Sinteză: conice — probleme de tip Bacalaureat M1

Unitatea de conice a clasei a 12-a a durat optsprezece lecții și a adus patru curbe, vreo treizeci de formule și cinci tipuri de probleme. Lecția de față nu adaugă nimic nou. Ea strânge tot ce s-a construit într-o listă de control, adună într-un singur loc cele opt capcane care revin la fiecare corectare și rezolvă complet șase probleme-model, în formatul cu trei subpuncte în care apar la examen.

Structura problemelor merită spusă de la început, pentru că ea organizează recapitularea. Un subiect de conice arată aproape întotdeauna așa: subpunctul a) cere recunoașterea tipului și elementele; b) cere ceva ce se calculează din elemente — o tangentă, o intersecție, o distanță, verificarea unui punct; c) cere fie o determinare, fie o interpretare a rezultatului. Cine are elementele corecte are, practic, toate cele trei subpuncte; cine greșește o semiaxă le pierde împreună.

Ce vei învăța

• Vei ști lista de control a unității: ce trebuie să știi pe de rost la fiecare dintre cele patru conice.
• Vei ști să parcurgi, în ordinea corectă, drumul de la o ecuație dată la toate elementele curbei.
• Vei ști să rezolvi cele cinci tipuri de probleme ale unității: recunoaștere, elemente, tangentă, intersecție, determinare.
• Vei ști să recunoști cele opt capcane ale capitolului și să le eviți înainte de a greși.
• Vei ști să redactezi o problemă de conice astfel încât fiecare pas să poată fi punctat separat.
• Vei ști să traduci o situație reală — o orbită, o antenă — în ecuația unei conice și înapoi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce trebuie să știi din conice?

Lista de control a unității este mulțimea minimă de formule și proceduri fără de care niciun subpunct nu se poate rezolva: ecuațiile canonice ale celor patru conice, legătura dintre $a$, $b$ și $c$, poziția focarelor, asimptotele hiperbolei, directoarea parabolei și regula de dedublare. Iat-o strânsă, cu toate rândurile pe care le-ai construit lecție cu lecție.

În rândul hiperbolei echilatere, cele două focare sunt $(a,a)$ și $(-a,-a)$: scrierea $(\pm a,\pm a)$ se citește cu semne luate simultan, nu ca patru puncte.

La ele se adaugă câteva formule scurte, care rezolvă singure jumătate din subpuncte: razele focale $MF=a-ex$ la elipsă, $MF=|ex-a|$ la hiperbolă și $MF=x+\frac{p}{2}$ la parabolă; coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă, de lungime $\frac{2b^2}{a}$ la elipsă și $2p$ la parabolă; și regula de dedublare, $x^2\to x{x}_0$, $y^2\to y{y}_0$, $2x\to x+x_0$, $2y\to y+y_0$.

O precizare de litere, obligatorie într-o recapitulare în care apar toate conicele: la cerc, $a$ și $b$ sunt coordonatele centrului, iar $p$ este termenul liber al ecuației generale; la elipsă și la hiperbolă, $a$ și $b$ sunt semiaxele; la parabolă, $p$ este parametrul, adică distanța de la focar la directoare.

2. În ce ordine se citește o ecuație?

Ordinea e fixă și a fost stabilită la lecția despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic. O reluăm ca listă de mișcări.

1. Normalizează. O ecuație de forma $A{x}^2+B{y}^2=D$ se împarte prin $D$; ecuația generală a cercului se aduce la forma canonică prin completarea pătratelor, după ce, la nevoie, s-a împărțit la coeficientul comun al pătratelor.
2. Decide tipul, în două întrebări: câte variabile apar la pătrat (una singură înseamnă parabolă) și ce semn stă între cele două pătrate (plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă; numitori egali înseamnă cerc). Fără niciun pătrat, dar cu produsul $xy$, este hiperbolă echilateră.
3. Stabilește orientarea, din poziția numitorului mare (la elipsă) sau a termenului pozitiv (la hiperbolă), respectiv din variabila de la pătrat și semnul celeilalte (la parabolă).
4. Calculează elementele cu legătura potrivită tipului și verifică substituind un punct al curbei.

Pasul $4$ nu se sare niciodată: o singură substituție prinde aproape orice greșeală de semn făcută la pașii dinainte.

3. Cum se rezolvă tangentele și intersecțiile?

Tangenta într-un punct al conicei se scrie cel mai repede prin dedublare, în cele trei etape fixate la lecția despre tangenta într-un punct al unei conice: Etapa 1 — verificarea apartenenței punctului la curbă, Etapa 2 — aplicarea regulii de dedublare, Etapa 3 — aducerea la forma $Ax+By+C=0$ și controlul. ⚠️ Capcana semnalată acolo: coeficientul din tangenta parabolei este $p$, adică jumătate din numărul citit în ecuație. Confirmarea se face cu derivata funcției-ramură, așa cum s-a arătat la lecția despre conice și analiza matematică: panta trebuie să iasă $-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la elipsă, $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$ la hiperbolă, $\frac{p}{y_0}$ la parabolă.

Intersecția cu o dreaptă urmează cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică, revendicați de lecția despre intersecția unei conice cu o dreaptă: substituție, verificarea coeficientului lui $x^2$, ecuația de gradul al doilea și abia apoi discriminantul, care decide — $\Delta >0$ secantă, $\Delta =0$ tangentă, $\Delta <0$ exterioară. Când se cere tangenta de pantă dată, se folosește direct condiția de tangență fixată acolo: $n^2=r^2\left(1+m^2\right)$ la cerc, $n^2=a^2{m}^2+b^2$ la elipsă, $n^2=a^2{m}^2-b^2$ la hiperbolă și $2mn=p$ la parabolă. Dreptele verticale se tratează separat, prin substituția $x=x_0$, pentru că nu se scriu sub forma $y=mx+n$.

Intersecția a două conice se rezolvă ca sistem, ca la lecția despre intersecția a două conice, iar fiecare soluție găsită se substituie în ambele ecuații. Când sistemul e simetric în $x$ și $y$ — cazul lui $xy=k$ cu un cerc centrat în origine — se lucrează comod cu sumele $x+y$ și $x-y$.

4. Cum se determină o conică din condiții?

Numărătoarea condițiilor, fixată la lecția despre determinarea conicelor din condiții date, este primul lucru de făcut: cercul are trei necunoscute, elipsa și hiperbola câte două, parabola în formă canonică și hiperbola echilateră câte una. Traducerile uzuale, într-un tabel de reamintit:

Ultima condiție se scrie cu formula din clasa a XI-a, de la lecția despre distanța de la un punct la o dreaptă — singurul instrument de geometrie analitică din afara unității care apare des în problemele de conice.

5. Care sunt cele opt capcane ale unității?

Sunt cele care revin la fiecare corectare, adunate în ordinea în care apar într-o rezolvare.

1. Citirea elementelor înainte de normalizare. Din $25x^2+9y^2=225$ nu se citesc semiaxele $5$ și $3$ în ordinea scrisă: după împărțire, numitorul mare stă sub $y^2$.
2. Presupunerea că axa mare, respectiv axa transversă, este mereu $Ox$. Ea este pe $Oy$ ori de câte ori numitorul mare stă sub $y^2$ la elipsă, respectiv termenul pozitiv este cel cu $y^2$ la hiperbolă; atunci și focarele urcă pe verticală.
3. Confuzia dintre $c=\sqrt{a^2-b^2}$ și $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Prima e la elipsă, unde $c<a$; a doua e la hiperbolă, unde $c>a$. Dacă la elipsă îți iese $c>a$, ai greșit semnul.
4. Panta asimptotelor citită mecanic ca $\frac{b}{a}$. Regula valabilă la ambele orientări este „semiaxa de sub $y^2$ împărțită la semiaxa de sub $x^2$".
5. Focarul parabolei așezat la distanța $p$ de vârf. El este la $\frac{p}{2}$, iar directoarea tot la $\frac{p}{2}$, de partea cealaltă; $p$ este distanța dintre focar și directoare.
6. Numirea drept conică a oricărei ecuații de gradul al doilea. Membrul drept egal cu $0$ dă un punct sau două drepte concurente, iar negativ dă mulțimea vidă; la cerc decide semnul lui $m^2+n^2-p$.
7. Pierderea dreptelor verticale. Parametrizarea $y=mx+n$ nu le cuprinde, iar la parabolă o dreaptă paralelă cu axa taie curba într-un singur punct fără să fie tangentă.
8. Dedublarea aplicată unui punct care nu e pe conică, sau cu $2p$ în locul lui $p$ la parabolă. Regula dă tangenta numai pentru un punct al curbei, iar coeficientul ei este $p$, nu $2p$; verificarea apartenenței se face întotdeauna înainte.

6. Cum se redactează, ca să iasă baremul?

Un subpunct de $5$ puncte se împarte de obicei $2+3$ sau $1+2+2$, pe pași identificabili. Ordinea care îi face vizibili:

1. tipul conicei, spus explicit, cu motivul (semnul dintre pătrate, numărul de pătrate);
2. elementele, scrise ca listă: $a$, $b$, $c$, vârfuri, focare, excentricitate sau parametru;
3. verificarea apartenenței punctului din enunț, prin substituție;
4. calculul cerut, cu formula numită înainte de a fi folosită;
5. răspunsul, formulat cu cuvintele enunțului și cu unitatea de măsură, când există.

Regula scurtă rămâne cea din sinteza unității de analiză: fiecare rând al rezolvării trebuie să poată fi punctat singur. Un calcul corect ținut în minte și nescris nu primește nimic.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoaștere și elemente, pe trei ecuații

Enunț. Precizați tipul conicei și determinați-i elementele, în fiecare caz: a) $\frac{y^2}{441}-\frac{x^2}{400}=1$; b) $x^2=-18y$; c) $2x^2+2y^2-16x+20y+10=0$.

Rezolvare. a) Două pătrate cu semnul minus: hiperbolă. Termenul pozitiv este cel cu $y^2$, deci axa transversă este $Oy$: $a=21$, $b=20$, $c=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29$. Vârfurile sunt $(0,\pm 21)$, focarele $(0,\pm 29)$, excentricitatea $e=\frac{29}{21}$, iar asimptotele, prin scurtătura $1\to 0$, sunt $y=\pm \frac{21}{20}x$ — semiaxa de sub $y^2$ împărțită la semiaxa de sub $x^2$. Control: vârful $(0,21)$ verifică $\frac{441}{441}=1$ ✓.

b) Un singur pătrat, cel al lui $x$: parabolă cu axa de simetrie $Oy$; semnul minus arată deschiderea în jos. Din $2p=18$ rezultă $p=9$, deci $\frac{p}{2}=\frac{9}{2}$: vârful $O$, focarul $\left(0,-\frac{9}{2}\right)$, directoarea $y=\frac{9}{2}$, iar coarda prin focar are lungimea $2p=18$. Control pe $\left(9,-\frac{9}{2}\right)$: $81=-18\cdot \left(-\frac{9}{2}\right)$ ✓.

c) Coeficienții pătratelor sunt egali și nu apare $xy$: cerc. Împărțim prin $2$: $x^2+y^2-8x+10y+5=0$, deci $m=-4$, $n=5$, $p=5$ și $m^2+n^2-p=16+25-5=36>0$ ✓. Rezultă $C(4,-5)$ și $r=6$. Control pe $(10,-5)$: $100+25-80-50+5=0$ ✓.

Exemplul 2 — Elementele unei elipse și razele focale

Enunț. Se consideră elipsa $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1$. a) Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. b) Arătați că punctul $M\left(9,\frac{48}{5}\right)$ aparține elipsei și calculați razele lui focale. c) Scrieți funcțiile a căror reuniune de grafice este elipsa.

Rezolvare. a) Numitorul mare stă sub $x^2$, deci axa mare este $Ox$: $a=15$, $b=12$ și $c=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$. Focarele sunt $F(9,0)$ și $F^{\prime }(-9,0)$, iar $e=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.

b) Substituim: $\frac{81}{225}+\frac{\frac{2304}{25}}{144}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓. Razele focale, cu formula $MF=a-ex$: $$MF=15-\frac{3}{5}\cdot 9=\frac{48}{5},M{F}^{\prime }=15+\frac{27}{5}=\frac{102}{5},$$ cu suma $\frac{150}{5}=30=2a$ ✓, exact cât cere definiția. Control geometric: $MF=\sqrt{(9-9{)}^2+{\left(\frac{48}{5}\right)}^2}=\frac{48}{5}$ ✓ și $M{F}^{\prime }=\sqrt{18^2+{\left(\frac{48}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{10404}{25}}=\frac{102}{5}$ ✓. Observă că $M$ are abscisa egală cu $c$, deci este capătul coardei duse prin focar, de lungime $\frac{2b^2}{a}=\frac{96}{5}$.

c) Din $\frac{y^2}{144}=1-\frac{x^2}{225}$ rezultă $y=\pm \frac{12}{15}\sqrt{225-x^2}$, deci $$f_{1,2}:[-15,15]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{4}{5}\sqrt{225-x^2}.$$ Control: $f_1(9)=\frac{4}{5}\cdot 12=\frac{48}{5}$ ✓, adică ordonata lui $M$.

Exemplul 3 — Tangenta la o hiperbolă, pe două drumuri

Enunț. Se consideră hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$ și punctul $M(6,9)$. a) Determinați vârfurile, focarele, excentricitatea și asimptotele. b) Arătați că $M$ aparține hiperbolei și scrieți tangenta în $M$, confirmând panta cu derivata. c) Calculați aria triunghiului determinat de tangentă cu axele de coordonate.

Rezolvare. a) $a=3$, $b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $c=\sqrt{9+27}=6$. Vârfurile sunt $(\pm 3,0)$, focarele $(\pm 6,0)$, excentricitatea $e=\frac{6}{3}=2$, iar asimptotele $y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{3}x=\pm \sqrt{3}x$.

b) Apartenența: $\frac{36}{9}-\frac{81}{27}=4-3=1$ ✓. Prin dedublare: $$\frac{6x}{9}-\frac{9y}{27}=1⟺\frac{2x}{3}-\frac{y}{3}=1⟺2x-y=3,$$ dreaptă de pantă $2$. Confirmare cu derivata: punctul are ordonata pozitivă, deci se află pe ramura $f_1(x)=\sqrt{3}\sqrt{x^2-9}$, cu $f_1(6)=\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}=9$ ✓ și $$f_1^{\prime }(6)=\sqrt{3}\cdot \frac{6}{\sqrt{36-9}}=\sqrt{3}\cdot \frac{6}{3\sqrt{3}}=2✓.$$ Formula generală dă același rezultat: $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=\frac{27\cdot 6}{9\cdot 9}=2$ ✓.

c) Tangenta $2x-y=3$ taie axa $Ox$ în $\left(\frac{3}{2},0\right)$ și axa $Oy$ în $(0,-3)$, deci aria triunghiului dreptunghic cu vârful în origine este $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{4}.$$ Control prin definiția hiperbolei, pentru $M$: $MF=\sqrt{0+81}=9$ și $M{F}^{\prime }=\sqrt{144+81}=15$, deci $|MF-M{F}^{\prime }|=6=2a$ ✓.

Exemplul 4 — Intersecții: cu o dreaptă, cu tangență, cu un cerc

Enunț. Se consideră hiperbola echilateră $xy=48$. a) Determinați punctele ei de intersecție cu dreapta $x+y-14=0$. b) Determinați valorile reale ale lui $t$ pentru care dreapta $y=-3x+t$ este tangentă curbei și aflați punctele de tangență. c) Determinați punctele de intersecție ale curbei cu cercul $x^2+y^2=160$.

Rezolvare. a) Din dreaptă, $y=14-x$; înlocuind, $x(14-x)=48$, adică $x^2-14x+48=0$, cu $\Delta =196-192=4>0$: dreapta este secantă. Soluțiile sunt $x=6$ și $x=8$, deci punctele $(6,8)$ și $(8,6)$. Control: $6\cdot 8=48$ ✓ și $8\cdot 6=48$ ✓, iar sumele coordonatelor sunt $14$ ✓.

b) Înlocuind, $x(-3x+t)=48$, adică $3x^2-tx+48=0$. Condiția de tangență este $\Delta =0$: $$t^2-4\cdot 3\cdot 48=0⟺t^2=576⟺t=\pm 24.$$ Pentru $t=24$, rădăcina dublă este $x=\frac{t}{6}=4$, deci $y=-12+24=12$ și punctul de tangență este $(4,12)$, cu $4\cdot 12=48$ ✓. Pentru $t=-24$, se obține $x=-4$ și punctul $(-4,-12)$, cu $(-4)(-12)=48$ ✓.

c) Sistemul este $x^2+y^2=160$ și $xy=48$. Cum $(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy=160+96=256$ și $(x-y{)}^2=160-96=64$, rezultă $x+y=\pm 16$ și $x-y=\pm 8$. Combinând semnele, obținem patru puncte: $$(12,4),(4,12),(-4,-12),(-12,-4).$$ Fiecare se substituie în ambele ecuații: $144+16=160$ ✓ și $12\cdot 4=48$ ✓, la fel pentru celelalte trei. Două dintre ele sunt chiar punctele de tangență găsite la subpunctul b) — o coincidență utilă ca verificare.

Exemplul 5 — Determinări din condiții

Enunț. a) Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și axa de simetrie $Oy$, care trece prin punctul $(14,7)$. b) Determinați ecuația elipsei cu focarele $(\pm 8,0)$ și excentricitatea $\frac{8}{17}$. c) Determinați ecuația hiperbolei cu asimptotele $y=\pm \frac{7}{24}x$ și focarele $(\pm 25,0)$.

Rezolvare. a) O necunoscută, o condiție. Punctul are ordonata pozitivă, deci curba se deschide în sus: $x^2=2py$. Înlocuim: $196=2p\cdot 7$, deci $2p=28$ și $x^2=28y$, cu $p=14$, focarul $(0,7)$ și directoarea $y=-7$. Control: punctul dat are ordonata $\frac{p}{2}=7$, deci este capătul coardei duse prin focar, a cărei lungime este $2p=28$ ✓.

b) Două necunoscute, două condiții. Din focare, $c=8$; din excentricitate, $a=\frac{c}{e}=\frac{8}{\frac{8}{17}}=17$. Atunci $b^2=289-64=225$ și elipsa este $$\frac{x^2}{289}+\frac{y^2}{225}=1,$$ cu $a=17>b=15$ ✓. Control pe vârful $(0,15)$: $\frac{225}{225}=1$ ✓.

c) Asimptotele dau $\frac{b}{a}=\frac{7}{24}$, adică $b=\frac{7a}{24}$; focarele dau $c=25$. Din $a^2+b^2=c^2$: $$a^2\left(1+\frac{49}{576}\right)=625⟺\frac{625}{576}{a}^2=625⟺a^2=576,$$ deci $a=24$ și $b=7$. Hiperbola este $\frac{x^2}{576}-\frac{y^2}{49}=1$, cu $e=\frac{25}{24}$. Control: $\sqrt{576+49}=25$ ✓, iar panta asimptotelor iese $\frac{7}{24}$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Enunț. Un satelit se mișcă pe o orbită eliptică având centrul Pământului într-unul dintre focare. Semiaxa mare a orbitei măsoară $25000$ de kilometri, iar excentricitatea ei este $0,6$. a) Scrieți ecuația canonică a orbitei, luând ca unitate mia de kilometri. b) Determinați distanța minimă și distanța maximă de la satelit la centrul Pământului. c) Determinați lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axa mare.

Rezolvare. a) Cu unitatea aleasă, $a=25$. Din $e=\frac{c}{a}$ rezultă $c=0,6\cdot 25=15$, deci $$b^2=a^2-c^2=625-225=400,$$ adică $b=20$. Ecuația canonică este $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{400}=1$, cu focarele $(\pm 15,0)$; centrul Pământului se află, să zicem, în $F(15,0)$.

b) Razele focale ale unui punct $M(x,y)$ al elipsei sunt $MF=a-ex$, cu $x\in [-a,a]$. Cum funcția $x\mapsto a-ex$ este descrescătoare, valoarea maximă se atinge în $x=-a$ și cea minimă în $x=a$: $$M{F}_{\min }=a-c=25-15=10,M{F}_{\max }=a+c=25+15=40.$$ Deci satelitul se apropie până la $10000$ de kilometri și se depărtează până la $40000$ de kilometri de centrul Pământului. Control: suma celor două este $50=2a$ ✓, fiindcă cele două poziții extreme sunt chiar vârfurile de pe axa mare.

c) Coarda are ecuația $x=c=15$. Înlocuind, $\frac{225}{625}+\frac{y^2}{400}=1$, deci $\frac{y^2}{400}=\frac{400}{625}$ și $y=\pm 16$. Capetele sunt $(15,16)$ și $(15,-16)$, iar lungimea coardei este $32$, adică $32000$ de kilometri. Control cu formula $\frac{2b^2}{a}=\frac{800}{25}=32$ ✓; iar $(15,16)$ verifică ecuația, $\frac{225}{625}+\frac{256}{400}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓.

Să exersăm

1. Precizați tipul fiecărei conice: a) $\frac{y^2}{441}-\frac{x^2}{400}=1$; b) $x^2=-18y$; c) $2x^2+2y^2-16x+20y+10=0$; d) $xy=20$.

2. Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea elipsei $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1$.

3. Determinați vârfurile, focarele și asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{576}=1$.

4. Determinați parametrul, focarul și directoarea parabolei $y^2=22x$.

5. Determinați centrul și raza cercului $x^2+y^2-12x+16y+75=0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La elipsă și la hiperbolă, $c$ se calculează cu aceeași formulă."

7. Arătați că punctul $M\left(9,\frac{48}{5}\right)$ aparține elipsei $\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{144}=1$ și calculați-i razele focale.

8. Scrieți tangenta la hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$ în punctul $M(6,9)$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dedublarea dă tangenta la o conică în orice punct al planului."

10. Determinați punctele de intersecție ale hiperbolei $xy=48$ cu dreapta $x+y-14=0$.

11. Arătați că dreapta $x+y-12=0$ nu intersectează hiperbola $xy=48$.

12. Determinați punctele de intersecție ale curbei $xy=48$ cu cercul $x^2+y^2=160$.

13. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și axa $Oy$, care trece prin punctul $(14,7)$.

14. Determinați ecuația elipsei cu focarele $(\pm 8,0)$ și excentricitatea $\frac{8}{17}$.

15. Determinați ecuația hiperbolei echilatere raportate la asimptote care trece prin punctul $(4,5)$ și precizați-i semiaxele.

16. (Problemă aplicată.) O antenă parabolică are diametrul la gură de $240$ de centimetri și adâncimea de $60$ de centimetri. Scrieți ecuația secțiunii ei și aflați la ce distanță de vârf se montează receptorul.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră elipsa $\frac{x^2}{625}+\frac{y^2}{400}=1$. a) Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. b) Arătați că punctul $(15,16)$ îi aparține și calculați-i razele focale. c) Determinați lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axa mare.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice $k>0$, cele patru puncte de intersecție ale hiperbolei $xy=k$ cu un cerc $x^2+y^2=R^2$ care o taie efectiv sunt vârfurile unui dreptunghi cu centrul în origine, cu laturile paralele cu bisectoarele axelor.

Răspunsuri și explicații

1. a) hiperbolă cu axa transversă pe $Oy$; b) parabolă deschisă în jos; c) cerc (coeficienți egali la pătrate, după normalizare); d) hiperbolă echilateră raportată la asimptote.

2. $a=15$, $b=12$, $c=\sqrt{225-144}=9$; focarele $(\pm 9,0)$, excentricitatea $e=\frac{3}{5}$.

3. $a=7$, $b=24$, $c=\sqrt{49+576}=25$; vârfurile $(\pm 7,0)$, focarele $(\pm 25,0)$, asimptotele $y=\pm \frac{24}{7}x$, iar $e=\frac{25}{7}$.

4. $2p=22$, deci $p=11$; focarul este $\left(\frac{11}{2},0\right)$, directoarea $x=-\frac{11}{2}$, iar coarda prin focar are lungimea $22$.

5. $m=-6$, $n=8$, $p=75$, deci $m^2+n^2-p=36+64-75=25>0$: cerc de centru $C(6,-8)$ și rază $5$. Control: $(6,-3)$ verifică ecuația ✓.

6. Fals. La elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$, deci $c<a$ și $e<1$; la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$, deci $c>a$ și $e>1$. Este capcana a treia a unității, iar semnalul de alarmă este o valoare a lui $e$ ieșită de partea greșită a lui $1$.

7. $\frac{81}{225}+\frac{2304}{25\cdot 144}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓. Cu $e=\frac{3}{5}$: $MF=15-\frac{27}{5}=\frac{48}{5}$ și $M{F}^{\prime }=15+\frac{27}{5}=\frac{102}{5}$, cu suma $30=2a$ ✓.

8. Dedublare: $\frac{6x}{9}-\frac{9y}{27}=1$, adică $2x-y=3$. Panta $2$ se confirmă cu $\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}=\frac{27\cdot 6}{9\cdot 9}=2$.

9. Fals. Regula de dedublare dă tangenta numai când $M_0$ este pe conică; verificarea apartenenței se face întotdeauna prima. Pentru un punct din afara curbei, dreapta obținută nu este tangentă în acel punct.

10. Din $x(14-x)=48$ rezultă $x^2-14x+48=0$, cu $\Delta =4>0$ și soluțiile $6$ și $8$: punctele sunt $(6,8)$ și $(8,6)$.

11. Din $x(12-x)=48$ rezultă $x^2-12x+48=0$, cu $\Delta =144-192=-48<0$: ecuația nu are soluții reale, deci dreapta este exterioară curbei.

12. $(x+y{)}^2=160+96=256$ și $(x-y{)}^2=160-96=64$, deci $x+y=\pm 16$, $x-y=\pm 8$: punctele sunt $(12,4)$, $(4,12)$, $(-4,-12)$, $(-12,-4)$, toate verificând ambele ecuații.

13. Ordonata este pozitivă, deci $x^2=2py$; din $196=14p$ rezultă $2p=28$, adică $x^2=28y$, cu focarul $(0,7)$ și directoarea $y=-7$.

14. $c=8$ și $a=\frac{8}{\frac{8}{17}}=17$, deci $b^2=289-64=225$ și elipsa este $\frac{x^2}{289}+\frac{y^2}{225}=1$.

15. $k=4\cdot 5=20$, deci $xy=20$; semiaxele sunt $a=b=\sqrt{2\cdot 20}=2\sqrt{10}$, iar $e=\sqrt{2}$. Focarele sunt $\left(\pm 2\sqrt{10},\pm 2\sqrt{10}\right)$, cu semne luate simultan.

16. Marginea antenei este punctul $(60,120)$, deci $14400=2p\cdot 60$ și $2p=240$: secțiunea este $y^2=240x$, cu $p=120$. Receptorul se montează în focar, la $\frac{p}{2}=60$ de centimetri de vârf — chiar în planul gurii, pentru că adâncimea este tot $60$ de centimetri.

17. a) $a=25$, $b=20$, $c=\sqrt{625-400}=15$; focarele $(\pm 15,0)$, $e=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$. b) $\frac{225}{625}+\frac{256}{400}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓; razele focale sunt $25-\frac{3}{5}\cdot 15=16$ și $25+9=34$, cu suma $50=2a$ ✓. c) Coarda are ecuația $x=15$ și capetele $(15,\pm 16)$, deci lungimea $32=\frac{2b^2}{a}$ ✓.

18. Fie $(x,y)$ o soluție a sistemului. Din $x^2+y^2=R^2$ și $xy=k$ obținem $(x+y{)}^2=R^2+2k$ și $(x-y{)}^2=R^2-2k$; cercul taie efectiv curba exact când amândouă sunt nenegative, adică $R^2\ge 2k$. Notând $s=\sqrt{R^2+2k}$ și $d=\sqrt{R^2-2k}$, soluțiile sunt cele patru perechi cu $x+y=\pm s$ și $x-y=\pm d$, adică punctele $\left(\frac{\pm s\pm d}{2},\frac{\pm s\mp d}{2}\right)$. Ele se grupează în două perechi simetrice față de origine, iar dreptele care le unesc două câte două au ecuațiile $x+y=\pm s$ și $x-y=\pm d$ — deci sunt paralele cu bisectoarele axelor și perpendiculare între ele. Cele patru puncte sunt așadar vârfurile unui dreptunghi cu centrul în origine.

De reținut

• Orice problemă de conice începe cu normalizarea ecuației și cu decizia asupra tipului, luată în două întrebări: câte pătrate apar și ce semn stă între ele.
• La elipsă $c=\sqrt{a^2-b^2}$ și $e<1$; la hiperbolă $c=\sqrt{a^2+b^2}$ și $e>1$; la parabolă nu există excentricitate, dar există directoare, iar focarul stă la $\frac{p}{2}$ de vârf.
• Razele focale $MF=a-ex$, $MF=|ex-a|$ și $MF=x+\frac{p}{2}$ înlocuiesc formula distanței și scurtează aproape orice subpunct în care apare o distanță la focar.
• Tangenta într-un punct al conicei se scrie prin dedublare, după ce s-a verificat apartenența punctului, și se confirmă cu derivata funcției-ramură.
• Intersecțiile se rezolvă ca sisteme, iar fiecare soluție găsită se substituie în toate ecuațiile din enunț; semnul discriminantului decide poziția relativă a unei drepte față de conică.

Greșeli frecvente

• Se citesc elementele înainte de normalizare. Din $2x^2+2y^2-16x+20y+10=0$ se identifică direct $m=-8$. Corect: se împarte întâi prin $2$ și abia apoi se citesc coeficienții; altfel centrul și raza ies complet greșite.
• Se folosește la elipsă formula lui $c$ de la hiperbolă. Se scrie $c=\sqrt{225+144}$. Corect: la elipsă sub radical stă diferența, iar rezultatul trebuie să fie mai mic decât $a$; dacă îți iese $c>a$, ai greșit semnul.
• Se scrie panta asimptotelor mereu ca $\frac{b}{a}$. La $\frac{y^2}{441}-\frac{x^2}{400}=1$ se dă răspunsul $\pm \frac{20}{21}$. Corect: panta este raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$, deci $\pm \frac{21}{20}$.
• Se aplică dedublarea fără verificarea apartenenței. Se ia un punct oarecare și se scrie „tangenta". Corect: substitui întâi punctul în ecuația conicei; dacă nu o verifică, regula de dedublare nu dă tangenta în acel punct.
• Se pierd soluțiile la intersecția a două conice. Din $(x+y{)}^2=196$ se reține doar $x+y=14$. Corect: un pătrat egal cu un număr pozitiv dă două valori; combinând semnele se obțin toate cele patru puncte, iar fiecare se verifică în ambele ecuații.

Aplică acasă

1. Fișa unității pe o pagină. Scrie pe o singură foaie tabelul din paragraful $1$, din memorie, apoi compară-l cu lecția și notează ce ai uitat. Repetă exercițiul peste trei zile; ce lipsește a doua oară trebuie învățat separat.

2. Zece ecuații amestecate, cu cronometrul. Scrie pe bilețele zece ecuații de conice din această unitate, amestecă-le și extrage-le pe rând, spunând în cel mult treizeci de secunde tipul, orientarea și elementele. Notează la ce tip greșești cel mai des și recitește capcana corespunzătoare.

3. O conică din realitate. Caută datele unei orbite, ale unei antene sau ale unei arcade și scrie ecuația conicei corespunzătoare, în unități convenabile. Calculează apoi o mărime pe care sursa nu ți-o dă — de pildă distanța minimă sau poziția focarului — și compar-o cu ce găsești căutând.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția. Recapitularea completă a unității de conice, pe cele cinci tipuri de probleme: recunoaștere și normalizare, determinarea elementelor, tangenta prin dedublare confirmată cu derivata, intersecțiile cu drepte și cu alte conice, determinarea unei conice din condiții. Nu introduce noțiuni noi; valoarea ei este în ordine, redactare și verificare. Competențele adunate sunt XII.CS.1.3, XII.CS.4.3 și XII.CS.5.3.

Întrebări de control. „Ce faci prima dată când vezi o ecuație de gradul al doilea în $x$ și $y$?"; „Cum știi pe ce axă stau focarele?"; „Ce verifici înainte de a aplica dedublarea?"; „Cum decizi poziția unei drepte față de o conică?"; „Câte condiții îți trebuie ca să determini o elipsă?".

Semne că a înțeles. Elevul normalizează înainte de orice citire; spune tipul conicei cu motivul, nu din obișnuință; verifică fiecare punct prin substituție; și își controlează singur rezultatele cu razele focale sau cu definiția geometrică.

Unde apare la BAC M1. Vezi ultima întrebare din secțiunea „Întrebări frecvente" pentru situația reală a conicelor în examen. Formatul cu trei subpuncte folosit în toate cele șase probleme-model este însă cel oficial, iar deprinderea de a scrie fiecare pas separat se transferă la orice subiect.

Întrebări frecvente

Ce trebuie să știi din conice pentru examen?

Ecuațiile canonice ale celor patru curbe, legătura dintre $a$, $b$ și $c$ la elipsă și la hiperbolă, poziția focarelor, asimptotele hiperbolei, focarul și directoarea parabolei, razele focale și regula de dedublare. Tabelul din primul paragraf al lecției le adună pe toate; învățat corect, el rezolvă singur subpunctele a) și b) ale oricărei probleme.

Cum recunoști tipul unei conice dintr-o ecuație?

Normalizezi întâi ecuația, apoi pui două întrebări: dacă o singură variabilă apare la pătrat, este parabolă; dacă apar amândouă, semnul dintre ele decide — plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă, iar numitori egali înseamnă cerc. Ecuația $xy=k$, fără niciun pătrat, este hiperbolă echilateră raportată la asimptote.

Care sunt capcanele cele mai frecvente la conice?

Cele opt strânse în lecție: citirea elementelor înainte de normalizare; presupunerea că axa mare este mereu $Ox$; confuzia dintre formulele lui $c$; panta asimptotelor citită greșit la forma întoarsă; focarul parabolei așezat la distanța $p$; cazurile degenerate luate drept conice; pierderea dreptelor verticale; și dedublarea aplicată unui punct din afara curbei.

Cum se calculează distanța de la un punct al conicei la focar?

Cu razele focale, nu cu formula distanței. La elipsă, $MF=a-ex$ și $M{F}^{\prime }=a+ex$; la hiperbolă, $MF=|ex-a|$; la parabola $y^2=2px$, $MF=x+\frac{p}{2}$. Sunt formule de gradul întâi în abscisă, deci scurtează calculul, iar suma sau diferența lor confirmă imediat definiția geometrică a curbei.

Cum stabilești poziția unei drepte față de o conică?

Substitui ecuația dreptei în ecuația conicei, obții o ecuație de gradul al doilea și calculezi discriminantul: pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă, negativ înseamnă exterioară. Dreptele verticale se tratează separat, prin substituția $x=x_0$, pentru că nu se scriu sub forma cu pantă.

Câte condiții trebuie ca să determini o conică?

Cercul are trei coeficienți necunoscuți, deci îi trebuie trei condiții independente. Elipsa și hiperbola în formă canonică au două necunoscute, semiaxele, deci două condiții. Parabola în formă canonică și hiperbola echilateră $xy=k$ au o singură necunoscută, deci le ajunge o singură condiție — după ce s-a stabilit orientarea.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu prima sesiune susținută pe programa nouă a clasei a XII-a. Formatul previzibil este cel al celor șase probleme din această lecție — elemente, o tangentă sau o intersecție, o determinare —, iar deprinderile pe care le cere sunt cele exersate aici.