Împărțirea numerelor complexe

Ai învățat să aduni, să scazi și să înmulțești numere complexe, iar rezultatul a ieșit de fiecare dată tot un număr complex, scris cuminte sub forma $a+bi$. Cu împărțirea apare însă o problemă de aspect: scrii $\frac{10+5i}{3+4i}$ și... asta e tot. Nu se vede care e partea reală și care e partea imaginară, nu poți compara rezultatul cu altceva, nu-l poți folosi mai departe într-un calcul. E ca și cum ai lăsa răspunsul unei probleme sub forma $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$.

Exact analogia aceasta ne dă și soluția. În clasa a IX-a, la radicali și expresii conjugate, ai scăpat de radicalul de la numitor amplificând fracția cu expresia conjugată. Aici facem la fel, cu conjugatul complex din lecția Conjugatul unui număr complex: amplificăm cu $\overline{z_2}$, iar numitorul devine $z_2\overline{z_2}=c^2+d^2$, un număr real. Din momentul acela împărțirea la un număr complex a devenit împărțire la un număr real, adică nimic nou.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini inversul unui număr complex nenul, cu formula $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$.
• Vei ști să efectuezi împărțirea $\frac{z_1}{z_2}$ prin amplificare cu conjugatul numitorului și să scrii rezultatul în formă algebrică.
• Vei ști să calculezi rapid câturi în care apare $i$ la numitor, folosind $\frac{1}{i}=-i$.
• Vei ști să verifici orice împărțire înmulțind înapoi: câtul înmulțit cu împărțitorul trebuie să dea deîmpărțitul.
• Vei ști să rezolvi ecuații de forma $az=b$ și $\frac{z}{a}=b$ în mulțimea numerelor complexe.
• Vei ști că $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ și vei putea demonstra această proprietate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă, de fapt, împărțirea

Ca la orice mulțime de numere, împărțirea se definește prin înmulțire.

Definiție. Fie $z_1,z_2\in \mathbb{C}$, cu $z_2\ne 0$. Câtul $\frac{z_1}{z_2}$ este unicul număr complex $q$ pentru care $q\cdot z_2=z_1$.

Ca definiția să aibă sens trebuie să știm două lucruri: că un asemenea $q$ există și că este unic. Ambele decurg din existența inversului, pe care îl construim imediat. Reține de pe acum consecința practică: orice împărțire se verifică înmulțind înapoi. Dacă ai obținut $q$, controlezi rezultatul calculând $q\cdot z_2$; trebuie să iasă exact $z_1$.

2. Inversul unui număr complex nenul

Teoremă. Orice număr complex $z=a+bi$, cu $z\ne 0$, are un invers, dat de formula

$$z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i.$$

Demonstrație. Din lecția precedentă știm că $z\bar{z}=a^2+b^2$ și că acest număr este real, strict pozitiv atunci când $z\ne 0$. Putem deci împărți la el. Notăm $w=\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}$ și verificăm:

$$z\cdot w=\frac{z\bar{z}}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1.$$

Deci $w$ este într-adevăr inversul lui $z$. Unicitatea: dacă $z{w}_1=1$ și $z{w}_2=1$, atunci $w_1=w_1\cdot 1=w_1(z{w}_2)=(w_{1}z)w_2=w_2$. $■$

Exemple. Pentru $z=3+4i$ avem $z\bar{z}=9+16=25$, deci

$$\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i.$$

Verificare: $(3+4i)\left(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i\right)=\frac{(3+4i)(3-4i)}{25}=\frac{25}{25}=1$. ✓

Pentru $z=5-12i$: $z\bar{z}=25+144=169$, deci $\frac{1}{5-12i}=\frac{5+12i}{169}=\frac{5}{169}+\frac{12}{169}i$.

Un caz care merită memorat: pentru $z=i$ avem $z\bar{z}=1$ și $\bar{z}=-i$, deci

$$\boxed{\frac{1}{i}=-i}$$

Se vede și direct: $i\cdot (-i)=-i^2=1$. Este cel mai frecvent „truc" de calcul din tot capitolul.

3. Metoda amplificării cu conjugatul

Nu calculăm inversul de fiecare dată. În practică folosim direct amplificarea cu conjugatul numitorului:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{c^2+d^2},z_2=c+di\ne 0.$$

Algoritmul în trei pași, exact cum îl vei scrie pe foaie:

1. Amplifici fracția cu conjugatul numitorului.
2. Efectuezi înmulțirea de la numărător (produs de două numere complexe) și calculezi numitorul cu formula $c^2+d^2$ — atenție, la numitor nu mai apare $i$.
3. Separi partea reală de partea imaginară, împărțind fiecare pe rând la numitorul real.

Exemplu complet. Calculăm $\frac{10+5i}{3+4i}$.

$$\frac{10+5i}{3+4i}=\frac{(10+5i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{30-40i+15i-20i^2}{9+16}=\frac{30-25i+20}{25}=\frac{50-25i}{25}=2-i.$$

Verificare prin înmulțire înapoi: $(2-i)(3+4i)=6+8i-3i-4i^2=6+5i+4=10+5i$. ✓

Al doilea exemplu. $\frac{8+i}{2-3i}$. Conjugatul numitorului este $2+3i$:

$$\frac{(8+i)(2+3i)}{4+9}=\frac{16+24i+2i+3i^2}{13}=\frac{16+26i-3}{13}=\frac{13+26i}{13}=1+2i.$$

Verificare: $(1+2i)(2-3i)=2-3i+4i-6i^2=2+i+6=8+i$. ✓

Nu orice cât iese „rotund". De exemplu

$$\frac{1+2i}{3-i}=\frac{(1+2i)(3+i)}{9+1}=\frac{3+i+6i+2i^2}{10}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i,$$

și acesta este un răspuns perfect corect: forma algebrică admite coeficienți raționali oarecare.

4. Cazuri speciale care apar tot timpul

Numitor real. Nu amplifici nimic: împarți pur și simplu fiecare parte. $\frac{6-8i}{2}=3-4i$.

Numărător real, numitor complex. Amplificarea aduce adesea simplificări spectaculoase:

$$\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{9+16}=\frac{25(3+4i)}{25}=3+4i,\frac{13}{2+3i}=\frac{13(2-3i)}{13}=2-3i.$$

Numitorul este $i$ sau o putere a lui $i$. Folosim $\frac{1}{i}=-i$ și periodicitatea puterilor lui $i$ (restul împărțirii exponentului la $4$), studiată în lecția Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i. De exemplu, $i^{15}=i^{12}\cdot i^3=i^3=-i$, deci

$$\frac{1}{i^{15}}=\frac{1}{-i}=-\frac{1}{i}=i.$$

La fel, $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}=i^2=-1$ și $\frac{1}{i^{2026}}=-1$.

Fracția $\frac{1+i}{1-i}$, care apare la aproape fiecare sesiune de examen:

$$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{2i}{2}=i.$$

Prin urmare $\frac{1-i}{1+i}=\frac{1}{i}=-i$. Merită să le știi pe de rost pe amândouă.

5. Conjugatul unui cât

Propoziție. Pentru orice $z_1\in \mathbb{C}$ și $z_2\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ avem $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.

Demonstrație. Fie $q=\frac{z_1}{z_2}$, adică $q{z}_2=z_1$. Conjugăm ambii membri și folosim proprietatea conjugatului produsului: $\bar{q}\cdot \overline{z_2}=\overline{z_1}$. Cum $z_2\ne 0$, avem și $\overline{z_2}\ne 0$, deci putem împărți: $\bar{q}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$. $■$

Verificare numerică: pentru $z_1=10+5i$ și $z_2=3+4i$ am obținut $q=2-i$, deci $\bar{q}=2+i$. Pe cealaltă cale, $\frac{10-5i}{3-4i}=\frac{(10-5i)(3+4i)}{25}=\frac{30+40i-15i+20}{25}=\frac{50+25i}{25}=2+i$. ✓

6. Ecuații de gradul întâi în $\mathbb{C}$

Odată ce știm să împărțim, orice ecuație de forma $az+b=c$, cu $a\ne 0$, se rezolvă exact ca peste $\mathbb{R}$: izolezi $z$ și împarți.

Exemplu. Rezolvă $(2+i)z=5+5i$.

$$z=\frac{5+5i}{2+i}=\frac{(5+5i)(2-i)}{4+1}=\frac{10-5i+10i+5}{5}=\frac{15+5i}{5}=3+i.$$

Verificare: $(2+i)(3+i)=6+2i+3i-1=5+5i$. ✓

Al doilea exemplu. Rezolvă $z(1-i)=4+2i$. Amplificăm cu $1+i$:

$$z=\frac{(4+2i)(1+i)}{2}=\frac{4+4i+2i-2}{2}=\frac{2+6i}{2}=1+3i.$$

Verificare: $(1+3i)(1-i)=1-i+3i+3=4+2i$. ✓

Când necunoscuta e la numărător, e și mai simplu: din $\frac{z}{1+i}=2-3i$ rezultă $z=(2-3i)(1+i)=2+2i-3i+3=5-i$, iar verificarea se face împărțind înapoi.

Merită observat, la nivel de principiu, ce înseamnă existența inversului pentru orice număr complex nenul: în $\mathbb{C}$ se poate împărți la fel de liber ca în $\mathbb{R}$, spre deosebire de $\mathbb{Z}$, unde $\frac{3}{2}$ nu mai este întreg. Extinderea de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{C}$ nu a stricat nimic din regulile de calcul — a adăugat doar soluții pentru ecuațiile de tipul $x^2+1=0$.

7. Când este câtul real sau pur imaginar?

O întrebare tipică de examen sună așa: „determinați parametrul real $m$ pentru care numărul $\frac{m+i}{2-i}$ este real". Metoda e mereu aceeași: aduci câtul la forma algebrică și pui condiția pe partea potrivită.

$$\frac{m+i}{2-i}=\frac{(m+i)(2+i)}{4+1}=\frac{2m+mi+2i+i^2}{5}=\frac{(2m-1)+(m+2)i}{5}.$$

• Cât real înseamnă parte imaginară nulă: $m+2=0$, deci $m=-2$. Atunci câtul este $\frac{-4-1}{5}=-1$. Verificare: $\frac{-2+i}{2-i}=-1$, pentru că $-1\cdot (2-i)=-2+i$. ✓
• Cât pur imaginar înseamnă parte reală nulă și parte imaginară nenulă: $2m-1=0$, deci $m=\frac{1}{2}$, iar atunci partea imaginară este $\frac{1/2+2}{5}=\frac{1}{2}\ne 0$. Câtul este $\frac{1}{2}i$. ✓

Există și o variantă mai rapidă, pe care o vei folosi des: cum numitorul $z_2\overline{z_2}$ este real și pozitiv, câtul $\frac{z_1}{z_2}$ este real exact atunci când produsul $z_1\overline{z_2}$ este real — și pur imaginar exact când $z_1\overline{z_2}$ este pur imaginar. Pe exemplul de mai sus: $(m+i)(2+i)=(2m-1)+(m+2)i$, aceeași condiție, cu un pas de calcul mai puțin.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei inverse

Calculați inversul numerelor: a) $z=2+2i$; b) $z=-i$; c) $z=4$.

Rezolvare. a) $z\bar{z}=4+4=8$, deci $\frac{1}{z}=\frac{2-2i}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i$. Verificare: $(2+2i)\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}i\right)=\frac{(2+2i)(2-2i)}{8}=\frac{8}{8}=1$ ✓.

b) $\frac{1}{-i}=-\frac{1}{i}=-(-i)=i$. Verificare: $(-i)(i)=-i^2=1$ ✓.

c) $z$ este real, deci $\frac{1}{4}$, fără niciun calcul complex.

Exemplul 2 — Cât cu rezultat întreg

Scrieți în formă algebrică numărul $\frac{3+11i}{3+i}$.

Rezolvare. Amplificăm cu $3-i$; numitorul devine $9+1=10$:

$$\frac{(3+11i)(3-i)}{10}=\frac{9-3i+33i-11i^2}{10}=\frac{9+30i+11}{10}=\frac{20+30i}{10}=2+3i.$$

Verificare: $(2+3i)(3+i)=6+2i+9i-3=3+11i$. ✓

Exemplul 3 — Cât cu coeficienți fracționari

Scrieți în formă algebrică $\frac{2-i}{3+i}+\frac{1}{i}$.

Rezolvare. Prima fracție, amplificată cu $3-i$:

$$\frac{(2-i)(3-i)}{9+1}=\frac{6-2i-3i+i^2}{10}=\frac{5-5i}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.$$

A doua fracție este $\frac{1}{i}=-i$. Adunăm:

$$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)+(-i)=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Exemplul 4 — Împărțire cu numere „urâte", răspuns curat

Efectuați $\frac{-33+56i}{5+12i}$.

Rezolvare. Numitorul are $c^2+d^2=25+144=169$:

$$\frac{(-33+56i)(5-12i)}{169}=\frac{-165+396i+280i-672i^2}{169}=\frac{-165+676i+672}{169}=\frac{507+676i}{169}=3+4i.$$

Verificare: $(3+4i)(5+12i)=15+36i+20i-48=-33+56i$. ✓ Exemplul arată de ce verificarea prin înmulțire înapoi este cea mai bună investiție de treizeci de secunde din tot examenul.

Exemplul 5 — O ecuație cu fracție

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $\frac{z+1}{1-i}=2+i$.

Rezolvare. Înmulțim ambii membri cu $1-i$:

$$z+1=(2+i)(1-i)=2-2i+i+1=3-i,$$

de unde $z=2-i$. Verificare: $\frac{2-i+1}{1-i}=\frac{(3-i)(1+i)}{2}=\frac{3+3i-i+1}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=\frac{3+i}{1-i}$.

a) Arătați că $z=1+2i$.

b) Calculați $z\cdot \bar{z}$.

Rezolvare. a) Amplificăm cu $1+i$, conjugatul numitorului; numitorul devine $1+1=2$:

$$z=\frac{(3+i)(1+i)}{2}=\frac{3+3i+i+i^2}{2}=\frac{3+4i-1}{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i.$$

Verificare: $(1+2i)(1-i)=1-i+2i+2=3+i$. ✓

b) $z\bar{z}=1^2+2^2=5$.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu redactare completă. La fiecare împărțire, scrie explicit cu ce conjugat amplifici și verifică rezultatul prin înmulțire înapoi.

1. Calculează inversul numerelor: a) $3+4i$; b) $5-12i$; c) $i$; d) $2$.

2. Efectuează $\frac{10+5i}{3+4i}$.

3. Efectuează $\frac{8+i}{2-3i}$.

4. Calculează $\frac{1+i}{1-i}$ și $\frac{1-i}{1+i}$. Ce observi despre cele două rezultate?

5. Efectuează $\frac{25}{3-4i}$ și $\frac{13}{2+3i}$.

6. Scrie în formă algebrică $\frac{5-i}{1-i}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\frac{1}{i}=i$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Câtul a două numere complexe nenule este întotdeauna un număr complex nenul."

9. Calculează $\frac{1}{i^{15}}$ și $\frac{1}{i^{2026}}$.

10. a) Scrie în formă algebrică $\frac{1+2i}{3-i}$. b) Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care numărul $\frac{m+i}{2-i}$ este real.

11. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $(2+i)z=5+5i$.

12. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $z(1-i)=4+2i$.

13. (Problemă aplicată.) Două componente electrice legate în paralel, cu impedanțele $Z_1=2+6i$ și $Z_2=6-2i$ (în ohmi), au impedanța echivalentă $Z=\frac{Z_1{Z}_2}{Z_1+Z_2}$. Calculează $Z$.

14. Scrie în formă algebrică $\frac{2-i}{3+i}+\frac{1}{i}$.

15. Determină $z\in \mathbb{C}$ pentru care $\frac{z}{1+i}=2-3i$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=\frac{3+i}{1-i}$. a) Arătați că $z=1+2i$. b) Calculați $z+\bar{z}$ și $z\cdot \bar{z}$.

17. Demonstrează că $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ pentru orice $z_1\in \mathbb{C}$ și $z_2\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, apoi verifică pe $z_1=10+5i$ și $z_2=3+4i$.

18. (Provocare.) Determină toate numerele complexe nenule $z$ pentru care $\frac{z}{\bar{z}}=i$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$; b) $\frac{5+12i}{169}=\frac{5}{169}+\frac{12}{169}i$; c) $-i$; d) $\frac{1}{2}$. Formula folosită: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{a^2+b^2}$.

2. $\frac{(10+5i)(3-4i)}{25}=\frac{50-25i}{25}=2-i$. Verificare: $(2-i)(3+4i)=10+5i$. ✓

3. $\frac{(8+i)(2+3i)}{13}=\frac{13+26i}{13}=1+2i$. Verificare: $(1+2i)(2-3i)=8+i$. ✓

4. $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{2}=\frac{2i}{2}=i$ și $\frac{1-i}{1+i}=-i$. Cele două rezultate sunt inverse unul altuia (și, în același timp, conjugate) — era de așteptat, pentru că fracțiile sunt inverse.

5. $\frac{25(3+4i)}{25}=3+4i$ și $\frac{13(2-3i)}{13}=2-3i$. Simplificarea apare pentru că numărătorul real este chiar $c^2+d^2$.

6. $\frac{(5-i)(1+i)}{2}=\frac{5+5i-i+1}{2}=\frac{6+4i}{2}=3+2i$. Verificare: $(3+2i)(1-i)=3-3i+2i+2=5-i$. ✓

7. Fals. $\frac{1}{i}=\frac{-i}{i\cdot (-i)}=\frac{-i}{1}=-i$. Se verifică imediat: $i\cdot (-i)=-i^2=1$, în timp ce $i\cdot i=-1\ne 1$.

8. Adevărat. Dacă $\frac{z_1}{z_2}=0$, atunci înmulțind cu $z_2$ obținem $z_1=0$, contradicție. Deci câtul a două numere nenule nu poate fi nul.

9. $15=4\cdot 3+3$, deci $i^{15}=i^3=-i$ și $\frac{1}{-i}=i$. Apoi $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}=i^2=-1$ și $\frac{1}{-1}=-1$.

10. a) $\frac{(1+2i)(3+i)}{10}=\frac{3+i+6i-2}{10}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$ — un cât cu coeficienți fracționari este un răspuns la fel de corect ca unul întreg. b) $\frac{m+i}{2-i}=\frac{(2m-1)+(m+2)i}{5}$; câtul e real când $m+2=0$, adică $m=-2$, iar atunci valoarea lui este $-1$. Verificare: $-1\cdot (2-i)=-2+i$. ✓

11. $z=\frac{(5+5i)(2-i)}{5}=\frac{15+5i}{5}=3+i$. Verificare: $(2+i)(3+i)=5+5i$. ✓

12. $z=\frac{(4+2i)(1+i)}{2}=\frac{2+6i}{2}=1+3i$. Verificare: $(1+3i)(1-i)=4+2i$. ✓

13. $Z_1{Z}_2=(2+6i)(6-2i)=12-4i+36i+12=24+32i$ și $Z_1+Z_2=8+4i$. Atunci

$$Z=\frac{24+32i}{8+4i}=\frac{(24+32i)(8-4i)}{64+16}=\frac{320+160i}{80}=4+2i\text{(ohmi)}.$$

Verificare: $(4+2i)(8+4i)=32+16i+16i-8=24+32i$. ✓

14. $\frac{(2-i)(3-i)}{10}=\frac{5-5i}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$, iar $\frac{1}{i}=-i$. Suma: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$.

15. $z=(2-3i)(1+i)=2+2i-3i+3=5-i$. Verificare: $\frac{5-i}{1+i}=\frac{(5-i)(1-i)}{2}=\frac{4-6i}{2}=2-3i$. ✓

16. a) $z=\frac{(3+i)(1+i)}{2}=\frac{2+4i}{2}=1+2i$. b) $z+\bar{z}=2$ și $z\bar{z}=1+4=5$.

17. Fie $q=\frac{z_1}{z_2}$, deci $q{z}_2=z_1$. Conjugăm: $\bar{q}\overline{z_2}=\overline{z_1}$, iar cum $\overline{z_2}\ne 0$ rezultă $\bar{q}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$. Verificare: $q=2-i$ dă $\bar{q}=2+i$; iar $\frac{10-5i}{3-4i}=\frac{(10-5i)(3+4i)}{25}=\frac{50+25i}{25}=2+i$. ✓

18. Fie $z=a+bi$ nenul. Relația $\frac{z}{\bar{z}}=i$ este echivalentă cu $z=i\bar{z}$, adică $a+bi=i(a-bi)=b+ai$. Identificând părțile: $a=b$ (din partea reală) și $b=a$ (din partea imaginară) — aceeași condiție. Deci $z=a(1+i)$, cu $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$: mulțimea căutată este $\{a(1+i)\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$. Verificare pentru $a=1$: $\frac{1+i}{1-i}=i$. ✓

De reținut

• Inversul: $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$, definit pentru orice $z\ne 0$. Caz special de memorat: $\frac{1}{i}=-i$.
• Metoda: împărțirea se face amplificând cu conjugatul numitorului; numitorul devine $c^2+d^2$, număr real strict pozitiv, iar apoi separi partea reală de cea imaginară.
• Verificarea: orice cât $q=\frac{z_1}{z_2}$ se controlează prin $q\cdot z_2=z_1$. Este pasul care prinde greșelile de semn.
• Rezultate de memorat: $\frac{1+i}{1-i}=i$ și $\frac{1-i}{1+i}=-i$; iar la puteri ale lui $i$ folosești restul împărțirii exponentului la $4$.
• Conjugatul câtului este câtul conjugatelor: $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.

Greșeli frecvente

• Amplifici cu conjugatul numărătorului. Conjugatul care contează este al numitorului — el este cel care trebuie să devină real.
• Lași $i$ la numitor. Un răspuns de forma $\frac{3}{2i}$ nu este scris în formă algebrică; amplifică și scrie $-\frac{3}{2}i$.
• Uiți că $i^2=-1$ la desfacerea produsului. La numărător, termenul $-20i^2$ devine $+20$, nu $-20$. Aici se pierd cele mai multe puncte.
• Calculezi greșit numitorul. $(3+4i)(3-4i)=3^2+4^2=25$, nu $9-16$ și nici $9+16i$. Numitorul e mereu suma pătratelor.
• Nu verifici. Înmulțirea înapoi durează câteva secunde și confirmă tot calculul; fără ea, o greșeală de semn rămâne nedescoperită până la barem.

Aplică acasă

1. Cinci împărțiri inventate de tine. Alege un număr complex $q$ și un număr $z_2$ (amândouă cu părți întregi mici), calculează $z_1=q{z}_2$ și scrie exercițiul „efectuați $\frac{z_1}{z_2}$". Rezolvă-l prin amplificare și vezi dacă regăsești $q$-ul de la care ai pornit. Repetă de cinci ori.

2. Tabelul puterilor negative ale lui $i$. Completează pe o foaie valorile $\frac{1}{i},\frac{1}{i^2},\frac{1}{i^3},\frac{1}{i^4}$ și continuă până la $\frac{1}{i^8}$. Ce periodicitate observi și cum se leagă ea de restul împărțirii exponentului la $4$?

3. Impedanțe în paralel. Caută în manualul de fizică formula impedanței echivalente pentru două componente legate în paralel și calculează $Z$ pentru $Z_1=4+4i$ și $Z_2=4-4i$. Verifică dacă rezultatul este un număr real și explică de ce se întâmplă asta când cele două impedanțe sunt conjugate.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide setul de operații cu numere complexe scrise în formă algebrică. Ideea de fond este că împărțirea nu este o operație nouă, ci o combinație între înmulțire și o simplificare: amplificarea cu conjugatul transformă numitorul într-un număr real, iar de acolo calculul devine banal. Elevul trebuie să iasă din lecție cu un algoritm ferm în trei pași și cu obiceiul de a verifica prin înmulțire înapoi.

Ce verifică lecția: alegerea corectă a conjugatului (al numitorului!), calculul numitorului ca $c^2+d^2$, desfacerea corectă a produsului de la numărător cu $i^2=-1$ și scrierea finală în formă algebrică. Întrebări bune de control: „Cu ce amplifici la $\frac{7}{2-5i}$?"; „Cât face $\frac{1}{i}$ și de ce?"; „Cum verifici că ai împărțit corect?". Semne că a înțeles: nu mai lasă $i$ la numitor, acceptă răspunsuri cu coeficienți fracționari și își verifică singur rezultatul.

La Bacalaureat M1, împărțirea apare la subiectul I aproape la fiecare sesiune, de obicei sub forma „scrieți în formă algebrică numărul $\frac{a+bi}{c+di}$" sau ca pas intermediar într-un exercițiu cu module și conjugate. Sunt puncte care se iau integral, cu condiția ca algoritmul să fie automatizat.

Întrebări frecvente

Cum împart două numere complexe? Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Numitorul devine $c^2+d^2$, un număr real, iar la numărător efectuezi o înmulțire obișnuită de numere complexe. La final separi partea reală de cea imaginară. Exemplu: $\frac{10+5i}{3+4i}=\frac{(10+5i)(3-4i)}{25}=2-i$.

Care este inversul unui număr complex? Pentru $z=a+bi\ne 0$, inversul este $\frac{1}{z}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$, adică $\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}$. Orice număr complex nenul are invers, ceea ce face ca împărțirea să fie mereu posibilă în $\mathbb{C}$, cu excepția împărțirii la zero.

Cât face $1$ supra $i$? Face $-i$. Verificarea e imediată: $i\cdot (-i)=-i^2=1$. Formal, amplifici cu conjugatul lui $i$, care este $-i$: $\frac{1}{i}=\frac{-i}{-i^2}=-i$.

De ce amplific cu conjugatul numitorului și nu cu altceva? Pentru că doar conjugatul are proprietatea $z\bar{z}=a^2+b^2$, adică transformă numitorul într-un număr real strict pozitiv. Orice altă amplificare ar lăsa $i$ la numitor.

Cum verific dacă am împărțit corect? Înmulțești câtul obținut cu împărțitorul: trebuie să regăsești exact deîmpărțitul. De exemplu, dacă ai obținut $2-i$ împărțind la $3+4i$, calculezi $(2-i)(3+4i)=10+5i$ și compari cu numărătorul inițial.

Poate un cât de numere complexe să aibă coeficienți fracționari? Da, este perfect normal. De exemplu $\frac{1+2i}{3-i}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$. Forma algebrică cere doar ca $a$ și $b$ să fie numere reale, nu întregi.

Ce înseamnă că un răspuns nu e „în formă algebrică"? Înseamnă că mai are $i$ la numitor sau că nu se distinge partea reală de cea imaginară. Scrierea $\frac{3}{2i}$ trebuie transformată în $-\frac{3}{2}i$, iar $\frac{5-5i}{10}$ în $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$.