. Existența: punând $r=|z|>0$, perechea $\left(\frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)$ verifică ${\left(\frac{a}{r}\right)}^2+{\left(\frac{b}{r}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{r^2}=1$, deci este un punct de pe cercul trigonometric. Prin urmare există un unic $\phi \in [0,2\pi )$ cu $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$, de unde $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$, adică $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$.

Unicitatea: dacă $r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)$ cu $r_1,r_2>0$, atunci, luând modulele și folosind $|\cos \phi +i\sin \phi |=\sqrt{{\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi }=1$, obținem $r_1=r_2$. Simplificând, rezultă $\cos {\phi }_1=\cos {\phi }_2$ și $\sin {\phi }_1=\sin {\phi }_2$; două numere din $[0,2\pi )$ cu același sinus și același cosinus determină același punct pe cercul trigonometric, deci ${\phi }_1={\phi }_2$. $■$

Numărul $r$ se numește modulul, iar $\phi$ argumentul redus al scrierii. Pe scurt: forma trigonometrică = cât de departe, înmulțit cu în ce direcție.

Criteriul de egalitate. Două numere complexe nenule scrise trigonometric sunt egale exact când au același modul și același argument redus. Dacă argumentele nu sunt reduse, condiția devine $r_1=r_2$ și ${\phi }_1-{\phi }_2=2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

4. Numerele de pe axe

Cele mai simple patru cazuri merită știute pe de rost, pentru că apar tot timpul. Fie $r>0$.

Verificăm a treia linie: $r(\cos \pi +i\sin \pi )=r(-1+i\cdot 0)=-r$ ✓. Și a patra: $r\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=r(0-i)=-ri$ ✓.

Atenție la un reflex greșit: argumentul lui $-ri$ nu este $-\frac{\pi }{2}$, deși unghiul „de $-90^{\circ }$" arată spre același loc. Numărul $-\frac{\pi }{2}$ este un argument valid, dar nu este redus, pentru că nu aparține lui $[0,2\pi )$. Argumentul redus se obține adunând $2\pi$: $-\frac{\pi }{2}+2\pi =\frac{3\pi }{2}$.

5. Cadranele: cum îți spun semnele unde ești

Dacă $z=a+bi$ nu este pe axe, imaginea lui se află într-unul din cele patru cadrane, iar argumentul redus se află în intervalul corespunzător — exact tabelul de semne studiat la semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, pentru că $\cos \phi$ are semnul lui $a$ și $\sin \phi$ are semnul lui $b$.

• Cadranul I: $a>0$, $b>0$ $\Rightarrow$ $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.
• Cadranul II: $a<0$, $b>0$ $\Rightarrow$ $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.
• Cadranul III: $a<0$, $b<0$ $\Rightarrow$ $\phi \in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.
• Cadranul IV: $a>0$, $b<0$ $\Rightarrow$ $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$.

Aceasta este cea mai importantă unealtă de control din toată lecția. Înainte de a scrie argumentul, stabilește cadranul. Dacă răspunsul tău nu cade în intervalul potrivit, ai greșit — nu contează cât de frumos arată calculul.

Exemplu. Fie $z=1+i\sqrt{3}$. Avem $r=\sqrt{1+3}=2$, deci $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ambele coordonate sunt pozitive, deci suntem în cadranul I și $\phi \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$; singura valoare cu acest sinus și acest cosinus este $\phi =\frac{\pi }{3}$. Așadar

$$z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$

Verificare: $2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}$ ✓.

6. Tabelul argumentelor remarcabile

În exercițiile de liceu argumentul iese aproape întotdeauna un multiplu de $\frac{\pi }{6}$ sau de $\frac{\pi }{4}$. Tabelul de mai jos, pe care îl poți reconstitui oricând de pe cercul trigonometric, îți dă răspunsul dintr-o privire: cauți perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$ care se potrivește cu $\left(\frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)$.

Două observații care te scutesc de memorare. Întâi, modulul valorilor se repetă din cadran în cadran; se schimbă doar semnele, după regula cadranelor din secțiunea 5. Apoi, în fiecare cadran ordinea este aceeași: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ pentru sinus în cadranul I, iar pentru cosinus invers. Practic, ai de reținut trei numere și o regulă de semne.

7. Ce NU este formă trigonometrică

Forma trigonometrică are un tipar strict: modul strict pozitiv, în față; paranteză cu plus între cosinus și sinus; același argument în ambele funcții; unitatea $i$ doar la sinus. Orice abatere trebuie corectată înainte de a citi modulul și argumentul.

Cazul 1: factor negativ în față. Scrierea $-2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ nu este formă trigonometrică, pentru că modulul nu poate fi negativ. Corectăm folosind $-1=\cos \pi +i\sin \pi$, adică adunând $\pi$ la argument:

$$-2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right).$$

Verificare: membrul stâng este $-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-\sqrt{3}-i$; membrul drept este $2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=-\sqrt{3}-i$ ✓.

Cazul 2: minus între cosinus și sinus. Scrierea $3\left(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ nu este formă trigonometrică. Folosim paritatea funcțiilor: $\cos (-x)=\cos x$ și $\sin (-x)=-\sin x$, deci expresia este $3(\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right))$. Argumentul $-\frac{\pi }{4}$ nu e redus; adunăm $2\pi$:

$$3\left(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}\right)=3\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right).$$

Cazul 3: argumente diferite. O scriere de tipul $2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ nu are nicio legătură cu forma trigonometrică; ea trebuie adusă întâi la forma algebrică, apoi transformată de la capăt.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Numere situate pe axe

Scrieți sub formă trigonometrică: $z_1=3$, $z_2=-5$, $z_3=2i$, $z_4=-4i$.

Rezolvare. Modulele sunt $3$, $5$, $2$, respectiv $4$. Argumentele se citesc din tabelul secțiunii 4:

$$z_1=3(\cos 0+i\sin 0),z_2=5(\cos \pi +i\sin \pi ),$$

$$z_3=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right),z_4=4\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right).$$

Verificare pentru $z_4$: $4(0+i\cdot (-1))=-4i$ ✓.

Exemplul 2 — Un număr din cadranul II

Scrieți sub formă trigonometrică $z=-2+2i$.

Rezolvare. Modulul: $r=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. Atunci

$$\cos \phi =\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \phi =\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Partea reală este negativă, partea imaginară pozitivă, deci suntem în cadranul II și $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Valoarea care are acest cosinus și acest sinus este $\phi =\frac{3\pi }{4}$. Deci

$$z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right).$$

Verificare: $2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2+2i$ ✓.

Exemplul 3 — De la forma trigonometrică la cea algebrică

Scrieți sub formă algebrică $z=4\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$.

Rezolvare. Din tabelul valorilor remarcabile: $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$. Atunci

$$z=4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-2\sqrt{3}+2i.$$

Control: $|z|=\sqrt{12+4}=4$ ✓, iar imaginea este în cadranul II, în acord cu $\frac{5\pi }{6}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ ✓.

Exemplul 4 — Recunoașterea unei scrieri incorecte

Numărul $w=5\left(\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ este scris sub formă trigonometrică? Dacă nu, corectați scrierea.

Rezolvare. Nu este: între cosinus și sinus apare semnul minus. Aducem la forma algebrică: $w=5\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}i$.

Modulul rămâne $5$, iar $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Partea reală pozitivă și partea imaginară negativă înseamnă cadranul IV, deci $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, iar valoarea este $\phi =\frac{5\pi }{3}$. Scrierea corectă:

$$w=5\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right).$$

Reține scurtătura: schimbarea semnului dinaintea lui $i\sin$ înseamnă înlocuirea lui $\phi$ cu $2\pi -\phi$.

Exemplul 5 — Determinarea unui număr din modul și argument

Determinați forma algebrică a numărului complex $z$ cu $|z|=2$ și $\arg z=\frac{5\pi }{6}$.

Rezolvare. Aplicăm direct $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$:

$$a=2\cos \frac{5\pi }{6}=2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{3},b=2\sin \frac{5\pi }{6}=2\cdot \frac{1}{2}=1.$$

Deci $z=-\sqrt{3}+i$. Control: $|z|=\sqrt{3+1}=2$ ✓, iar imaginea este în cadranul II, potrivit argumentului dat ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=-3-3i\sqrt{3}$. a) Calculați $|z|$. b) Precizați cadranul în care se află imaginea lui $z$. c) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică.

Rezolvare. a) $|z|=\sqrt{(-3{)}^2+{\left(-3\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$.

b) Partea reală este $-3<0$, partea imaginară este $-3\sqrt{3}<0$, deci imaginea se află în cadranul III, iar argumentul redus se va afla în $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

c) $\cos \phi =\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{-3\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. În cadranul III, valoarea cu acest cosinus și acest sinus este $\phi =\frac{4\pi }{3}$, pentru că $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Prin urmare

$$z=6\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right).$$

Verificare finală: $6\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3-3i\sqrt{3}$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare număr scrie întâi modulul, apoi cadranul, abia apoi argumentul — în această ordine. Verifică fiecare formă trigonometrică revenind la forma algebrică.

1. Scrie sub formă trigonometrică $z=7$.

2. Scrie sub formă trigonometrică $z=-6$.

3. Scrie sub formă trigonometrică $z=5i$.

4. Scrie sub formă trigonometrică $z=-i$.

5. Scrie sub formă trigonometrică $z=1+i$.

6. Scrie sub formă trigonometrică $z=\sqrt{3}+i$.

7. Scrie sub formă trigonometrică $z=2+2i\sqrt{3}$.

8. Scrie sub formă trigonometrică $z=-1+i$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Argumentul redus al unui număr complex nenul aparține intervalului $[0,2\pi )$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Numărul $0$ are modulul $0$ și argumentul redus $0$."

11. Scrie sub formă algebrică $z=6\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$.

12. Scrie sub formă algebrică $z=4\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$.

13. Este $5\left(\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ o formă trigonometrică? Dacă nu, corectează scrierea.

14. Este $-3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ o formă trigonometrică? Dacă nu, corectează scrierea.

15. (Problemă aplicată.) Un braț de robot pornește din origine și se întinde pe o lungime de $10$ unități, pe o direcție care face $150^{\circ }$ cu semiaxa pozitivă $Ox$. Scrie afixul vârfului brațului sub formă trigonometrică, apoi sub formă algebrică.

16. Determină forma algebrică a numărului complex $z$ cu $|z|=4$ și $\arg z=\frac{\pi }{3}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=4\sqrt{3}-4i$. a) Calculați $|z|$. b) Precizați cadranul imaginii lui $z$. c) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică.

18. (Provocare.) a) Câte numere complexe au modulul $5$? Ce figură geometrică formează imaginile lor? b) Arătați, folosind criteriul de egalitate, că numerele $2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ și $2\left(\cos \frac{9\pi }{4}+i\sin \frac{9\pi }{4}\right)$ sunt egale, deși argumentele scrise diferă.

Răspunsuri și explicații

1. $r=7$, imaginea este pe semiaxa pozitivă $Ox$, deci $\phi =0$: $z=7(\cos 0+i\sin 0)$.

2. $r=6$, imaginea este pe semiaxa negativă $Ox$, deci $\phi =\pi$: $z=6(\cos \pi +i\sin \pi )$. Verificare: $6(-1+0i)=-6$ ✓.

3. $r=5$, imaginea este pe semiaxa pozitivă $Oy$, deci $\phi =\frac{\pi }{2}$: $z=5\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$.

4. $r=1$, imaginea este pe semiaxa negativă $Oy$, deci $\phi =\frac{3\pi }{2}$ (nu $-\frac{\pi }{2}$, care nu e redus): $z=\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}$.

5. $r=\sqrt{2}$; $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$; cadranul I, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$: $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

6. $r=\sqrt{3+1}=2$; $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =\frac{1}{2}$; cadranul I, deci $\phi =\frac{\pi }{6}$: $z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$.

7. $r=\sqrt{4+12}=4$; $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$; cadranul I, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$: $z=4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. Verificare: $4\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+2i\sqrt{3}$ ✓.

8. $r=\sqrt{2}$; $\cos \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$; cadranul II, deci $\phi =\frac{3\pi }{4}$: $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$.

9. Adevărat. Aceasta este chiar definiția argumentului redus, cu convenția folosită în tot capitolul. Valoarea $2\pi$ este exclusă pentru că ar da același punct ca $0$, iar unicitatea s-ar pierde.

10. Fals. Modulul lui $0$ este într-adevăr $0$, dar argumentul nu există: imaginea lui $0$ este originea, prin care trec toate semidreptele, deci nicio direcție nu poate fi aleasă. Forma trigonometrică se definește doar pentru numere nenule.

11. $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $z=6\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3+3i\sqrt{3}$. Control: $|z|=\sqrt{9+27}=6$ ✓, cadranul II ✓.

12. $\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $z=4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$. Control: $|z|=\sqrt{8+8}=4$ ✓, cadranul IV ✓.

13. Nu este: apare minus între cosinus și sinus. Forma algebrică este $\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}i$, cu $r=5$, cadranul IV. Scrierea corectă: $5\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$, pentru că $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.

14. Nu este: factorul din față este negativ, iar modulul trebuie să fie strict pozitiv. Forma algebrică: $-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$, cu $r=3$ și cadranul III. Scrierea corectă: $3\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$, adică argumentul crește cu $\pi$.

15. $150^{\circ }=\frac{5\pi }{6}$ radiani, deci afixul este $z=10\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$. Forma algebrică: $10\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-5\sqrt{3}+5i$. Vârful se află deci la $5\sqrt{3}\approx 8,66$ unități la stânga și $5$ unități în sus față de origine.

16. $a=4\cos \frac{\pi }{3}=4\cdot \frac{1}{2}=2$ și $b=4\sin \frac{\pi }{3}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$, deci $z=2+2i\sqrt{3}$. (Este exact numărul de la exercițiul 7 — drumul invers.)

17. a) $|z|=\sqrt{48+16}=\sqrt{64}=8$. b) Partea reală $4\sqrt{3}>0$, partea imaginară $-4<0$, deci cadranul IV, iar $\phi \in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. c) $\cos \phi =\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{11\pi }{6}$ și $z=8\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)$. Verificare: $8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)=4\sqrt{3}-4i$ ✓.

18. a) O infinitate: pentru fiecare $\phi \in [0,2\pi )$ obținem un număr $5(\cos \phi +i\sin \phi )$. Imaginile lor formează cercul cu centrul în origine și raza $5$, de ecuație $a^2+b^2=25$. b) Modulele coincid ($2=2$), iar argumentele diferă prin $\frac{9\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=2\pi$, adică exact o rotație completă. Conform criteriului de egalitate, numerele sunt egale; forma cu argument redus este cea cu $\frac{\pi }{4}$, pentru că $\frac{9\pi }{4}\notin [0,2\pi )$.

De reținut

• Forma trigonometrică: orice $z\ne 0$ se scrie unic $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r=|z|>0$ și $\phi =\arg z\in [0,2\pi )$.
• Legăturile dintre forme: $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \phi =\frac{a}{r}$, $\sin \phi =\frac{b}{r}$; invers, $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$.
• Numărul $0$ nu are argument. Are modul $0$, dar nicio direcție, deci nu are formă trigonometrică.
• Cadranul se stabilește înaintea argumentului, din semnele lui $a$ și $b$; el încadrează $\phi$ într-un interval de lungime $\frac{\pi }{2}$ și este cel mai bun control al răspunsului. Pe axe: $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$.
• Egalitate: două forme trigonometrice sunt egale exact când modulele coincid și argumentele diferă printr-un multiplu întreg de $2\pi$; cu argumente reduse, exact când $r_1=r_2$ și ${\phi }_1={\phi }_2$.

Greșeli frecvente

• Modul negativ. Scrierea $-2(\cos \phi +i\sin \phi )$ nu este formă trigonometrică. Se corectează adunând $\pi$ la argument și luând modulul $2$.
• Minus între cosinus și sinus. În $r(\cos \phi -i\sin \phi )$ argumentul real este $2\pi -\phi$, nu $\phi$. Corectează înainte de a citi argumentul.
• Argument în afara intervalului $[0,2\pi )$. Valori ca $-\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{9\pi }{4}$ sunt argumente, dar nu reduse. Adună sau scade $2\pi$ până intri în interval.
• Se ignoră cadranul. Dacă ai găsit $\phi =\frac{\pi }{3}$ pentru un număr cu partea reală negativă, răspunsul este sigur greșit: verifică semnele înainte de a scrie.
• Se caută argumentul lui $0$. Numărul $0$ nu are argument; orice enunț care cere forma trigonometrică presupune implicit $z\ne 0$.

Aplică acasă

1. Ceasul complex. Desenează un cerc de rază $4$ centrat în origine și marchează pe el punctele de argument $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$ și apoi din $\frac{\pi }{6}$ în $\frac{\pi }{6}$ până la $2\pi$. Scrie lângă fiecare punct forma algebrică a numărului corespunzător. Vei obține o hartă a valorilor remarcabile, utilă tot capitolul.

2. Traducerea unei hărți. Alege trei orașe pe o hartă și, luând orașul tău drept origine, măsoară pentru fiecare distanța și unghiul față de direcția est. Scrie afixul fiecărui oraș în ambele forme și verifică trecerea între ele.

3. Compararea formelor. Ia numerele $z=1+i$ și $w=\sqrt{3}+i$. Calculează $z+w$ în formă algebrică (ușor) și încearcă să afli modulul și argumentul sumei. Vei descoperi de ce forma algebrică rămâne stăpâna adunării, iar cea trigonometrică — a înmulțirii.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a doua reprezentare a numerelor complexe și este poarta de intrare către partea cea mai spectaculoasă a capitolului: formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$. Ea verifică nu doar formule, ci un mod de a gândi: un număr complex are o mărime și o direcție, iar direcția se măsoară pe cercul trigonometric studiat în clasa a IX-a.

Punctele de verificat în lucrarea elevului: (1) calculul corect al modulului; (2) stabilirea cadranului înainte de determinarea argumentului; (3) argumentul scris în $[0,2\pi )$; (4) forma finală cu modul pozitiv și plus în paranteză; (5) verificarea prin revenire la forma algebrică. Întrebări bune de control: „De ce numărul $0$ nu are argument?"; „Ce faci cu un minus în fața parantezei?"; „Cum știi dacă răspunsul tău e plauzibil?" (răspunsul dorit: prin cadran).

La Bacalaureat M1, forma trigonometrică apare aproape întotdeauna ca prim pas al unui exercițiu care continuă cu o putere sau cu o rădăcină de ordinul $n$. Greșeala care costă cel mai mult este alegerea unui argument din cadranul greșit — de aceea insistăm pe ordinea modul, cadran, argument, verificare.

Întrebări frecvente

Ce este forma trigonometrică a unui număr complex? Este scrierea $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, în care $r=|z|$ este modulul, adică distanța de la origine la imaginea lui $z$, iar $\phi$ este argumentul, adică unghiul făcut de semidreapta din origine cu semiaxa pozitivă $Ox$, măsurat în sens trigonometric.

Ce înseamnă argument redus și de ce se ia în $[0,2\pi )$? Un număr complex nenul are o infinitate de argumente, care diferă între ele prin multipli de $2\pi$. Pentru a avea o scriere unică se alege reprezentantul din intervalul $[0,2\pi )$, numit argument redus. Valoarea $2\pi$ se exclude pentru că ar da același punct ca $0$.

Numărul zero are formă trigonometrică? Nu. Modulul lui este $0$, dar imaginea lui este originea, prin care trec toate semidreptele, deci nu i se poate atribui o direcție. Toate enunțurile despre argument presupun $z\ne 0$.

Cum știu în ce cadran se află un număr complex? Din semnele părții reale și ale părții imaginare: ambele pozitive înseamnă cadranul I; reală negativă și imaginară pozitivă, cadranul II; ambele negative, cadranul III; reală pozitivă și imaginară negativă, cadranul IV. Cadranul restrânge argumentul la un interval de lungime $\frac{\pi }{2}$.

Este $-2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$ o formă trigonometrică? Nu, pentru că modulul trebuie să fie strict pozitiv. Se corectează adunând $\pi$ la argument: numărul se scrie $2\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right)$.

Când sunt egale două numere scrise sub formă trigonometrică? Când au același modul și argumentele lor diferă printr-un multiplu întreg de $2\pi$. Dacă ambele argumente sunt reduse, condiția devine pur și simplu $r_1=r_2$ și ${\phi }_1={\phi }_2$.

La ce folosește forma trigonometrică, dacă cea algebrică e mai simplă? Forma algebrică este mai comodă la adunare și scădere, dar forma trigonometrică transformă înmulțirea, împărțirea, ridicarea la putere și extragerea rădăcinilor în operații simple cu module și argumente. Fără ea, formula lui Moivre nu ar exista.