Termenul general al unei progresii aritmetice

Un teatru are $30$ de rânduri. Primul rând are $24$ de locuri și fiecare rând următor are cu $3$ locuri mai mult decât cel dinaintea lui. Câte locuri are ultimul rând? Poți afla, desigur, adunând $3$ de douăzeci și nouă de ori — dar dacă teatrul ar avea $300$ de rânduri? Sau dacă ai vrea să știi rândul $127$ dintr-un stadion?

Din lecția Progresia aritmetică și rația ei știi deja că o progresie aritmetică este complet determinată de două numere: primul termen $a_1$ și rația $r$. Toată informația e acolo — problema e doar că, pentru a ajunge la termenul de rang $30$, ar trebui să parcurgem drumul pas cu pas. În această lecție construim scurtătura: o formulă care, din $a_1$, $r$ și rangul $n$, îți dă direct valoarea termenului. Este cea mai folosită formulă din tot capitolul și una dintre puținele formule de clasa a IX-a pe care le vei mai ține minte peste zece ani.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci și să enunți formula termenului general al unei progresii aritmetice: $a_n=a_1+(n-1)r$.
• Vei ști să calculezi orice termen al unei progresii, oricât de departe, dintr-un singur calcul.
• Vei ști să afli rangul unui termen dat și să decizi dacă un număr aparține sau nu progresiei.
• Vei ști să determini $a_1$ și $r$ atunci când se cunosc doi termeni oarecare, folosind un sistem simplu.
• Vei ști să folosești formula generalizată $a_n=a_m+(n-m)r$, care leagă direct doi termeni oarecare.
• Vei ști să rezolvi probleme practice de tipul „când depășește pentru prima dată" și „câți termeni are progresia".

Hai să descoperim împreună

1. Drumul de la primul termen la al $n$-lea

Pornim de la definiție: fiecare termen se obține din precedentul adunând rația. Să scriem primii termeni ai unei progresii cu primul termen $a_1$ și rația $r$:

$$a_2=a_1+r$$ $$a_3=a_2+r=a_1+2r$$ $$a_4=a_3+r=a_1+3r$$ $$a_5=a_4+r=a_1+4r$$

Tiparul se vede cu ochiul liber: lângă $r$ apare un număr cu unu mai mic decât rangul. La rangul $2$ avem un $r$, la rangul $3$ avem doi de $r$, la rangul $5$ avem patru. Motivul e simplu și merită spus în cuvinte: de la rangul $1$ până la rangul $n$ se fac $n-1$ pași, fiecare de mărime $r$.

Teoremă (formula termenului general). Dacă $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este o progresie aritmetică de rație $r$, atunci pentru orice $n\ge 1$:

$$\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}$$

Demonstrație prin inducție. Notăm cu $P(n)$ afirmația din enunț. Pentru $n=1$ avem $a_1+(1-1)r=a_1$ ✓, deci $P(1)$ este adevărată. Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\ge 1$ fixat, adică $a_k=a_1+(k-1)r$. Din definiția progresiei aritmetice, $a_{k+1}=a_k+r$, deci

$$a_{k+1}=a_1+(k-1)r+r=a_1+kr=a_1+[(k+1)-1]r,$$

adică exact $P(k+1)$. Conform principiului inducției matematice, formula este adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

Dacă redactarea de mai sus ți se pare familiară, e pentru că este exact tiparul învățat la Metoda inducției matematice: verificare, ipoteză, pas, concluzie. Progresiile sunt primul loc din programă unde inducția se folosește ca unealtă, nu ca exercițiu.

2. Cum se citește formula

Formula $a_n=a_1+(n-1)r$ spune, tradusă în română: pornești de la primul termen și faci $(n-1)$ pași de mărime $r$. Fiecare literă are un rol precis:

• $a_1$ — punctul de plecare;
• $r$ — mărimea unui pas (pozitivă dacă urcăm, negativă dacă coborâm);
• $n-1$ — numărul de pași, nu rangul;
• $a_n$ — locul unde ajungi.

Cea mai frecventă greșeală din tot capitolul este scrierea $a_n=a_1+nr$. Testul care o depistează instantaneu: pune $n=1$. Formula corectă dă $a_1+0\cdot r=a_1$ ✓; formula greșită dă $a_1+r$, adică al doilea termen. Fă acest test ori de câte ori ai un dubiu — durează două secunde.

Exemplu. Progresie cu $a_1=5$ și $r=3$. Atunci $a_{20}=5+19\cdot 3=5+57=62$. Verificare de bun-simț: termenii sunt $5,8,11,\dots$, cresc din $3$ în $3$, deci după nouăsprezece pași ajungem cam pe la $60$ — plauzibil.

Exemplu. Progresie cu $a_1=100$ și $r=-7$. Atunci $a_{15}=100+14\cdot (-7)=100-98=2$. Rația fiind negativă, progresia coboară; după încă un pas ajungem la $a_{16}=2-7=-5$, deci progresia trece în numere negative chiar la rangul $16$.

3. Formula ca „ecuație cu patru necunoscute"

Privește formula ca pe o relație între patru mărimi: $a_n$, $a_1$, $n$ și $r$. Regula practică este simplă și acoperă majoritatea problemelor din capitol:

Dacă știi trei dintre cele patru mărimi, o poți afla pe a patra.

Asta înseamnă patru tipuri de probleme:

1. Se cere $a_n$ (se dau $a_1$, $r$, $n$): înlocuiești direct — cazul din secțiunea anterioară.
2. Se cere $n$ (se dau $a_1$, $r$, $a_n$): rezolvi o ecuație de gradul întâi în $n$ și verifici că soluția e naturală.
3. Se cere $r$ (se dau $a_1$, $n$, $a_n$): din $a_n-a_1=(n-1)r$ obții $r=\frac{a_n-a_1}{n-1}$.
4. Se cere $a_1$ (se dau $r$, $n$, $a_n$): $a_1=a_n-(n-1)r$.

Să le vedem pe rând, pe numere.

Aflarea rangului. Într-o progresie cu $a_1=5$ și $r=6$, ce rang are termenul egal cu $89$?

$$5+(n-1)\cdot 6=89⟺6(n-1)=84⟺n-1=14⟺n=15.$$

Rangul este $15$. Ca de obicei, verificăm că soluția este număr natural nenul — este.

Când numărul nu aparține progresiei. În aceeași progresie, este $60$ un termen? Rezolvăm $5+6(n-1)=60$, deci $6(n-1)=55$ și $n-1=\frac{55}{6}$, care nu este întreg. Răspuns: nu, $60$ nu este termen al progresiei.

Aflarea rației. Într-o progresie, $a_1=4$ și $a_{13}=40$. Atunci $40=4+12r$, deci $12r=36$ și $r=3$.

Aflarea primului termen. O progresie are $r=-3$ și $a_5=20$. Atunci $a_1=a_5-4r=20-4\cdot (-3)=20+12=32$. Progresia este $32,29,26,23,20,\dots$ ✓

4. Doi termeni oarecare: sistemul

Cea mai des întâlnită situație la teze este aceasta: se dau doi termeni de ranguri oarecare și se cere restul. Metoda standard este să scriem fiecare termen cu formula generală și să rezolvăm sistemul obținut.

Exemplu. Într-o progresie aritmetică, $a_3=11$ și $a_7=27$. Determinați $r$ și $a_1$.

Scriem cei doi termeni:

$$a_3=a_1+2r=11,a_7=a_1+6r=27.$$

Scădem prima ecuație din a doua — $a_1$ dispare:

$$4r=16⟹r=4.$$

Înlocuim în prima ecuație: $a_1+8=11$, deci $a_1=3$. Verificare: $a_7=3+6\cdot 4=27$ ✓.

Există și o scurtătură pe care merită să o înțelegi, nu doar să o memorezi. De la rangul $3$ la rangul $7$ sunt $7-3=4$ pași, deci creșterea totală $27-11=16$ se împarte în patru pași egali: $r=\frac{16}{4}=4$. Aceeași idee, scrisă direct.

5. Formula generalizată: de la orice rang la orice rang

Ideea de mai sus se scrie o dată pentru totdeauna. Dacă $m$ și $n$ sunt două ranguri oarecare, atunci de la $a_m$ la $a_n$ se fac $n-m$ pași, deci:

$$a_n=a_m+(n-m)\cdot r.$$

Demonstrație. Din formula termenului general, $a_n=a_1+(n-1)r$ și $a_m=a_1+(m-1)r$. Scăzând, $a_n-a_m=(n-1-m+1)r=(n-m)r$, ceea ce trebuia arătat. $■$

Formula obișnuită este cazul particular $m=1$. Cea generalizată scutește de calcule inutile: dacă știi $a_5=20$ și $r=-3$, poți afla $a_{12}$ direct, fără să treci prin $a_1$:

$$a_{12}=a_5+(12-5)\cdot r=20+7\cdot (-3)=20-21=-1.$$

De aici rezultă și formula pentru rație atunci când se cunosc doi termeni oarecare:

$$r=\frac{a_n-a_m}{n-m}.$$

Numitorul este diferența rangurilor, nu rangul mai mare. Este exact greșeala de la secțiunea 2, îmbrăcată altfel.

6. Probleme de tip „când depășește pentru prima dată"

O categorie întreagă de probleme practice sună așa: de la ce rang încolo termenii depășesc o anumită valoare? Rezolvarea are trei pași: scrii inecuația cu formula termenului general, o rezolvi în $n$, apoi alegi cel mai mic număr natural care o verifică — și, prudent, verifici și vecinul din stânga.

Exemplu. O progresie are $a_1=-15$ și $r=4$. Care este primul termen pozitiv?

$$-15+4(n-1)>0⟺4(n-1)>15⟺n-1>3,75⟺n>4,75.$$

Cel mai mic natural care verifică este $n=5$, iar $a_5=-15+16=1>0$. Verificăm vecinul: $a_4=-15+12=-3<0$ ✓. Deci primul termen pozitiv este $a_5=1$.

Atenție la sensul inegalității. Dacă rația este negativă, la împărțirea cu $r$ inegalitatea își schimbă sensul. Ca să eviți capcana, ține numerele de aceeași parte încât să împarți la un număr pozitiv, sau lucrează pas cu pas, ca mai sus.

O rudă apropiată a acestui tip este întrebarea „câți termeni are progresia?", adică de la primul până la ultimul, câte ranguri sunt?. Pentru progresia $7,11,15,\dots ,107$ avem $a_1=7$, $r=4$ și $a_n=107$:

$$7+4(n-1)=107⟺4(n-1)=100⟺n=26.$$

Progresia are $26$ de termeni. Nu uita să aduni $1$ la sfârșit — numărul de pași este $25$, dar numărul de termeni este $26$. Este aceeași „eroare a stâlpilor de gard": între $26$ de stâlpi sunt $25$ de intervale.

7. Formula termenului general în contexte practice

Formula devine mult mai vie când o folosești pe date reale.

Teatrul din deschiderea lecției. $a_1=24$ locuri, $r=3$. Rândul $12$ are $a_{12}=24+11\cdot 3=57$ de locuri, iar rândul cu $66$ de locuri se află din $24+3(n-1)=66$, adică $3(n-1)=42$ și $n=15$.

Un depozit bancar cu dobândă simplă. Depui $5000$ de lei cu $4\%$ dobândă simplă pe an, adică $200$ de lei anual. Dacă notăm cu $a_n$ soldul după $n$ ani, avem $a_n=5000+200n$ — aici e comod să numerotăm de la $a_0=5000$, adică suma inițială. Când depășește soldul $6500$ de lei? Din $200n>1500$ obținem $n>7,5$, deci după $8$ ani: $a_8=6600$ de lei. Contextele financiare de acest tip, cu comparații de oferte și decizii, sunt tratate pe larg în Progresii aritmetice în probleme de dobândă simplă și costuri.

Un observator de conștiinciozitate. În ambele exemple, primul lucru pe care l-am făcut a fost să spunem ce înseamnă rangul: „rândul $n$", respectiv „după $n$ ani". Fără această precizare, formula devine ambiguă și răspunsul poate fi decalat cu un rang. Scrie-o mereu, explicit, înainte de primul calcul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Termen de rang dat

O progresie aritmetică are $a_1=4$ și $r=6$. Calculați $a_{10}$ și $a_{25}$.

Rezolvare. Aplicăm formula termenului general:

$$a_{10}=4+9\cdot 6=4+54=58,a_{25}=4+24\cdot 6=4+144=148.$$

Reține numărul de pași: $9$ pentru rangul $10$ și $24$ pentru rangul $25$ — mereu cu unu mai puțin decât rangul.

Exemplul 2 — Progresie descrescătoare

O progresie aritmetică are $a_1=100$ și $r=-3$. Calculați $a_{25}$ și stabiliți dacă $a_{40}$ este pozitiv.

Rezolvare. $a_{25}=100+24\cdot (-3)=100-72=28$.

Pentru $a_{40}$: $a_{40}=100+39\cdot (-3)=100-117=-17$, deci este negativ. Se putea anticipa: după $33$ de pași de câte $3$ am fi scăzut $99$, deci undeva în jurul rangului $34$ progresia trece prin zero.

Exemplul 3 — Aflarea rangului

Se consideră progresia aritmetică $÷5,9,13,\dots$. a) Calculați $a_{50}$. b) Ce rang are termenul egal cu $77$? c) Este $60$ termen al progresiei?

Rezolvare. Avem $a_1=5$ și $r=9-5=4$.

a) $a_{50}=5+49\cdot 4=5+196=201$.

b) $5+4(n-1)=77⟺4(n-1)=72⟺n-1=18⟺n=19$. Rangul este $19$.

c) $5+4(n-1)=60⟺4(n-1)=55⟺n-1=\frac{55}{4}$, care nu este întreg. Deci $60$ nu este termen al progresiei. (Se vede și direct: toți termenii dau restul $1$ la împărțirea cu $4$, iar $60$ dă restul $0$.)

Exemplul 4 — Doi termeni oarecare

Într-o progresie aritmetică, $a_2=11$ și $a_6=31$. Determinați $a_1$, $r$ și $a_{20}$.

Rezolvare. De la rangul $2$ la rangul $6$ sunt $4$ pași, deci

$$r=\frac{a_6-a_2}{6-2}=\frac{31-11}{4}=\frac{20}{4}=5.$$

Din $a_2=a_1+r$ obținem $a_1=11-5=6$. Atunci

$$a_{20}=6+19\cdot 5=6+95=101.$$

Verificare: $a_6=6+5\cdot 5=31$ ✓.

Exemplul 5 — Interpolare între două numere

Între numerele $5$ și $29$ se intercalează trei numere astfel încât toate cinci, în ordine, să formeze o progresie aritmetică. Care sunt aceste numere?

Rezolvare. Cele cinci numere au rangurile $1,2,3,4,5$, cu $a_1=5$ și $a_5=29$. Din formula termenului general:

$$29=5+4r⟹4r=24⟹r=6.$$

Numerele intercalate sunt $a_2=11$, $a_3=17$, $a_4=23$. Progresia completă: $5,11,17,23,29$ — verificăm diferențele, toate egale cu $6$ ✓.

Ideea generală: dacă între $a$ și $b$ intercalăm $k$ numere, avem în total $k+2$ termeni, deci $k+1$ pași, iar $r=\frac{b-a}{k+1}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=3$ și $a_5=19$.

a) Determinați rația progresiei. b) Calculați $a_{15}$. c) Determinați rangul termenului egal cu $79$.

Rezolvare. a) Din formula termenului general, $a_5=a_1+4r$, deci $19=3+4r$, de unde $4r=16$ și $r=4$.

b) $a_{15}=a_1+14r=3+14\cdot 4=3+56=59$.

c) Rezolvăm $3+4(n-1)=79$, adică $4(n-1)=76$, deci $n-1=19$ și $n=20$. Cum $20$ este număr natural nenul, termenul $79$ are rangul $20$.

Observă structura: punctul a) fixează rația, punctele b) și c) folosesc aceeași formulă în cele două sensuri — de la rang la valoare și de la valoare la rang. Este exact tiparul subiectelor de examen pe această temă.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, ce cunoști ($a_1$, $r$, $n$, $a_n$) și ce ți se cere. La aflarea rangului, verifică obligatoriu că rezultatul este număr natural nenul.

1. O progresie aritmetică are $a_1=4$ și $r=6$. Calculează $a_{10}$.

2. O progresie aritmetică are $a_1=100$ și $r=-3$. Calculează $a_{25}$.

3. Se dă progresia aritmetică $÷5,9,13,\dots$. Calculează $a_{50}$.

4. Într-o progresie aritmetică cu $a_1=5$ și $r=8$, ce rang are termenul egal cu $77$?

5. Este $60$ termen al progresiei aritmetice cu $a_1=3$ și $r=7$? Justifică.

6. Într-o progresie aritmetică, $a_3=14$ și $a_8=39$. Determină $r$ și $a_1$.

7. Într-o progresie aritmetică, $a_2=11$ și $a_6=31$. Calculează $a_{20}$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o progresie aritmetică are loc egalitatea $a_{10}=a_1+10r$."

9. O progresie aritmetică are $a_1=-15$ și $r=4$. Care este primul termen pozitiv și ce rang are?

10. Câți termeni are progresia aritmetică $7,11,15,\dots ,107$?

11. (Problemă aplicată.) Depui $5000$ de lei cu dobândă simplă de $4\%$ pe an, adică $200$ de lei pe an. Notând cu $a_n$ soldul după $n$ ani, scrie formula lui $a_n$ și află după câți ani soldul depășește $6500$ de lei.

12. O progresie aritmetică are $a_5=20$ și $r=-3$. Determină $a_1$ și $a_{12}$.

13. Într-o progresie aritmetică de rație $3$ se știe că $a_4+a_9=41$. Determină $a_1$.

14. Între numerele $5$ și $29$ intercalează trei numere astfel încât toate cinci să formeze o progresie aritmetică.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă într-o progresie aritmetică $a_1>0$ și $r>0$, atunci toți termenii progresiei sunt pozitivi."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_1=3$ și $a_5=19$. a) Determinați rația. b) Calculați $a_{15}$. c) Determinați rangul termenului egal cu $79$.

17. (Problemă aplicată.) Într-un teatru, primul rând are $24$ de locuri, iar fiecare rând următor are cu $3$ locuri mai mult decât precedentul. Câte locuri are rândul al doisprezecelea? Al câtelea rând are $66$ de locuri?

18. (Provocare.) Într-o progresie aritmetică, $a_3=7$ și $a_{11}=31$. a) Determină $a_1$ și $r$, apoi scrie formula termenului general. b) Arată că suma $a_m+a_n$ depinde doar de $m+n$. c) Verifică afirmația calculând $a_5+a_9$ și $a_2+a_{12}$.

Răspunsuri și explicații

1. $a_{10}=4+9\cdot 6=58$. (Nouă pași de la rangul $1$ la rangul $10$.)

2. $a_{25}=100+24\cdot (-3)=100-72=28$.

3. $a_1=5$, $r=4$, deci $a_{50}=5+49\cdot 4=5+196=201$.

4. $5+8(n-1)=77⟺8(n-1)=72⟺n-1=9⟺n=10$. Rangul este $10$.

5. Nu. Din $3+7(n-1)=60$ rezultă $7(n-1)=57$, deci $n-1=\frac{57}{7}$, care nu este număr întreg. Prin urmare $60$ nu este termen al progresiei.

6. De la rangul $3$ la rangul $8$ sunt $5$ pași: $r=\frac{39-14}{5}=\frac{25}{5}=5$. Apoi $a_1=a_3-2r=14-10=4$. Verificare: $a_8=4+7\cdot 5=39$ ✓.

7. $r=\frac{31-11}{6-2}=5$, $a_1=11-5=6$, deci $a_{20}=6+19\cdot 5=101$.

8. Fals. Corect este $a_{10}=a_1+9r$, pentru că de la rangul $1$ la rangul $10$ se fac nouă pași, nu zece. Testul rapid: pentru $n=1$, formula greșită ar da $a_1+r$ în loc de $a_1$.

9. $-15+4(n-1)>0⟺4(n-1)>15⟺n>4,75$, deci $n=5$. Primul termen pozitiv este $a_5=-15+16=1$, iar vecinul din stânga, $a_4=-3$, este într-adevăr negativ.

10. $7+4(n-1)=107⟺4(n-1)=100⟺n-1=25⟺n=26$. Progresia are $26$ de termeni (numărul de pași este $25$, numărul de termeni este cu unu mai mare).

11. Dobânda anuală este $4\%\cdot 5000=200$ de lei, aceeași în fiecare an, deci $a_n=5000+200n$ (aici $a_n$ este soldul după $n$ ani, iar suma inițială corespunde lui $n=0$). Din $5000+200n>6500$ obținem $200n>1500$, adică $n>7,5$, deci $n=8$: după $8$ ani soldul este $6600$ de lei, iar după $7$ ani era $6400$ de lei.

12. $a_1=a_5-4r=20-4\cdot (-3)=20+12=32$. Apoi $a_{12}=a_5+7r=20-21=-1$ (sau, echivalent, $a_{12}=32+11\cdot (-3)=-1$).

13. $a_4=a_1+3\cdot 3=a_1+9$ și $a_9=a_1+8\cdot 3=a_1+24$. Suma: $2a_1+33=41$, deci $2a_1=8$ și $a_1=4$. Verificare: $a_4=13$, $a_9=28$, iar $13+28=41$ ✓.

14. Cele cinci numere au $a_1=5$ și $a_5=29$, deci $4r=24$ și $r=6$. Numerele intercalate sunt $11$, $17$, $23$; progresia este $5,11,17,23,29$.

15. Adevărat. Din $a_n=a_1+(n-1)r$, cu $a_1>0$, $r>0$ și $n-1\ge 0$, rezultă că $a_n$ este suma dintre un număr pozitiv și un număr nenegativ, deci este pozitiv pentru orice $n\ge 1$.

16. a) $19=3+4r\Rightarrow r=4$. b) $a_{15}=3+14\cdot 4=59$. c) $3+4(n-1)=79\Rightarrow 4(n-1)=76\Rightarrow n=20$.

17. $a_1=24$, $r=3$. Rândul al doisprezecelea: $a_{12}=24+11\cdot 3=57$ de locuri. Pentru $66$ de locuri: $24+3(n-1)=66⟺3(n-1)=42⟺n=15$, deci al cincisprezecelea rând.

18. a) De la rangul $3$ la rangul $11$ sunt $8$ pași: $r=\frac{31-7}{8}=3$. Apoi $a_1=a_3-2r=7-6=1$, deci $a_n=1+3(n-1)=3n-2$.

b) $a_m+a_n=(3m-2)+(3n-2)=3(m+n)-4$ — expresia depinde doar de suma rangurilor, nu de fiecare rang în parte. (Proprietatea e generală: $a_m+a_n=2a_1+(m+n-2)r$.)

c) $a_5+a_9=13+25=38$ și $a_2+a_{12}=4+34=38$. Ambele perechi au $m+n=14$, iar $3\cdot 14-4=38$ ✓.

De reținut

• Formula termenului general: $a_n=a_1+(n-1)r$. În cuvinte: pleci din $a_1$ și faci $(n-1)$ pași de mărime $r$.
• Numărul de pași este cu unu mai mic decât rangul. Testul de siguranță: pentru $n=1$, formula trebuie să dea exact $a_1$.
• Formula leagă patru mărimi — $a_n$, $a_1$, $n$, $r$ — și din trei o afli pe a patra: $r=\frac{a_n-a_1}{n-1}$, $a_1=a_n-(n-1)r$, iar rangul se obține rezolvând o ecuație de gradul întâi.
• Formula generalizată: $a_n=a_m+(n-m)r$, deci $r=\frac{a_n-a_m}{n-m}$ — la numitor stă diferența rangurilor. Este scurtătura pentru problemele cu doi termeni oarecare.
• La rangul obținut prin rezolvarea unei ecuații se verifică întotdeauna că este număr natural nenul; altfel, valoarea dată nu este termen al progresiei.

Greșeli frecvente

• $a_n=a_1+nr$. Cea mai frecventă greșeală a capitolului. Corect: $a_1+(n-1)r$. Verifică punând $n=1$ — trebuie să obții $a_1$.
• Numitorul greșit la aflarea rației. Din $a_3$ și $a_7$ rația este $\frac{a_7-a_3}{4}$, nu $\frac{a_7-a_3}{7}$: la numitor stă diferența rangurilor.
• Numărul de termeni confundat cu numărul de pași. În $7,11,\dots ,107$ sunt $25$ de pași, dar $26$ de termeni. După ce afli $n-1$, mai adaugă $1$.
• Rangul neverificat. Dacă din ecuație iese $n=\frac{55}{4}$ sau $n$ negativ, răspunsul corect este „numărul nu este termen al progresiei", nu rotunjirea la cel mai apropiat întreg.
• Sensul inegalității la rație negativă. La „primul termen mai mic decât…" cu $r<0$, împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității. Lucrează pas cu pas și verifică întotdeauna vecinul rangului găsit.

Aplică acasă

1. Numerotarea din sala de cinema. Data viitoare când mergi la film (sau într-o sală de sport cu tribune), notează câte locuri are primul rând și câte are al doilea. Dacă diferența e constantă, scrie formula termenului general și prezice câte locuri are ultimul rând. Verifică — o numărătoare rapidă îți spune dacă modelul e bun.

2. Antrenamentul progresiv. Alege un obiectiv (număr de flotări, minute de alergare) și un plan cu creștere constantă: pornești de la o valoare $a_1$ și adaugi $r$ în fiecare zi. Scrie formula, calculează ce ai avea de făcut în ziua $30$ și verifică dacă e realist. Dacă iese absurd, micșorează rația — asta e chiar o decizie luată pe baza unui model matematic.

3. Prețul biletelor. Caută online prețul unui abonament (transport, sală, streaming) în ultimii patru-cinci ani. Calculează diferențele. Dacă sunt aproximativ egale, determină rația medie, scrie formula termenului general și estimează prețul peste trei ani. Notează estimarea pe o hârtie și verific-o la momentul potrivit.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția-cheie a capitolului: formula $a_n=a_1+(n-1)r$ apare în aproape toate problemele cu progresii, la teze și la Bacalaureat. Elevii o memorează repede, dar o aplică greșit din două motive recurente: scriu $nr$ în loc de $(n-1)r$ și confundă numărul de pași cu rangul. Ambele se corectează cu același reflex, care merită cerut explicit: după fiecare formulă scrisă, verifică-o pentru $n=1$.

Ce verifică lecția: aplicarea formulei în ambele sensuri (de la rang la valoare și invers); determinarea lui $a_1$ și $r$ din doi termeni, prin sistem sau prin formula generalizată; verificarea faptului că rangul obținut este natural; rezolvarea inecuațiilor de tip „primul termen care depășește". Întrebări bune de control: „De ce $(n-1)$ și nu $n$?"; „Dacă îmi dai $a_4$ și $a_{10}$, cum afli rația?" (la numitor, $10-4=6$); „Ce faci dacă rangul îți iese fracționar?".

Semne că elevul a înțeles: nu mai scrie termenii pe rând ca să ajungă la $a_{20}$; folosește spontan formula generalizată când i se dau doi termeni de ranguri mari; verifică singur rezultatul înlocuindu-l înapoi în formulă. La Bacalaureat, formatul din Exemplul 6 (rația, un termen depărtat, rangul unui termen dat) este standard, iar rezolvarea completă se punctează integral; erorile aici sunt aproape întotdeauna de tipul „$n$ în loc de $n-1$", deci recuperabile prin exercițiu, nu prin înțelegere nouă. Lecția următoare, Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, se sprijină direct pe această formulă.

Întrebări frecvente

Care este formula termenului general al unei progresii aritmetice? Formula este $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$, unde $a_1$ este primul termen, $r$ este rația, iar $n$ este rangul termenului căutat. Ea spune că, pentru a ajunge la termenul de rang $n$, pornești din primul termen și faci $n-1$ pași de mărime $r$.

De ce apare $(n-1)$ și nu $n$ în formulă? Pentru că de la rangul $1$ la rangul $n$ se fac $n-1$ pași, nu $n$. De la $a_1$ la $a_2$ este un singur pas, de la $a_1$ la $a_5$ sunt patru. Verificarea rapidă: pentru $n=1$ formula trebuie să dea $a_1$, iar $a_1+(1-1)r=a_1$ ✓.

Cum aflu rangul unui termen dintr-o progresie aritmetică? Scrii ecuația $a_1+(n-1)r=$ valoarea dată și o rezolvi în $n$. Dacă soluția este un număr natural nenul, acela este rangul; dacă iese fracție sau număr negativ, valoarea nu este termen al progresiei.

Cum aflu rația dacă știu doi termeni oarecare? Folosești formula generalizată $a_n=a_m+(n-m)r$, de unde $r=\frac{a_n-a_m}{n-m}$. De exemplu, din $a_3=11$ și $a_7=27$ obții $r=\frac{27-11}{7-3}=4$. La numitor stă diferența rangurilor.

Cum aflu primul termen dacă știu un termen și rația? Din formula termenului general, $a_1=a_n-(n-1)r$. De exemplu, dacă $a_5=20$ și $r=-3$, atunci $a_1=20-4\cdot (-3)=32$. Atenție la semnul rației: scăderea unui număr negativ adună.

Câți termeni are o progresie aritmetică dată prin primul și ultimul termen? Rezolvi ecuația $a_1+(n-1)r=$ ultimul termen. Pentru $7,11,\dots ,107$ obții $n=26$. Numărul de termeni este cu unu mai mare decât numărul de pași — este aceeași socoteală ca la stâlpii unui gard.

Cum aflu de la ce rang termenii depășesc o valoare dată? Scrii inecuația $a_1+(n-1)r>$ valoarea, o rezolvi în $n$ și alegi cel mai mic număr natural care o verifică. Verifică apoi și rangul dinainte, ca să fii sigur că e chiar primul. Dacă rația este negativă, ai grijă la schimbarea sensului inegalității.

Unde apare formula termenului general la Bacalaureat? Este formula centrală a subiectelor cu progresii aritmetice: se cere fie un termen de rang dat, fie rangul unui termen, fie rația din doi termeni cunoscuți. Apare atât singură, cât și ca prim pas în problemele cu suma primilor $n$ termeni, unde ultimul termen trebuie calculat înainte de a aplica formula sumei.