În tabelul complet al funcției $$f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x - \ln x$$, în coloana capătului $$0$$ se scrie:

bara $$\vert$$ la $$f'$$ și la $$f''$$, iar la $$f(x)$$ limita $$+\infty$$

celulă goală la $$f'$$ și la $$f''$$, iar la $$f(x)$$ limita $$+\infty$$

bara $$\vert$$ la $$f'$$ și la $$f''$$, iar la $$f(x)$$ valoarea $$0$$

$$\nexists$$ la $$f'$$ și la $$f''$$, iar la $$f(x)$$ limita $$+\infty$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabelul de variație complet

Cum se face tabelul de variație?

Marchezi pe axă rădăcinile lui $f^{'}$ și ale lui $f^{''}$ , locurile fără derivată și punctele excluse din domeniu, apoi completezi patru rânduri, în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ . Sub fiecare interval scrii semnele celor două derivate, iar pe rândul funcției săgeata urmată de simbolul de curbură. În coloanele-punct treci valori sau limite și marcajele $M$ , $m$ , $I$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru mate-info (M1) — mini-lecția M2 pereche →; pagina asta e pentru mate-info (M1) — traseul tehnologic, clasa a XI-a → ·

Tabelul complet pune sensul și ritmul în același tablou. Are patru rânduri, în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ , iar rândul lui $f^{''}$ se așază între celelalte două, nu la sfârșit: curbura trebuie citită înainte de a scrie săgeata cu simbolul ei.

Punctele marcate pe axă sunt reuniunea rădăcinilor lui $f^{'}$ cu ale lui $f^{''}$ , la care se adaugă punctele de nederivabilitate și cele scoase din domeniu. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen: cine trece doar rădăcinile lui $f^{'}$ nu mai are unde să scrie inflexiunile. Cu $k$ puncte marcate, tabelul are $2 k + 4$ coloane.

În coloanele-interval, rândul lui $f$ poartă săgeata urmată de simbolul de curbură, în patru combinații: $↗ \cup$ (crește tot mai repede), $↗ \cap$ (crește tot mai încet), $↘ \cap$ (scade tot mai repede), $↘ \cup$ (scade tot mai încet). În coloanele-punct se trec valori sau limite, urmate de marcaje: $M$ , $m$ , $I$ .

Punctele speciale au reguli fixe. La un punct de pe axă în care funcția nu e definită — gol în domeniu sau capăt finit exclus — rândurile derivatelor primesc $∣$ , iar rândul lui $f$ primește limita, respectiv cele două limite laterale despărțite de $∣$ ; se scrie un singur tabel. Celula derivatei rămâne goală numai la $\pm \infty$ . Unde derivata nu există se scrie $∄$ , cu explicația sub tabel.

Sub tabel se scrie citirea în cuvinte: monotonie, extreme, convexitate, inflexiuni, imagine.

De reținut

patru rânduri: $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$
pe axă se marchează rădăcinile ambelor derivate
celula derivatei rămâne goală numai la $\pm \infty$

Greșeala tipică

Se trec pe axă doar rădăcinile derivatei întâi. Fără rădăcinile derivatei a doua nu există coloane pentru inflexiuni, iar curbura nu poate fi citită corect.

Exerciții din această mini-lecție

Câte coloane are tabelul de variație complet al funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 8 x^{2}$ ?
- a) $10$
- b) $14$
- c) $12$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $14$

$f^{'} (x) = 4 x (x^{2} - 4)$ are rădăcinile $- 2$ , $0$ , $2$ , iar $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 16$ are rădăcinile $\pm \frac{2 3}{3}$ . Punctele marcate sunt reuniunea celor două liste, deci $k = 5$ , iar tabelul are $2 \cdot 5 + 4 = 14$ coloane. Cine numără doar rădăcinile derivatei întâi obține $10$ și rămâne fără coloane pentru punctele de inflexiune.
În tabelul complet al funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x - ln x$ , în coloana capătului $0$ se scrie:
- a) celulă goală la $f^{'}$ și la $f^{''}$ , iar la $f (x)$ limita $+ \infty$
- b) bara $∣$ la $f^{'}$ și la $f^{''}$ , iar la $f (x)$ valoarea $0$
- c) $∄$ la $f^{'}$ și la $f^{''}$ , iar la $f (x)$ limita $+ \infty$
- d) bara $∣$ la $f^{'}$ și la $f^{''}$ , iar la $f (x)$ limita $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) bara $∣$ la $f^{'}$ și la $f^{''}$ , iar la $f (x)$ limita $+ \infty$

Punctul $0$ există pe axă, dar nu aparține domeniului, deci în rândurile derivatelor merge bara. Regula scurtă: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală. În rândul funcției se trece limita, aici $+ \infty$ , pentru că $- ln x \to + \infty$ când $x \to 0$ prin valori pozitive. Simbolul $∄$ e rezervat punctelor din domeniu în care derivata nu există.
Într-o coloană-interval a tabelului complet apare $↗ \cap$ . Pe acel interval funcția:
- a) crește tot mai repede
- b) scade tot mai încet
- c) crește tot mai încet
- d) scade tot mai repede
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) crește tot mai încet

Săgeata dă sensul: $↗$ înseamnă strict crescătoare, deci $f^{'} > 0$ . Simbolul dă ritmul: $\cap$ înseamnă concavă, deci $f^{''} < 0$ , adică panta tangentei scade. Funcția urcă, dar tot mai domol — situația din știrea „numărul abonaților crește, dar creșterea a încetinit". Nu e nicio contradicție între cele două informații: prima e despre sens, a doua despre ritm.

Întrebări conexe

Câte rânduri are tabelul cu amândouă derivatele?

Patru: $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ și $f (x)$ . Varianta scurtă, cu doar trei rânduri, se folosește atunci când nu se cere curbura. Formula numărului de coloane, $2 k + 4$ , rămâne aceeași, dar $k$ numără toate punctele interioare marcate: în tabelul complet intră și rădăcinile lui $f^{''}$ , deci coloanele pot fi mai multe.

Unde se așază rândul derivatei a doua?

Între rândul derivatei întâi și cel al funcției, nu la sfârșit. Motivul este practic: până nu ai semnul lui $f^{''}$ , nu poți scrie săgeata împreună cu simbolul de curbură. Un tabel cu rândurile amestecate se completează greșit.

Ce combinație arată că funcția scade tot mai repede?

Săgeata $↘$ însoțită de simbolul $\cap$ . Celelalte trei combinații sunt: $↗$ cu $\cup$ pentru creștere tot mai rapidă, $↗$ cu $\cap$ pentru creștere tot mai lentă și $↘$ cu $\cup$ pentru scădere tot mai lentă.

Ce se scrie în rândurile derivatelor într-un punct exclus din domeniu?

Câte o bară verticală în amândouă, iar pe rândul funcției cele două limite laterale, despărțite tot de o bară. Totul rămâne într-un singur tabel, spre deosebire de metoda șirului lui Rolle, care cere tabele separate.

Când rămâne goală celula derivatei?

Numai în coloanele lui $- \infty$ și $+ \infty$ , unde nu există niciun punct al axei căruia să îi corespundă o valoare. În punctele finite se scrie $0$ , bară verticală sau semnul care arată că derivata nu există.

De ce se marchează pe axă și rădăcinile derivatei a doua?

Pentru că altfel nu ai unde scrie punctele de inflexiune. Este locul unde se pierd cele mai multe puncte: trecând numai zerourile lui $f^{'}$ , ratezi jumătate din informația tabelului. Lista este reuniunea celor două mulțimi.

Oamenii mai întreabă și: tabel de variație · tabelul de variație complet · cum completez tabelul cu ambele derivate · coloanele tabelului de variație · simboluri în tabelul de variație

Întrebări frecvente

Ce este tabelul de variație al unei funcții?

Este tabloul în care se trec, pe intervale, semnul derivatei întâi și, la tabelul complet, al derivatei a doua, împreună cu comportarea funcției. Din el se citesc monotonia, punctele de extrem, convexitatea, punctele de inflexiune și limitele la capete.

Cum citesc un punct de extrem în tabelul de variație?

Te uiți la semnul lui $f^{'}$ de o parte și de alta a unui punct din interiorul domeniului în care $f$ este continuă: dacă trece din $+$ în $-$ , punctul este de maxim ( $M$ ), iar dacă trece din $-$ în $+$ , este de minim ( $m$ ). Fără schimbare de semn, punctul nu este de extrem.

Cum găsesc punctele de inflexiune din tabel?

Cauți punctele din interiorul domeniului în care $f^{''}$ își schimbă semnul, iar $f$ este continuă și are tangentă; acolo se scrie $I$ pe rândul lui $f$ . Simbolul de curbură trece din $\cup$ în $\cap$ sau invers, iar un zero al lui $f^{''}$ fără schimbare de semn nu dă inflexiune.

Ce înseamnă simbolurile $\cup$ și $\cap$ din tabelul de variație?

$\cup$ arată că funcția este convexă pe acel interval, unde $f^{''} > 0$ , iar $\cap$ arată că este concavă, unde $f^{''} < 0$ . Simbolul se scrie pe rândul lui $f$ , după săgeata de monotonie, și se citește din semnul lui $f^{''}$ de pe același interval.

Ce se trece pe rândul funcției la capetele domeniului?

Valoarea funcției, dacă acel capăt aparține domeniului, sau limita funcției în capăt, dacă nu aparține; la $- \infty$ și $+ \infty$ se trec limitele. De exemplu, pentru $f (x) = x - ln x$ pe $(0, + \infty)$ , în coloana capătului $0$ se trece $+ \infty$ .