O variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată (I)

Până acum ai rezolvat probleme grupate pe capitole: un capitol, o metodă, un tip de întrebare. În dimineața examenului nu vei mai avea capitolul scris deasupra paginii. Vei avea trei foi, zece blocuri de cerințe și trei ore. Lecția aceasta face exact drumul acela, o singură dată, în întregime: o variantă completă de Bacalaureat M1, pe programa nouă a clasei a 12-a, rezolvată din primul rând până la ultimul, cu punctajul scris lângă fiecare pas și cu explicația pentru care pasul acela există. O variantă de Bacalaureat M1 are trei subiecte: Subiectul I cu șase cerințe independente, Subiectul al II-lea cu două probleme de algebră și Subiectul al III-lea cu două probleme de analiză, fiecare subpunct valorând cinci puncte.

Nu e o culegere de rezolvări. Fiecare bloc e urmat de un comentariu care spune trei lucruri: de ce s-a ales metoda aceasta și nu alta, unde se pierd punctele la corectare și ce alternativă ar fi mers la fel de bine. Varianta a doua, cea de la varianta de Bacalaureat M1 rezolvată (II), acoperă programa veche, cu inele și polinoame la Subiectul al II-lea. Aici rămânem pe programa nouă: la Subiectul al II-lea, problema a doua e o lege de compoziție cu structură de grup.

Ce vei învăța

• Vei ști cum arată, bloc cu bloc, o variantă completă de Bacalaureat M1 și cât valorează fiecare bucată.
• Vei ști să faci triajul unui subiect în primele zece minute și să împarți cele trei ore pe subiecte.
• Vei ști să redactezi un sistem cu parametru: determinant, discuție, teorema lui Rouché, mulțimea soluțiilor.
• Vei ști să duci la capăt o problemă de grup cu izomorfism, de la partea stabilă până la ecuația cu $n$ compuneri.
• Vei ști să legi funcția integrală de teorema de medie și să scrii concluzia cu toate ipotezele la vedere.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o variantă completă de Bacalaureat M1?

O variantă de Bacalaureat M1 este un subiect complet de examen, alcătuit din trei subiecte independente care însumează $90$ de puncte, la care se adaugă $10$ puncte din oficiu, și care se rezolvă în $3$ ore. Structura ei este fixă și o cunoști deja din lecția despre structura examenului de Bacalaureat M1; o reluăm aici doar ca hartă de lucru.

Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, iar cele $5$ puncte se sparg pe pași: de obicei $2+3$ sau $1+2+2$. Consecința practică e cea mai importantă frază din lecția aceasta: un subpunct început corect și neterminat aduce puncte, un subpunct sărit aduce zero.

2. Ce cere baremul la fiecare subpunct?

Baremul nu punctează rezultatul, ci drumul scris. La Subiectul I, unde se cere doar răspunsul, punctajul se acordă tot pe pași: calculul intermediar corect ia $3$ puncte chiar dacă finalizarea greșește. La Subiectele al II-lea și al III-lea, unde se cere rezolvare completă, corectorul caută trei lucruri, în ordinea aceasta: ipotezele verificate (continuitate, derivabilitate, determinant nenul, apartenența la mulțime), calculul scris pe rânduri și concluzia formulată în cuvinte. Lecția despre redactarea la Bacalaureat M1 dă lista completă a ceea ce se depunctează; aici o vei vedea aplicată.

3. În ce ordine se atacă blocurile acestei variante?

Regula generală e fixată la structura examenului de Bacalaureat M1: subpunctul c) al oricărei probleme se lasă la final, pentru că primele două sunt aproape întotdeauna calcule directe, iar al treilea cere o idee. Aplicată aici, regula dă ordinea: Subiectul I (cel mai rapid, $30$ de puncte), apoi cele patru subpuncte a), apoi cele patru b), apoi cele patru c). Aritmetica e limpede: cele patru subpuncte a) valorează $20$ de puncte, adică mai mult decât o problemă întreagă terminată perfect. Un elev care începe cu punctul c) al problemei celei mai grele riscă să piardă o oră pentru $5$ puncte.

4. Cum se aplică bugetul de timp pe varianta aceasta?

Bugetul recomandat este cel din aceeași lecție: $40$ de minute pentru Subiectul I, $60$ pentru Subiectul al II-lea, $70$ pentru Subiectul al III-lea și $10$ minute de verificare finală. Detaliat pe blocurile variantei de aici, el revine la circa $30$ de minute pentru fiecare dintre cele două probleme ale Subiectului al II-lea și circa $35$ pentru fiecare dintre cele două probleme ale Subiectului al III-lea. Regula de disciplină care ține bugetul: dacă un subpunct nu se mișcă în $8$ minute, se lasă și se revine la final. Ceasul se privește la fiecare subiect terminat, nu la fiecare rând scris.

5. Ce controale salvează puncte la examen?

Trei controale rapide, de făcut înainte de a trece mai departe:

• soluția unui sistem se înlocuiește în toate ecuațiile, nu doar în prima;
• elementul neutru și simetricul se verifică în mulțimea din enunț, nu doar în $\mathbb{R}$;
• o valoare a unei integrale definite dintr-o funcție pozitivă trebuie să iasă pozitivă — un rezultat negativ e semnal de eroare de semn.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Strategia: primele zece minute pe această variantă

Înainte de a scrie ceva, subiectul se citește în întregime și se notează pe ciornă, lângă fiecare bloc, o literă: U (ușor, îl rezolv acum), M (mediu, revin), G (greu, la final). Pentru varianta din lecția aceasta harta arată așa:

Comentariu. Cele patru subpuncte a) sunt, toate, calcule directe: un determinant, o factorizare, o derivată, o integrală de polinom. Se rezolvă în mai puțin de zece minute la un loc și aduc $20$ de puncte. Abia după ce sunt scrise se intră în subpunctele b) și c). Aici se pierde cel mai des examenul: nu la ce nu știi, ci la ce n-ai apucat să scrii.

Exemplul 2 — Subiectul I ($6$ cerințe, $30$ de puncte)

Enunțul. 1. Arătați că numărul $a=\frac{1}{2-i}+\frac{1}{2+i}$ este real. 2. Progresia aritmetică $(a_n{)}_{n\ge 1}$ are $a_1=3$ și $a_3=11$. Calculați $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$. 3. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $2^{x+1}+2^x=24$. 4. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie divizibil cu $3$. 5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$ și $B(5,4)$. Determinați ecuația dreptei $AB$. 6. Arătați că ${\sin }^2\frac{\pi }{8}+{\sin }^2\frac{3\pi }{8}=1$.

1. Se aduce la același numitor: $a=\frac{(2+i)+(2-i)}{(2-i)(2+i)}$ (3 p). Numitorul este $2^2-i^2=4+1=5$, numărătorul este $4$, deci $a=\frac{4}{5}\in \mathbb{R}$ (2 p).

2. Din $a_3=a_1+2r$ obținem $11=3+2r$, deci $r=4$ (2 p). Atunci $a_5=a_1+4r=19$ și $S_5=\frac{(a_1+a_5)\cdot 5}{2}=\frac{22\cdot 5}{2}=55$ (3 p).

3. $2^{x+1}+2^x=2\cdot 2^x+2^x=3\cdot 2^x$ (2 p), deci $3\cdot 2^x=24$, adică $2^x=8=2^3$ și $x=3$ (3 p).

4. Cazuri posibile: $20$. Cazuri favorabile: multiplii lui $3$ din mulțime, adică $3,6,9,12,15,18$ — șase numere (3 p). Deci $P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ (2 p).

5. Panta este $m=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}$ (2 p). Ecuația dreptei prin punctul $A$ cu panta $m$: $y-2=\frac{1}{2}(x-1)$, adică $x-2y+3=0$ (3 p).

6. Cum $\frac{3\pi }{8}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}$, avem $\sin \frac{3\pi }{8}=\cos \frac{\pi }{8}$ (3 p). Atunci suma devine ${\sin }^2\frac{\pi }{8}+{\cos }^2\frac{\pi }{8}=1$ (2 p).

Comentariu. La cerința $5$ se putea folosi și forma cu determinant a dreptei prin două puncte; ea are un avantaj real — funcționează și când dreapta e verticală, caz în care panta nu există. La cerința $6$, greșeala frecventă e să se caute valorile lui $\sin \frac{\pi }{8}$; nu e nevoie de ele, doar de relația dintre unghiuri complementare. Subiectul I se scrie cu rezultatul încercuit: corectorul îl caută.

Exemplul 3 — Subiectul al II-lea, problema 1: sistem liniar cu parametru

Enunțul. Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+2y+3z=5\\ x+4y+mz=m+4\end{array}$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Arătați că determinantul matricei sistemului este $\Delta =m-7$. b) Rezolvați sistemul pentru $m=8$. c) Arătați că pentru $m=7$ sistemul este compatibil nedeterminat și determinați mulțimea soluțiilor.

a) Matricea sistemului este $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right)$ (1 p). Dezvoltând determinantul după prima linie: $$\Delta =1\cdot (2m-12)-1\cdot (m-3)+1\cdot (4-2)=2m-12-m+3+2=m-7\text{(4 p)}.$$

b) Pentru $m=8$ avem $\Delta =1\ne 0$, deci sistemul este de tip Cramer (1 p). Coloana termenilor liberi este ${}^t(2512)$ și $${\Delta }_1=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 5& 2& 3\\ 12& 4& 8\end{array}\right|=0,{\Delta }_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 5& 3\\ 1& 12& 8\end{array}\right|=1,{\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 5\\ 1& 4& 12\end{array}\right|=1\text{(3 p)}.$$ Formulele lui Cramer dau $x=\frac{0}{1}=0$, $y=1$, $z=1$, deci $S=\{(0,1,1)\}$ (1 p). Verificare în toate ecuațiile: $0+1+1=2$; $0+2+3=5$; $0+4+8=12$.

c) Pentru $m=7$ avem $\Delta =0$, deci sistemul nu e de tip Cramer (1 p). Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A=2$; îl luăm ca minor principal, cu necunoscutele principale $x,y$ și necunoscuta secundară $z$ (1 p). Determinantul caracteristic, obținut bordând minorul principal cu coeficienții ecuației secundare și cu coloana termenilor liberi, este $$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 5\\ 1& 4& 11\end{array}\right|=0,$$ deci, prin teorema lui Rouché, sistemul este compatibil; cum $\mathrm{rang}A=2<3$, el este nedeterminat (2 p). Din primele două ecuații, scăzându-le, obținem $y+2z=3$, deci $y=3-2z$ și $x=2-y-z=z-1$. Notând $z=\alpha$, $$S=\{(\alpha -1,3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}\text{(1 p)}.$$

Comentariu. Punctul c) se putea rezolva și cu teorema Kronecker–Capelli: se arată că $\mathrm{rang}\overline{A}=2=\mathrm{rang}A$ și se trage aceeași concluzie. Baremul acceptă ambele drumuri, dar cere numele teoremei folosite — „sistemul e compatibil pentru că se poate rezolva" nu e justificare. Atenție și la ultimul rând: mulțimea soluțiilor se scrie cu parametru ($\alpha$), nu se lasă sub forma „$y=3-2z$".

Exemplul 4 — Subiectul al II-lea, problema 2: o lege de compoziție pe un interval

Enunțul. Pe mulțimea $G=(14,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-14x-14y+210$. a) Arătați că $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$, și că $G$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu $\ast$. b) Arătați că $(G,\ast )$ este grup comutativ. c) Arătați că funcția $f:G\to (0,+\infty )$, $f(x)=x-14$, este izomorfism de la $(G,\ast )$ la $((0,+\infty ),\cdot )$ și rezolvați ecuația $\underset{5\text{ factori}}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}=46$.

Observație de notație: în lecția aceasta $x^{-1}$ înseamnă simetricul lui $x$ față de legea $\ast$, iar semnul prim, acolo unde apare, este derivata. Cele două nu se întâlnesc în același subiect.

a) Desfacem parantezele: $(x-14)(y-14)+14=xy-14x-14y+196+14=xy-14x-14y+210=x\ast y$ (2 p). Dacă $x,y>14$, atunci $x-14>0$ și $y-14>0$, deci $(x-14)(y-14)>0$ și $x\ast y=(x-14)(y-14)+14>14$, adică $x\ast y\in G$ (3 p).

b) Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=((x-14)(y-14)+14-14)(z-14)+14=(x-14)(y-14)(z-14)+14$, expresie simetrică în cele trei litere, deci egală și cu $x\ast (y\ast z)$ (2 p). Comutativitatea: forma factorizată e simetrică în $x$ și $y$ (1 p). Elementul neutru: căutăm $e\in G$ cu $(x-14)(e-14)+14=x$ pentru orice $x$, adică $(x-14)(e-15)=0$; cum $x\ne 14$, rezultă $e=15\in G$ (1 p). Simetricul: din $(x-14)(x^{-1}-14)=1$ obținem $x^{-1}=14+\frac{1}{x-14}$, care este $>14$, deci aparține lui $G$ (1 p).

c) $f$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(t)=t+14$ (1 p). Pentru morfism: $$f(x\ast y)=(x\ast y)-14=(x-14)(y-14)=f(x)\cdot f(y)\text{(2 p)}.$$ Fiind morfism bijectiv, $f$ este izomorfism, deci $(G,\ast )\simeq ((0,+\infty ),\cdot )$ (1 p). Prin izomorfism, compunerea a $5$ factori egali se traduce în ridicare la puterea a cincea: $f\left(\underset{5}{\underbrace{x\ast \cdots \ast x}}\right)=(f(x){)}^5$, adică $\underset{5}{\underbrace{x\ast \cdots \ast x}}=(x-14{)}^5+14$. Ecuația devine $(x-14{)}^5=32$, deci $x-14=2$ și $x=16\in G$ (1 p).

Comentariu. Forma factorizată de la a) nu e un truc: ea rezolvă singură punctele b) și c). Rețeta generală, fixată la legile de compoziție cu structură de grup, e „caută $a$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$"; aici $a=14$ și, pentru că termenul liber este $a^2+a=210$, factorizarea chiar funcționează. Elementul neutru iese atunci direct: $e=a+1=15$. La punctul c), un elev care rezolvă ecuația prin cinci compuneri succesive ajunge la același rezultat, dar consumă zece minute; izomorfismul o face într-un rând. Punctul care se pierde cel mai des la b) este apartenența simetricului la $G$ — nu e suficient să existe în $\mathbb{R}$.

Exemplul 5 — Subiectul al III-lea, problema 1: studiul unei funcții

Enunțul. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2x+10}{x+1}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1{)}^2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$. b) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $f$. c) Alcătuiți tabelul de variație și determinați punctele de extrem local ale funcției $f$.

a) Împărțind, $f(x)=x+1+\frac{9}{x+1}$ (1 p). Derivând, $$f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-9}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-2)(x+4)}{(x+1{)}^2}\text{(4 p)}.$$

b) Verticala: $-1$ este capăt finit al domeniului, iar $$\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x<-1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to -1\\ x>-1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ deci dreapta $x=-1$ este asimptotă verticală bilaterală (2 p). Neverticale: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{9}{x+1}\right)=1$, deci dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ (2 p); aceleași limite spre $-\infty$ dau aceeași dreaptă (1 p).

c) $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x\in \{-4,2\}$, iar $f(-4)=-6$, $f(2)=6$ (1 p).

(3 p) pentru tabel. Citirea tabelului: $x=-4$ este punct de maxim local, cu valoarea $-6$, iar $x=2$ este punct de minim local, cu valoarea $6$ (1 p). Se observă și că $f$ nu ia nicio valoare în intervalul $(-6,6)$.

Comentariu. Rescrierea $f(x)=x+1+\frac{9}{x+1}$ e mutarea care simplifică tot: dă derivata în două rânduri și dă asimptota oblică fără să mai calculezi limitele. Baremul acceptă și derivarea directă a câtului, dar acolo greșelile de semn sunt mult mai frecvente. Un punct se pierde des la b): asimptota verticală trebuie precizată ca fiind bilaterală, iar cele două limite laterale se scriu separat. Un al doilea punct se pierde când tabelul e împărțit în două tabele, unul pentru fiecare ramură — la un punct exclus se face un singur tabel, cu bara $|$ pe coloana lui $-1$ și cu ambele limite laterale pe rândul lui $f(x)$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1: Subiectul al III-lea, problema 2

Enunțul. Se consideră funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x(t^2-2t-3)dt$. a) Arătați că $F(3)=-9$. b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $F$. c) Arătați că există $c\in [0,3]$ astfel încât ${\int }_0^3(t^2-2t-3)dt=3(c^2-2c-3)$ și determinați valorile lui $c$.

a) Funcția $t\mapsto t^2-2t-3$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive; una dintre ele este $G(t)=\frac{t^3}{3}-t^2-3t$ (2 p). Prin formula Leibniz–Newton, $$F(3)=G(3)-G(0)=\left(9-9-9\right)-0=-9\text{(3 p)}.$$

b) Notăm $f(t)=t^2-2t-3=(t+1)(t-3)$. Cum $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, funcția integrală $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=f(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (2 p). Semnul lui $F^{\prime }$ este semnul trinomului: pozitiv pe $(-\infty ,-1)$, negativ pe $(-1,3)$, pozitiv pe $(3,+\infty )$ (1 p). Deci $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict descrescătoare pe $[-1,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$ (1 p). Prin urmare $x=-1$ este punct de maxim local, cu $F(-1)=\frac{5}{3}$, iar $x=3$ este punct de minim local, cu $F(3)=-9$ (1 p).

c) Funcția $f$ este continuă pe intervalul închis $[0,3]$, deci se aplică teorema de medie: există $c\in [0,3]$ cu ${\int }_0^{3}f(t)dt=f(c)(3-0)$ (2 p). Cum integrala este $-9$, obținem $3f(c)=-9$, adică $f(c)=-3$ (1 p): $$c^2-2c-3=-3⟺c^2-2c=0⟺c(c-2)=0,$$ deci $c\in \{0,2\}$, ambele în $[0,3]$ (2 p).

Comentariu. Punctul c) e locul unde se pierd cele mai multe puncte din toată varianta, din două motive. Primul: ipoteza de continuitate trebuie scrisă, altfel teorema de medie e invocată în gol. Al doilea: teorema garantează existența unui $c$, nu unicitatea lui — aici sunt două valori, iar răspunsul care le dă pe amândouă e cel complet. Punctul b) folosește un rezultat pe care nu ai voie să-l sari: $F$ e derivabilă pentru că $f$ e continuă; fără fraza aceasta, tabelul de variație al lui $F$ nu are pe ce se sprijini. Valoarea medie a lui $f$ pe $[0,3]$ este $-3$; geometric, dreptunghiul de bază $3$ și înălțime $-3$ are aceeași „arie cu semn" ca regiunea dintre grafic și axă.

Să exersăm

Cele $18$ cerințe de mai jos formează o variantă-oglindă: aceeași structură, aceleași metode, alte numere. Rezolv-o cronometrat, în $3$ ore, apoi compară-ți redactarea cu baremul din varianta rezolvată mai sus.

Subiectul I.

1. Arătați că numărul $b=\frac{3}{1-i}+\frac{3}{1+i}$ este natural.

2. Progresia geometrică $(b_n{)}_{n\ge 1}$ cu termeni pozitivi are $b_1=2$ și $b_3=18$. Calculați $b_5$.

3. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $3^{x+1}-3^x=54$.

4. Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,15\}$. Calculați probabilitatea ca numărul ales să fie pătrat perfect.

5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,3)$ și $B(3,1)$. Determinați ecuația dreptei $AB$.

6. Arătați că ${\cos }^2\frac{\pi }{12}+{\cos }^2\frac{5\pi }{12}=1$.

Subiectul al II-lea, problema 1. Se consideră sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y+4z=3\\ x+4y+mz=7\end{array}$, $m\in \mathbb{R}$.

7. Arătați că determinantul matricei sistemului este $\Delta =m-10$.

8. Rezolvați sistemul pentru $m=11$.

9. Arătați că pentru $m=10$ sistemul este compatibil nedeterminat și determinați mulțimea soluțiilor.

Subiectul al II-lea, problema 2. Pe mulțimea $H=(15,+\infty )$ se definește legea $x\circ y=xy-15x-15y+240$.

10. Arătați că $x\circ y=(x-15)(y-15)+15$ și că $H$ este parte stabilă în raport cu $\circ$.

11. Arătați că $(H,\circ )$ este grup comutativ și determinați elementul neutru și simetricul unui element $x\in H$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că $g:H\to (0,+\infty )$, $g(x)=x-15$, este izomorfism de la $(H,\circ )$ la $((0,+\infty ),\cdot )$ și rezolvați ecuația $\underset{4\text{ factori}}{\underbrace{x\circ x\circ x\circ x}}=96$.

Subiectul al III-lea, problema 1. Se consideră $g:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}$.

13. Arătați că $g^{\prime }(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$.

14. Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $g$.

15. Alcătuiți tabelul de variație și determinați punctele de extrem local.

Subiectul al III-lea, problema 2. Se consideră $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)={\int }_0^x(t^2-6t+5)dt$.

16. Arătați că $G(3)=-3$.

17. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției $G$.

18. (Provocare.) Arătați că există un singur $c\in [0,3]$ cu ${\int }_0^3(t^2-6t+5)dt=3(c^2-6c+5)$ și determinați-l.

Răspunsuri și explicații

1. $b=\frac{3(1+i)+3(1-i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{6}{2}=3\in \mathbb{N}$.

2. $b_3=b_1{q}^2$ dă $q^2=9$; cum termenii sunt pozitivi, $q=3$ și $b_5=2\cdot 3^4=162$.

3. $3^{x+1}-3^x=3^x(3-1)=2\cdot 3^x=54$, deci $3^x=27$ și $x=3$.

4. Pătratele perfecte din mulțime sunt $1,4,9$ — trei cazuri favorabile din $15$ posibile, deci $P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$.

5. $m=\frac{1-3}{3-(-1)}=-\frac{1}{2}$, iar $y-3=-\frac{1}{2}(x+1)$ dă $x+2y-5=0$.

6. $\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{12}$, deci $\cos \frac{5\pi }{12}=\sin \frac{\pi }{12}$ și suma este ${\cos }^2\frac{\pi }{12}+{\sin }^2\frac{\pi }{12}=1$.

7. Dezvoltând după prima linie: $\Delta =(2m-16)-(m-4)+(4-2)=m-10$.

8. Pentru $m=11$, $\Delta =1\ne 0$ (sistem de tip Cramer), ${\Delta }_1=-1$, ${\Delta }_2=2$, ${\Delta }_3=0$, deci $S=\{(-1,2,0)\}$. Verificare: $-1+2+0=1$; $-1+4+0=3$; $-1+8+0=7$.

9. Pentru $m=10$, $\Delta =0$, minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$, iar determinantul caracteristic este $0$, deci sistemul e compatibil (Rouché) și nedeterminat. Din primele două ecuații, $y+3z=2$, deci $S=\{(2\alpha -1,2-3\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

10. $(x-15)(y-15)+15=xy-15x-15y+225+15=x\circ y$; pentru $x,y>15$ produsul $(x-15)(y-15)$ e pozitiv, deci $x\circ y>15$.

11. Asociativitatea și comutativitatea rezultă din forma $(x-15)(y-15)+15$, simetrică; elementul neutru este $e=16$, iar simetricul lui $x$ este $x^{-1}=15+\frac{1}{x-15}\in H$.

12. $g(x\circ y)=(x-15)(y-15)=g(x)g(y)$, iar $g$ e bijectivă (inversa $t\mapsto t+15$), deci izomorfism. Ecuația devine $(x-15{)}^4=81$, deci $x-15=3$ și $x=18$.

13. $g(x)=x-1+\frac{4}{x-1}$, deci $g^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$.

14. Asimptotă verticală bilaterală $x=1$ (limita la stânga este $-\infty$, cea la dreapta $+\infty$); asimptotă oblică $y=x-1$ spre $-\infty$ și spre $+\infty$ (cu $m=1$, $n=-1$).

15. $g^{\prime }$ se anulează în $-1$ și $3$; $g(-1)=-4$ (maxim local), $g(3)=4$ (minim local). Tabelul are un singur rând-punct pentru $x=1$, cu $|$ pe rândul lui $g^{\prime }$ și cu $-\infty |+\infty$ pe rândul lui $g$.

16. O primitivă este $\frac{t^3}{3}-3t^2+5t$, iar $G(3)=9-27+15=-3$.

17. $G^{\prime }(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, continuă, deci $G$ e crescătoare pe $(-\infty ,1]$, descrescătoare pe $[1,5]$, crescătoare pe $[5,+\infty )$; maxim local $G(1)=\frac{7}{3}$, minim local $G(5)=-\frac{25}{3}$.

18. $f$ e continuă pe $[0,3]$, deci teorema de medie dă $3f(c)=-3$, adică $c^2-6c+5=-1$, deci $c^2-6c+6=0$ și $c=3\pm \sqrt{3}$. Doar $c=3-\sqrt{3}\approx 1,27$ aparține intervalului $[0,3]$; cealaltă rădăcină, $3+\sqrt{3}\approx 4,73$, se respinge. Aici e diferența față de varianta rezolvată: teorema dă existența, iar apartenența la interval trebuie verificată de fiecare dată.

De reținut

• O variantă de Bacalaureat M1 are $10$ blocuri de cerințe, $90$ de puncte din cerințe și $10$ din oficiu, și se rezolvă în $3$ ore.
• Ordinea eficientă de lucru este: Subiectul I, apoi toate subpunctele a), apoi b), apoi c) — patru subpuncte a) valorează cât o problemă întreagă.
• Un sistem cu parametru se discută după semnul determinantului, iar cazul $\Delta =0$ se tranșează cu teorema lui Rouché sau cu teorema Kronecker–Capelli, numită explicit.
• Forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ rezolvă dintr-o dată partea stabilă, asociativitatea, elementul neutru $e=a+1$ și simetricul.
• Teorema de medie se aplică numai funcțiilor continue pe un interval închis și mărginit și garantează existența, nu unicitatea, punctului intermediar $c$.

Greșeli frecvente

• Sistemul rezolvat fără verificare. Soluția obținută cu formulele lui Cramer se înlocuiește în toate ecuațiile, nu doar în prima; o eroare de semn într-un determinant se vede imediat.
• Simetricul „uitat" în afara mulțimii. La o lege pe un interval, nu e suficient ca $x^{-1}$ să existe în $\mathbb{R}$; trebuie arătat că $x^{-1}$ aparține mulțimii din enunț, altfel structura nu e grup.
• Asimptota verticală neprecizată. Se scriu ambele limite laterale și se spune dacă asimptota e la stânga, la dreapta sau bilaterală; „graficul are asimptotă în $-1$" nu e răspuns.
• Două tabele de variație în loc de unul. La un punct exclus din domeniu se face un singur tabel, cu $|$ în coloana punctului și cu cele două limite laterale despărțite de $|$ pe rândul funcției.
• Teorema de medie invocată fără ipoteză. Fraza „$f$ este continuă pe $[a,b]$" valorează efectiv puncte în barem; fără ea, concluzia ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$ e o afirmație nesusținută.

Aplică acasă

1. Rezolvă varianta-oglindă din „Să exersăm" într-o singură ședință de $3$ ore, cu ceasul pornit și fără să te uiți la răspunsuri. Notează, pe o foaie separată, minutul la care ai terminat fiecare subiect.
2. Ia doar cele patru subpuncte a) din varianta-oglindă ($7$, $10$, $13$, $16$) și cronometrează-te: ținta e sub $12$ minute pentru toate patru, cu redactare completă.
3. Dă rezolvarea ta unui coleg și cere-i să pună punctajul după baremul din lecție, pas cu pas. Compară cele două punctaje și discută fiecare diferență — locurile în care nu vă înțelegeți sunt exact locurile în care redactarea e ambiguă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate trece de la exerciții grupate pe capitole la un subiect complet, cu gestionarea timpului inclusă. Ea acoperă, într-o singură variantă, toate cele patru tipuri de probleme de la Subiectele al II-lea și al III-lea de la BAC M1 pe programa nouă: sistem liniar cu parametru, lege de compoziție cu structură de grup, studiu de funcție cu asimptote și integrală cu funcție integrală.

Întrebări de control: Cât valorează un subpunct? Ce faci dacă determinantul sistemului se anulează? Ce trebuie verificat înainte de a scrie „deci $(G,\ast )$ este grup"? Ce ipoteză cere teorema de medie?

Semne că a înțeles: începe cu Subiectul I și cu subpunctele a), respectând bugetul de timp de $40+60+70+10$ minute; scrie numele teoremei folosite înainte de a o aplica; verifică soluția sistemului în toate ecuațiile; nu abandonează un subpunct pentru că nu vede finalul, ci scrie primii pași.

Unde apare la BAC M1: varianta reproduce structura oficială a subiectului, iar cele patru probleme mari sunt tipurile care apar în fiecare sesiune. Varianta a doua din acest capitol acoperă și programa veche, cu inele și polinoame.

Întrebări frecvente

Cum arată un subiect de Bacalaureat M1 la matematică-informatică?

Are trei subiecte. Subiectul I are șase cerințe scurte, de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a. Subiectele al II-lea și al III-lea au câte două probleme cu trei subpuncte fiecare, tot de cinci puncte, din algebra și analiza claselor a XI-a și a XII-a. Totalul este de nouăzeci de puncte, plus zece din oficiu, în trei ore.

Cât valorează un subpunct și cum se sparge punctajul?

Fiecare subpunct valorează cinci puncte, iar baremul oficial le împarte pe pași: de obicei doi plus trei, uneori unu plus doi plus doi. De aceea un subpunct început corect aduce puncte chiar dacă nu e terminat. Un calcul intermediar scris corect se punctează separat de finalizare.

În ce ordine e bine să rezolv subiectele la examen?

Întâi Subiectul I, care e cel mai rapid și aduce treizeci de puncte. Apoi toate subpunctele a) ale celorlalte patru probleme, pentru că sunt prin construcție cele mai simple și valorează împreună douăzeci de puncte. Abia după aceea subpunctele b), apoi c). Ordinea din pagină nu e obligatorie, iar bugetul de timp rămâne patruzeci, șaizeci, șaptezeci și zece minute.

Ce se întâmplă dacă determinantul unui sistem se anulează?

Sistemul nu mai e de tip Cramer și se trece la discuție: se caută un minor principal nenul, se stabilește rangul matricei sistemului, apoi se decide compatibilitatea cu teorema lui Rouché, prin determinanții caracteristici, sau cu teorema Kronecker–Capelli, comparând rangul cu al matricei extinse.

Cum arăt că o lege de compoziție dă structură de grup?

Se verifică, în ordine, patru lucruri: mulțimea e parte stabilă, legea e asociativă, există element neutru în mulțime și fiecare element are simetric în mulțime. Pentru legile de forma $xy-ax-ay+b$ se caută întâi scrierea $(x-a)(y-a)+a$, care le dă pe toate patru deodată.

Ce ipoteze cere teorema de medie pentru integrale?

O singură ipoteză, dar obligatorie: funcția să fie continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$. Concluzia e că există $c$ în $[a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$. Teorema afirmă existența lui $c$, nu unicitatea; pot exista mai multe valori.

De ce e importantă rescrierea unei funcții raționale ca $x+1+\frac{9}{x+1}$?

Pentru că din ea se citesc direct două lucruri care se cer separat în subiect: derivata, calculată în două rânduri fără regula câtului, și asimptota oblică, a cărei ecuație este chiar partea polinomială. Rescrierea se face prin împărțire cu rest și se scrie explicit în rezolvare, ca pas punctat.

Ce fac dacă rămân blocat la un subpunct?

Îl lași după opt minute și treci mai departe, notând pe ciornă unde ai rămas. Punctele pierdute la un subpunct greu sunt cinci; punctele pierdute pentru că n-ai ajuns la ultimele două probleme pot fi douăzeci. Revii la final, cu timpul rămas, și scrii măcar pașii pe care îi ai.