Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele

O firmă mică vinde ghivece pictate. Fiecare lună începe cu o cheltuială fixă — chirie, curent, materiale — și încasează o sumă pentru fiecare ghiveci vândut. Rezultatul lunii, adică profitul, este o funcție afină de numărul de bucăți vândute. Întrebarea de care depinde totul nu este „cât face profitul?", ci una mai simplă și mai brutală: de la ce număr de bucăți profitul devine pozitiv? Sub acel prag, firma pierde bani; peste el, câștigă. Punctul exact în care profitul e zero se numește, în economie, pragul de rentabilitate — iar în matematică, zeroul funcției.

Aceasta este întrebarea lecției de azi: nu cât valorează funcția, ci ce semn are. Răspunsul se citește dintr-o singură privire pe grafic — deasupra axei $Ox$ înseamnă pozitiv, sub axă înseamnă negativ — și se scrie riguros într-un tabel de semn. Vom folosi tot ce știm despre funcția afină și despre monotonia ei, pentru că cele două proprietăți lucrează împreună: dreapta traversează axa o singură dată, exact în punctul în care își schimbă semnul.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini intersecțiile graficului cu axele de coordonate și să le scrii ca puncte.
• Vei ști ce este zeroul (rădăcina) unei funcții afine și să-l calculezi cu formula $x_0=-\frac{b}{a}$.
• Vei ști să alcătuiești tabelul de semn al funcției afine și să-l justifici.
• Vei ști să răspunzi la întrebări de tipul „pentru ce valori ale lui $x$ este $f(x)>0$?".
• Vei ști să citești semnul direct de pe grafic și să nu-l confunzi cu monotonia.
• Vei ști să calculezi aria triunghiului determinat de graficul funcției cu axele de coordonate.

Hai să descoperim împreună

1. Intersecția cu axa $Oy$

Este cea mai ușoară dintre toate. Punctele axei $Oy$ au abscisa $0$, deci punem $x=0$ în formulă:

$$f(0)=a\cdot 0+b=b.$$

Graficul funcției afine taie axa $Oy$ în punctul $(0,b)$, adică exact în ordonata la origine. Un singur punct, întotdeauna — pentru că $0$ este în domeniu și are o singură valoare.

Exemple: graficul lui $f(x)=2x-6$ taie $Oy$ în $(0,-6)$; graficul lui $g(x)=-3x+12$ taie $Oy$ în $(0,12)$.

2. Intersecția cu axa $Ox$ și zeroul funcției

Punctele axei $Ox$ au ordonata $0$, deci căutăm argumentele pentru care valoarea funcției este nulă. Asta înseamnă să rezolvăm ecuația

$$ax+b=0.$$

Definiție. Se numește zero (sau rădăcină) al funcției $f$ orice număr $x_0$ din domeniu cu proprietatea $f(x_0)=0$.

Pentru $a\ne 0$, ecuația are soluție unică:

$$x_0=-\frac{b}{a}.$$

Prin urmare graficul taie axa $Ox$ într-un singur punct, anume $\left(-\frac{b}{a},0\right)$. Rezultatul era de așteptat: funcția fiind strict monotonă, ecuația $f(x)=0$ nu poate avea două soluții.

Exemple, cu verificare de fiecare dată:

• $f(x)=2x-6$: din $2x-6=0$ obținem $x_0=3$; verificare $f(3)=0$ ✓. Intersecția cu $Ox$ este $(3,0)$.
• $g(x)=-3x+12$: din $-3x+12=0$ obținem $x_0=4$; intersecția este $(4,0)$.
• $h(x)=4x+10$: $x_0=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$; intersecția este $\left(-\frac{5}{2},0\right)$.

Cazurile cu $a=0$ merită tratate separat, pentru că apar la exerciții cu parametru. Dacă $f(x)=b$ cu $b\ne 0$, ecuația $b=0$ este falsă: funcția nu are niciun zero, iar graficul (o dreaptă orizontală) nu taie deloc axa $Ox$. Dacă $b=0$, funcția este identic nulă și orice număr real este zero al ei — graficul se suprapune peste axa $Ox$.

3. Tabelul de semn

Zeroul împarte axa reală în două intervale, iar pe fiecare dintre ele funcția păstrează același semn. De ce? Pentru că graficul este o dreaptă care traversează axa $Ox$ o singură dată: înainte de traversare e de o parte a axei, după — de cealaltă.

Regula (semnul funcției afine). Fie $f(x)=ax+b$ cu $a\ne 0$ și $x_0=-\frac{b}{a}$. Atunci $f$ are semn contrar lui $a$ pentru $x<x_0$, se anulează în $x_0$ și are semnul lui $a$ pentru $x>x_0$.

Se scrie sub forma unui tabel de semn. Pentru $a>0$:

Pentru $a<0$:

Justificare. Scriem funcția sub forma factorizată, punând în evidență zeroul:

$$f(x)=ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right)=a(x-x_0).$$

Pentru $x>x_0$, paranteza $x-x_0$ este pozitivă, deci $f(x)$ are semnul lui $a$; pentru $x<x_0$, paranteza este negativă, deci $f(x)$ are semn opus lui $a$. $■$

Formularea care se reține cel mai ușor, folosită de generații de elevi: „semn contrar lui $a$ până la rădăcină, semnul lui $a$ după rădăcină".

4. Semnul citit de pe grafic

Pe desen, totul devine imediat:

• $f(x)>0$ înseamnă că punctul graficului de abscisă $x$ este deasupra axei $Ox$;
• $f(x)=0$ înseamnă că punctul este pe axă;
• $f(x)<0$ înseamnă că punctul este sub axă.

Deci, ca să citești semnul, nu te uiți la valori — te uiți la poziția graficului față de axa orizontală, mergând cu privirea de la stânga la dreapta.

Aici trebuie evitată cea mai frecventă confuzie a capitolului. Monotonia răspunde la „urcă sau coboară?"; semnul răspunde la „e deasupra sau sub axă?". Sunt independente: funcția $f(x)=2x-6$ urcă peste tot, dar este negativă pe $(-\infty ,3)$ și pozitivă pe $(3,\infty )$. O dreaptă care urcă poate sta multă vreme sub axă, exact ca un avion care încă rulează pe pistă în timp ce accelerează.

5. De la semn la răspunsuri complete

Cerințele obișnuite sună așa: „determinați valorile lui $x$ pentru care $f(x)>0$" sau „arătați că $f(x)\le 0$ pentru orice $x\in [1,3]$". Tabelul de semn le rezolvă pe toate.

Exemplu 1. Pentru $f(x)=3x-9$: zeroul este $x_0=3$, iar $a=3>0$. Deci $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,3)$, $f(3)=0$ și $f(x)>0$ pentru $x\in (3,\infty )$. Răspunsul la „când este $f(x)\ge 0$?" este $x\in [3,\infty )$ — cu capăt închis, pentru că egalitatea e permisă.

Exemplu 2. Pentru $g(x)=-x+4$: zeroul este $x_0=4$, iar $a=-1<0$. Deci $g$ este pozitivă pe $(-\infty ,4)$ și negativă pe $(4,\infty )$. Ordinea semnelor s-a inversat față de primul exemplu, exact pentru că $a$ și-a schimbat semnul.

Fii atent la capete: la $>$ și $<$ folosești paranteze rotunde, la $\ge$ și $\le$ folosești paranteze drepte în dreptul rădăcinii. Punctele se pierd des exact acolo.

6. Semnul unei funcții definite pe ramuri

Când funcția e dată pe ramuri de funcții afine, studiem semnul pe fiecare ramură, reținând doar zerourile care cad în intervalul corespunzător.

Exemplu. Fie

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\le 1\\ -2x+5,& x>1\end{array}$$

Prima ramură: $x+2=0$ dă $x=-2$, care aparține lui $(-\infty ,1]$ ✓. Cum $a=1>0$, pe această ramură funcția e negativă pentru $x<-2$ și pozitivă pentru $-2<x\le 1$.

A doua ramură: $-2x+5=0$ dă $x=\frac{5}{2}$, care aparține lui $(1,\infty )$ ✓. Cum $a=-2<0$, funcția e pozitivă pentru $1<x<\frac{5}{2}$ și negativă pentru $x>\frac{5}{2}$.

Punând cap la cap: $f$ este negativă pe $(-\infty ,-2)$, pozitivă pe $\left(-2,\frac{5}{2}\right)$ și negativă pe $\left(\frac{5}{2},\infty \right)$, cu zerouri în $-2$ și $\frac{5}{2}$. Verificări punctuale: $f(-3)=-1<0$ ✓, $f(0)=2>0$ ✓, $f(2)=1>0$ ✓, $f(4)=-3<0$ ✓.

Verificarea apartenenței zeroului la ramura din care provine nu este o formalitate: dacă rezolvi $x+2=0$ și obții o soluție care nu e în $(-\infty ,1]$, acea soluție trebuie aruncată — formula nu era valabilă acolo.

7. Triunghiul determinat de grafic cu axele

Pentru $a\ne 0$ și $b\ne 0$, dreapta taie ambele axe, iar împreună cu ele delimitează un triunghi dreptunghic cu vârful în origine. Catetele lui se află pe axe, iar lungimile lor sunt tocmai distanțele de la origine la punctele de intersecție:

$$\text{cateta pe }Ox=|x_0|=\left|\frac{b}{a}\right|,\text{cateta pe }Oy=|b|.$$

Aria triunghiului este atunci

$$\mathcal{A}=\frac{|x_0|\cdot |b|}{2}.$$

Exemplu. Pentru $f(x)=2x-6$: intersecțiile sunt $A(3,0)$ și $B(0,-6)$, deci catetele au lungimile $3$ și $6$, iar aria este $\frac{3\cdot 6}{2}=9$ unități pătratice.

Exemplu. Pentru $g(x)=-2x+8$: intersecțiile sunt $(4,0)$ și $(0,8)$, iar aria este $\frac{4\cdot 8}{2}=16$.

Atenție la modul: lungimile sunt numere pozitive, chiar dacă intersecțiile au coordonate negative. O arie negativă nu există.

8. Semnul în probleme practice

Într-un context real, semnul are aproape întotdeauna o traducere directă. Câteva tipare:

• Profit. $P(x)=15x-1200$ (câștig de $15$ lei pe bucată, cheltuieli fixe de $1200$ de lei). Zeroul: $x_0=80$ de bucăți — pragul de rentabilitate. Sub $80$ de bucăți firma pierde, peste $80$ câștigă.
• Volum. $V(t)=60-4t$ litri. Zeroul: $t=15$ minute. Formula are sens fizic doar cât timp $V(t)\ge 0$, adică pe $[0,15]$ — după aceea rezervorul e gol.
• Temperatură. Dacă $T(t)$ este afină, zeroul indică momentul în care se trece de la temperaturi pozitive la negative (sau invers) — adică ora la care începe înghețul.

De fiecare dată, semnul funcției separă „situația bună" de „situația rea", iar zeroul este exact granița dintre ele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Intersecțiile cu axele

Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+12$, intersectează axele de coordonate.

Rezolvare. Cu $Oy$: punem $x=0$ și obținem $f(0)=12$, deci punctul $(0,12)$.

Cu $Ox$: punem $f(x)=0$, adică $-3x+12=0$, deci $3x=12$ și $x=4$; punctul este $(4,0)$.

Verificare: $f(4)=-12+12=0$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Tabelul de semn

Alcătuiți tabelul de semn al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$, și precizați pentru ce valori ale lui $x$ avem $f(x)<0$.

Rezolvare. Zeroul: $2x-6=0$ dă $x_0=3$. Coeficientul $a=2$ este pozitiv, deci funcția are semn contrar lui $a$ (adică minus) înainte de $3$ și semnul lui $a$ (adică plus) după $3$.

Deci $f(x)<0$ pentru $x\in (-\infty ,3)$. Verificare cu o valoare de probă: $f(0)=-6<0$ ✓, iar $f(5)=4>0$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Semnul unei funcții descrescătoare

Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $g(x)=-5x+3$ este strict pozitivă.

Rezolvare. Zeroul: $-5x+3=0$ dă $x_0=\frac{3}{5}$. Cum $a=-5<0$, funcția este pozitivă înainte de rădăcină și negativă după.

Prin urmare $g(x)>0$ pentru $x\in \left(-\infty ,\frac{3}{5}\right)$. Verificare: $g(0)=3>0$ ✓ și $g(1)=-2<0$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Funcție pe ramuri

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\le 1\\ -2x+5,& x>1\end{array}$.

Rezolvare. Ramura $x\le 1$: zeroul ecuației $x+2=0$ este $x=-2$, care aparține intervalului ✓. Coeficientul fiind pozitiv, avem $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-2)$ și $f(x)>0$ pe $(-2,1]$.

Ramura $x>1$: zeroul ecuației $-2x+5=0$ este $x=\frac{5}{2}>1$ ✓. Coeficientul fiind negativ, avem $f(x)>0$ pe $\left(1,\frac{5}{2}\right)$ și $f(x)<0$ pe $\left(\frac{5}{2},\infty \right)$.

Concluzie: $f$ este negativă pe $(-\infty ,-2)\cup \left(\frac{5}{2},\infty \right)$, se anulează în $-2$ și $\frac{5}{2}$, și este pozitivă pe $\left(-2,\frac{5}{2}\right)$. Verificări: $f(-3)=-1$, $f(0)=2$, $f(2)=1$, $f(4)=-3$ ✓. $■$

Exemplul 5 — Reconstituirea funcției din semnul ei

O funcție afină $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisface: $f(x)<0$ pentru $x<2$, $f(x)>0$ pentru $x>2$ și $f(0)=-4$. Determinați $f$.

Rezolvare. Din $f(0)=-4$ obținem direct $b=-4$.

Schimbarea de semn are loc în $x=2$, deci $2$ este zeroul funcției: $2a+b=0$, adică $2a-4=0$, de unde $a=2$.

Semnul se potrivește: $a=2>0$ înseamnă „minus înainte de rădăcină, plus după" — exact ce cere enunțul. Funcția este $f(x)=2x-4$. Verificare: $f(2)=0$ ✓, $f(0)=-4$ ✓, $f(3)=2>0$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. a) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate. b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției și axele de coordonate.

Rezolvare. a) Cu $Oy$: $f(0)=-6$, deci $B(0,-6)$. Cu $Ox$: $2x-6=0$ dă $x=3$, deci $A(3,0)$.

b) Triunghiul $OAB$ este dreptunghic în origine, cu catetele $OA=|3|=3$ și $OB=|-6|=6$. Aria este

$$\mathcal{A}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{3\cdot 6}{2}=9.$$

$■$ Reține procedeul: întâi intersecțiile, apoi lungimile ca module, apoi aria — cerința b) nu se poate rezolva fără a).

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare tabel de semn, verifică rezultatul înlocuind câte o valoare de probă din fiecare interval.

1. Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele: a) $f(x)=2x-6$; b) $g(x)=-3x+12$; c) $h(x)=4x+10$.

2. Determină zeroul fiecărei funcții: a) $f(x)=3x-9$; b) $g(x)=-5x+3$; c) $h(x)=\frac{1}{2}x-3$.

3. Alcătuiește tabelul de semn pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$, și precizează intervalele pe care funcția este negativă și pe care este pozitivă.

4. Alcătuiește tabelul de semn pentru $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-x+4$, și determină valorile lui $x$ pentru care $g(x)>0$.

5. Determină valorile reale ale lui $x$ pentru care: a) $3x-9\ge 0$; b) $-2x+6>0$; c) $4x+10\le 0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție afină este strict crescătoare, atunci ea este pozitivă pentru orice $x$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul oricărei funcții afine intersectează axa $Ox$ exact într-un punct."

8. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+8$. a) Determină intersecțiile cu axele. b) Calculează aria triunghiului determinat de grafic cu axele de coordonate.

9. Calculează aria triunghiului determinat de graficul funcției $f(x)=-3x+12$ cu axele de coordonate.

10. Determină numărul real $m$ știind că graficul funcției $f(x)=3x+m$ intersectează axa $Ox$ în punctul de abscisă $2$.

11. O funcție afină satisface: $f(x)<0$ pentru $x<2$, $f(x)>0$ pentru $x>2$ și $f(0)=-4$. Determină $f$ și verifică toate cele trei condiții.

12. Studiază semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x\le 1\\ -2x+5,& x>1\end{array}$, precizând zerourile și intervalele de semn constant.

13. (Problemă aplicată.) O firmă câștigă $15$ lei pe fiecare ghiveci vândut și are cheltuieli fixe de $1200$ de lei pe lună, deci profitul este $P(x)=15x-1200$. a) Câte ghivece trebuie vândute ca profitul să fie zero? b) De la ce număr de bucăți firma începe să câștige? c) Ce semnificație are semnul funcției în acest context?

14. (Problemă aplicată.) Un rezervor se golește după legea $V(t)=60-4t$ litri. a) Pentru ce valori ale lui $t$ avem $V(t)>0$? b) De ce domeniul cu sens fizic al funcției este $[0,15]$ și nu tot $\mathbb{R}$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$. a) Determinați coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate. b) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției și axele de coordonate.

16. Explică, dând câte un exemplu pentru fiecare situație, de ce o funcție afină poate fi: a) crescătoare și negativă pe un interval; b) descrescătoare și pozitivă pe un interval. Ce concluzie tragi despre legătura dintre monotonie și semn?

17. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7$. a) Are funcția zerouri? b) Intersectează graficul ei axa $Ox$? c) Care este semnul funcției pe $\mathbb{R}$? Justifică fiecare răspuns.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m-1)x+m$, cu $m$ parametru real. Determină valorile lui $m$ pentru care $f(x)>0$ pentru orice $x\in [0,2]$. (Indicație: graficul fiind un segment de dreaptă deasupra intervalului, e suficient ca valorile din cele două capete să fie strict pozitive — argumentează de ce.)

Răspunsuri și explicații

1. a) Cu $Oy$: $(0,-6)$; cu $Ox$: $2x-6=0\Rightarrow (3,0)$. b) Cu $Oy$: $(0,12)$; cu $Ox$: $-3x+12=0\Rightarrow (4,0)$. c) Cu $Oy$: $(0,10)$; cu $Ox$: $4x+10=0\Rightarrow \left(-\frac{5}{2},0\right)$.

2. a) $3x-9=0\Rightarrow x_0=3$. b) $-5x+3=0\Rightarrow x_0=\frac{3}{5}$. c) $\frac{1}{2}x-3=0\Rightarrow x_0=6$. (Toate se obțin și direct din formula $x_0=-\frac{b}{a}$.)

3. Zeroul este $3$, iar $a=2>0$: semn contrar lui $a$ înainte, semnul lui $a$ după. Deci $f(x)<0$ pe $(-\infty ,3)$, $f(3)=0$, $f(x)>0$ pe $(3,\infty )$. Probe: $f(0)=-6<0$, $f(5)=4>0$ ✓.

4. Zeroul este $4$, iar $a=-1<0$: pozitivă înainte, negativă după. Deci $g(x)>0$ pentru $x\in (-\infty ,4)$. Probe: $g(0)=4>0$, $g(5)=-1<0$ ✓.

5. a) $3x\ge 9\Rightarrow x\ge 3$, deci $x\in [3,\infty )$ (capăt închis, pentru că egalitatea e permisă). b) $-2x>-6\Rightarrow x<3$ (la împărțirea cu $-2$ se schimbă sensul inegalității), deci $x\in (-\infty ,3)$. c) $4x\le -10\Rightarrow x\le -\frac{5}{2}$, deci $x\in \left(-\infty ,-\frac{5}{2}\right]$.

6. Fals. Monotonia și semnul sunt proprietăți independente. Contraexemplu: $f(x)=2x-6$ este strict crescătoare, dar $f(0)=-6<0$; funcția devine pozitivă abia după $x=3$.

7. Fals în general. Este adevărat doar când $a\ne 0$. Dacă $a=0$ și $b\ne 0$, graficul este o orizontală care nu taie deloc axa $Ox$ (de exemplu $f(x)=7$); iar dacă $a=b=0$, graficul coincide cu axa $Ox$ și are o infinitate de puncte comune cu ea.

8. a) Cu $Oy$: $f(0)=8$, deci $(0,8)$; cu $Ox$: $-2x+8=0\Rightarrow x=4$, deci $(4,0)$. b) Catetele au lungimile $4$ și $8$, deci aria este $\frac{4\cdot 8}{2}=16$.

9. Intersecțiile sunt $(4,0)$ și $(0,12)$, deci catetele au lungimile $4$ și $12$: aria este $\frac{4\cdot 12}{2}=24$.

10. Condiția este $f(2)=0$, adică $3\cdot 2+m=0$, deci $m=-6$. Verificare: pentru $f(x)=3x-6$ avem $f(2)=0$ ✓.

11. Din $f(0)=-4$ rezultă $b=-4$. Schimbarea de semn în $x=2$ înseamnă $f(2)=0$: $2a-4=0$, deci $a=2$. Funcția este $f(x)=2x-4$. Verificări: $f(0)=-4$ ✓; $a=2>0$ dă semn negativ înainte de $2$ (de exemplu $f(1)=-2$) ✓ și pozitiv după (de exemplu $f(3)=2$) ✓.

12. Pe prima ramură, zeroul $x=-2$ aparține intervalului $(-\infty ,1]$, iar coeficientul e pozitiv: negativă pe $(-\infty ,-2)$, pozitivă pe $(-2,1]$. Pe a doua ramură, zeroul $x=\frac{5}{2}$ aparține lui $(1,\infty )$, iar coeficientul e negativ: pozitivă pe $\left(1,\frac{5}{2}\right)$, negativă pe $\left(\frac{5}{2},\infty \right)$. Bilanț: zerouri în $-2$ și $\frac{5}{2}$; $f<0$ pe $(-\infty ,-2)\cup \left(\frac{5}{2},\infty \right)$ și $f>0$ pe $\left(-2,\frac{5}{2}\right)$.

13. a) $15x-1200=0\Rightarrow x=80$ de ghivece. b) Cum $a=15>0$, profitul e pozitiv după rădăcină: de la $81$ de bucăți în sus (la exact $80$ profitul este zero). c) Semnul negativ înseamnă pierdere, semnul pozitiv înseamnă câștig, iar zeroul este pragul de rentabilitate — granița dintre cele două situații.

14. a) $60-4t>0\Rightarrow 4t<60\Rightarrow t<15$; împreună cu $t\ge 0$ (timpul nu e negativ), obținem $t\in [0,15)$. b) Pentru $t>15$ formula ar da volume negative, imposibile fizic; la $t=15$ rezervorul este exact gol, deci modelul are sens doar pe $[0,15]$.

15. a) Cu $Oy$: $(0,-6)$; cu $Ox$: $(3,0)$. b) Triunghiul este dreptunghic în origine, cu catetele de lungimi $3$ și $6$, deci aria este $\frac{3\cdot 6}{2}=9$.

16. a) $f(x)=2x-6$ este crescătoare, dar negativă pe $(-\infty ,3)$ — de exemplu $f(1)=-4$. b) $g(x)=-x+4$ este descrescătoare, dar pozitivă pe $(-\infty ,4)$ — de exemplu $g(1)=3$. Concluzia: monotonia (urcă/coboară) și semnul (deasupra/sub axă) sunt proprietăți independente; nu poți deduce una din cealaltă.

17. a) Nu are zerouri: ecuația $7=0$ este falsă. b) Nu intersectează axa $Ox$; graficul este dreapta orizontală $y=7$, paralelă cu $Ox$ la distanța $7$. c) Funcția este strict pozitivă pe tot $\mathbb{R}$, pentru că ia mereu valoarea $7>0$. (Taie totuși axa $Oy$, în punctul $(0,7)$.)

18. Funcția este afină, deci pe intervalul $[0,2]$ graficul este un segment de dreaptă; valorile ei parcurg monoton intervalul dintre $f(0)$ și $f(2)$, așa că cea mai mică valoare de pe $[0,2]$ este una dintre cele două valori de capăt. Prin urmare $f(x)>0$ pe tot intervalul dacă și numai dacă $f(0)>0$ și $f(2)>0$.

Calculăm: $f(0)=m$ și $f(2)=2(m-1)+m=3m-2$. Condițiile devin $m>0$ și $3m-2>0$, adică $m>\frac{2}{3}$. Intersectând, obținem $m\in \left(\frac{2}{3},\infty \right)$.

Verificare pentru $m=1$: $f(x)=1>0$ pe tot intervalul ✓. Verificare pentru $m=\frac{1}{2}$ (respinsă): $f(2)=-\frac{1}{2}<0$, deci într-adevăr nu convine ✓.

De reținut

• Graficul funcției afine taie axa $Oy$ în $(0,b)$ și, dacă $a\ne 0$, axa $Ox$ în punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$; numărul $x_0=-\frac{b}{a}$ se numește zeroul (rădăcina) funcției.
• Tabelul de semn: $f(x)=a(x-x_0)$ are semn contrar lui $a$ înainte de rădăcină, se anulează în $x_0$ și are semnul lui $a$ după rădăcină.
• Pe grafic: $f(x)>0$ acolo unde graficul e deasupra axei $Ox$, $f(x)<0$ acolo unde e sub ea. Semnul nu se confundă cu monotonia.
• Dacă $a=0$: funcția constantă $f(x)=b$ nu are zerouri (când $b\ne 0$) și păstrează semnul lui $b$ pe tot $\mathbb{R}$.
• Graficul, împreună cu axele, determină un triunghi dreptunghic cu catetele $|x_0|$ și $|b|$, deci de arie $\frac{|x_0|\cdot |b|}{2}$.

Greșeli frecvente

• Confunzi intersecțiile cu axele. Pentru $Oy$ pui $x=0$; pentru $Ox$ pui $y=0$, adică rezolvi $f(x)=0$. Inversarea lor strică tot exercițiul.
• Greșești semnul lui $x_0$. Din $ax+b=0$ rezultă $x_0=-\frac{b}{a}$, cu minus. Pentru $f(x)=4x+10$, zeroul este $-\frac{5}{2}$, nu $\frac{5}{2}$.
• Uiți să schimbi sensul inegalității la împărțirea cu un număr negativ. Din $-2x>-6$ rezultă $x<3$, nu $x>3$.
• Confunzi semnul cu monotonia. O funcție crescătoare poate fi negativă pe o porțiune întreagă; „urcă" nu înseamnă „e pozitivă".
• La funcții pe ramuri, păstrezi zerouri din afara ramurii. Soluția ecuației trebuie să aparțină intervalului pe care formula e valabilă; altfel se elimină.

Aplică acasă

1. Pragul tău de rentabilitate. Imaginează o mică afacere (limonadă la colț, printuri, meditații): stabilește cheltuiala fixă și câștigul pe bucată, scrie funcția de profit și calculează zeroul ei. Desenează graficul și hașurează zona de pierdere și zona de câștig. Câte bucăți trebuie vândute ca să treci pragul?

2. Semne pe grafice reale. Caută un grafic dintr-un articol economic sau meteo care are valori și pozitive, și negative (variația unui indice, temperaturi de iarnă). Marchează pe el punctele în care curba taie axa orizontală și scrie, în limbaj matematic, intervalele pe care funcția e pozitivă și cele pe care e negativă.

3. Triunghiuri pe ecran. În GeoGebra sau Desmos trasează $y=-2x+8$, marchează punctele de intersecție cu axele și cere programului aria triunghiului format cu originea. Compară cu rezultatul calculat de tine. Repetă apoi pentru $y=3x+6$ și verifică formula $\mathcal{A}=\frac{|x_0|\cdot |b|}{2}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide studiul funcției afine cu proprietatea cea mai des folosită mai departe: semnul. Elevul trebuie să plece de aici cu trei automatisme — calculul rădăcinii $x_0=-\frac{b}{a}$, scrierea corectă a tabelului de semn („contrar lui $a$, apoi semnul lui $a$") și citirea semnului de pe grafic ca poziție față de axa $Ox$. Regula aceasta va fi reluată identic la funcția de gradul al doilea și la inecuațiile cu fracții din anii următori, deci merită consolidată acum.

Întrebări bune de control: „Unde taie graficul axa $Oy$?" (în $(0,b)$); „Cum găsesc zeroul?" (rezolv $f(x)=0$); „Pentru ce $x$ este $f$ pozitivă, dacă $a<0$?" (înainte de rădăcină); „Poate o funcție crescătoare să fie negativă?" (da); „Ce se întâmplă dacă $a=0$?" (nu există rădăcină, semnul e constant). Semne că a înțeles: verifică semnul cu valori de probă din fiecare interval, folosește paranteze închise la $\ge$ și $\le$, și nu confundă semnul cu monotonia.

La teze și la Bacalaureat, formatul clasic este exact cel din Exemplul 6: se cer intersecțiile graficului cu axele, apoi aria triunghiului determinat de grafic cu axele — două cerințe legate, în care a doua depinde de prima. Apar frecvent și cerințe de tip „determinați $m$ astfel încât graficul să treacă prin punctul dat / să taie $Ox$ în abscisa dată", rezolvabile prin aceeași ecuație $f(x_0)=0$.

Întrebări frecvente

Ce este zeroul unei funcții? Este acel argument pentru care valoarea funcției este $0$, adică soluția ecuației $f(x)=0$. Pe grafic, zeroul este abscisa punctului în care graficul taie axa $Ox$; se mai numește și rădăcina funcției.

Cum calculez rădăcina funcției afine $f(x)=ax+b$? Rezolvi ecuația $ax+b=0$ și obții $x_0=-\frac{b}{a}$, valabil pentru $a\ne 0$. Atenție la semn: pentru $f(x)=4x+10$, rădăcina este $-\frac{5}{2}$.

Cum aflu unde graficul taie axele de coordonate? Pentru axa $Oy$ pui $x=0$ și obții punctul $(0,b)$. Pentru axa $Ox$ pui $f(x)=0$ și obții punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$. Regula scurtă: $x=0$ pentru $Oy$, $y=0$ pentru $Ox$.

Cum se face tabelul de semn al funcției de gradul întâi? Marchezi rădăcina pe axă, iar de o parte și de alta scrii semnele: contrar lui $a$ înainte de rădăcină și semnul lui $a$ după. În dreptul rădăcinii scrii $0$.

Cum citesc semnul unei funcții direct de pe grafic? Te uiți la poziția graficului față de axa orizontală: unde graficul este deasupra axei, funcția este pozitivă; unde este sub axă, este negativă; unde atinge axa, funcția se anulează.

Care este diferența dintre semnul funcției și monotonie? Semnul spune dacă valorile sunt pozitive sau negative (grafic: deasupra sau sub axa $Ox$), iar monotonia spune dacă valorile cresc sau scad (grafic: dreapta urcă sau coboară). Sunt proprietăți independente: o funcție crescătoare poate fi negativă.

Ce se întâmplă dacă $a=0$? Funcția devine constantă, $f(x)=b$. Dacă $b\ne 0$, ea nu are niciun zero și păstrează semnul lui $b$ pe tot domeniul, iar graficul — o dreaptă orizontală — nu taie axa $Ox$.

Cum calculez aria triunghiului format de grafic cu axele? Determini cele două intersecții, iar lungimile catetelor sunt modulele coordonatelor nenule: $|x_0|$ pe axa $Ox$ și $|b|$ pe axa $Oy$. Aria este semiprodusul lor, $\frac{|x_0|\cdot |b|}{2}$.