Modulul unui număr complex

Pe mulțimea numerelor reale ai o unealtă la care ții fără să-ți dai seama: ordinea. Poți spune că $-3<2$, poți așeza orice două numere pe axă și poți întreba „care e mai mare". În $\mathbb{C}$ această unealtă dispare. Nu are niciun sens să scrii $3+4i<5-12i$; nu există nicio relație de ordine pe $\mathbb{C}$ care să se împace cu adunarea și înmulțirea, iar asta nu e o scăpare a matematicienilor, ci o imposibilitate demonstrabilă.

Și totuși simțim că unele numere complexe sunt „mai mari" decât altele: $100+100i$ pare, într-un fel evident, mai mare decât $1+i$. Ce comparăm de fapt? Nu numerele, ci mărimea lor — un singur număr real, nenegativ, atașat fiecărui număr complex. Această mărime se numește modul, se notează $|z|$ și se calculează cu teorema lui Pitagora. Ea măsoară cât de departe de zero se află numărul, exact ca modulul unui număr real, dar acum într-un plan, nu pe o dreaptă.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi modulul oricărui număr complex cu formula $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ și să recunoști numerele cu modul întreg.
• Vei ști relația fundamentală $|z{|}^2=z\bar{z}$ și vei putea demonstra cu ea proprietățile modulului.
• Vei ști că $|z|\ge 0$, cu egalitate doar pentru $z=0$, și că $|z|=|\bar{z}|=|-z|$.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ și $|z^n|=|z{|}^n$.
• Vei ști să determini numerele complexe care îndeplinesc condiții de tipul $|z|=r$ împreună cu o condiție pe partea reală sau imaginară.
• Vei ști de ce inegalitatea $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ nu este egalitate și că modulul nu se comportă „frumos" față de adunare.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția și legătura cu modulul cunoscut

Definiție. Fie $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. Numărul real

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

se numește modulul lui $z$.

Rădăcina are sens întotdeauna, pentru că $a^2+b^2\ge 0$, iar rezultatul este prin convenție rădăcina aritmetică, deci $|z|\ge 0$.

Definiția nu contrazice nimic din ce știai. Dacă $z$ este real, adică $b=0$, atunci $|z|=\sqrt{a^2}=|a|$ — exact modulul studiat în lecția Funcția modul. De exemplu $|6|=6$ și $|-7|=7$. Pentru numerele pur imaginare, $|bi|=\sqrt{b^2}=|b|$: $|i|=1$, $|-3i|=3$.

Câteva module de calculat, ca să intre formula în reflex:

$$|3+4i|=\sqrt{9+16}=5,|5-12i|=\sqrt{25+144}=13,|-8+15i|=\sqrt{64+225}=17.$$

$$|7-24i|=\sqrt{49+576}=25,|20+21i|=\sqrt{400+441}=29,|-6+8i|=\sqrt{36+64}=10.$$

Toate ies numere întregi pentru că perechile $(3,4)$, $(5,12)$, $(8,15)$, $(7,24)$, $(20,21)$, $(6,8)$ sunt pitagoreice. În general modulul nu e întreg: $|1+i|=\sqrt{2}$, iar acesta este răspunsul final corect — nu se aproximează decât dacă problema cere explicit.

2. Relația care leagă modulul de conjugat

Din lecția Conjugatul unui număr complex știm că $z\bar{z}=a^2+b^2$. Comparând cu definiția, obținem relația pe care se sprijină toată lecția:

$$\boxed{|z{|}^2=z\cdot \bar{z}}$$

Ea are un avantaj enorm: transformă o afirmație cu radicali într-una fără radicali. Ca să demonstrezi o egalitate între module, e mult mai comod să demonstrezi egalitatea pătratelor lor și apoi să extragi rădăcina — legitim, pentru că ambele module sunt numere nenegative, iar funcția radical este strict crescătoare pe $[0,\infty )$.

Consecință imediată, pentru $z\ne 0$:

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2},$$

care este chiar formula inversului din lecția Împărțirea numerelor complexe, scrisă acum mai elegant.

3. Proprietățile de bază

P1. $|z|\ge 0$ pentru orice $z$, iar $|z|=0⟺z=0$.

Demonstrație. $|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0$ este clar. Dacă $|z|=0$, atunci $a^2+b^2=0$, iar o sumă de pătrate de numere reale se anulează doar când ambele sunt nule, deci $a=b=0$. $■$

P2. $|z|=|\bar{z}|=|-z|$.

Demonstrație. Toate trei numerele au aceleași pătrate ale componentelor: $z=a+bi$, $\bar{z}=a-bi$, $-z=-a-bi$, iar $a^2+(-b{)}^2=(-a{)}^2+(-b{)}^2=a^2+b^2$. $■$ Pentru $z=-6+8i$: $|z|=|\bar{z}|=|-z|=10$.

P3. $|\mathrm{Re}z|\le |z|$ și $|\mathrm{Im}z|\le |z|$.

Demonstrație. $a^2\le a^2+b^2$, deci $|a|\le \sqrt{a^2+b^2}=|z|$; analog pentru $b$. Egalitatea în prima inegalitate are loc exact când $b=0$, adică atunci când $z$ este real. $■$

Aceste inegalități spun ceva intuitiv: nicio „componentă" nu poate depăși întregul.

4. Modulul produsului — proprietatea vedetă

Teoremă. Pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ avem $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$.

Demonstrație. Lucrăm cu pătratele, folosind $|w{|}^2=w\bar{w}$ și proprietatea conjugatului produsului, $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$:

$$|z_1{z}_2{|}^2=(z_1{z}_2)\overline{(z_1{z}_2)}=z_1{z}_2\overline{z_1}\overline{z_2}=(z_1\overline{z_1})(z_2\overline{z_2})=|z_1{|}^2|z_2{|}^2=(|z_1||z_2|{)}^2.$$

Cum $|z_1{z}_2|$ și $|z_1||z_2|$ sunt numere nenegative cu pătrate egale, ele sunt egale. $■$

Observă cât de scurtă a ieșit demonstrația: fără radicali, fără $a$ și $b$, doar reguli de calcul. Dacă am fi desfăcut totul în componente, ar fi trebuit să verificăm identitatea

$$(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2),$$

adevărată, dar mult mai greu de scris corect sub presiunea examenului.

Verificare numerică. Pentru $z_1=3+4i$ și $z_2=5+12i$: produsul este $z_1{z}_2=15+36i+20i-48=-33+56i$, iar

$$|z_1{z}_2|=\sqrt{1089+3136}=\sqrt{4225}=65=5\cdot 13=|z_1||z_2|.✓$$

Identitatea „urâtă" de mai sus, ridicată la rangul de teoremă, spune ceva surprinzător despre numerele întregi: produsul a două sume de două pătrate este tot o sumă de două pătrate. Pe exemplul nostru, $25\cdot 169=4225$, iar $4225=33^2+56^2$ — descompunerea a apărut singură, din componentele produsului $z_1{z}_2$. Este primul indiciu că numerele complexe nu sunt doar un artificiu de calcul, ci un instrument care spune lucruri adevărate despre $\mathbb{Z}$.

5. Modulul câtului, al inversului și al puterii

P4 (câtul). Dacă $z_2\ne 0$, atunci $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$.

Demonstrație. Notăm $q=\frac{z_1}{z_2}$, deci $q{z}_2=z_1$. Aplicăm modulul și proprietatea produsului: $|q|\cdot |z_2|=|z_1|$. Cum $z_2\ne 0$ avem $|z_2|\ne 0$, deci $|q|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$. $■$

Verificare: am calculat în lecția precedentă $\frac{-33+56i}{5+12i}=3+4i$; într-adevăr, $\frac{65}{13}=5=|3+4i|$. ✓

În particular, pentru $z_1=1$ obținem $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$: modulul inversului este inversul modulului. Pe $z=3+4i$, unde $\frac{1}{z}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$, avem $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{\sqrt{9+16}}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$. ✓

P5 (puterea). $|z^n|=|z{|}^n$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Demonstrație (prin inducție matematică). Pentru $n=1$ egalitatea e banală. Presupunem $|z^k|=|z{|}^k$ pentru un $k\ge 1$ fixat; atunci, cu proprietatea produsului,

$$|z^{k+1}|=|z^k\cdot z|=|z^k|\cdot |z|=|z{|}^k\cdot |z|=|z{|}^{k+1}.$$

Conform principiului inducției matematice, egalitatea are loc pentru orice $n\ge 1$. $■$

Verificare: $(3+4i{)}^2=-7+24i$, cu modulul $\sqrt{49+576}=25=5^2$ ✓; iar $(3+4i{)}^3=-117+44i$, cu modulul $\sqrt{13689+1936}=\sqrt{15625}=125=5^3$ ✓.

Proprietatea aceasta îți economisește un munte de calcule. Ca să afli $|(1+i{)}^8|$ nu dezvolți nimic: $|1+i|=\sqrt{2}$, deci $|(1+i{)}^8|=(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$. (Într-adevăr, $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^8=(2i{)}^4=16$.)

6. Ce NU se întâmplă la adunare

Toate proprietățile de până acum se referă la înmulțire, împărțire și putere. La adunare, modulul nu se comportă la fel de frumos:

$$|z_1+z_2|\ne |z_1|+|z_2|\text{ıˆn general}.$$

Contraexemplu: $z_1=1$ și $z_2=i$ dau $|z_1+z_2|=|1+i|=\sqrt{2}\approx 1,41$, în timp ce $|z_1|+|z_2|=2$.

Ce rămâne adevărat este inegalitatea triunghiului:

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|,$$

cu egalitate doar în cazuri speciale. Numele ei se explică geometric, iar demonstrația o vei vedea în lecția Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului, unde vom descoperi și de ce $|z_1-z_2|$ este distanța dintre cele două numere.

7. Sensul geometric, pe scurt

Dacă marchezi într-un reper cartezian punctul $M(a,b)$ asociat numărului $z=a+bi$, atunci, aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic cu catetele $|a|$ și $|b|$, distanța de la origine la $M$ este

$$OM=\sqrt{(a-0{)}^2+(b-0{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}=|z|.$$

Deci modulul este distanța de la origine până la punctul care reprezintă numărul. Această imagine, plus vocabularul care o însoțește (imagine geometrică, afix, plan complex), este subiectul lecției Planul complex. Imaginea geometrică și afixul. Deocamdată reține doar atât: toate numerele cu $|z|=5$ se află la aceeași distanță de origine, deci pe un cerc.

8. Ecuații și condiții cu module

Tipul cel mai frecvent de exercițiu: se dă modulul și încă o informație despre $z$.

Exemplu. Determină $z=a+bi$ știind că $|z|=5$ și $\mathrm{Re}z=3$.

Din $\mathrm{Re}z=3$ avem $a=3$; din $|z|=5$ obținem $9+b^2=25$, deci $b^2=16$ și $b=\pm 4$. Soluțiile: $z=3+4i$ și $z=3-4i$ (conjugate, cum era de așteptat din P2).

Atenție la un pas care se uită des: ridicarea la pătrat. Din $|z|=5$ scriem direct $a^2+b^2=25$, fără să lucrăm cu radicalul. Este permis pentru că ambii membri sunt nenegativi.

Aceeași tehnică rezolvă și ecuații în care modulul apare amestecat cu $z$. De exemplu, pentru $z\bar{z}+z=6+2i$ punem $z=a+bi$ și folosim $z\bar{z}=a^2+b^2$:

$$(a^2+b^2)+a+bi=6+2i.$$

Identificând părțile: $b=2$ din partea imaginară, apoi $a^2+4+a=6$, adică $a^2+a-2=0$, cu soluțiile $a=1$ și $a=-2$. Obținem $z=1+2i$ și $z=-2+2i$. Verificare: pentru $z=1+2i$, $z\bar{z}=5$ și $5+1+2i=6+2i$ ✓; pentru $z=-2+2i$, $z\bar{z}=8$ și $8-2+2i=6+2i$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Module de calculat

Calculați: a) $|9-40i|$; b) $|-5|$; c) $|7i|$; d) $|2-2i|$.

Rezolvare. a) $\sqrt{81+1600}=\sqrt{1681}=41$. b) $z$ este real, deci $|-5|=5$. c) $|7i|=\sqrt{0+49}=7$. d) $\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ — răspuns exact, care nu se aproximează.

Exemplul 2 — Produs și cât, fără a efectua operațiile

Fie $z_1=3-4i$ și $z_2=5+12i$. Calculați $|z_1{z}_2|$ și $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$.

Rezolvare. $|z_1|=\sqrt{9+16}=5$ și $|z_2|=\sqrt{25+144}=13$. Atunci

$$|z_1{z}_2|=5\cdot 13=65,\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{5}{13}.$$

Verificare pentru produs: $z_1{z}_2=(3-4i)(5+12i)=15+36i-20i+48=63+16i$, cu $|63+16i|=\sqrt{3969+256}=\sqrt{4225}=65$. ✓ Observă câtă muncă am economisit folosind proprietatea în loc de calculul direct.

Exemplul 3 — Puteri mari

Calculați $|(3+4i{)}^{10}|$ și $\left|\frac{(1+i{)}^6}{(3+4i{)}^2}\right|$.

Rezolvare. Cu P5, $|(3+4i{)}^{10}|=5^{10}=9765625$. Pentru al doilea număr combinăm P4 și P5:

$$\left|\frac{(1+i{)}^6}{(3+4i{)}^2}\right|=\frac{|1+i{|}^6}{|3+4i{|}^2}=\frac{(\sqrt{2}{)}^6}{25}=\frac{8}{25}.$$

Niciunul dintre cele două numere nu a fost calculat efectiv — și nici nu era nevoie.

Exemplul 4 — Condiții cu modul

Determinați numerele complexe $z$ pentru care $|z|=13$ și $\mathrm{Im}z=5$.

Rezolvare. Scriem $z=a+5i$. Din $|z|=13$ rezultă $a^2+25=169$, deci $a^2=144$ și $a=\pm 12$. Soluțiile sunt $z=12+5i$ și $z=-12+5i$.

Verificare: $\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$ pentru ambele. ✓ Cele două soluții nu sunt conjugate, ci opuse ca parte reală — atenție, aici s-a fixat partea imaginară, nu cea reală.

Exemplul 5 — Un parametru real

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care $|m+4i|=5$.

Rezolvare. Ridicăm la pătrat: $m^2+16=25$, deci $m^2=9$ și $m\in \{-3,3\}$. Ambele valori convin: $|3+4i|=|-3+4i|=5$. ✓

Reține că am obținut două soluții: ecuația cu modul conduce la o ecuație de gradul al doilea, deci nu te opri la prima valoare găsită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numerele complexe $z_1=3-4i$ și $z_2=5+12i$.

a) Calculați $|z_1|$ și $|z_2|$.

b) Arătați că $|z_1\cdot z_2|=65$.

c) Arătați că numărul $w=\frac{z_1}{\overline{z_1}}$ are modulul egal cu $1$.

Rezolvare. a) $|z_1|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$ și $|z_2|=\sqrt{5^2+12^2}=13$.

b) Din proprietatea modulului produsului, $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|=5\cdot 13=65$.

c) Folosim P4 și P2: $|w|=\frac{|z_1|}{|\overline{z_1}|}=\frac{|z_1|}{|z_1|}=1$, pentru că $|\bar{z}|=|z|$. Raționamentul funcționează pentru orice număr complex nenul, nu doar pentru $z_1$. Control numeric: $\frac{3-4i}{3+4i}=\frac{(3-4i{)}^2}{25}=\frac{-7-24i}{25}$, cu modulul $\frac{25}{25}=1$. ✓

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. Când poți folosi o proprietate a modulului, folosește-o — este mai rapid și mai sigur decât calculul direct.

1. Calculează: a) $|3+4i|$; b) $|5-12i|$; c) $|-8+15i|$; d) $|7-24i|$; e) $|20+21i|$.

2. Calculează: a) $|6|$; b) $|-7|$; c) $|i|$; d) $|-3i|$; e) $|0|$.

3. Pentru $z=-6+8i$, calculează $|z|$, $|\bar{z}|$ și $|-z|$. Ce proprietate ai verificat?

4. Fie $z_1=3+4i$ și $z_2=5+12i$. Calculează $|z_1||z_2|$, apoi efectuează produsul $z_1{z}_2$ și calculează direct $|z_1{z}_2|$.

5. Calculează $|(3+4i{)}^3|$ fără să dezvolți puterea.

6. Calculează $\left|\frac{-33+56i}{5+12i}\right|$ folosind proprietatea câtului.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ are loc $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $|z|=0$, atunci $z=0$."

9. Determină numerele complexe $z$ cu $|z|=5$ și $\mathrm{Re}z=3$.

10. Determină numerele complexe $z$ cu $|z|=13$ și $\mathrm{Im}z=5$.

11. Calculează $\left|\frac{1}{3+4i}\right|$ în două moduri: cu proprietatea inversului și scriind mai întâi inversul în formă algebrică.

12. Demonstrează prin inducție matematică proprietatea $|z^n|=|z{|}^n$, pentru orice $n\ge 1$.

13. (Problemă aplicată.) Într-un circuit de curent alternativ, impedanța este $Z=8+15i$ (ohmi). Amplitudinea ei este, prin definiție, $|Z|$. Calculează această amplitudine, apoi calculează amplitudinea impedanței $Z^2$.

14. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care $|m+4i|=5$.

15. Calculează $|(1+i{)}^8|$ folosind proprietatea puterii, apoi verifică efectuând $(1+i{)}^2$ și ridicând la puterea a patra.

16. Arată că, pentru orice $z\in \mathbb{C}$, are loc $|\mathrm{Re}z|\le |z|$. În ce caz avem egalitate?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z_1=3-4i$ și $z_2=5+12i$. a) Calculați $|z_1|$ și $|z_2|$. b) Arătați că $|z_1{z}_2|=65$. c) Calculați $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$.

18. (Provocare.) Arată că, dacă $|z|=1$, atunci $\frac{1}{z}=\bar{z}$. Deduce apoi că $|z^n|=1$ pentru orice $n\ge 1$ și dă trei exemple de numere complexe cu modulul $1$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\sqrt{25}=5$; b) $\sqrt{169}=13$; c) $\sqrt{289}=17$; d) $\sqrt{625}=25$; e) $\sqrt{841}=29$. Toate ies întregi pentru că perechile de componente sunt pitagoreice.

2. a) $6$; b) $7$; c) $1$; d) $3$; e) $0$. La numere reale modulul complex coincide cu modulul obișnuit, iar la cele pur imaginare este modulul coeficientului.

3. $|z|=\sqrt{36+64}=10$, $|\bar{z}|=|-6-8i|=10$, $|-z|=|6-8i|=10$. Ai verificat proprietatea $|z|=|\bar{z}|=|-z|$: schimbarea semnelor nu modifică pătratele componentelor.

4. $|z_1||z_2|=5\cdot 13=65$. Direct: $z_1{z}_2=15+36i+20i+48i^2=-33+56i$, deci $|z_1{z}_2|=\sqrt{1089+3136}=\sqrt{4225}=65$. Aceleași valori. ✓

5. $|(3+4i{)}^3|=|3+4i{|}^3=5^3=125$. (Control: $(3+4i{)}^3=-117+44i$, iar $\sqrt{13689+1936}=\sqrt{15625}=125$.)

6. $\frac{|-33+56i|}{|5+12i|}=\frac{65}{13}=5$. Se confirmă și direct, pentru că acel cât este $3+4i$, cu modulul $5$.

7. Fals. Contraexemplu: $z_1=1$, $z_2=i$ dau $|1+i|=\sqrt{2}$, în timp ce $|1|+|i|=2$. Corect este doar inegalitatea triunghiului, $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$.

8. Adevărat. $|z|=0$ înseamnă $a^2+b^2=0$; o sumă de pătrate de numere reale se anulează doar când ambele sunt nule, deci $a=b=0$, adică $z=0$.

9. $a=3$, iar din $9+b^2=25$ rezultă $b=\pm 4$. Soluțiile: $z=3+4i$ și $z=3-4i$.

10. $b=5$, iar din $a^2+25=169$ rezultă $a=\pm 12$. Soluțiile: $z=12+5i$ și $z=-12+5i$.

11. Cu proprietatea: $\left|\frac{1}{3+4i}\right|=\frac{1}{|3+4i|}=\frac{1}{5}$. Direct: $\frac{1}{3+4i}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$, cu modulul $\frac{\sqrt{9+16}}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$. ✓

12. Verificarea: $|z^1|=|z|=|z{|}^1$. ✓ Pasul: presupunem $|z^k|=|z{|}^k$; atunci $|z^{k+1}|=|z^k\cdot z|=|z^k|\cdot |z|=|z{|}^k|z|=|z{|}^{k+1}$, unde am folosit proprietatea modulului produsului și ipoteza de inducție. Concluzie prin principiul inducției matematice.

13. $|Z|=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$ (ohmi). Apoi $|Z^2|=|Z{|}^2=289$, fără a calcula $Z^2$.

14. $m^2+16=25\Rightarrow m^2=9\Rightarrow m\in \{-3,3\}$. Ambele convin, pentru că $|3+4i|=|-3+4i|=5$.

15. $|1+i|=\sqrt{2}$, deci $|(1+i{)}^8|=(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$. Verificare: $(1+i{)}^2=1+2i-1=2i$, deci $(1+i{)}^8=(2i{)}^4=16i^4=16$, cu modulul $16$. ✓

16. Din $b^2\ge 0$ rezultă $a^2\le a^2+b^2$, deci $|a|\le \sqrt{a^2+b^2}=|z|$, adică $|\mathrm{Re}z|\le |z|$. Egalitate exact când $b=0$, adică atunci când $z$ este număr real.

17. a) $|z_1|=5$, $|z_2|=13$. b) $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|=65$; se poate confirma și direct, cu $z_1{z}_2=63+16i$ și $\sqrt{3969+256}=65$. c) $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{5}{13}$.

18. Dacă $|z|=1$, atunci $z\bar{z}=|z{|}^2=1$, deci $\bar{z}$ este chiar inversul lui $z$: $\frac{1}{z}=\bar{z}$. Mai departe, $|z^n|=|z{|}^n=1^n=1$. Exemple de numere cu modulul $1$: $i$, $-1$, $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$ (căci $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$) și $\frac{5}{13}-\frac{12}{13}i$.

De reținut

• Definiția: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ pentru $z=a+bi$; modulul este un număr real nenegativ, nul doar pentru $z=0$.
• Relația-cheie: $|z{|}^2=z\bar{z}$ — ea permite demonstrarea proprietăților fără radicali și dă formula inversului, $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$.
• Simetriile: $|z|=|\bar{z}|=|-z|$, iar $|\mathrm{Re}z|\le |z|$ și $|\mathrm{Im}z|\le |z|$.
• Proprietățile multiplicative: $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$, $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ și $|z^n|=|z{|}^n$ — folosește-le ca să eviți calcule lungi.
• La adunare NU avem egalitate, ci doar inegalitatea triunghiului $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$. Geometric, $|z|$ este distanța de la origine până la punctul care reprezintă numărul.

Greșeli frecvente

• Scrii $|z|=a^2+b^2$, uitând radicalul, sau $|z|=a+b$. Formula este $\sqrt{a^2+b^2}$; verifică mereu pe $|3+4i|=5$.
• Iei modulul „pe bucăți" la adunare. $|z_1+z_2|$ nu este $|z_1|+|z_2|$; contraexemplul $1$ și $i$ îl ai la îndemână. Doar înmulțirea, împărțirea și puterea „se rup" frumos.
• Uiți semnul minus la pătrat. În $|3-4i|$ calculezi $3^2+(-4{)}^2=25$, nu $9-16$. Modulul nu poate ieși negativ sau imaginar.
• Te oprești la o singură soluție la ecuațiile cu modul. Din $m^2=9$ rezultă $m=3$ și $m=-3$; ambele trebuie scrise și verificate.
• Aproximezi inutil. $|1+i|=\sqrt{2}$ este răspunsul final; $1,41$ se scrie doar dacă enunțul cere explicit o valoare aproximativă.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de perechi pitagoreice. Găsește cinci numere complexe cu părți întregi și modul întreg, altele decât cele din lecție. Indiciu: pornește de la perechile $(9,40)$, $(11,60)$, $(12,35)$ și de la multiplii perechilor deja știute, cum e $(6,8)$ din $(3,4)$.

2. Puteri fără calcul. Alege $z=2+i$ și calculează $|z|$, apoi prezice, fără să dezvolți, valorile lui $|z^2|$, $|z^3|$ și $|z^4|$. Verifică una dintre ele efectuând puterea și aplicând formula modulului.

3. Harta orașului. Alege pe o hartă a orașului tău un punct de reper drept origine și notează pozițiile a trei locuri familiare ca perechi de deplasări est–nord (de exemplu $3$ km est și $4$ km nord). Scrie fiecare poziție ca număr complex și calculează modulele: obții distanțele în linie dreaptă până la fiecare loc.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce modulul, singura „măsură a mărimii" disponibilă în $\mathbb{C}$, într-o mulțime în care ordinea nu mai există. Miza pedagogică este dublă: pe de o parte formula de calcul, care nu pune probleme, pe de alta relația $|z{|}^2=z\bar{z}$, care transformă demonstrațiile despre module în calcule algebrice fără radicali. Elevul care înțelege această tehnică demonstrează proprietatea produsului în trei rânduri; cel care nu o înțelege se pierde într-o identitate cu patru litere.

Ce verifică lecția: aplicarea corectă a formulei (cu radical și cu pătratele componentelor), folosirea proprietăților multiplicative în locul calculului direct, rezolvarea condițiilor de tipul „$|z|=r$ și $\mathrm{Re}z=a$" cu ambele soluții. Întrebări bune de control: „Cât este $|z|$ dacă $z$ e real negativ?"; „De ce $|z_1+z_2|$ nu este $|z_1|+|z_2|$?"; „Cum calculezi $|(2+i{)}^{10}|$ fără să dezvolți?". Semne că a înțeles: preferă proprietățile calculului brut și nu uită soluția negativă la ecuațiile cu modul.

La Bacalaureat M1, modulul apare la subiectul I în combinație cu conjugatul și cu împărțirea, sub forme de tipul „calculați $|z_1{z}_2|$" sau „determinați $z$ știind că $|z|=\dots$". Din clasa a XI-a încolo aceeași noțiune revine la forma trigonometrică și la formula lui Moivre, unde modulul devine unul dintre cei doi parametri care descriu complet un număr complex.

Întrebări frecvente

Ce este modulul unui număr complex? Este numărul real nenegativ $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, atașat numărului $z=a+bi$. Geometric, el reprezintă distanța de la origine până la punctul de coordonate $(a,b)$, iar algebric verifică relația $|z{|}^2=z\bar{z}$.

Cum calculez modulul lui $3+4i$? Aplici formula: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Atenție să ridici la pătrat ambele componente și să nu uiți radicalul; semnul componentelor nu contează, pentru că se ridică la pătrat.

Este adevărat că modulul produsului este produsul modulelor? Da: $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$, pentru orice numere complexe. Demonstrația folosește $|w{|}^2=w\bar{w}$ și faptul că $\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$. Aceeași proprietate are loc la cât și la putere, dar nu la adunare.

De ce nu putem compara două numere complexe? Pentru că pe $\mathbb{C}$ nu există o relație de ordine compatibilă cu operațiile. Ce putem compara sunt modulele, care sunt numere reale: are sens să spui că $|z_1|<|z_2|$, nu că $z_1<z_2$.

Poate modulul unui număr complex să fie negativ? Nu, niciodată. Modulul este o rădăcină pătrată aritmetică dintr-o sumă de pătrate, deci $|z|\ge 0$, iar $|z|=0$ se întâmplă doar pentru $z=0$.

Cum aflu $|z^{10}|$ fără să calculez puterea? Folosești $|z^n|=|z{|}^n$. De exemplu, $|(3+4i{)}^{10}|=5^{10}$. La fel, modulul unui cât este câtul modulelor, deci expresii complicate cu produse și fracții se evaluează instantaneu.

Ce legătură are modulul cu distanța? $|z|$ este distanța de la origine până la punctul care reprezintă $z$ în plan, iar $|z_1-z_2|$ va fi distanța dintre punctele asociate lui $z_1$ și $z_2$. Din această a doua interpretare se obțin cercurile și mediatoarele descrise prin condiții cu module.