Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Se povestește că, pe la anul $1785$, un învățător german a vrut să câștige o oră de liniște și le-a cerut elevilor să adune toate numerele de la $1$ la $100$. După câteva secunde, un băiat de opt ani a pus tăblița pe catedră cu un singur număr scris pe ea: $5050$. Îl chema Carl Friedrich Gauss și avea să devină unul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii. Ce văzuse el în câteva secunde nu era un truc de calcul rapid, ci o structură: dacă împerechezi primul număr cu ultimul, al doilea cu penultimul și așa mai departe, toate perechile dau aceeași sumă.

$$1+100=101,2+99=101,3+98=101,\dots$$

Sunt $50$ de astfel de perechi, deci totalul este $50\cdot 101=5050$. Ideea lui Gauss funcționează pentru orice progresie aritmetică, nu doar pentru $1,2,3,\dots$ — și exact asta vom demonstra în această lecție. Din Termenul general al unei progresii aritmetice știi să afli orice termen; acum vei ști să aduni oricâți termeni deodată, cu un singur calcul. Este instrumentul care răspunde la întrebări de tipul „câte scaune are toată sala", „cât am economisit în total într-un an" sau „câți bușteni sunt în stivă".

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să folosești formula $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$ pentru suma primilor $n$ termeni.
• Vei ști cea de-a doua formă a formulei, $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}$, și vei ști când e mai comodă fiecare.
• Vei ști să calculezi sume de tipul $1+2+\cdots +n$, sume de numere pare, impare sau multipli.
• Vei ști să afli câți termeni trebuie adunați pentru a obține o sumă dată, rezolvând o ecuație de gradul al doilea.
• Vei ști să calculezi sume parțiale de tipul $a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{30}$, folosind diferența $S_{30}-S_{10}$.
• Vei ști să rezolvi probleme practice de totalizare: locuri într-o sală, economii cumulate, producție acumulată.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea lui Gauss, scrisă o dată pentru totdeauna

Notăm cu $S_n$ suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice:

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n.$$

Trucul lui Gauss se scrie elegant așa: scriem suma de două ori, a doua oară în ordine inversă, și adunăm coloană cu coloană.

Adunând cele două rânduri, obținem în stânga $2S_n$, iar în dreapta $n$ paranteze de forma $a_1+a_n$, $a_2+a_{n-1}$, $a_3+a_{n-2}$ și așa mai departe. Aici intervine miracolul: toate aceste paranteze sunt egale.

De ce? Pentru că, într-o progresie aritmetică, dacă un termen urcă cu un pas, perechea lui coboară cu exact un pas. Riguros: $a_k=a_1+(k-1)r$ și $a_{n-k+1}=a_1+(n-k)r$, deci

$$a_k+a_{n-k+1}=2a_1+(k-1+n-k)r=2a_1+(n-1)r=a_1+a_n.$$

Rezultatul nu depinde de $k$ — este mereu $a_1+a_n$. Prin urmare $2S_n=n(a_1+a_n)$, adică:

Teoremă. Pentru orice progresie aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ și orice $n\ge 1$:

$$\boxed{S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}}$$

Formula se citește foarte natural: suma este media dintre primul și ultimul termen, înmulțită cu numărul de termeni. Sau, dacă preferi imaginea: o progresie aritmetică se comportă, la totalizare, exact ca și cum toți termenii ei ar fi egali cu media dintre capete.

2. A doua formă a formulei

Uneori nu cunoaștem ultimul termen $a_n$, ci doar $a_1$ și $r$. Nu-i nimic: îl înlocuim din formula termenului general, $a_n=a_1+(n-1)r$:

$$S_n=\frac{[a_1+a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}.$$

Ai deci două formule pentru același lucru, iar alegerea e o chestiune de comoditate:

• dacă știi primul și ultimul termen, folosește $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$;
• dacă știi primul termen și rația, folosește $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}$.

În practică, mulți elevi preferă prima formulă întotdeauna: calculează mai întâi $a_n$ cu formula termenului general și apoi aplică suma. Este o strategie perfect bună și mai puțin predispusă la greșeli de calcul, cu condiția să nu uite primul pas.

Exemplu. Progresie cu $a_1=3$ și $r=5$; calculăm $S_{20}$.

Cu prima formulă: $a_{20}=3+19\cdot 5=98$, deci $S_{20}=\frac{(3+98)\cdot 20}{2}=101\cdot 10=1010$.

Cu a doua formulă: $S_{20}=\frac{[2\cdot 3+19\cdot 5]\cdot 20}{2}=\frac{101\cdot 20}{2}=1010$ ✓ — același rezultat, cum era de așteptat.

3. Sumele clasice pe care merită să le recunoști

Câteva sume apar atât de des, încât e util să le ai la degetul mic. Toate se obțin din formula generală.

Suma primelor $n$ numere naturale. Aici $a_1=1$, $a_n=n$, deci

$$1+2+3+\cdots +n=\frac{(1+n)\cdot n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Este chiar formula demonstrată prin inducție în lecția Metoda inducției matematice — acum ai și a doua demonstrație a ei, prin împerechere. Pentru $n=100$ regăsim $\frac{100\cdot 101}{2}=5050$, rezultatul micului Gauss.

Suma primelor $n$ numere pare. $2+4+\cdots +2n=\frac{(2+2n)n}{2}=n(n+1)$. De exemplu, $2+4+\cdots +100$ are $50$ de termeni și dă $50\cdot 51=2550$.

Suma primelor $n$ numere impare. $1+3+\cdots +(2n-1)=\frac{(1+2n-1)n}{2}=n^2$. Este una dintre cele mai frumoase formule din matematica elementară: suma primelor $n$ impare este exact $n^2$. Pentru $1+3+\cdots +99$ avem $50$ de termeni, deci suma este $50^2=2500$.

Suma multiplilor unui număr. De exemplu, multiplii lui $7$ până la $200$ sunt $7,14,\dots ,196$. Câți sunt? Din $7+7(n-1)=196$ obținem $n=28$. Suma este $\frac{(7+196)\cdot 28}{2}=203\cdot 14=2842$.

Observă tiparul comun al ultimului exemplu, cel mai des întâlnit la teze: întâi afli câți termeni sunt, apoi aplici formula sumei. Numărul de termeni se obține din formula termenului general, iar uitarea acestui prim pas este cauza celor mai multe erori.

4. Sume parțiale: de la un rang la altul

Cum calculăm $a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{30}$, adică o sumă care nu începe de la primul termen? Sunt două căi, ambele corecte.

Calea 1 — prin diferența sumelor. Observă că $S_{30}$ conține toți termenii de la $1$ la $30$, iar $S_{10}$ îi conține pe cei de la $1$ la $10$. Diferența lor păstrează exact termenii de la $11$ la $30$:

$$a_{11}+\cdots +a_{30}=S_{30}-S_{10}.$$

Calea 2 — ca sumă a unei progresii care începe la rangul 11. Termenii $a_{11},a_{12},\dots ,a_{30}$ formează ei înșiși o progresie aritmetică, cu aceeași rație, cu primul termen $a_{11}$ și cu $30-11+1=20$ de termeni. Aplicăm formula sumei direct pentru această progresie.

Exemplu. Fie progresia $a_n=3n+1$ (deci $a_1=4$, $r=3$). Calculăm $a_{11}+\cdots +a_{30}$.

Calea 1: $a_{30}=91$, deci $S_{30}=\frac{(4+91)\cdot 30}{2}=95\cdot 15=1425$; $a_{10}=31$, deci $S_{10}=\frac{(4+31)\cdot 10}{2}=175$. Diferența: $1425-175=1250$.

Calea 2: $a_{11}=34$, $a_{30}=91$, numărul de termeni este $20$, deci suma este $\frac{(34+91)\cdot 20}{2}=125\cdot 10=1250$ ✓.

Reține numărul de termeni de la rangul $p$ la rangul $q$: este $q-p+1$, nu $q-p$. Este aceeași socoteală a stâlpilor de gard din lecția precedentă, și tot acolo se pierd cele mai multe puncte.

5. Câți termeni trebuie adunați? Ecuația de gradul al doilea

Un tip de problemă merită tratat separat, pentru că aduce o noutate: se dă suma și se cere numărul de termeni.

Exemplu. Câți termeni ai progresiei $2,5,8,11,\dots$ trebuie adunați pentru a obține $155$?

Avem $a_1=2$, $r=3$. Folosim a doua formulă:

$$S_n=\frac{[4+3(n-1)]n}{2}=\frac{(3n+1)n}{2}.$$

Punem condiția $S_n=155$:

$$\frac{n(3n+1)}{2}=155⟺3n^2+n-310=0.$$

Rezolvăm: $\Delta =1+4\cdot 3\cdot 310=3721=61^2$, deci $n=\frac{-1\pm 61}{6}$. Cele două soluții sunt $n=10$ și $n=-\frac{62}{6}$. A doua se respinge — rangul trebuie să fie număr natural nenul. Deci trebuie adunați $10$ termeni. Verificare: $a_{10}=29$, iar $\frac{(2+29)\cdot 10}{2}=155$ ✓.

Reține structura: $S_n$ este o expresie de gradul al doilea în $n$, deci ecuația $S_n=$ valoare are, în general, două soluții, dintre care se păstrează cea naturală. Dacă niciuna nu e naturală, răspunsul corect este că suma cerută nu poate fi atinsă exact.

O variantă mai blândă a acestei probleme cere „cel mai mic $n$ pentru care $S_n$ depășește o valoare". Atunci rezolvi inecuația, sau — perfect acceptabil la clasă — încerci câteva valori în jurul estimării și verifici vecinii.

6. Ce se întâmplă când rația este negativă

La progresiile descrescătoare apare o întrebare interesantă: suma nu crește la nesfârșit. Odată ce termenii devin negativi, fiecare termen adăugat micșorează totalul.

Exemplu. Fie progresia cu $a_1=50$ și $r=-3$: $50,47,44,\dots$ Până unde termenii rămân pozitivi? Din $50-3(n-1)>0$ obținem $n-1<\frac{50}{3}\approx 16,67$, deci $n\le 17$; într-adevăr, $a_{17}=50-48=2>0$ și $a_{18}=-1<0$.

Prin urmare suma este maximă la $n=17$:

$$S_{17}=\frac{(50+2)\cdot 17}{2}=26\cdot 17=442.$$

De la $n=18$ încolo, sumele scad. Este exact ce se întâmplă într-un model practic: dacă un stoc scade cu o cantitate fixă, „totalul consumat" nu mai crește după ce stocul se termină — modelul matematic continuă, dar realitatea nu.

7. Formula sumei în probleme practice

Formula sumei răspunde întotdeauna la aceeași întrebare: cât face totul la un loc?

Câte locuri are sala. Primul rând are $18$ scaune, fiecare rând următor cu $2$ mai mult, sunt $15$ rânduri. Ultimul rând: $a_{15}=18+14\cdot 2=46$ de scaune. Total:

$$S_{15}=\frac{(18+46)\cdot 15}{2}=64\cdot \frac{15}{2}=480\text{ de locuri}.$$

Cât am economisit. Pui deoparte $50$ de lei în prima lună și cu $10$ lei mai mult în fiecare lună următoare. După un an: $a_{12}=50+11\cdot 10=160$ de lei în ultima lună, iar totalul este

$$S_{12}=\frac{(50+160)\cdot 12}{2}=210\cdot 6=1260\text{ de lei}.$$

Merită subliniat contrastul: în ultima lună pui $160$ de lei, dar totalul anului nu este $12\cdot 160$, ci mult mai puțin — pentru că lunile de la început au fost mai modeste. Confuzia dintre „ultimul termen" și „media" este una dintre capcanele preferate ale problemelor de acest tip.

Cât produce o echipă. O echipă asamblează $12$ piese în prima zi și cu $2$ piese mai mult în fiecare zi. În $20$ de zile: $a_{20}=12+19\cdot 2=50$, iar totalul este $\frac{(12+50)\cdot 20}{2}=62\cdot 10=620$ de piese.

Cum se recunosc astfel de situații în enunț, cum se decide dacă se cere un termen sau o sumă și cum se traduce corect rangul — despre toate acestea vom vorbi sistematic în Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma directă

Calculați suma primilor $20$ de termeni ai progresiei aritmetice cu $a_1=3$ și $r=4$.

Rezolvare. Aflăm mai întâi ultimul termen: $a_{20}=3+19\cdot 4=3+76=79$. Apoi

$$S_{20}=\frac{(3+79)\cdot 20}{2}=\frac{82\cdot 20}{2}=82\cdot 10=820.$$

Verificare cu a doua formulă: $S_{20}=\frac{[6+19\cdot 4]\cdot 20}{2}=\frac{82\cdot 20}{2}=820$ ✓.

Exemplul 2 — Sumă cu rație negativă

Calculați $S_{12}$ pentru progresia aritmetică cu $a_1=40$ și $r=-3$.

Rezolvare. $a_{12}=40+11\cdot (-3)=40-33=7$. Deci

$$S_{12}=\frac{(40+7)\cdot 12}{2}=47\cdot 6=282.$$

Toți cei $12$ termeni sunt pozitivi (ultimul este $7$), deci suma are sens și ca „total acumulat".

Exemplul 3 — O sumă cu număr necunoscut de termeni

Calculați suma $3+6+9+\cdots +90$.

Rezolvare. Termenii formează o progresie aritmetică cu $a_1=3$ și $r=3$. Aflăm câți sunt:

$$3+3(n-1)=90⟺3(n-1)=87⟺n=30.$$

Apoi $S_{30}=\frac{(3+90)\cdot 30}{2}=93\cdot 15=1395$.

Pasul care se uită cel mai des este primul: fără să afli $n=30$, formula sumei nu se poate aplica.

Exemplul 4 — Aflarea rației din sumă

Într-o progresie aritmetică se cunosc $a_1=2$ și $S_{10}=155$. Determinați rația.

Rezolvare. Folosim a doua formă a formulei:

$$S_{10}=\frac{[2\cdot 2+9r]\cdot 10}{2}=5(4+9r).$$

Din $5(4+9r)=155$ obținem $4+9r=31$, deci $9r=27$ și $r=3$.

Verificare: progresia este $2,5,8,\dots$, cu $a_{10}=29$, iar $\frac{(2+29)\cdot 10}{2}=155$ ✓.

Exemplul 5 — Câte zile de lucru

O echipă asamblează $12$ piese în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu $2$ piese mai mult decât în ziua precedentă. După câte zile ajunge la cel puțin $500$ de piese asamblate în total?

Rezolvare. Avem $a_1=12$, $r=2$, deci

$$S_n=\frac{[24+2(n-1)]n}{2}=\frac{(2n+22)n}{2}=n(n+11).$$

Cerem $n(n+11)\ge 500$. Încercăm valori: pentru $n=17$ obținem $17\cdot 28=476<500$; pentru $n=18$ obținem $18\cdot 29=522\ge 500$. Deci după $18$ zile. (Riguros, rezolvând $n^2+11n-500\ge 0$ se ajunge la aceeași concluzie, cu $n\ge 17,4\dots$)

Verificarea celor doi vecini, $17$ și $18$, nu e un moft: ea garantează că $18$ este chiar primul rang care satisface cerința.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=6$ și rația $r=4$.

a) Calculați $a_{10}$. b) Calculați $S_{10}=a_1+a_2+\cdots +a_{10}$. c) Determinați cel mai mic număr natural $n$ pentru care $S_n>500$.

Rezolvare. a) $a_{10}=6+9\cdot 4=6+36=42$.

b) $S_{10}=\frac{(6+42)\cdot 10}{2}=\frac{48\cdot 10}{2}=240$.

c) Scriem suma în funcție de $n$:

$$S_n=\frac{[12+4(n-1)]n}{2}=\frac{(4n+8)n}{2}=2n(n+2).$$

Cerem $2n(n+2)>500$, adică $n(n+2)>250$. Pentru $n=14$: $14\cdot 16=224<250$, deci $S_{14}=448$. Pentru $n=15$: $15\cdot 17=255>250$, deci $S_{15}=510>500$ ✓. Cel mai mic $n$ este $15$.

Structura celor trei puncte — un termen, o sumă, o condiție pe sumă — este exact formatul standard al subiectelor de examen pe această temă.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de a aplica formula sumei, scrie clar ce ai: $a_1$, $r$ sau $a_n$, și mai ales câți termeni aduni. Dacă numărul de termeni nu e dat, el este primul lucru de aflat.

1. Calculează $1+2+3+\cdots +50$.

2. Calculează $S_{20}$ pentru progresia aritmetică cu $a_1=3$ și $r=4$.

3. Calculează suma primilor $15$ termeni ai progresiei $÷2,7,12,\dots$

4. Calculează $S_{12}$ pentru progresia aritmetică cu $a_1=40$ și $r=-3$.

5. Calculează suma $3+6+9+\cdots +90$.

6. Calculează suma tuturor numerelor impare de la $1$ la $99$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma $S_n$ a primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice crește întotdeauna atunci când $n$ crește."

8. Într-o progresie aritmetică se știe că $a_1=4$, $a_n=56$ și $S_n=420$. Determină $n$ și apoi rația.

9. Câți termeni ai progresiei aritmetice $÷2,5,8,\dots$ trebuie adunați pentru a obține suma $155$?

10. (Problemă aplicată.) Într-o sală de spectacole, primul rând are $20$ de locuri și fiecare rând următor are cu $3$ locuri mai mult decât precedentul. Câte locuri are sala, dacă are $18$ rânduri?

11. (Problemă aplicată.) Un elev pune deoparte $80$ de lei în ianuarie și, în fiecare lună următoare, cu $15$ lei mai mult decât în luna precedentă. Cât a economisit în total în cele $12$ luni ale anului?

12. Pentru șirul $a_n=4n+1$, calculează suma $a_{11}+a_{12}+\cdots +a_{25}$.

13. Într-o progresie aritmetică, $a_1=2$ și $S_{10}=155$. Determină rația.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice este egală cu $n$ înmulțit cu media aritmetică a primului și ultimului termen."

15. Calculează suma tuturor multiplilor lui $7$ cuprinși între $1$ și $200$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră progresia aritmetică cu $a_1=6$ și $r=4$. a) Calculați $a_{10}$. b) Calculați $S_{10}$. c) Determinați cel mai mic număr natural $n$ pentru care $S_n>500$.

17. (Problemă aplicată.) O echipă asamblează $12$ piese în prima zi și cu $2$ piese mai mult în fiecare zi următoare. a) Câte piese asamblează în $20$ de zile? b) După câte zile ajunge la cel puțin $500$ de piese în total?

18. (Provocare.) Într-o progresie aritmetică se cunosc $S_{10}=100$ și $S_{20}=400$. Determină $a_1$ și rația $r$.

Răspunsuri și explicații

1. $1+2+\cdots +50=\frac{50\cdot 51}{2}=1275$. (Formula sumei lui Gauss, caz particular cu $a_1=1$, $a_n=50$.)

2. $a_{20}=3+19\cdot 4=79$, deci $S_{20}=\frac{(3+79)\cdot 20}{2}=82\cdot 10=820$.

3. $a_1=2$, $r=5$, deci $a_{15}=2+14\cdot 5=72$ și $S_{15}=\frac{(2+72)\cdot 15}{2}=74\cdot \frac{15}{2}=555$.

4. $a_{12}=40-33=7$, deci $S_{12}=\frac{(40+7)\cdot 12}{2}=47\cdot 6=282$.

5. Numărul de termeni: $3+3(n-1)=90\Rightarrow n=30$. Suma: $\frac{(3+90)\cdot 30}{2}=93\cdot 15=1395$.

6. Numerele impare de la $1$ la $99$ formează o progresie cu $a_1=1$, $r=2$; din $1+2(n-1)=99$ rezultă $n=50$. Suma este $\frac{(1+99)\cdot 50}{2}=50\cdot 50=2500$, adică $50^2$ — regăsim formula „suma primelor $n$ impare este $n^2$".

7. Fals. Dacă termenii sunt negativi, adăugarea lor micșorează suma. De exemplu, pentru $a_1=-5$ și $r=-2$ avem $S_1=-5$, iar $S_2=-5+(-7)=-12<S_1$. Suma crește doar cât timp termenii adăugați sunt pozitivi.

8. Din $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$ obținem $\frac{(4+56)n}{2}=420$, adică $30n=420$ și $n=14$. Rația: din $a_{14}=a_1+13r$ rezultă $56=4+13r$, deci $13r=52$ și $r=4$.

9. $a_1=2$, $r=3$, deci $S_n=\frac{(3n+1)n}{2}$. Din $\frac{n(3n+1)}{2}=155$ obținem $3n^2+n-310=0$, cu $\Delta =3721=61^2$ și soluțiile $n=10$ și $n=-\frac{31}{3}$. Se păstrează $n=10$ (rangul trebuie să fie natural nenul). Verificare: $a_{10}=29$ și $\frac{(2+29)\cdot 10}{2}=155$ ✓.

10. $a_{18}=20+17\cdot 3=71$ de locuri pe ultimul rând. Total: $S_{18}=\frac{(20+71)\cdot 18}{2}=91\cdot 9=819$ de locuri.

11. $a_{12}=80+11\cdot 15=245$ de lei în decembrie. Total: $S_{12}=\frac{(80+245)\cdot 12}{2}=325\cdot 6=1950$ de lei. (Observă că totalul nu este $12\cdot 245$: lunile de la început au fost mai mici.)

12. $a_{11}=45$ și $a_{25}=101$; numărul de termeni este $25-11+1=15$. Suma: $\frac{(45+101)\cdot 15}{2}=146\cdot \frac{15}{2}=1095$.

13. $S_{10}=\frac{[4+9r]\cdot 10}{2}=5(4+9r)=155$, deci $4+9r=31$, $9r=27$ și $r=3$.

14. Adevărat. Formula $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$ se poate scrie $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$, adică numărul de termeni înmulțit cu media aritmetică a capetelor. Este chiar conținutul teoremei.

15. Multiplii lui $7$ din intervalul dat sunt $7,14,\dots ,196$. Numărul lor: $7+7(n-1)=196\Rightarrow n=28$. Suma: $\frac{(7+196)\cdot 28}{2}=203\cdot 14=2842$.

16. a) $a_{10}=6+36=42$. b) $S_{10}=\frac{(6+42)\cdot 10}{2}=240$. c) $S_n=\frac{(4n+8)n}{2}=2n(n+2)$; din $2n(n+2)>500$ rezultă $n(n+2)>250$. Pentru $n=14$: $224$, deci $S_{14}=448$; pentru $n=15$: $255$, deci $S_{15}=510>500$. Cel mai mic $n$ este $15$.

17. a) $a_{20}=12+19\cdot 2=50$, deci $S_{20}=\frac{(12+50)\cdot 20}{2}=62\cdot 10=620$ de piese. b) $S_n=n(n+11)$; pentru $n=17$ obținem $476<500$, iar pentru $n=18$ obținem $522\ge 500$. Răspuns: după $18$ zile.

18. Scriem ambele sume cu a doua formulă:

$$S_{10}=\frac{[2a_1+9r]\cdot 10}{2}=5(2a_1+9r)=100⟹2a_1+9r=20;$$ $$S_{20}=\frac{[2a_1+19r]\cdot 20}{2}=10(2a_1+19r)=400⟹2a_1+19r=40.$$

Scăzând prima relație din a doua: $10r=20$, deci $r=2$; apoi $2a_1=20-18=2$, deci $a_1=1$. Verificare: $a_{10}=19$ și $S_{10}=\frac{(1+19)\cdot 10}{2}=100$ ✓; $a_{20}=39$ și $S_{20}=\frac{(1+39)\cdot 20}{2}=400$ ✓.

De reținut

• Formula sumei: $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$ — media dintre primul și ultimul termen, înmulțită cu numărul de termeni.
• A doua formă, utilă când nu cunoști ultimul termen: $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}$. Cele două formule sunt echivalente; alegi după datele problemei.
• Demonstrația se face prin împerecherea capetelor: scrii suma și inversa ei, aduni și obții $n$ paranteze egale cu $a_1+a_n$, deci $2S_n=n(a_1+a_n)$.
• Când numărul de termeni nu e dat, el se află primul, din formula termenului general; de la rangul $p$ la rangul $q$ sunt $q-p+1$ termeni.
• $S_n$ este o expresie de gradul al doilea în $n$: problemele „câți termeni dau suma…" duc la o ecuație de gradul al doilea, din care se păstrează doar soluția naturală nenulă.

Greșeli frecvente

• Împărțirea uitată la $2$. $S_n$ conține $\frac{n}{2}$; fără ea, rezultatul iese dublu. Un control rapid: suma trebuie să fie aproximativ $n$ ori valoarea de mijloc a termenilor.
• Numărul de termeni greșit. Pentru $3+6+\cdots +90$ sunt $30$ de termeni, nu $90$; iar de la $a_{11}$ la $a_{25}$ sunt $15$, nu $14$. Numărul de termeni se calculează, nu se ghicește.
• Confuzia dintre ultimul termen și total. Dacă în luna a douăsprezecea economisești $245$ de lei, totalul anului nu este $12\cdot 245$; formula sumei folosește media capetelor, nu ultimul termen.
• Păstrarea soluției negative. Ecuația $S_n=$ valoare are două rădăcini; cea negativă sau fracționară nu are sens ca rang și se respinge explicit, cu justificare.
• Presupunerea că $S_n$ crește mereu. La rație negativă, suma crește doar cât timp termenii sunt pozitivi, apoi scade. Verifică semnul termenilor înainte de a trage concluzii despre „totalul maxim".

Aplică acasă

1. Numără sala. Alege o sală cu rânduri (cinema, sală de sport, amfiteatru) sau chiar un rând de scaune la o adunare. Notează câte locuri are primul rând și cu cât diferă al doilea. Dacă diferența e constantă, calculează cu formula câte locuri are toată sala și verifică estimarea numărând un rând de la mijloc — trebuie să iasă chiar media capetelor.

2. Planul de economii crescătoare. Construiește un plan pe $12$ luni: pornești de la o sumă $a_1$ și adaugi $r$ lei în fiecare lună. Calculează cu formula totalul anului, apoi ajustează $a_1$ și $r$ până obții exact suma de care ai nevoie pentru un obiectiv real. Vei descoperi că multe combinații dau același total — un mic exercițiu de proiectare.

3. Stiva din curte. Dacă găsești o stivă de lemne, țevi sau cutii așezate în rânduri descrescătoare (fiecare rând cu una sau două mai puțin decât cel de dedesubt), numără primul și ultimul rând și câte rânduri sunt. Calculează totalul cu formula sumei, apoi verifică numărând efectiv. Este exact problema de la punctul 10 din exerciții, în realitate.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie „trusa de bază" a progresiilor aritmetice: după definiție și termen general, urmează totalizarea. Ideea demonstrației (scrierea sumei în ordine inversă și adunarea) este accesibilă și merită parcursă la tablă cu numere concrete înainte de generalizare — copiii care înțeleg de ce perechile sunt egale nu mai greșesc formula, în timp ce cei care doar o memorează uită împărțirea la $2$ sau confundă $a_n$ cu $n$.

Ce verifică lecția: aplicarea corectă a ambelor forme ale formulei; calcularea prealabilă a numărului de termeni atunci când acesta nu e dat; rezolvarea ecuației de gradul al doilea în $n$ cu respingerea soluției neadmisibile; calculul sumelor parțiale prin diferență. Întrebări bune de control: „De ce toate perechile dau aceeași sumă?"; „Câți termeni sunt de la $a_{11}$ la $a_{25}$?" (cincisprezece, nu paisprezece); „Dacă în ultima lună pui $245$ de lei, de ce totalul nu e $12\cdot 245$?".

Semne că elevul a înțeles: își verifică rezultatul estimând „numărul de termeni ori valoarea de mijloc"; alege singur formula potrivită în funcție de date; explică de ce soluția negativă a ecuației se respinge. La Bacalaureat, formatul din Exemplul 6 este cel mai frecvent, iar problemele de tip „cel mai mic $n$ cu $S_n>$ valoare" apar constant; ele se pot rezolva și prin încercări justificate cu verificarea vecinilor, ceea ce e acceptat de barem dacă redactarea arată clar comparația celor două valori vecine.

Întrebări frecvente

Care este formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice? Formula este $S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$, adică media dintre primul și ultimul termen, înmulțită cu numărul de termeni. Dacă nu cunoști ultimul termen, folosești varianta echivalentă $S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]\cdot n}{2}$.

De ce funcționează trucul lui Gauss? Pentru că, într-o progresie aritmetică, atunci când un termen urcă cu un pas, perechea lui din capătul celălalt coboară cu exact același pas. Astfel $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$, iar suma scrisă de două ori (o dată în ordine inversă) dă $n$ paranteze identice: $2S_n=n(a_1+a_n)$.

Cât face 1 + 2 + 3 + … + 100? Face $5050$. Se aplică formula cu $a_1=1$, $a_n=100$ și $n=100$: $S_{100}=\frac{(1+100)\cdot 100}{2}=101\cdot 50=5050$. În general, $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Cum aflu câți termeni trebuie adunați ca să obțin o sumă dată? Scrii $S_n$ în funcție de $n$ (cu $a_1$ și $r$), pui condiția ca suma să fie egală cu valoarea dată și rezolvi ecuația de gradul al doilea obținută. Din cele două rădăcini o păstrezi pe cea naturală nenulă; cealaltă nu poate fi rang și se respinge.

Cum calculez o sumă care nu începe de la primul termen? Ai două variante. Fie calculezi $S_q-S_{p-1}$ (de exemplu, $a_{11}+\cdots +a_{30}=S_{30}-S_{10}$), fie tratezi termenii ca pe o progresie nouă, cu primul termen $a_p$ și cu $q-p+1$ termeni, și aplici direct formula.

Poate suma unei progresii aritmetice să scadă? Da, atunci când termenii adăugați devin negativi. La o progresie cu rație negativă, sumele cresc până la ultimul termen pozitiv și scad după aceea. De aceea, la problemele de „total maxim", primul pas este să afli până la ce rang termenii rămân pozitivi.

Care este suma primelor n numere impare? Este exact $n^2$: $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$. Se obține din formula generală, cu $a_1=1$ și $a_n=2n-1$. De exemplu, suma numerelor impare de la $1$ la $99$ are $50$ de termeni și dă $2500$.

Unde apare formula sumei la Bacalaureat? În subiectele cu progresii aritmetice, aproape întotdeauna împreună cu formula termenului general: se cere un termen, apoi suma primilor $n$ termeni, apoi o condiție de tipul „cel mai mic $n$ pentru care suma depășește o valoare". Rezolvarea corectă cere ambele formule și verificarea faptului că rangul găsit este natural.