Tabelul de variație complet: pe scurt

Tabelul complet pune sensul și ritmul în același tablou. Are patru rânduri, în ordinea $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$, iar rândul lui $f^{\prime \prime }$ se așază între celelalte două, nu la sfârșit: curbura trebuie citită înainte de a scrie săgeata cu simbolul ei.

Punctele marcate pe axă sunt reuniunea rădăcinilor lui $f^{\prime }$ cu ale lui $f^{\prime \prime }$, la care se adaugă punctele de nederivabilitate și cele scoase din domeniu. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen: cine trece doar rădăcinile lui $f^{\prime }$ nu mai are unde să scrie inflexiunile. Cu $k$ puncte marcate, tabelul are $2k+4$ coloane.

În coloanele-interval, rândul lui $f$ poartă săgeata urmată de simbolul de curbură, în patru combinații: $\nearrow \cup$ (crește tot mai repede), $\nearrow \cap$ (crește tot mai încet), $\searrow \cap$ (scade tot mai repede), $\searrow \cup$ (scade tot mai încet). În coloanele-punct se trec valori sau limite, urmate de marcaje: $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$.

Punctele speciale au reguli fixe. La un punct de pe axă în care funcția nu e definită — gol în domeniu sau capăt finit exclus — rândurile derivatelor primesc $|$, iar rândul lui $f$ primește limita, respectiv cele două limite laterale despărțite de $|$; se scrie un singur tabel. Celula derivatei rămâne goală numai la $\pm \infty$. Unde derivata nu există se scrie $\nexists$, cu explicația sub tabel.

Sub tabel se scrie citirea în cuvinte: monotonie, extreme, convexitate, inflexiuni, imagine.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte coloane are tabelul de variație complet al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^2$?

   • a) $10$
   • b) $14$
   • c) $12$
   • d) $8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $14$

   $f^{\prime }(x)=4x\left(x^2-4\right)$ are rădăcinile $-2$, $0$, $2$, iar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-16$ are rădăcinile $\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$. Punctele marcate sunt reuniunea celor două liste, deci $k=5$, iar tabelul are $2\cdot 5+4=14$ coloane. Cine numără doar rădăcinile derivatei întâi obține $10$ și rămâne fără coloane pentru punctele de inflexiune.

2. În tabelul complet al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$, în coloana capătului $0$ se scrie:

   • a) celulă goală la $f^{\prime }$ și la $f^{\prime \prime }$, iar la $f(x)$ limita $+\infty$
   • b) bara $|$ la $f^{\prime }$ și la $f^{\prime \prime }$, iar la $f(x)$ valoarea $0$
   • c) $\nexists$ la $f^{\prime }$ și la $f^{\prime \prime }$, iar la $f(x)$ limita $+\infty$
   • d) bara $|$ la $f^{\prime }$ și la $f^{\prime \prime }$, iar la $f(x)$ limita $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) bara $|$ la $f^{\prime }$ și la $f^{\prime \prime }$, iar la $f(x)$ limita $+\infty$

   Punctul $0$ există pe axă, dar nu aparține domeniului, deci în rândurile derivatelor merge bara. Regula scurtă: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală. În rândul funcției se trece limita, aici $+\infty$, pentru că $-\ln x\to +\infty$ când $x\to 0$ prin valori pozitive. Simbolul $\nexists$ e rezervat punctelor din domeniu în care derivata nu există.

3. Într-o coloană-interval a tabelului complet apare $\nearrow \cap$. Pe acel interval funcția:

   • a) crește tot mai repede
   • b) scade tot mai încet
   • c) crește tot mai încet
   • d) scade tot mai repede
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) crește tot mai încet

   Săgeata dă sensul: $\nearrow$ înseamnă strict crescătoare, deci $f^{\prime }>0$. Simbolul dă ritmul: $\cap$ înseamnă concavă, deci $f^{\prime \prime }<0$, adică panta tangentei scade. Funcția urcă, dar tot mai domol — situația din știrea „numărul abonaților crește, dar creșterea a încetinit". Nu e nicio contradicție între cele două informații: prima e despre sens, a doua despre ritm.