Asimptota verticală: pe scurt

Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită; nu se cere ca amândouă să fie infinite și nici măcar ca amândouă să existe. De fiecare dată se precizează dacă asimptota este la stânga, la dreapta sau bilaterală, pentru că această informație spune câte ramuri ale graficului se lipesc de dreaptă și în ce sens merg. Candidații sunt numai capetele finite și deschise ale domeniului și punctele de discontinuitate; un punct interior în care funcția este continuă nu poate fi niciodată candidat, fiindcă acolo limitele laterale sunt finite. O valoare interzisă produce asimptotă doar dacă limita laterală iese efectiv infinită: la funcțiile raționale se simplifică întâi fracția, iar rădăcinile care dispar prin simplificare dau găuri în grafic. Atenție și la deosebirea dintre „limita nu există” și „limita este infinită” — o oscilație fără limită nu dă asimptotă. Spre deosebire de asimptotele neverticale, care sunt cel mult două, asimptotele verticale pot fi oricât de multe: funcția tangentă are o infinitate.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dreapta $x=a$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ dacă:

   • a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită
   • b) ambele limite laterale ale lui $f$ în $a$ sunt infinite
   • c) $a$ nu aparține domeniului lui $f$
   • d) $f$ este discontinuă în $a$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) cel puțin una dintre limitele laterale ale lui $f$ în $a$ este infinită

   Definiția cere o singură limită laterală infinită — de aceea există asimptote verticale numai la stânga sau numai la dreapta, ca la $e^{\frac{1}{x}}$ în origine. Varianta c descrie doar un candidat, iar varianta d este prea slabă: o discontinuitate de speța I are limite laterale finite și nu produce nicio asimptotă.

2. Pentru $f(x)=\ln (3-x)$, dreapta $x=3$ este asimptotă verticală:

   • a) la dreapta
   • b) bilaterală
   • c) la stânga
   • d) nu este asimptotă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) la stânga

   Domeniul este $(-\infty ,3)$, deci $3$ este capăt finit și deschis — un candidat. Există o singură limită laterală, cea la stânga, și ea este $\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\ln (3-x)=-\infty$. Prin urmare $x=3$ este asimptotă verticală la stânga: o singură ramură a graficului se lipește de dreaptă, coborând.

3. Câte asimptote verticale are graficul funcției $f(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2-4}$?

   • a) $2$
   • b) $0$
   • c) $3$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $1$

   Simplificăm întâi: $\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+1}{x+2}$ pentru $x\ne 2$. În $2$ limita este $\frac{3}{4}$, deci acolo graficul are o gaură, nu o asimptotă. Rămâne $x=-2$, unde limitele laterale sunt infinite: o singură asimptotă verticală. Nesimplificarea fracției este cea mai frecventă greșeală de la Bacalaureat M1 la acest capitol.