Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice

Legenda spune că inventatorul șahului i-a cerut împăratului o răsplată modestă: un bob de grâu pe primul pătrat al tablei, două pe al doilea, patru pe al treilea și tot așa, dublând până la al șaizeci și patrulea pătrat. Împăratul a acceptat râzând — până când matematicienii curții au făcut socoteala și au descoperit că nu exista atâta grâu în toată lumea. Boabele de pe pătrate formează o progresie geometrică cu $b_{1} = 1$ și $q = 2$ , iar întrebarea „câte boabe în total?" cere altceva decât termenul general: cere suma primilor $n$ termeni.

Aici ai putea spune: adun și gata. Pentru cinci sau șase termeni, merge. Pentru șaizeci și patru, nu. Ne trebuie o formulă, iar deducerea ei folosește un truc de o eleganță pe care merită s-o vezi măcar o dată: înmulțești suma cu rația și o scazi din ea însăși — aproape totul se anulează. Din acest truc rezultă formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , valabilă pentru $q \neq = 1$ , plus un caz special, $q = 1$ , pe care nu ai voie să-l uiți.

Ce vei învăța

Vei ști să deduci formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice, prin trucul înmulțirii cu rația.
Vei ști să aplici formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ pentru $q \neq = 1$ , inclusiv la rații negative sau subunitare.
Vei ști de ce cazul $q = 1$ se tratează separat și că atunci $S_{n} = n \cdot b_{1}$ .
Vei ști să determini numărul de termeni dintr-o sumă dată sau rația, rezolvând ecuația corespunzătoare.
Vei ști să folosești suma în probleme practice: turnee cu eliminare, acumulări care se dublează, totaluri de reduceri succesive.

Hai să descoperim împreună

1. Trucul care face totul să se anuleze

Vrem să calculăm suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice cu primul termen $b_{1}$ și rația $q$ :

$S_{n} = b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} + \dots + b_{1} q^{n - 1} .$

Ideea: înmulțim toată egalitatea cu $q$ . Se obține aproape aceeași sumă, doar deplasată cu un pas:

$q S_{n} = b_{1} q + b_{1} q^{2} + \dots + b_{1} q^{n - 1} + b_{1} q^{n} .$

Scădem acum prima egalitate din a doua. În partea dreaptă, toți termenii de la $b_{1} q$ până la $b_{1} q^{n - 1}$ apar în ambele sume și se anulează; supraviețuiesc doar capetele:

$q S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1} ⟺ S_{n} (q - 1) = b_{1} (q^{n} - 1) .$

Dacă $q \neq = 1$ , putem împărți prin $q - 1$ și obținem formula. Dacă $q = 1$ , împărțirea nu e permisă — de aici cazul special, pe care îl tratăm imediat.

2. Teorema

Teoremă (suma primilor $n$ termeni). Fie $(b_{n})_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu primul termen $b_{1}$ și rația $q$ . Atunci:

$S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = ⎩ ⎨ ⎧ b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}, n \cdot b_{1}, dac \overset{a}{˘} q \neq = 1, dac \overset{a}{˘} q = 1.$

Demonstrația primului caz este calculul de mai sus. Al doilea caz nu are nevoie de niciun calcul: dacă $q = 1$ , toți termenii sunt egali cu $b_{1}$ , iar suma a $n$ numere egale este $n \cdot b_{1}$ . De exemplu, suma primilor $12$ termeni ai progresiei $7, 7, 7, \dots$ este $12 \cdot 7 = 84$ .

Cazul $q = 1$ nu este un detaliu decorativ. Dacă îl uiți și aplici prima formulă, obții $\frac{0}{0}$ — o expresie fără sens. La examen, atunci când rația nu este dată explicit, discuția celor două cazuri aduce puncte separat în barem.

3. Forme echivalente ale formulei

Aceeași formulă se scrie în mai multe feluri, toate corecte. Alege-o pe cea care îți dă calculul cel mai comod:

$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q} .$

A doua formă se obține înmulțind și numărătorul, și numitorul cu $- 1$ . Este preferabilă când $q < 1$ , pentru că atunci ambele paranteze sunt pozitive și eviți lucrul cu două semne minus. De exemplu, pentru $b_{1} = 64$ și $q = \frac{1}{2}$ :

$S_{7} = 64 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{7}}{1 - \frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = 127.$

Verificarea directă confirmă: $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127$ . ✓

Merită să pui alături cele două formule de sumă din capitol, ca să nu le confunzi:

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Termen general	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$	$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$
Suma	$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$	$S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , $q \neq = 1$
Caz special	—	$q = 1$ : $S_{n} = n b_{1}$

Formula sumei pentru progresii aritmetice este demonstrată în Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, iar termenul general al progresiei geometrice în Termenul general al unei progresii geometrice.

4. Calcule model

Suma a $8$ termeni, cu $b_{1} = 3$ și $q = 2$ :

$S_{8} = 3 \cdot \frac{2 ^{8} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765.$

Suma a $6$ termeni, cu $b_{1} = 5$ și $q = 3$ :

$S_{6} = 5 \cdot \frac{3 ^{6} - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 5 \cdot 364 = 1820.$

Suma a $5$ termeni, cu $b_{1} = 2$ și $q = - 3$ : aici e nevoie de grijă la semne, dar formula funcționează nemodificat:

$S_{5} = 2 \cdot \frac{( - 3 ) ^{5} - 1}{- 3 - 1} = 2 \cdot \frac{- 243 - 1}{- 4} = 2 \cdot \frac{- 244}{- 4} = 2 \cdot 61 = 122.$

Verificare prin adunare directă: $2 - 6 + 18 - 54 + 162 = 122$ . ✓ Observă că, la rație negativă, termenii se „bat" între ei, iar suma crește mult mai încet decât la o rație pozitivă de aceeași mărime.

5. Când rația este subunitară: suma care se apropie de o valoare

Un caz cu totul special apare la $0 < q < 1$ : termenii scad, se apropie de zero, iar sumele parțiale se apropie de o valoare pe care nu o depășesc niciodată. Să calculăm suma primilor $10$ termeni ai progresiei $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \dots$ :

$S_{10} = 1 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 2 (1 - \frac{1}{1024}) = \frac{1023}{512} = 1, 998 \dots$

Adăugând tot mai mulți termeni, suma se apropie oricât de mult de $2$ , fără să-l atingă vreodată. Explicația se citește direct în formulă: $S_{n} = 2 (1 - \frac{1}{2 ^{n}})$ , iar $\frac{1}{2 ^{n}}$ devine oricât de mic pentru $n$ mare. Este prima ta întâlnire cu ideea de limită, pe care o vei studia sistematic în clasele următoare; deocamdată reține fenomenul și explicația lui.

6. Problema inversă: câți termeni?

Formula sumei se folosește și „invers": se dă suma și se cere numărul de termeni sau rația.

Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = 2$ , câți termeni trebuie adunați ca să obținem $510$ ?

$2 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 510 ⟺ 2^{n} - 1 = 255 ⟺ 2^{n} = 256 = 2^{8} ⟺ n = 8.$

Verificare: $2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 510$ . ✓

Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 3$ , se știe că $S_{3} = 21$ . Cât este rația?

$3 (1 + q + q^{2}) = 21 ⟺ q^{2} + q - 6 = 0 ⟺ q \in {2, - 3} .$

Atenție: ambele soluții convin. Pentru $q = 2$ progresia începe cu $3, 6, 12$ , iar suma este $21$ ; pentru $q = - 3$ începe cu $3, - 9, 27$ , iar suma este tot $21$ . Când necunoscuta este rația, verifică întotdeauna dacă nu cumva ai două răspunsuri.

7. Înapoi la tabla de șah

Acum putem răspunde la întrebarea din deschidere. Numărul total de boabe de pe cele $64$ de pătrate este

$S_{64} = 1 \cdot \frac{2 ^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 = 18446744073709551615,$

adică vreo $18$ miliarde de miliarde de boabe — de sute de ori producția mondială anuală de grâu. Iar din formulă se citește un fapt uimitor: numărul de boabe de pe ultimul pătrat, $2^{63}$ , este cu unu mai mare decât suma tuturor celorlalte $63$ de pătrate la un loc, care este $2^{63} - 1$ . Aceasta e semnătura creșterii geometrice: ultimul pas cântărește mai mult decât toată istoria de dinaintea lui.

Același tip de calcul apare în situații mult mai pașnice. Într-un turneu cu eliminare directă la care participă $64$ de echipe, în prima rundă se joacă $32$ de meciuri, în a doua $16$ , apoi $8, 4, 2, 1$ : numărul de meciuri formează o progresie geometrică cu $q = \frac{1}{2}$ , iar totalul este

$S_{6} = 32 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = 32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = 63 meciuri .$

Rezultatul are și o explicație fără formule: fiecare meci elimină exact o echipă, iar din $64$ de echipe trebuie eliminate $63$ ca să rămână una campioană.

8. Trei erori care se plătesc

Uitarea cazului $q = 1$ . Dacă rația nu e dată explicit, discută separat situația $q = 1$ ; altfel rezolvarea e incompletă.
Exponentul $n - 1$ în loc de $n$ . În formula sumei apare $q^{n}$ (numărul de termeni), spre deosebire de termenul general, unde apare $q^{n - 1}$ . Confuzia dintre cele două este cea mai frecventă la acest capitol.
Semnele la rație negativă. $(- 3)^{5} = - 243$ , iar numitorul $q - 1 = - 4$ ; cele două minusuri se simplifică. Scrie fiecare pas, nu „din ochi". Dacă vrei să știi când modelezi cu o progresie geometrică și când cu una aritmetică, vezi Aritmetică sau geometrică? Cum alegi modelul potrivit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicarea directă a formulei

Calculați suma primilor $8$ termeni ai progresiei geometrice cu $b_{1} = 3$ și $q = 2$ .

Rezolvare. Cum $q \neq = 1$ , aplicăm formula:

$S_{8} = b_{1} \cdot \frac{q ^{8} - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{2 ^{8} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765.$

Verificare parțială: termenii sunt $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384$ , iar adunarea lor dă într-adevăr $765$ .

Exemplul 2 — O rație mai mare

Calculați $S_{6}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 5$ și $q = 3$ .

Rezolvare.

$S_{6} = 5 \cdot \frac{3 ^{6} - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 5 \cdot 364 = 1820.$

Observă cât de mult contribuie ultimii termeni: singurul termen $b_{6} = 5 \cdot 3^{5} = 1215$ reprezintă aproximativ două treimi din întreaga sumă.

Exemplul 3 — Cazul special $q = 1$

Calculați suma primilor $12$ termeni ai progresiei geometrice cu $b_{1} = 7$ și $q = 1$ .

Rezolvare. Formula cu fracție nu se poate aplica (numitorul $q - 1$ ar fi zero). Fiind $q = 1$ , toți termenii sunt egali cu $7$ , deci

$S_{12} = 12 \cdot 7 = 84.$

Exemplul 4 — Rație negativă

Calculați $S_{5}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = - 3$ .

Rezolvare. Termenii sunt $2, - 6, 18, - 54, 162$ . Aplicăm formula, cu atenție la semne:

$S_{5} = 2 \cdot \frac{( - 3 ) ^{5} - 1}{- 3 - 1} = 2 \cdot \frac{- 244}{- 4} = 2 \cdot 61 = 122.$

Adunarea directă confirmă: $2 - 6 + 18 - 54 + 162 = 122$ . ✓

Exemplul 5 — Aflarea numărului de termeni

Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 2$ și $q = 2$ . Determinați $n$ știind că $S_{n} = 510$ .

Rezolvare.

$2 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 510 ⟺ 2^{n} - 1 = 255 ⟺ 2^{n} = 256.$

Cum $256 = 2^{8}$ , rezultă $n = 8$ . Verificare: $2 + 4 + \dots + 256 = 510$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Fie $(b_{n})_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $b_{1} = 1$ și rația $q = 3$ . a) Calculați $b_{5}$ . b) Calculați $S_{5} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5}$ . c) Determinați numărul natural $n$ pentru care $S_{n} = 364$ .

Rezolvare. a) $b_{5} = 1 \cdot 3^{4} = 81$ .

b) Cu formula sumei, $q \neq = 1$ :

$S_{5} = 1 \cdot \frac{3 ^{5} - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121.$

Verificare: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ . ✓

c) Rezolvăm ecuația:

$\frac{3 ^{n} - 1}{2} = 364 ⟺ 3^{n} - 1 = 728 ⟺ 3^{n} = 729 = 3^{6} ⟺ n = 6.$

Într-adevăr, $121 + 243 = 364$ , deci suma primilor șase termeni este $364$ .

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată formula folosită și verifică, la sumele scurte, prin adunare directă.

1. Calculează suma primilor $5$ termeni ai progresiei geometrice $1, 2, 4, 8, 16$ .

2. Calculează $S_{8}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 3$ și $q = 2$ .

3. Calculează $S_{6}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 5$ și $q = 3$ .

4. Calculează $S_{7}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 64$ și $q = \frac{1}{2}$ .

5. Calculează $S_{5}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 2$ și $q = - 3$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formula $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ se poate folosi pentru orice progresie geometrică."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă rația unei progresii geometrice este $1$ , atunci suma primilor $n$ termeni este $n \cdot b_{1}$ ."

8. Calculează suma primilor $12$ termeni ai progresiei geometrice cu $b_{1} = 7$ și $q = 1$ .

9. Într-o progresie geometrică, $b_{1} = 2$ și $q = 2$ . Determină $n$ pentru care $S_{n} = 510$ .

10. Calculează $1 + 3 + 9 + 27 + 81$ folosind formula sumei, apoi determină $n$ pentru care $1 + 3 + \dots + 3^{n - 1} = 364$ .

11. Calculează suma primilor $10$ termeni ai progresiei geometrice $1, 2, 4, 8, \dots$ și compar-o cu al unsprezecelea termen.

12. (Problemă aplicată.) Cineva pune deoparte $1$ ban în prima zi, $2$ bani în a doua, $4$ bani în a treia și așa mai departe, dublând în fiecare zi. Câți bani are strânși după $15$ zile? Exprimă rezultatul și în lei.

13. (Problemă aplicată.) La un turneu cu eliminare directă participă $64$ de echipe: în fiecare rundă se joacă meciuri în care jumătate dintre echipe sunt eliminate. Câte meciuri se joacă în total? Verifică rezultatul și printr-un raționament fără formule.

14. Calculează $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{512}$ (zece termeni) și explică de ce suma nu poate atinge $2$ , oricâți termeni am adăuga.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Fie $(b_{n})_{n \geq 1}$ o progresie geometrică cu $b_{1} = 1$ și $q = 3$ . a) Calculați $b_{5}$ . b) Calculați $S_{5}$ .

16. Calculează $S_{4}$ pentru progresia geometrică cu $b_{1} = 4$ și $q = 3$ , apoi verifică prin adunare directă.

17. Într-o progresie geometrică cu $b_{1} = 3$ se știe că $S_{3} = 21$ . Determină toate valorile posibile ale rației și scrie progresiile corespunzătoare.

18. (Provocare.) Pe o tablă de șah se pune $1$ bob de grâu pe primul pătrat și, pe fiecare pătrat următor, de două ori mai multe boabe decât pe precedentul. a) Scrie, sub formă de putere, numărul total de boabe de pe tablă. b) Arată că numărul boabelor de pe ultimul pătrat este cu $1$ mai mare decât suma boabelor de pe toate celelalte pătrate.

Răspunsuri și explicații

1. $S_{5} = 1 \cdot \frac{2 ^{5} - 1}{2 - 1} = 31$ (verificare: $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ ).

2. $S_{8} = 3 \cdot \frac{2 ^{8} - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765$ .

3. $S_{6} = 5 \cdot \frac{3 ^{6} - 1}{2} = 5 \cdot 364 = 1820$ .

4. $S_{7} = 64 \cdot \frac{1 - ( 1/2 ) ^{7}}{1 - 1/2} = 64 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = 127$ (verificare: $64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127$ ).

5. $S_{5} = 2 \cdot \frac{( - 3 ) ^{5} - 1}{- 3 - 1} = 2 \cdot \frac{- 244}{- 4} = 122$ (verificare: $2 - 6 + 18 - 54 + 162 = 122$ ).

6. Fals. Formula cere $q \neq = 1$ , altfel numitorul $q - 1$ ar fi zero, iar împărțirea nu are sens. Pentru $q = 1$ se folosește $S_{n} = n \cdot b_{1}$ .

7. Adevărat. Dacă $q = 1$ , atunci $b_{n} = b_{1} \cdot 1^{n - 1} = b_{1}$ pentru orice $n$ : toți termenii sunt egali, iar suma a $n$ numere egale cu $b_{1}$ este $n b_{1}$ .

8. Rația fiind $1$ , toți termenii sunt $7$ , deci $S_{12} = 12 \cdot 7 = 84$ .

9. $2 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{1} = 510 \Rightarrow 2^{n} - 1 = 255 \Rightarrow 2^{n} = 256 = 2^{8} \Rightarrow n = 8$ .

10. $S_{5} = \frac{3 ^{5} - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121$ . Pentru a doua parte: $\frac{3 ^{n} - 1}{2} = 364 \Rightarrow 3^{n} = 729 = 3^{6} \Rightarrow n = 6$ .

11. $S_{10} = \frac{2 ^{10} - 1}{1} = 1023$ , iar $b_{11} = 2^{10} = 1024$ . Suma primilor zece termeni este cu exact $1$ mai mică decât termenul următor — proprietate valabilă pentru toate sumele de puteri ale lui $2$ începând cu $1$ .

12. Sumele zilnice formează o progresie geometrică cu $b_{1} = 1$ și $q = 2$ , deci $S_{15} = \frac{2 ^{15} - 1}{1} = 32767$ bani, adică $327, 67$ lei. Din acest total, ceva mai mult de jumătate provine din ultima zi singură ( $16384$ de bani, adică $163, 84$ lei) — o ilustrare perfectă a faptului că, într-o progresie geometrică cu rația $2$ , ultimul termen cântărește mai mult decât toți ceilalți la un loc.

13. Numerele de meciuri sunt $32, 16, 8, 4, 2, 1$ : progresie geometrică cu $b_{1} = 32$ , $q = \frac{1}{2}$ , $n = 6$ . Suma: $S_{6} = 32 \cdot \frac{1 - ( 1/2 ) ^{6}}{1/2} = 63$ de meciuri. Raționamentul fără formule: fiecare meci elimină exact o echipă, iar din $64$ de echipe trebuie eliminate $63$ pentru a rămâne câștigătoarea.

14. $S_{10} = \frac{1 - ( 1/2 ) ^{10}}{1 - 1/2} = 2 (1 - \frac{1}{1024}) = \frac{1023}{512} = 1, 998 \dots$ În general $S_{n} = 2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ , deci suma este mereu mai mică decât $2$ ; adăugând termeni, diferența față de $2$ se micșorează oricât de mult, dar nu devine niciodată zero.

15. a) $b_{5} = 3^{4} = 81$ . b) $S_{5} = \frac{3 ^{5} - 1}{2} = 121$ (verificare: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ ).

16. $S_{4} = 4 \cdot \frac{3 ^{4} - 1}{2} = 4 \cdot \frac{80}{2} = 160$ ; direct: $4 + 12 + 36 + 108 = 160$ . ✓

17. $S_{3} = b_{1} (1 + q + q^{2}) = 21$ , deci $3 (1 + q + q^{2}) = 21$ , adică $q^{2} + q - 6 = 0$ , cu soluțiile $q = 2$ și $q = - 3$ . Ambele convin: pentru $q = 2$ progresia este $3, 6, 12, \dots$ (suma $21$ ), iar pentru $q = - 3$ este $3, - 9, 27, \dots$ (suma $3 - 9 + 27 = 21$ ).

18. a) Numărul total este $S_{64} = 1 \cdot \frac{2 ^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$ boabe (aproximativ $1, 8 \cdot 1 0^{19}$ ). b) Pe ultimul pătrat sunt $b_{64} = 2^{63}$ boabe, iar suma celor de pe primele $63$ de pătrate este $S_{63} = 2^{63} - 1$ . Diferența $b_{64} - S_{63} = 2^{63} - (2^{63} - 1) = 1$ , deci ultimul pătrat conține cu un bob mai mult decât toate celelalte la un loc.

De reținut

Formula sumei: pentru $q \neq = 1$ , $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ ; a doua formă e mai comodă când $q < 1$ .
Cazul $q = 1$ se tratează separat: toți termenii sunt egali cu $b_{1}$ , deci $S_{n} = n \cdot b_{1}$ . Formula cu fracție nu se poate aplica, fiindcă numitorul ar fi zero.
Formula se deduce prin trucul înmulțirii cu rația: din $q S_{n} - S_{n}$ se anulează toți termenii din interior și rămân doar $b_{1} q^{n} - b_{1}$ .
Atenție la exponent: în suma primilor $n$ termeni apare $q^{n}$ , în timp ce în termenul general apare $q^{n - 1}$ .
Formula funcționează și „invers": din suma dată poți afla numărul de termeni (aducând la aceeași bază) sau rația (rezolvând o ecuație, care poate avea două soluții).

Greșeli frecvente

Aplicarea formulei când $q = 1$ . Se obține $\frac{0}{0}$ , adică nimic. Când rația nu este dată numeric, discută explicit cele două cazuri.
Confuzia $q^{n}$ cu $q^{n - 1}$ . În sumă exponentul este numărul de termeni, $n$ ; în termenul general este $n - 1$ . Un test rapid: pentru $n = 1$ , formula sumei trebuie să dea $b_{1} \cdot \frac{q - 1}{q - 1} = b_{1}$ .
Greșeli de semn la rație negativă. $(- 3)^{5} = - 243$ (exponent impar), nu $243$ ; iar numitorul $q - 1$ devine tot negativ. Scrie fiecare paranteză.
Numărarea greșită a termenilor. Suma $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10}$ are $10$ termeni, dar suma $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$ are $11$ termeni (primul are exponentul $0$ ). Numără atent înainte de a alege $n$ .
Oprirea la o singură soluție pentru rație. Ecuațiile de tipul $q^{2} + q - 6 = 0$ au două rădăcini, iar amândouă pot da progresii valabile; verifică-le pe rând în enunț.

Aplică acasă

Turneul din curte. Organizează (sau imaginează) un turneu cu eliminare directă cu $16$ participanți. Scrie numărul de meciuri din fiecare rundă, verifică prin rapoarte că formează o progresie geometrică și calculează totalul cu formula sumei. Compară rezultatul cu numărul de participanți minus unu.
Provocarea dublării. Pornind de la $1$ ban în prima zi și dublând zilnic, calculează cu formula sumei cât ai strânge în $20$ de zile și în $25$ de zile. Compară cele două rezultate: de câte ori crește totalul pentru încă cinci zile de dublare?
Fracțiile care se apropie de $2$ . Desenează un segment de lungime $2$ și marchează pe el, unul după altul, segmente de lungimi $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ . Calculează suma cu formula după fiecare pas și observă cum se umple segmentul fără să fie vreodată depășit capătul.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează aparatul progresiei geometrice cu formula sumei, cerută explicit de programa clasei a IX-a. Elevul trebuie să rețină trei lucruri: deducerea prin înmulțirea cu rația (care explică de ce apare $q^{n}$ la numărător), formula pentru $q \neq = 1$ și tratarea separată a cazului $q = 1$ . Ultimul punct este cel mai des uitat și e sancționat în barem ori de câte ori rația nu este dată numeric.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie formula înainte de a înlocui; (2) folosește $q^{n}$ în sumă și $q^{n - 1}$ în termenul general; (3) numără corect termenii, mai ales când suma este scrisă cu puteri începând de la exponentul $0$ ; (4) la rații negative pune parantezele și duce semnele până la capăt; (5) când necunoscuta este rația, caută toate soluțiile ecuației. Întrebări bune de control: „De ce nu putem folosi formula pentru $q = 1$ ?", „De unde vine exponentul $n$ la numărător?", „Câți termeni are suma $1 + 2 + \dots + 2^{10}$ ?".

La teze și la Bacalaureat, exercițiul tipic dă primul termen și rația și cere o sumă, sau dă suma și cere numărul de termeni; apar frecvent și sume mixte, în care o parte se calculează cu formula progresiei aritmetice, iar alta cu cea geometrică. Semne că elevul a înțeles: poate reface singur deducerea prin scădere, explică de ce ultimul termen al unei progresii cu $q = 2$ depășește suma tuturor celor dinaintea lui și nu confundă cele două formule de sumă din capitol.

Întrebări frecvente

Care este formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice? Pentru $q \neq = 1$ , formula este $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , unde $b_{1}$ este primul termen, $q$ rația și $n$ numărul de termeni. Se poate scrie și sub forma echivalentă $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{1 - q ^{n}}{1 - q}$ , mai comodă când rația este subunitară.

De ce cazul $q = 1$ se tratează separat? Pentru că numitorul $q - 1$ ar deveni zero, iar împărțirea la zero nu este definită. Când $q = 1$ , toți termenii progresiei sunt egali cu $b_{1}$ , deci suma lor este pur și simplu $S_{n} = n \cdot b_{1}$ .

Cum se demonstrează formula sumei? Se scrie $S_{n}$ , se înmulțește egalitatea cu $q$ și se scad cele două relații. Termenii din interior se anulează, rămânând $q S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1}$ , adică $S_{n} (q - 1) = b_{1} (q^{n} - 1)$ ; împărțind prin $q - 1$ (posibil doar dacă $q \neq = 1$ ) se obține formula.

Care e diferența dintre exponentul din formula sumei și cel din termenul general? În termenul general apare $q^{n - 1}$ , pentru că de la primul la al $n$ -lea termen se fac $n - 1$ înmulțiri. În formula sumei apare $q^{n}$ , unde $n$ este chiar numărul de termeni adunați. Confuzia dintre cele două este cea mai frecventă greșeală a capitolului.

Cum aflu câți termeni am adunat, dacă știu suma? Înlocuiești datele cunoscute în formula sumei, izolezi puterea $q^{n}$ și scrii ambii membri ca puteri ale aceleiași baze. De exemplu, din $2 \cdot \frac{2 ^{n} - 1}{1} = 510$ obții $2^{n} = 256 = 2^{8}$ , deci $n = 8$ .

Formula merge și pentru rații negative? Da, fără nicio modificare; trebuie doar respectate regulile de semn. De exemplu, pentru $b_{1} = 2$ și $q = - 3$ avem $S_{5} = 2 \cdot \frac{( - 3 ) ^{5} - 1}{- 3 - 1} = 122$ , rezultat confirmat prin adunarea directă a termenilor $2, - 6, 18, - 54, 162$ .

De ce suma $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ nu trece niciodată de $2$ ? Pentru că, aplicând formula, suma primilor $n$ termeni este $2 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}$ , adică mereu cu ceva mai mică decât $2$ . Cu cât adaugi mai mulți termeni, cu atât acel „ceva" devine mai mic, dar el nu ajunge niciodată exact zero.