Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Formularul clasei a XII-a: rezultatele și formulele esențiale

Formularul clasei a XII-a: rezultatele și formulele esențiale

Q: Ce este un formular la matematică?

Un formular este lista organizată a rezultatelor pe care le poți folosi fără demonstrație, fiecare însoțit de condițiile în care e valabil. Nu înlocuiește lecțiile: le rezumă pentru momentul în care ai nevoie rapid de o formulă. La clasa a XII-a el are opt tablouri, câte unul pentru fiecare unitate a anului.

Q: Cum învăț formulele de clasa a 12-a fără să le memorez mecanic?

Le deduci. Acoperi coloana enunțului și încerci să reconstruiești formula din numele ei; la cele care nu ies, deschizi lecția-sursă și refaci deducerea cu pixul în mână. Trei formule reconstruite în felul acesta se rețin mai bine decât treizeci recitite, pentru că ai memoria drumului, nu doar a destinației.

Q: Care sunt formulele obligatorii pentru Bacalaureat M1 la clasa a 12-a?

Din algebră: forma factorizată a legilor, criteriul de subgrup, teorema lui Lagrange cu cele trei consecințe, ord(a) = n/(a,n) și condiția de inversabilitate în ℤₙ. Din analiză: cele trei tipuri de asimptote, cele 16 rânduri ale tabelului primitivelor, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, formula Leibniz–Newton, teorema de medie, aria subgraficului și volumul de rotație.

Q: De ce apare modulul la unele primitive și la altele nu?

Pentru că logaritmul e definit doar pentru argument strict pozitiv. La rândurile 3, 11, 14 și 16 argumentul își poate schimba semnul pe domeniul funcției, deci modulul e obligatoriu. La rândul 13, argumentul x + √(x² + a²) este strict pozitiv pentru orice x real, deci modulul ar fi de prisos — și se scrie fără el.

Q: Cum îmi dau seama ce rând din tabel se potrivește la o integrală?

Te uiți la numitor și la semnul de dinaintea lui x². Fără radical și cu minus — rândul 11; fără radical și cu plus — rândul 12. Cu radical și x² pozitiv — rândurile 13 sau 14, după semnul constantei; cu radical și x² negativ — rândul 15. Dacă la numărător apare derivata numitorului, niciunul dintre ele: e logaritmul ln| u |.

Q: Care este formula volumului corpului de rotație?

Volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției continue și pozitive f: [a,b] → ℝ în jurul axei Ox este V = π∫ₐ^(b) f²(x) dx. Din ea se deduc, cu funcții potrivite, volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei — nu se învață separat, se obțin în câte două rânduri fiecare.

Q: Când intră conicele în subiectele de examen?

Ele apar în programa nouă a clasei a XII-a și vor fi cerute la Bacalaureat M1 începând cu prima sesiune pe această programă. În variantele de până acum nu au apărut, așa că tabloul lor din formular e materie de clasă și de teze, nu de examen — dar formulele sunt aceleași, iar tangenta prin dedublare merită știută oricum.

Q: Cât timp îmi ia să învăț formularul?

Nu se învață dintr-o dată. Trei rânduri pe zi, reconstruite din nume și verificate pe un exemplu numeric, înseamnă tot formularul în mai puțin de două luni, cu cinci minute pe zi. Rândurile pe care le știi deja se sar; în practică rămân sub douăzeci de rânduri de lucru pentru un elev care a parcurs anul.

În dimineața examenului nu mai ai timp să recitești o sută șaizeci de lecții. Ai timp pentru o singură pagină — și lecția aceasta o construiește: formularul clasei a XII-a. Formularul clasei a 12-a este lista rezultatelor și a formulelor esențiale ale anului de mate-info — legi de compoziție, grupuri, asimptote, conice, primitive, integrale, arii și volume —, strânse pe cele opt unități, fiecare rând cu lecția din care vine. Nimic nou nu se predă aici; totul se așază.

Un formular nu e o listă de lucruri de memorat. E o hartă: îți spune ce ai la dispoziție, unde e valabil și de unde poți deduce din nou, dacă ai uitat. De aceea fiecare rând are trei coloane, iar secțiunea următoare explică de ce ultima coloană — lecția-sursă — e cea mai importantă dintre ele.

Ce vei învăța

Vei ști să găsești, în mai puțin de zece secunde, formula de care ai nevoie la un exercițiu dat.
Vei ști să citești un rând de formular pe trei coloane: enunțul, condițiile de valabilitate și lecția din care vine.
Vei ști să deduci o formulă uitată în loc să o memorezi mecanic.
Vei ști care sunt cele 16 rânduri ale tabelului primitivelor și pe ce interval lucrează fiecare.
Vei ști să recunoști, dintr-o cerință de Bacalaureat M1, ce unitate a anului o acoperă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un formular și cum se învață?

Formularul este lista organizată a rezultatelor pe care le poți folosi fără să le redemonstrezi, fiecare însoțit de condițiile în care e adevărat. Nu e un rezumat al lecțiilor și nu ține locul înțelegerii: e ceea ce rămâne în mână după ce înțelegerea a fost făcută.

Regula de lucru a acestei lecții, pe care o vom numi regula celor trei coloane: orice formulă se citește pe trei coloane — enunțul (ce spune), condițiile (unde e valabilă) și lecția (de unde vine). Coloana a doua salvează punctele la examen: majoritatea greșelilor de barem nu sunt greșeli de formulă, ci formule corecte folosite în afara condițiilor lor. Coloana a treia salvează formula însăși: dacă ai uitat-o, te întorci la lecție și o refaci în două rânduri.

Cum se învață, concret? În trei mișcări. Întâi acoperi coloana enunțului și încerci să reconstruiești formula din nume. Apoi, la fiecare formulă pe care n-ai reconstruit-o, deschizi lecția-sursă și refaci deducerea — nu recitești, refaci. La final verifici pe un exemplu numeric ales de tine; o formulă care trece un exemplu numeric ales de tine nu se mai uită. Trei formule reconstruite valorează cât treizeci citite.

Nimic din formular nu e arbitrar. Neutrul $e = a + 1$ al legilor factorizate vine dintr-un calcul de o linie; asimptota oblică vine din definiția distanței de la punct la dreaptă; tabelul primitivelor e tabelul derivatelor citit de la dreapta la stânga; formula volumului de rotație vine din volumul cilindrului. Formularul e vârful; deducerile sunt muntele de sub el.

Cele opt tablouri care urmează respectă ordinea unităților anului. Ultima coloană dă numărul lecției, cu legătură directă către ea. Formularul se folosește cel mai bine imediat după ce ai rezolvat un subiect întreg — de pildă a doua variantă de Bacalaureat M1 rezolvată și comentată — și înaintea sintezei finale a clasei a XII-a, care îl pune la lucru pe șase probleme complete.

2. Ce formule trebuie știute la legi de compoziție (unitatea 1)?

Rezultat	Condiții	Lecția
lege de compoziție: $* : M \times M \to M$ , $(x, y) \mapsto x * y$	$M \neq = \emptyset$	1
parte stabilă: $x, y \in H \Rightarrow x * y \in H$	$H \subseteq M$	3
forma factorizată: $x y - a x - a y + b = (x - a) (y - a) + a$	exact când $b = a^{2} + a$	1
pentru $x * y = (x - a) (y - a) + a$ : $e = a + 1$	dacă $a + 1$ e în mulțime	9
simetricul: $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$	$x \neq = a$	10
partea stabilă tipică: $(a, + \infty)$	pentru aceeași lege	3
familia $x * y = a x y + b (x + y) + c$ , $a \neq = 0$ : asociativă exact când $a c + b = b^{2}$	atunci $a (x * y) + b = (a x + b) (a y + b)$ , $e = \frac{1 - b}{a}$	15
$U (M, *)$ = mulțimea elementelor simetrizabile	$(M, *)$ monoid	11
$Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ ; $\overset{a}{^} = \hat{b} ⟺ n ∣ (a - b)$	$n \geq 2$	12
$\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ , $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$	bine definite	13
$\overset{a}{^}$ inversabilă în $(Z_{n}, \cdot)$ exact când $(a, n) = 1$	numărul lor: $φ (n)$	14
$\overset{a}{^} \overset{x}{^} = \hat{b}$ are soluții exact când $d ∣ b$ , și atunci exact $d$	$d = (a, n)$	14

⚠️ Cea mai scumpă condiție din tabloul acesta: elementul neutru și simetricul trebuie să fie în mulțimea dată, nu doar să existe ca număr real.

3. Ce formule trebuie știute la grupuri (unitatea 2)?

Rezultat	Condiții	Lecția
grup: lege asociativă, cu element neutru, toate elementele simetrizabile	„cei patru pași (0–3)": stabilitate, asociativitate, $e \in G$ , $x^{- 1} \in G$	16
$card G$ = numărul elementelor; $ord (x)$ = cel mai mic $k \geq 1$ cu $x^{k} = e$	$ord (e) = 1$	26
criteriul de subgrup: $H \neq = \emptyset$ , $x, y \in H \Rightarrow x y \in H$ și $x^{- 1} \in H$	$H \subseteq G$	24
subgrupurile lui $(Z, +)$ sunt exact $n Z$	$n \in N$	25
$⟨ x ⟩ = {x^{k} ∣ k \in Z}$ , $card ⟨ x ⟩ = ord (x)$	ordin finit	28
teorema lui Lagrange: $card H ∣ card G$	$G$ finit, $H$ subgrup	27
Consecința 1: $ord (x) ∣ card G$	$G$ finit	27
Consecința 2: $x^{card G} = e$	$G$ finit	27
Consecința 3: $card G$ prim $\Rightarrow$ $G$ ciclic	$G$ finit	27
$ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ în $(Z_{n}, +)$	convenția $(0, n) = n$	26
$\overset{a}{^}^{p - 1} = \hat{1}$ în $(Z_{p}, \cdot)$	$p$ prim, $(a, p) = 1$	34
morfism: $f (x y) = f (x) * f (y)$ ; atunci $f (e) = e^{'}$ și $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$	$f : (G, \cdot) \to (G^{'}, *)$	29
izomorfism = morfism bijectiv; se scrie $G ≃ G^{'}$	invarianți: cardinal, comutativitate, profilul ordinelor, ciclicitate	31
$U_{n} = {ε_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i sin \frac{2 k π}{n}}$ ; $(U_{n}, \cdot) ≃ (Z_{n}, +)$	$k = 0, \dots, n - 1$	20
familii de matrice: $A (x) A (y) = A (x + y)$ , $e = A (0)$ , $A (x)^{- 1} = A (- x)$	$G = {A (x) ∣ x \in R}$	17
$t_{(a, b)} \circ t_{(c, d)} = t_{(a + c, b + d)}$ , $R_{α} \circ R_{β} = R_{α + β}$	translații și rotații ale planului	21
grupul lui Klein: $a^{2} = b^{2} = c^{2} = e$ , $ab = c$ ; $K \neq ≃ (Z_{4}, +)$	patru elemente, necyclic	18

4. Inele, corpuri și polinoame (unitatea 3, supliment)

Unitatea 3 e suplimentul pentru sesiunile 2027–2029: nu mai apare în programa nouă a clasei a XII-a, dar e în programa pe care se dă examenul până atunci.

Rezultat	Condiții	Lecția
inel $(A, +, \cdot)$ : $(A, +)$ grup comutativ, $(A, \cdot)$ monoid, distributivitate	inelele au element unitate	36
Propoziția 1: $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$ ; Propoziția 2: regulile semnelor	orice inel	37
inel integru = comutativ, nenul, fără divizori ai lui zero; $Z_{n}$ integru $⟺ n$ prim	Propoziția 3: simplificarea	37
$U (A)$ = grupul unităților; $U (Z) = {- 1, 1}$ , $U (M_{n} (R)) = G L_{n} (R)$	grup față de înmulțire	38
corp: $1 \neq = 0$ și orice element nenul e inversabil; $Z_{n}$ corp $⟺ n$ prim	corpurile din curs sunt comutative	39
morfism de inele: $f (x + y)$ , $f (x y)$ și, obligatoriu, $f (1) = 1^{'}$	a treia condiție e în definiție	40
transport de structură: $x \oplus y = x + y - a$ , $x \otimes y = (x - a) (y - a) + a$ , $f (x) = x - a$	nulul $= a$ , unitatea $= a + 1$	40
$grad (f g) = grad f + grad g$	$K$ corp, $f, g \neq = 0$	42
împărțirea cu rest: $f = g c + r$ , $grad r < grad g$	$g \neq = 0$ , peste un corp	43
restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ ; Bézout: $(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$	orice corp	43
un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte	peste un corp	43
peste $Z_{p}$ : polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială	exemplul $X^{p} - X$	44
$cmmdc (f, g)$ monic, prin algoritmul lui Euclid; rădăcinile comune sunt rădăcinile lui	rădăcini luate în $K$	45
derivata formală: $(X^{n})^{'} = n X^{n - 1}$ ; $a$ rădăcină multiplă $\Rightarrow f (a) = f^{'} (a) = 0$	reciproca, doar peste $Q, R, C$	46
ireductibile: peste $C$ gradul 1; peste $R$ gradul 1 și gradul 2 cu $Δ < 0$	peste $Q$ și $Z_{p}$ , de orice grad	47
grad 2 sau 3: reductibil peste $K$ $⟺$ are rădăcină în $K$	⚠️ fals la gradul 4	47

5. Cum se citesc asimptotele și graficul dintr-un formular?

Rezultat	Condiții	Lecția
asimptotă orizontală spre $+ \infty$ : $y = ℓ$ , cu $ℓ = x \to + \infty lim f (x)$	$ℓ \in R$ ; capetele se studiază separat	52
asimptotă oblică spre $+ \infty$ : $y = m x + n$	„cei trei pași": $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}$ , apoi $n = x \to + \infty lim (f (x) - m x) \in R$	53
orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc	propoziția de excludere	53
asimptotă verticală: $x = a$ , dacă o limită laterală în $a$ e infinită	candidați: capete finite deschise și puncte de discontinuitate	54
cel mult două asimptote neverticale	una spre fiecare capăt	51
„schema asimptotelor în patru pași": domeniul, verticalele, capătul $- \infty$ , capătul $+ \infty$	rezultatul = listă de drepte cu ecuațiile lor	55
„schema în nouă pași": cei opt pași ai studiului variației + trasarea graficului	pasul 1 primește intersecțiile cu axele și paritatea	56
discuția $f (x) = m$ : valorile-prag = extremele locale și limitele finite de la capete	răspunsul = tabel cu două coloane	62
funcțiile raționale: $\frac{P}{Q}$ are oblică exact când $grad P = grad Q + 1$	consecință a schemei, nu regulă de bază	55

6. Care sunt ecuațiile canonice ale conicelor (unitatea 5)?

Conica	Ecuația canonică și elementele	Lecția
cerc	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ; general $x^{2} + y^{2} + 2 m x + 2 n y + p = 0$ , centrul $(- m, - n)$ , $r^{2} = m^{2} + n^{2} - p > 0$	68
elipsă	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $a > b > 0$ , $c = a^{2} - b^{2}$ , $F (\pm c, 0)$ , $M F + M F^{'} = 2 a$ , $e = \frac{c}{a} \in (0, 1)$ , coarda focală $\frac{2 b ^{2}}{a}$	71
hiperbolă	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $c = a^{2} + b^{2}$ , asimptotele $y = \pm \frac{b}{a} x$ , $∣ M F - M F^{'} ∣ = 2 a$ , $e > 1$	73
hiperbolă echilateră	$x^{2} - y^{2} = a^{2}$ ; raportată la asimptote, $x y = \frac{a ^{2}}{2}$	74
parabolă	$y^{2} = 2 p x$ , $p > 0$ , $F (\frac{p}{2}, 0)$ , directoarea $x = - \frac{p}{2}$ , $M F = x + \frac{p}{2}$	76
orientări	„pătratul spune axa, semnul spune sensul": $y^{2} = \pm 2 p x$ (orizontal), $x^{2} = \pm 2 p y$ (vertical)	76

Tangenta și intersecția, pe același rând cu conica lor:

Conica	Dedublarea în $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ de pe conică	Tangenta $y = m x + n$
cerc	$(x - a) (x_{0} - a) + (y - b) (y_{0} - b) = r^{2}$	$n^{2} = r^{2} (1 + m^{2})$
elipsă	$\frac{x x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$	$n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$
hiperbolă	$\frac{x x _{0}}{a ^{2}} - \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$	$n^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$
parabolă	$y y_{0} = p (x + x_{0})$	$2 mn = p$

Regula de memorat a dedublării: $x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$ . La intersecția cu o dreaptă se verifică întâi coeficientul lui $x^{2}$ , apoi decide $Δ$ : pozitiv — secantă, nul — tangentă, negativ — exterioară (78, 79).

7. Care sunt cele 16 rânduri ale tabelului primitivelor?

Tabelul canonic, cu $a > 0$ și $C$ pe fiecare rând; intervalul $I$ e cel pe care funcția e continuă (86, 87):

Nr.	$f (x)$	$\int f (x) d x$	Interval
1	$x^{n}$ , $n \in N$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	$R$
2	$x^{r}$ , $r \in R ∖ {- 1}$	$\frac{x ^{r + 1}}{r + 1} + C$	$(0, + \infty)$
3	$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	$(- \infty, 0)$ sau $(0, + \infty)$
4	$a^{x}$ , $a \neq = 1$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$	$R$
5	$e^{x}$	$e^{x} + C$	$R$
6	$sin x$	$- cos x + C$	$R$
7	$cos x$	$sin x + C$	$R$
8	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tg x + C$	$I \subseteq R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$
9	$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- ctg x + C$	$I \subseteq R ∖ {k π}$
10	$\frac{1}{x}$	$2 x + C$	$(0, + \infty)$
11	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$\frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$	$I \subseteq R ∖ {\pm a}$
12	$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$	$R$
13	$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$	$R$
14	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$ln x + x^{2} - a^{2} + C$	$(- \infty, - a)$ sau $(a, + \infty)$
15	$\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}$	$arcsin \frac{x}{a} + C$	$(- a, a)$
16	$tg x$ , $ctg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$ , $ln ∣ sin x ∣ + C$	intervale fără poli

Metodele, tot pe trei coloane:

Rezultat	Condiții	Lecția
$F$ primitivă a lui $f$ pe $I$ : $F$ derivabilă și $F^{'} = f$ pe $I$	⚠️ se lucrează pe interval	84
două primitive pe același interval diferă printr-o constantă	Consecința 1 a teoremei lui Lagrange	84
$f$ continuă pe interval $\Rightarrow$ $f$ admite primitive	reciproca e falsă	88
discontinuitate de speța I, sau imagine care nu e interval $\Rightarrow$ fără primitive	consecințele teoremei lui Darboux	88
părți: $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$	„regula descreșterii": derivezi $ln$ și inversele trigonometrice, apoi $x^{n}$	90
schimbare de variabilă: $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$	revenire obligatorie la $x$	92
scurtătura: $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$	$a \neq = 0$	93
$\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x)∣ + C$	$u \neq = 0$ pe interval	92
trinomul: $x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + k^{2}$ , apoi rândul 11, 12 sau 15	$k^{2} = q - \frac{p ^{2}}{4}$	94
fracții simple: $\frac{A}{x - a}$ , $\frac{A}{( x - a ) ^{k}}$ , $\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$	$p^{2} - 4 q < 0$ ; întâi împărțirea, dacă e cazul	95

8. Integrala definită și aplicațiile ei (unitățile 7 și 8)

Rezultat	Condiții	Lecția
diviziune $Δ = (x_{0}, \dots, x_{n})$ , norma $∥ Δ ∥ = i max (x_{i} - x_{i - 1})$	$a = x_{0} < \dots < x_{n} = b$	106
suma Riemann $σ_{Δ} (f, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$	$ξ_{i} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$	107
funcțiile continue și cele monotone pe $[a, b]$ sunt integrabile	se admit fără demonstrație	109
orice funcție integrabilă e mărginită	de aici argumentul „nu e integrabilă"	109
Leibniz–Newton: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x)_{a}^{b}$	$f$ integrabilă, $F$ primitivă pe $[a, b]$	111
liniaritate, aditivitate ( $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ ), monotonie, ereditate, stabilitate	$\int_{a}^{a} f = 0$ , $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$	112
inegalitatea modulului: $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$	$a < b$	112
teorema de medie: există $c \in [a, b]$ cu $\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$	$f$ continuă; $c$ nu e unic	114
valoarea medie: $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$	interpretare: dreptunghi de aceeași arie	114
funcția integrală $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ are $F^{'} = f$	$f$ continuă; variabila de sub integrală e $t$	116
părți: $\int_{a}^{b} f g^{'} = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g$	$f, g$ derivabile cu derivata continuă	118
schimbare de variabilă: $\int_{a}^{b} f (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} f (t) d t$	⚠️ se schimbă limitele, nu se revine la $x$	119
$\int_{- a}^{a} f = 0$ ( $f$ impară), $= 2 \int_{0}^{a} f$ ( $f$ pară)	$f$ integrabilă pe $[- a, a]$	123
sume Riemann: $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x$	$f$ continuă — justificarea se scrie	122
aria subgraficului: $S (Γ_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x$	$f$ continuă și $f \geq 0$	125
aria dintre grafice: $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x$	se stabilește cine e deasupra, pe fiecare interval	126
$\int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} d x = \frac{π r ^{2}}{2}$ ; aria elipsei $= π ab$	„formula de buzunar"	128
volumul de rotație: $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$	rotație în jurul axei $O x$ , $f \geq 0$	131
con $\frac{π r ^{2} h}{3}$ , trunchi $\frac{π h}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ , sferă $\frac{4 π r ^{3}}{3}$	deduse din formula de mai sus	132
centrul de greutate: $x_{G} = \frac{1}{S} \int_{a}^{b} x f (x) d x$ , $y_{G} = \frac{1}{2 S} \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$	placă omogenă, $f \geq 0$ continuă	134
lucrul mecanic $L = \int_{a}^{b} F (x) d x$ ; volumul $V = \int_{t_{1}}^{t_{2}} Q (t) d t$ ; energia $E = \int_{t_{1}}^{t_{2}} P (t) d t$	$F$ = forța, $Q$ = debitul, $P$ = puterea	136

Exemple rezolvate

Cele șase exemple de mai jos nu sunt exerciții noi: sunt citiri de formular. La fiecare, primul lucru scris este rândul folosit.

Exemplul 1 — Câte soluții are o ecuație în $Z_{n}$ ?

Rezolvați $\hat{6} \overset{x}{^} = 10$ în $Z_{14}$ .

Rezolvare. Rândul folosit (tabloul 2): ecuația $\overset{a}{^} \overset{x}{^} = \hat{b}$ are soluții exact când $d ∣ b$ , unde $d = (a, n)$ , și atunci are exact $d$ soluții.

Aici $d = (6, 14) = 2$ și $2 ∣ 10$ , deci ecuația are exact două soluții. Cum $\hat{6}$ nu e inversabilă, nu putem înmulți cu inversul; simplificăm relația $14 ∣ (6 x - 10)$ prin $2$ și obținem $7 ∣ (3 x - 5)$ , adică $\hat{3} \overset{x}{^} = \hat{5}$ în $Z_{7}$ . Acolo $\hat{3}$ e inversabilă, cu $\hat{3}^{- 1} = \hat{5}$ (fiindcă $15 = 2 \cdot 7 + 1$ ), deci $\overset{x}{^} = \hat{5} \cdot \hat{5} = 25 = \hat{4}$ .

Revenind în $Z_{14}$ : $x \in {4, 11}$ . (Verificat: $6 \cdot 4 = 24 = 14 + 10$ și $6 \cdot 11 = 66 = 4 \cdot 14 + 10$ .) ✓ Exact două soluții, cât a prezis formula.

Exemplul 2 — Ordinul unui element și Lagrange

Calculați $ord (12)$ în $(Z_{18}, +)$ și verificați Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

Rezolvare. Rândul folosit (tabloul 3): $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ .

Cu $n = 18$ și $a = 12$ : $(12, 18) = 6$ , deci $ord (12) = \frac{18}{6} = 3$ . Într-un grup aditiv, „puterea a treia" înseamnă $12 + 12 + 12 = 36 = \hat{0}$ ✓, iar niciun multiplu mai mic nu dă $\hat{0}$ : $12 \neq = \hat{0}$ și $24 = \hat{6} \neq = \hat{0}$ .

Consecința 1 cere $ord (x) ∣ card G$ : într-adevăr, $3 ∣ 18$ ✓. Formularul dă, în două rânduri, ceea ce altfel s-ar afla încercând toate puterile.

Exemplul 3 — Toate asimptotele, dintr-o singură împărțire

Determinați asimptotele graficului funcției $f : R ∖ {- 3} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x ^{2} + x - 2}{x + 3}$ .

Rezolvare. Rândurile folosite (tabloul 5): schema asimptotelor în patru pași; asimptota oblică în trei pași.

Pasul 1 — domeniul: $R ∖ {- 3}$ , deci singurul candidat la verticală este $x = - 3$ .

Pasul 2 — verticala. Numărătorul în $- 3$ valorează $27 - 3 - 2 = 22 \neq = 0$ , deci limitele laterale sunt infinite: $x = - 3$ este asimptotă verticală bilaterală.

Pașii 3 și 4 — capetele. Împărțirea dă drumul cel mai scurt: $\frac{3 x ^{2} + x - 2}{x + 3} = 3 x - 8 + \frac{22}{x + 3} .$ Cum $\frac{22}{x + 3} \to 0$ la ambele capete, avem $m = 3$ și $n = - 8$ : dreapta $y = 3 x - 8$ este asimptotă oblică și spre $- \infty$ , și spre $+ \infty$ . Orizontală nu există, prin propoziția de excludere reciprocă. (Verificat numeric: $\frac{f ( x )}{x} \to 3$ și $f (x) - 3 x \to - 8$ la $x = \pm 1 0^{8}$ .) ✓

Exemplul 4 — Tangenta la parabolă, citită de două ori

Scrieți ecuația tangentei la parabola $y^{2} = 48 x$ în punctul $M (3, 12)$ și confirmați rezultatul cu condiția de tangență.

Rezolvare. Rândurile folosite (tabloul 6): dedublarea $y y_{0} = p (x + x_{0})$ și condiția $2 mn = p$ .

Din $y^{2} = 2 p x$ și $2 p = 48$ rezultă $p = 24$ — ⚠️ nu $48$ . Punctul aparține parabolei: $1 2^{2} = 144 = 48 \cdot 3$ ✓. Dedublarea dă $12 y = 24 (x + 3), adic \overset{a}{˘} y = 2 x + 6.$ Confirmarea. Cu $m = 2$ și $n = 6$ , condiția de tangență cere $2 mn = p$ : $2 \cdot 2 \cdot 6 = 24 = p$ ✓. Al treilea control, prin sistem: din $(2 x + 6)^{2} = 48 x$ obținem $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ , cu $Δ = 0$ și rădăcina dublă $x = 3$ — dreapta atinge parabola într-un singur punct, cel dat. Trei rânduri de formular, același răspuns.

Exemplul 5 — Două rânduri care se confundă: 13 și 15

Calculați $\int \frac{d x}{x ^{2} + 11}$ pe $R$ și $\int \frac{d x}{11 - x ^{2}}$ pe $(- 11, 11)$ .

Rezolvare. Rândurile folosite: 13 și 15 din tabelul primitivelor, cu $a^{2} = 11$ , deci $a = 11$ .

Semnul de sub radical decide rândul. Când $x^{2}$ vine cu plus, rezultatul e logaritmic: $\int \frac{d x}{x ^{2} + 11} = ln (x + x^{2} + 11) + C .$ Modulul lipsește, pentru că $x + x^{2} + 11 > 0$ pentru orice $x$ real. Când $x^{2}$ vine cu minus, rezultatul e un arcsinus: $\int \frac{d x}{11 - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{11} + C .$ (Ambele verificate prin derivare în câte trei puncte ale intervalului lor.) ✓ Domeniile spun totul: primul e $R$ , al doilea e mărginit — un rezultat scris pe $R$ pentru al doilea ar fi greșit înainte de orice calcul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = 2 x + 3$ . a) Calculați $\int_{0}^{3} f (x) d x$ . b) Determinați valoarea medie a lui $f$ pe $[0, 3]$ și numărul $c$ dat de teorema de medie. c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $O x$ .

Rezolvare. a) Rândurile folosite: rândul 2 al tabelului ( $x^{r}$ cu $r = \frac{1}{2}$ ) și scurtătura $\int f (a x + b) = \frac{1}{a} F (a x + b)$ . O primitivă este $F (x) = \frac{1}{3} (2 x + 3)^{3}$ , iar Leibniz–Newton dă $\int_{0}^{3} 2 x + 3 d x = \frac{1}{3} (2 x + 3)^{3}_{0}^{3} = \frac{27 - 3 3}{3} = 9 - 3 .$ (Verificat cu integrare numerică: $9 - 3 \approx 7, 2679$ .) ✓

b) Rândul folosit: valoarea medie $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ și teorema de medie. Media este $\frac{9 - 3}{3} = 3 - \frac{3}{3}$ . Cum $f$ e continuă pe $[0, 3]$ , există $c$ cu $f (c) = 3 - \frac{3}{3}$ , adică $2 c + 3 = 3 - \frac{3}{3}$ . Ridicând la pătrat: $2 c + 3 = 9 - 23 + \frac{1}{3}$ , deci $c = \frac{19}{6} - 3 \approx 1, 4346 \in [0, 3] . ✓$

c) Rândul folosit: $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2}$ . Cum $f^{2} (x) = 2 x + 3$ , $V (C_{f}) = π \int_{0}^{3} (2 x + 3) d x = π (x^{2} + 3 x)_{0}^{3} = 18 π .$ Un control rapid: subgraficul e cuprins între dreptunghiurile de înălțimi $3$ și $3$ , deci volumul e între $3 π \cdot 3 = 9 π$ și $3 π \cdot 9 = 27 π$ ✓. La Subiectul al III-lea, un asemenea control valorează mai mult decât pare: prinde greșelile de semn înainte să ajungă pe foaie.

Să exersăm

1. Completați: pentru legea $x * y = (x - a) (y - a) + a$ , elementul neutru este $e = \dots$ , iar simetricul lui $x \neq = a$ este $x^{'} = \dots$ .

2. Scrieți legea $x * y = x y - 17 x - 17 y + 306$ în formă factorizată, verificând criteriul $b = a^{2} + a$ .

3. Determinați elementele inversabile ale lui $(Z_{15}, \cdot)$ și numărul lor.

4. Calculați $ord (10)$ în $(Z_{25}, +)$ , folosind formula din formular.

5. Calculați $\hat{7}^{23}$ în $Z_{11}$ , folosind Consecința 2 a teoremei lui Lagrange.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un grup cu $15$ elemente are un subgrup cu $6$ elemente."

7. Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{4} - 3 X + 5$ la $X - 2$ , fără să efectuați împărțirea.

8. Scrieți derivata formală a polinomului $f = \hat{2} X^{3} + \hat{4} X^{2} + \hat{1} \in Z_{5} [X]$ .

9. Determinați asimptota oblică a graficului funcției $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 5 x - 1}{x + 1}$ și asimptota ei verticală.

10. Determinați asimptota orizontală a graficului funcției $f (x) = \frac{5 x - 2}{x + 4}$ , spre fiecare capăt.

11. Pentru elipsa $\frac{x ^{2}}{400} + \frac{y ^{2}}{144} = 1$ , calculați $c$ , focarele și excentricitatea.

12. Scrieți ecuația tangentei la cercul $x^{2} + y^{2} = 29$ în punctul $A (2, 5)$ , prin dedublare.

13. Completați rândul 12 al tabelului: $\int \frac{d x}{x ^{2} + 13} = \dots$

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe orice interval inclus în $R^{*}$ avem $\int \frac{d x}{x} = ln x + C$ ."

15. Calculați $\int_{1}^{3} (4 x - 1) d x$ cu formula Leibniz–Newton.

16. (Problemă aplicată.) Un rezervor primește apă cu debitul $Q (t) = 4 t + 1$ (litri pe minut), pentru $t \in [0, 5]$ . Ce volum de apă intră în cele cinci minute?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f : [0, 1] \to R$ , $f (x) = e^{3 x}$ . a) Determinați o primitivă a lui $f$ . b) Calculați $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $O x$ .

18. (Provocare.) Arătați că formula $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ este compatibilă cu Consecința 1 a teoremei lui Lagrange și verificați-o pe toate elementele lui $(Z_{12}, +)$ .

Răspunsuri și explicații

1. $e = a + 1$ și $x^{'} = a + \frac{1}{x - a}$ . Prima se obține din $(x - a) (e - a) + a = x$ , adică $(x - a) (e - a - 1) = 0$ pentru orice $x$ ; a doua din $(x - a) (x^{'} - a) = 1$ .

2. Cu $a = 17$ avem $a^{2} + a = 289 + 17 = 306$ ✓, deci $x * y = (x - 17) (y - 17) + 17$ . (Verificat pe 300 de perechi de numere raționale.)

3. Inversabile sunt clasele $\overset{a}{^}$ cu $(a, 15) = 1$ : $\hat{1}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{7}, \hat{8}, 11, 13, 14$ — opt clase, adică $φ (15) = 8$ .

4. $(10, 25) = 5$ , deci $ord (10) = \frac{25}{5} = 5$ . Într-adevăr, $5 \cdot 10 = 50 = 2 \cdot 25$ .

5. $U (Z_{11}, \cdot)$ are $10$ elemente, deci $\hat{7}^{10} = \hat{1}$ . Atunci $\hat{7}^{23} = (\hat{7}^{10})^{2} \cdot \hat{7}^{3} = \hat{7}^{3} = 343 = \hat{2}$ , fiindcă $343 = 31 \cdot 11 + 2$ .

6. Fals. Teorema lui Lagrange cere ca $card H$ să dividă $card G$ , iar $6 ∤ 15$ . (Atenție: reciproca teoremei e falsă — divizibilitatea nu garantează existența subgrupului.)

7. Prin teorema restului, restul este $f (2) = 16 - 6 + 5 = 15$ .

8. Derivând termen cu termen, $f^{'} = \hat{6} X^{2} + \hat{8} X = \hat{1} X^{2} + \hat{3} X$ , pentru că $\hat{6} = \hat{1}$ și $\hat{8} = \hat{3}$ în $Z_{5}$ .

9. Împărțirea dă $\frac{2 x ^{2} + 5 x - 1}{x + 1} = 2 x + 3 - \frac{4}{x + 1}$ , deci asimptota oblică este $y = 2 x + 3$ (spre ambele capete), iar $x = - 1$ este asimptotă verticală bilaterală.

10. $x \to \pm \infty lim \frac{5 x - 2}{x + 4} = 5$ , deci $y = 5$ este asimptotă orizontală și spre $- \infty$ , și spre $+ \infty$ . Oblică nu există.

11. $a = 20$ , $b = 12$ , deci $c = 400 - 144 = 16$ ; focarele sunt $F (16, 0)$ și $F^{'} (- 16, 0)$ , iar $e = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$ .

12. Punctul aparține cercului: $4 + 25 = 29$ ✓. Dedublarea $x x_{0} + y y_{0} = r^{2}$ dă $2 x + 5 y = 29$ .

13. Cu $a = 13$ , rândul 12 dă $\frac{1}{13} arctg \frac{x}{13} + C$ . (Verificat prin derivare.)

14. Fals. Pe intervalele din $(- \infty, 0)$ , $ln x$ nici măcar nu e definit. Rândul 3 se scrie cu modul: $ln ∣ x ∣ + C$ . Formularea corectă a rezultatului cere și precizarea că se lucrează pe un interval.

15. O primitivă este $F (x) = 2 x^{2} - x$ , deci $\int_{1}^{3} (4 x - 1) d x = (18 - 3) - (2 - 1) = 14$ .

16. $V = \int_{0}^{5} (4 t + 1) d t = (2 t^{2} + t)_{0}^{5} = 50 + 5 = 55$ litri.

17. a) $F (x) = \frac{e ^{3 x}}{3}$ , prin scurtătura $\int f (a x + b) = \frac{1}{a} F (a x + b)$ . b) $\int_{0}^{1} e^{3 x} d x = \frac{e ^{3} - 1}{3}$ . c) $V = π \int_{0}^{1} e^{6 x} d x = \frac{π ( e ^{6} - 1 )}{6}$ . (Toate trei verificate numeric.)

18. Consecința 1 spune că $ord (\overset{a}{^}) ∣ card Z_{n} = n$ ; formula dă chiar un divizor al lui $n$ , fiindcă $(a, n) ∣ n$ — cele două sunt coerente, iar formula spune în plus care divizor. În $(Z_{12}, +)$ : ordinele sunt $1, 12, 6, 4, 3, 12, 2, 12, 3, 4, 6, 12$ pentru $a = 0, 1, \dots, 11$ , toate divizoare ale lui $12$ . (Verificat prin calcul direct pentru toate cele douăsprezece clase.)

De reținut

Formularul se citește pe trei coloane: enunțul, condițiile și lecția-sursă. Coloana condițiilor e cea care aduce sau pierde punctele la Bacalaureat M1.
Nicio formulă din formular nu se memorează izolat; fiecare se poate deduce în câteva rânduri din lecția din care vine, iar deducerea refăcută o dată se ține minte mai bine decât o formulă citită de zece ori.
Cele 16 rânduri ale tabelului primitivelor sunt tabelul derivatelor citit invers, iar fiecare rând vine cu intervalul lui — rândurile 3, 11, 14 și 16 cer modul, rândul 13 nu.
Structurile algebrice au un singur fir roșu: forma factorizată $(x - a) (y - a) + a$ , din care se citesc deodată partea stabilă, neutrul $e = a + 1$ , simetricul și izomorfismul $f (x) = x - a$ .
Integrala definită și aplicațiile ei se sprijină pe două formule-mamă: Leibniz–Newton pentru calcul și $S = \int_{a}^{b} f$ pentru arie, din care se obțin volumul, valoarea medie și centrul de greutate.

Greșeli frecvente

Se folosește o formulă corectă în afara condițiilor ei. Corect: se citește întotdeauna și coloana a doua — „pe un interval", „ $f$ continuă", „ $a > 0$ ", „ $p^{2} - 4 q < 0$ ".
Se scrie $ln x$ în loc de $ln ∣ x ∣$ la rândul 3 și la rândurile 11, 14, 16. Corect: modulul rămâne în rezultat; singura excepție e rândul 13, unde argumentul $x + x^{2} + a^{2}$ e strict pozitiv.
Se confundă parametrul parabolei cu coeficientul din ecuație. Corect: în $y^{2} = 48 x$ avem $2 p = 48$ , deci $p = 24$ , iar focarul e la $\frac{p}{2} = 12$ de vârf.
Se declară „ecuația $\overset{a}{^} \overset{x}{^} = \hat{b}$ are o soluție" fără să se calculeze $d = (a, n)$ . Corect: sunt exact $d$ soluții când $d ∣ b$ și niciuna în rest — un singur răspuns dat unde se cereau patru costă tot exercițiul.
Se caută asimptotă oblică spre un capăt unde există deja orizontală. Corect: cele două se exclud reciproc, iar ordinea e obligatorie — întâi orizontala, apoi, dacă nu există, oblica.

Aplică acasă

Formularul, pe o singură pagină, scris de mână. Ia o coală A4 și copiază, cu pixul, doar rândurile pe care nu le știi pe de rost. Vei descoperi că sunt sub douăzeci. Pagina aceasta e cea pe care o recitești în dimineața examenului — nu lecțiile.
Proba deducerii, în cinci minute pe zi. Alege în fiecare zi trei rânduri la întâmplare, acoperă coloana enunțului și reconstruiește formula din nume. La cele care nu ies, deschide lecția-sursă și refă deducerea, nu doar citește-o.
Exemplul tău numeric pentru fiecare rând greu. Pentru rândurile 11–16 ale tabelului primitivelor, alege câte o valoare a lui $a$ și derivează rezultatul pe ciornă. O formulă verificată o dată cu mâna ta nu se mai pierde.

Pentru părinți și profesori

Lecția este un instrument de recapitulare, nu o lecție de conținut nou: reunește, în opt tablouri, toate rezultatele clasei a XII-a de mate-info, fiecare cu condițiile lui de valabilitate și cu trimiterea către lecția în care a fost demonstrat. Ea răspunde competențelor XII.CS.1.1, XII.CS.1.3 și XII.CS.1.5 (și, prin ultimele două tablouri, competenței XII.CS.1.6), toate din familia „identificare" — exact ce se cere într-o recapitulare finală.

Ce verifică lecția: (1) găsirea rapidă a formulei potrivite pentru o cerință dată; (2) citirea condițiilor de valabilitate, nu doar a enunțului; (3) distincția între rândurile care se confundă ușor — 11 față de 12, 13 față de 15 la primitive, dedublarea față de condiția de tangență la conice; (4) capacitatea de a reface o deducere, nu doar de a reproduce un rezultat.

Întrebări bune de control: „Pe ce interval e valabilă formula aceasta?", „De unde vine?", „Ce se schimbă dacă funcția nu mai e continuă?", „Care rând din tabel se potrivește și de ce nu vecinul lui?". Semn că elevul e pregătit: pus în fața unei formule pe care a uitat-o, nu se blochează, ci spune din ce lecție vine și o reconstruiește.

La BAC, formularul acoperă Subiectul al II-lea (structuri algebrice, polinoame) și Subiectul al III-lea (asimptote, primitive, integrale, arii și volume). Conicele intră în examen odată cu programa nouă; până atunci sunt materie de clasă, nu de examen — de aceea tabloul lor e prezent, dar marcat separat.

Întrebări frecvente

Ce este un formular la matematică? Un formular este lista organizată a rezultatelor pe care le poți folosi fără demonstrație, fiecare însoțit de condițiile în care e valabil. Nu înlocuiește lecțiile: le rezumă pentru momentul în care ai nevoie rapid de o formulă. La clasa a XII-a el are opt tablouri, câte unul pentru fiecare unitate a anului.

Cum învăț formulele de clasa a 12-a fără să le memorez mecanic? Le deduci. Acoperi coloana enunțului și încerci să reconstruiești formula din numele ei; la cele care nu ies, deschizi lecția-sursă și refaci deducerea cu pixul în mână. Trei formule reconstruite în felul acesta se rețin mai bine decât treizeci recitite, pentru că ai memoria drumului, nu doar a destinației.

Care sunt formulele obligatorii pentru Bacalaureat M1 la clasa a 12-a? Din algebră: forma factorizată a legilor, criteriul de subgrup, teorema lui Lagrange cu cele trei consecințe, $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ și condiția de inversabilitate în $Z_{n}$ . Din analiză: cele trei tipuri de asimptote, cele 16 rânduri ale tabelului primitivelor, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, formula Leibniz–Newton, teorema de medie, aria subgraficului și volumul de rotație.

De ce apare modulul la unele primitive și la altele nu? Pentru că logaritmul e definit doar pentru argument strict pozitiv. La rândurile 3, 11, 14 și 16 argumentul își poate schimba semnul pe domeniul funcției, deci modulul e obligatoriu. La rândul 13, argumentul $x + x^{2} + a^{2}$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real, deci modulul ar fi de prisos — și se scrie fără el.

Cum îmi dau seama ce rând din tabel se potrivește la o integrală? Te uiți la numitor și la semnul de dinaintea lui $x^{2}$ . Fără radical și cu minus — rândul 11; fără radical și cu plus — rândul 12. Cu radical și $x^{2}$ pozitiv — rândurile 13 sau 14, după semnul constantei; cu radical și $x^{2}$ negativ — rândul 15. Dacă la numărător apare derivata numitorului, niciunul dintre ele: e logaritmul $ln ∣ u ∣$ .

Care este formula volumului corpului de rotație? Volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului funcției continue și pozitive $f : [a, b] \to R$ în jurul axei $O x$ este $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ . Din ea se deduc, cu funcții potrivite, volumele cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei — nu se învață separat, se obțin în câte două rânduri fiecare.

Când intră conicele în subiectele de examen? Ele apar în programa nouă a clasei a XII-a și vor fi cerute la Bacalaureat M1 începând cu prima sesiune pe această programă. În variantele de până acum nu au apărut, așa că tabloul lor din formular e materie de clasă și de teze, nu de examen — dar formulele sunt aceleași, iar tangenta prin dedublare merită știută oricum.

Cât timp îmi ia să învăț formularul? Nu se învață dintr-o dată. Trei rânduri pe zi, reconstruite din nume și verificate pe un exemplu numeric, înseamnă tot formularul în mai puțin de două luni, cu cinci minute pe zi. Rândurile pe care le știi deja se sar; în practică rămân sub douăzeci de rânduri de lucru pentru un elev care a parcurs anul.