Cercul și dreapta. Tangenta la cerc: pe scurt

O dreaptă are față de un cerc exact una dintre trei poziții — secantă, tangentă sau exterioară — iar decizia se ia comparând distanța $\delta$ de la centru la dreaptă cu raza: $\delta <r$ înseamnă secantă, $\delta =r$ tangentă, $\delta >r$ exterioară. Distanța se calculează cu $\delta =\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, întotdeauna cu modul, iar comparația se face fie între $\delta$ și $r$, fie între pătratele lor, niciodată amestecat.

Al doilea criteriu, valabil la orice conică, este discriminantul sistemului format din cele două ecuații: pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă cu rădăcină dublă, negativ înseamnă exterioară. Cele două criterii dau același răspuns, prin identitatea $\frac{\Delta }{4}=(1+m^2)\left(r^2-{\delta }^2\right)$. O dreaptă verticală nu se scrie sub forma $y=mx+n$: se substituie $x=x_0$ direct în ecuația cercului și se discută ecuația obținută în $y$.

Coarda tăiată de o secantă are lungimea $2\sqrt{r^2-{\delta }^2}$, deci se află fără a calcula punctele de intersecție. Cei trei pași ai tangentei la cerc: verifici că punctul este pe cerc, calculezi panta razei, scrii tangenta cu panta $-\frac{1}{m_{\text{raza˘}}}$, pentru că tangenta este perpendiculară pe rază. Dintr-un punct exterior aflat la distanța $CP$ de centru se duc două tangente, fiecare de lungime $\sqrt{C{P}^2-r^2}$, iar verticala prin acel punct se verifică separat.

Exerciții din această mini-lecție

1. Poziția dreptei $3x+4y-30=0$ față de cercul $x^2+y^2=36$ este:

   • a) tangentă
   • b) exterioară
   • c) trece prin centrul cercului
   • d) secantă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) tangentă

   Distanța de la centrul $O(0,0)$ la dreaptă este $\delta =\frac{|-30|}{\sqrt{9+16}}=\frac{30}{5}=6$, iar raza este $r=\sqrt{36}=6$. Cum $\delta =r$, dreapta este tangentă. Dacă am fi comparat $\delta =6$ cu $r^2=36$, am fi conchis greșit „exterioară” — de aceea comparația se face între mărimi de același fel.

2. Lungimea coardei determinate de dreapta $y=6$ pe cercul $x^2+y^2=100$ este:

   • a) $8$
   • b) $20$
   • c) $12$
   • d) $16$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $16$

   Distanța de la centru la dreapta orizontală $y=6$ este $\delta =6$, iar $r=10$. Coarda are lungimea $2\sqrt{r^2-{\delta }^2}=2\sqrt{100-36}=2\cdot 8=16$. Verificare directă: din $x^2+36=100$ rezultă $x=\pm 8$, deci capetele sunt $(-8,6)$ și $(8,6)$, la distanța $16$ unul de altul.

3. Tangenta la cercul $x^2+y^2=169$ în punctul $M(5,12)$ are ecuația:

   • a) $12x+5y-120=0$
   • b) $5x+12y-169=0$
   • c) $5x-12y+119=0$
   • d) $12x-5y=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5x+12y-169=0$

   Punctul este pe cerc: $25+144=169$. Raza $OM$ are panta $\frac{12}{5}$, deci tangenta are panta $-\frac{5}{12}$ și ecuația $y-12=-\frac{5}{12}(x-5)$, adică $5x+12y-169=0$. Controlul final durează zece secunde: distanța de la $O$ la această dreaptă este $\frac{169}{13}=13=r$.