Formula fundamentală: sin²x + cos²x = 1

Un liftier urcă un dulap pe o rampă. Dacă rampa are lungimea de un metru și face un anumit unghi cu solul, dulapul înaintează pe orizontală cu $\cos x$ metri și se ridică pe verticală cu $\sin x$ metri. Cele două deplasări nu sunt independente: cu cât rampa e mai abruptă, cu atât urci mai mult și înaintezi mai puțin. Există între ele o relație precisă, iar relația aceea e valabilă pentru orice unghi, la orice rampă, oriunde în lume.

Relația se numește formula fundamentală a trigonometriei și se scrie într-un rând: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. E cea mai importantă egalitate din tot capitolul, și nu doar pentru că se demonstrează în trei rânduri. Ea leagă sinusul de cosinus atât de strâns încât, dacă știi una dintre valori, o poți calcula pe cealaltă — cu o singură precauție, esențială: trebuie să știi și în ce cadran te afli, altfel nu poți alege semnul. Discuția aceea de semn este exact locul unde se pierd punctele la teze, așa că îi vom acorda jumătate din lecție.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi formula fundamentală, folosind teorema lui Pitagora pe cercul trigonometric.
• Vei ști ce înseamnă notația ${\sin }^{2}x$ și de ce nu se confundă cu $\sin x^2$.
• Vei ști să scrii formele echivalente ale formulei: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.
• Vei ști să calculezi $\sin x$ când cunoști $\cos x$ (și invers), alegând corect semnul după cadranul indicat.
• Vei ști să simplifici expresii trigonometrice înlocuind ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ cu $1$ oriunde îl recunoști.
• Vei ști să deduci din formulă că valorile sinusului și ale cosinusului nu pot ieși din intervalul $[-1,1]$.

Hai să descoperim împreună

1. O notație care trebuie lămurită de la început

Prin ${\sin }^{2}x$ înțelegem pătratul numărului $\sin x$, adică $(\sin x{)}^2=\sin x\cdot \sin x$. Exponentul se scrie lipit de numele funcției pur și simplu pentru comoditate, ca să nu umplem foaia de paranteze.

Atenție la o confuzie clasică: ${\sin }^{2}x$ nu înseamnă $\sin (x^2)$. La primul, ridici la pătrat rezultatul; la al doilea, ridici la pătrat argumentul, înainte de a calcula sinusul. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$, de exemplu, ${\sin }^2\frac{\pi }{2}=1^2=1$, în timp ce $\sin \left(\frac{{\pi }^2}{4}\right)$ e cu totul altceva. Când ai dubii, scrie parantezele: $(\sin x{)}^2$ e mereu corect.

2. Demonstrația: teorema lui Pitagora pe cercul trigonometric

Aici stă frumusețea lecției: formula fundamentală este teorema lui Pitagora, deghizată.

Fie $x$ un număr real și $M(x)$ punctul asociat lui pe cercul trigonometric, cerc cu centrul în origine și rază $1$. Conform definițiilor din lecția despre sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric, punctul are coordonatele

$$M(x)=(\cos x,\sin x).$$

Construim triunghiul dreptunghic format de origine, de punctul $M$ și de proiecția $P$ a lui $M$ pe axa $Ox$. Catetele acestui triunghi au lungimile $|OP|=|\cos x|$ (deplasarea orizontală) și $|PM|=|\sin x|$ (deplasarea verticală), iar ipotenuza este chiar raza: $|OM|=1$.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $OPM$:

$$|OP{|}^2+|PM{|}^2=|OM{|}^2⟹|\cos x{|}^2+|\sin x{|}^2=1^2.$$

Cum pătratul unui număr coincide cu pătratul modulului său ($|a{|}^2=a^2$ pentru orice număr real $a$), modulele dispar și obținem exact:

$$\boxed{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1}\text{pentru orice numa˘r real }x.■$$

Demonstrația de mai sus e făcută pe desen cu $M$ în cadranul I, dar ea nu depinde de cadran: oriunde ar fi punctul, triunghiul $OPM$ rămâne dreptunghic în $P$, iar catetele lui au tot lungimile $|\cos x|$ și $|\sin x|$. Modulele fac ca semnele să nu conteze — și tocmai de aceea formula e valabilă pentru orice $x$ real, fără nicio excepție și fără nicio condiție. Rămân de discutat separat doar cazurile în care $M$ cade pe o axă, unde triunghiul degenerează: acolo verificarea e directă, de exemplu ${\sin }^{2}0+{\cos }^{2}0=0+1=1$ ✓.

3. O primă răsplată: valoarea lui cos 45°

Programa cere ca valorile funcțiilor trigonometrice să fie obținute, acolo unde se poate, chiar din cercul trigonometric. Iată cum se obține $\cos 45^{\circ }$ folosind numai formula fundamentală.

Punctul asociat lui $45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$ se află pe bisectoarea cadranului I, adică pe dreapta $y=x$. Prin urmare abscisa și ordonata lui sunt egale:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}.$$

Înlocuim în formula fundamentală, notând valoarea comună cu $t$:

$$t^2+t^2=1⟹2t^2=1⟹t^2=\frac{1}{2}⟹t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Cum punctul e în cadranul I, ambele coordonate sunt pozitive, deci reținem semnul plus:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707.$$

Observă structura raționamentului — o vom repeta de zeci de ori în lecție: formula dă pătratul, radicalul dă două variante, cadranul alege una singură.

4. Formele echivalente și când se folosesc

Formula se rearanjează în două forme, pe care le vei folosi mai des decât originalul:

$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x,{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x.$$

Prima o folosești când cunoști cosinusul și vrei sinusul; a doua, invers. Amândouă îți dau pătratul mărimii căutate, niciodată mărimea însăși — și aici începe partea delicată.

Din ele se extrage o consecință utilă imediat. Cum ${\sin }^{2}x\ge 0$, din a doua formă rezultă ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\le 1$, adică $|\cos x|\le 1$, deci

$$-1\le \cos x\le 1,\text{și analog}-1\le \sin x\le 1.$$

Ceea ce pe grafic era o observație vizuală (curba nu iese din banda dintre $-1$ și $1$) devine acum o consecință algebrică riguroasă. Egalitatea $|\cos x|=1$ apare exact când $\sin x=0$, adică în punctele de pe axa $Ox$ — și reciproc.

5. Din cosinus în sinus: radicalul și cele două variante

Presupunem că știm $\cos x$ și vrem $\sin x$. Din ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, extrăgând radicalul, obținem două valori posibile:

$$\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}\text{sau}\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}.$$

De ce două? Pentru că ecuația $t^2=a$ (cu $a>0$) are întotdeauna două soluții, $t=\sqrt{a}$ și $t=-\sqrt{a}$. Geometric, e și mai limpede: pe cercul trigonometric există două puncte cu aceeași abscisă, unul deasupra axei $Ox$ și unul dedesubt, simetrice față de această axă. Amândouă au același cosinus, dar sinusuri opuse.

Aici intervine informația despre cadran. Așa cum am stabilit în lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, sinusul e pozitiv în cadranele I și II și negativ în III și IV. Cadranul rezolvă ambiguitatea: dintre cele două variante, o alegi pe cea cu semnul potrivit.

Exemplu de lucru. Fie $\cos x=\frac{3}{5}$. Atunci

$${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}⟹\sin x=\pm \frac{4}{5}.$$

• Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ (cadranul I), sinusul e pozitiv: $\sin x=\frac{4}{5}$.
• Dacă $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ (cadranul IV), sinusul e negativ: $\sin x=-\frac{4}{5}$.

Fără precizarea cadranului, exercițiul nu are un răspuns unic — și e perfect corect să scrii pe teză „$\sin x=\pm \frac{4}{5}$, în funcție de cadran".

6. Din sinus în cosinus: același mecanism, alte cadrane

Simetric, dacă știm $\sin x$ și vrem $\cos x$, folosim ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ și alegem semnul după regula cosinusului: pozitiv în cadranele I și IV, negativ în II și III.

Exemplu de lucru. Fie $\sin x=\frac{5}{13}$ și $x$ în cadranul II. Atunci

$${\cos }^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}⟹\cos x=\pm \frac{12}{13}.$$

În cadranul II cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{12}{13}$.

Merită reținut că perechile de fracții care „ies frumos" nu sunt întâmplătoare: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$, $(20,21,29)$ sunt tripletele pitagoreice pe care le știi de la teorema lui Pitagora. Împărțind un triplet la ipotenuză, obții exact o pereche $(\cos x,\sin x)$ valabilă. De aceea autorii de subiecte le folosesc atât de des.

7. Rutina în trei pași

Toate exercițiile de acest tip se rezolvă cu același algoritm. Scrie-l în caiet și urmează-l cuvânt cu cuvânt până devine reflex:

1. Calculezi pătratul mărimii căutate, cu una dintre formele echivalente: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ sau ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.
2. Extragi radicalul, scriind explicit ambele variante, cu $\pm$.
3. Alegi semnul citind cadranul din enunț și aplicând regula semnelor. Dacă enunțul nu precizează cadranul, răspunsul rămâne cu $\pm$ și menționezi de ce.

Pasul pe care îl sare toată lumea este al treilea; pasul pe care îl greșește toată lumea, tot al treilea. Un truc bun: înainte de a scrie răspunsul final, desenează cercul, marchează cadranul din enunț și pune un punct acolo — semnul se vede pe desen.

Merită spus și ce nu face formula fundamentală: ea leagă sinusul de cosinus, dar nu spune nimic direct despre tangentă. Calculul lui $\mathrm{tg}x$ când cunoști $\cos x$, sau al lui $\cos x$ când cunoști $\mathrm{tg}x$, cere un pas suplimentar și e subiectul lecției despre calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște alta.

8. A doua utilizare: simplificarea expresiilor

Formula fundamentală se folosește și „de la stânga la dreapta", ca instrument de curățenie: oriunde recunoști suma ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ într-o expresie, o înlocuiești cu $1$ și expresia se topește.

Trei tipare care apar mereu:

$$(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x;$$

$${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x;$$

$${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x.$$

Observă că în toate trei am folosit formule de calcul prescurtat obișnuite (pătratul sumei, diferența de pătrate, pătratul sumei citit invers) și abia la final am înlocuit paranteza cu $1$. Aceasta e strategia: mai întâi algebră, apoi trigonometrie.

Formula fundamentală apare, de altfel, și în afara acestui capitol — de exemplu, ea este pasul-cheie din demonstrația teoremei cosinusului, unde suma ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A$ se ivește exact la momentul potrivit ca să curețe calculul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea formulei pe o valoare cunoscută

Verificați formula fundamentală pentru $x=\frac{\pi }{3}$.

Rezolvare. Știm că $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. Atunci

$${\sin }^2\frac{\pi }{3}+{\cos }^2\frac{\pi }{3}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1.✓$$

Verificarea aceasta e un test excelent de memorie: dacă valorile pe care le știi nu satisfac formula, ai memorat greșit una dintre ele. $■$

Exemplul 2 — Din cosinus în sinus, cadranul I

Se știe că $\cos x=\frac{8}{17}$ și $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Calculați $\sin x$.

Rezolvare. Pas 1: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}$.

Pas 2: $\sin x=\pm \sqrt{\frac{225}{289}}=\pm \frac{15}{17}$.

Pas 3: $x$ e în cadranul I, unde sinusul e pozitiv, deci $\sin x=\frac{15}{17}$. $■$

Exemplul 3 — Din sinus în cosinus, cadranul III

Se știe că $\sin x=-\frac{1}{3}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Calculați $\cos x$.

Rezolvare. Pas 1: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

Pas 2: $\cos x=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Pas 3: intervalul dat este cadranul III, unde cosinusul e negativ, deci $\cos x=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx -0,943$.

Coerență: și sinusul dat era negativ, ceea ce se potrivește cu cadranul III, unde ambele coordonate sunt negative. Dacă enunțul ți-ar fi dat $\sin x=+\frac{1}{3}$ cu cadranul III, ar fi fost contradictoriu — merită să verifici mereu compatibilitatea datelor. $■$

Exemplul 4 — Fără precizarea cadranului

Se știe că $\cos x=\frac{1}{4}$. Calculați $\sin x$.

Rezolvare. ${\sin }^{2}x=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$, deci $\sin x=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Enunțul nu precizează cadranul, iar un cosinus pozitiv este compatibil atât cu cadranul I (unde sinusul e pozitiv), cât și cu cadranul IV (unde e negativ). Prin urmare răspunsul complet este:

$$\sin x=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{ daca˘ }x\text{ e ıˆn cadranul I},\sin x=-\frac{\sqrt{15}}{4}\text{ daca˘ }x\text{ e ıˆn cadranul IV}.$$

A alege arbitrar semnul plus, fără justificare, este greșeala pe care baremul o sancționează. $■$

Exemplul 5 — Simplificarea unei expresii

Simplificați expresia $E=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$.

Rezolvare. Dezvoltăm ambele pătrate:

$$E=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x).$$

Termenii $\pm 2\sin x\cos x$ se reduc, iar ce rămâne se grupează:

$$E=2{\sin }^{2}x+2{\cos }^{2}x=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2\cdot 1=2.$$

Expresia are aceeași valoare, $2$, pentru orice număr real $x$ — nu depinde deloc de $x$. (Verificare rapidă cu $x=0$: $(0+1{)}^2+(0-1{)}^2=1+1=2$ ✓.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. a) Calculați $\cos x$. b) Calculați $\sin x+\cos x$. c) Arătați că ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{337}{625}$.

Rezolvare. a) ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$. Intervalul dat este cadranul II, unde cosinusul e negativ: $\cos x=-\frac{4}{5}$.

b) $\sin x+\cos x=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$.

c) Calculăm direct puterile a patra:

$${\sin }^{4}x={\left(\frac{3}{5}\right)}^4=\frac{81}{625},{\cos }^{4}x={\left(-\frac{4}{5}\right)}^4=\frac{256}{625},$$

iar suma lor este $\frac{81+256}{625}=\frac{337}{625}$. ✓

Varianta elegantă, fără puteri mari: din $\sin x\cos x=\frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{12}{25}$ și din identitatea ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ obținem $1-2\cdot \frac{144}{625}=1-\frac{288}{625}=\frac{337}{625}$. ✓ $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, respectând cei trei pași: pătratul, radicalul cu $\pm$, alegerea semnului după cadran. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă, cu radicalul simplificat.

1. Verifică formula fundamentală pentru $x=\frac{\pi }{6}$.

2. Verifică formula fundamentală pentru $x=\frac{3\pi }{4}$.

3. Se știe că $\cos x=\frac{3}{5}$ și $x$ este în cadranul I. Calculează $\sin x$.

4. Se știe că $\sin x=\frac{12}{13}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\cos x$.

5. Se știe că $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Calculează $\sin x$.

6. Se știe că $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $x\in \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Calculează $\cos x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\cos x=\frac{4}{5}$, atunci în mod obligatoriu $\sin x=\frac{3}{5}$."

8. Se știe că $\sin x=\frac{2}{3}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\cos x$.

9. Se știe că $\cos x=-\frac{7}{25}$ și $x$ este în cadranul III. Calculează $\sin x$.

10. Arată că nu există niciun număr real $x$ pentru care $\sin x=\frac{5}{4}$.

11. Simplifică expresia $E={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x-1$.

12. Simplifică expresia $F={\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x+2{\cos }^{2}x$.

13. Se știe că $\cos x=-\frac{1}{2}$ și $x$ este în cadranul II. Calculează $\sin x$ și apoi $\sin x-\cos x$.

14. (Problemă aplicată.) O rampă de un metru lungime face un unghi $x$ cu solul. Deplasarea pe orizontală este $\cos x$ metri, iar ridicarea pe verticală este $\sin x$ metri. Dacă rampa ridică obiectul cu $0,6$ m, cu cât înaintează el pe orizontală? (Unghiul e ascuțit.)

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se știe că $\sin x=-\frac{4}{5}$ și $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. a) Calculează $\cos x$. b) Calculează $\sin x\cdot \cos x$. c) Calculează $(\sin x+\cos x{)}^2$.

16. Demonstrează, pornind de la formula fundamentală, că $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice număr real $x$.

17. (Raționament.) Arată că expresia $G=2({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)-({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2$ este constantă și determină valoarea ei.

18. (Provocare.) Se știe că $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$. Calculează $\sin x\cdot \cos x$, apoi ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$. (Plan: ridică relația dată la pătrat.)

Răspunsuri și explicații

1. $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓.

2. $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ ✓. Observă că semnul minus dispare la ridicarea la pătrat — formula nu ține cont de cadran.

3. ${\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\sin x=\pm \frac{4}{5}$. În cadranul I sinusul e pozitiv: $\sin x=\frac{4}{5}$.

4. ${\cos }^{2}x=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$, deci $\cos x=\pm \frac{5}{13}$. În cadranul II cosinusul e negativ: $\cos x=-\frac{5}{13}$.

5. ${\sin }^{2}x=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, deci $\sin x=\pm \frac{1}{2}$. Intervalul e cadranul III, unde sinusul e negativ: $\sin x=-\frac{1}{2}$.

6. ${\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, deci $\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Intervalul e cadranul IV, unde cosinusul e pozitiv: $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7. Fals. Din formulă rezultă doar ${\sin }^{2}x=\frac{9}{25}$, deci $\sin x=\pm \frac{3}{5}$. Un cosinus pozitiv e compatibil și cu cadranul I (sinus pozitiv), și cu cadranul IV (sinus negativ). Fără informația despre cadran, ambele variante sunt valabile.

8. ${\cos }^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, deci $\cos x=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. În cadranul II cosinusul e negativ: $\cos x=-\frac{\sqrt{5}}{3}\approx -0,745$.

9. ${\sin }^{2}x=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}$, deci $\sin x=\pm \frac{24}{25}$. În cadranul III sinusul e negativ: $\sin x=-\frac{24}{25}$.

10. Dacă ar exista un astfel de $x$, atunci ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{25}{16}=-\frac{9}{16}$, adică pătratul unui număr real ar fi negativ — imposibil. Deci nu există. (Echivalent: $\frac{5}{4}>1$, iar sinusul nu depășește $1$.)

11. $E=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+{\cos }^{2}x-1=1+{\cos }^{2}x-1={\cos }^{2}x$.

12. Factorizăm diferența de pătrate: ${\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$. Atunci $F={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x+2{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Expresia e constantă.

13. ${\sin }^{2}x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, deci $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$; în cadranul II sinusul e pozitiv, deci $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Atunci $\sin x-\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1,37$.

14. Ridicarea este $\sin x=0,6=\frac{3}{5}$. Atunci ${\cos }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$; unghiul fiind ascuțit (cadranul I), reținem $\cos x=\frac{4}{5}=0,8$. Obiectul înaintează cu $0,8$ m pe orizontală. (Verificare: $0,6^2+0,8^2=0,36+0,64=1$ ✓ — rampa de un metru e ipotenuza unui triunghi $3-4-5$ micșorat.)

15. a) ${\cos }^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{3}{5}$; cadranul III cere cosinus negativ: $\cos x=-\frac{3}{5}$. b) $\sin x\cos x=\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{12}{25}$. c) $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$. (Control direct: ${\left(-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\right)}^2={\left(-\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$ ✓.)

16. Din formulă, ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Cum ${\cos }^{2}x\ge 0$ (pătratul unui număr real), rezultă ${\sin }^{2}x\le 1$. Iar ${\sin }^{2}x\le 1$ înseamnă $|\sin x|\le 1$, adică exact $-1\le \sin x\le 1$. $■$

17. Folosim identitățile din lecție: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$, iar $({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x{)}^2={\sin }^{4}x-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x=1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$. Atunci $G=2(1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x)-(1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x)=2-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-1+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1$. Expresia e constantă, egală cu $1$. (Control cu $x=0$: $2(0+1)-(0-1{)}^2=2-1=1$ ✓.)

18. Ridicăm la pătrat relația dată: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{4}$, adică $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}$. De aici $2\sin x\cos x=-\frac{3}{4}$, deci $\sin x\cos x=-\frac{3}{8}$. Mai departe, cu identitatea ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2(\sin x\cos x{)}^2$, obținem $1-2\cdot \frac{9}{64}=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}$. Observă că produsul a ieșit negativ: e semnul faptului că $\sin x$ și $\cos x$ au semne contrare, deci $x$ nu poate fi în cadranul I — o informație obținută gratuit, fără să aflăm valoarea lui $x$.

De reținut

• Formula fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, valabilă pentru orice număr real $x$, fără condiții.
• Ea este teorema lui Pitagora aplicată triunghiului dreptunghic format de rază, de proiecția pe $Ox$ și de segmentul vertical, în cercul de rază $1$.
• Formele de lucru: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$. Ele dau pătratul, nu valoarea — după radical rămân două variante, $+$ și $-$.
• Semnul se alege din cadran, niciodată la întâmplare: sinusul e pozitiv în cadranele I și II, cosinusul în I și IV. Fără cadran precizat, răspunsul rămâne cu $\pm$.
• Din formulă rezultă $-1\le \sin x\le 1$ și $-1\le \cos x\le 1$; ecuații ca $\sin x=1,2$ nu au soluții. La simplificări, caută mereu suma ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ ascunsă în expresie.

Greșeli frecvente

• Semnul ales automat plus. Se scrie $\sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}$ și se trece mai departe, ignorând cadranul. Radicalul dă mereu două variante; al treilea pas al rutinei nu e opțional.
• Confuzia ${\sin }^{2}x$ cu $\sin x^2$. Prima înseamnă $(\sin x{)}^2$, a doua $\sin (x^2)$ — lucruri complet diferite. Când ai dubii, scrie parantezele.
• Cadranul ignorat sau citit greșit. Intervalul $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ este cadranul II, nu I. Marchează intervalul pe cerc înainte de a decide semnul.
• Date incompatibile neobservate. Un enunț de tipul „$\sin x=\frac{1}{2}$ și $x$ în cadranul III" se contrazice singur (în cadranul III sinusul e negativ). Verifică întotdeauna dacă semnul dat se potrivește cu cadranul.
• Radicalul nesimplificat. $\sqrt{\frac{8}{9}}$ se scrie $\frac{2\sqrt{2}}{3}$, nu se lasă ca atare. Forma finală trebuie să aibă radicalul simplificat și numitorul rațional.

Aplică acasă

1. Triunghiuri pitagoreice pe caiet. Desenează triunghiuri dreptunghice cu laturile $(3,4,5)$, $(5,12,13)$ și $(8,15,17)$, în centimetri. Pentru fiecare, calculează sinusul și cosinusul unuia dintre unghiurile ascuțite ca raport dintre catetă și ipotenuză și verifică formula fundamentală. Vei vedea de ce aceste triplete apar în aproape toate exercițiile.

2. Rampa din curte. Sprijină o scândură (sau o riglă lungă) de o treaptă și măsoară cu ruleta lungimea scândurii, înălțimea la care ajunge capătul de sus și distanța de la baza treptei la capătul de jos. Împarte ultimele două la prima: obții $\sin x$ și $\cos x$. Verifică dacă suma pătratelor lor e aproape de $1$ și explică de unde vine mica diferență.

3. Test de memorie cu autocorectare. Scrie din memorie valorile lui $\sin$ și $\cos$ pentru $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$. Verifică fiecare pereche cu formula fundamentală: dacă suma pătratelor nu dă $1$, ai greșit o valoare. Este cel mai rapid autotest din toată trigonometria.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea „Formule trigonometrice de bază" și este cea mai folosită formulă din întreg capitolul. Programa cere explicit ca ea să fie argumentată pe cercul trigonometric, cu teorema lui Pitagora — demonstrația nu e un ornament, ci scopul lecției: elevul trebuie să vadă că trigonometria de liceu nu aduce un aparat nou, ci reformulează geometria pe care o știe deja.

Competența centrală este calculul unei funcții trigonometrice când se cunoaște cealaltă împreună cu cadranul. Aici se joacă tot punctajul: pasul algebric (ridicare la pătrat, radical) e simplu, dar alegerea semnului cere ca elevul să lege intervalul din enunț de o poziție pe cerc. Merită insistat ca la fiecare exercițiu să deseneze cercul și să marcheze cadranul — obiceiul acesta, format acum, elimină cea mai frecventă eroare de la teze.

Întrebări bune de control: „De ce formula e valabilă pentru orice $x$, chiar și când sinusul e negativ?" (în Pitagora intervin modulele, iar $|a{|}^2=a^2$); „De ce apar două valori după radical?" (există două puncte pe cerc cu aceeași abscisă); „Ce faci dacă enunțul nu spune cadranul?" (răspunzi cu $\pm$ și explici); „Poate $\cos x$ să fie $-1,1$?" (nu, formula impune $|\cos x|\le 1$). Semne că a înțeles: scrie mereu $\pm$ înainte de a alege, verifică compatibilitatea semnului dat cu cadranul din enunț și recunoaște suma ${\sin }^2+{\cos }^2$ ascunsă în expresii.

La teze și la Bacalaureat, tiparul „știind că $\sin x=\dots$ și $x\in (\dots )$, calculați $\cos x$" apare aproape la fiecare sesiune, adesea urmat de o a doua cerință (produsul, suma sau o expresie simetrică). Exercițiile 15 și 18 de la exersare reproduc fidel acest format.

Întrebări frecvente

Ce spune formula fundamentală a trigonometriei? Că pentru orice număr real $x$ are loc egalitatea ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași argument este întotdeauna $1$, indiferent de cadran.

De ce se numește „fundamentală"? Pentru că din ea se deduc majoritatea celorlalte relații de calcul din trigonometrie și pentru că este instrumentul standard prin care se trece de la o funcție trigonometrică la alta. Practic, nu există exercițiu de trigonometrie în care să nu apară, direct sau ascunsă.

Cum se demonstrează formula fundamentală? Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de originea $O$, punctul $M$ de pe cercul trigonometric și proiecția lui $M$ pe axa $Ox$. Catetele au lungimile $|\cos x|$ și $|\sin x|$, ipotenuza este raza, egală cu $1$, iar Pitagora dă direct ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Cum aflu cosinusul dacă știu sinusul? Folosești ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, extragi radicalul (obținând două variante, cu $+$ și cu $-$) și alegi semnul după cadranul precizat în enunț: cosinusul e pozitiv în cadranele I și IV, negativ în II și III.

De ce rezultatul are două variante de semn? Pentru că formula dă doar pătratul mărimii căutate, iar o ecuație de tipul $t^2=a$ are două soluții opuse. Geometric, pe cerc există două puncte cu aceeași abscisă (simetrice față de axa $Ox$), deci același cosinus dar sinusuri opuse.

Ce fac dacă exercițiul nu precizează cadranul? Răspunzi cu ambele variante, scriind explicit $\pm$, și menționezi în ce cadran corespunde fiecare semn. Este răspunsul complet și corect; alegerea arbitrară a unui singur semn se depunctează.

Ce înseamnă notația sin²x? Înseamnă $(\sin x{)}^2$, adică pătratul valorii sinusului. Nu se confundă cu $\sin (x^2)$, unde se ridică la pătrat argumentul înainte de a calcula sinusul.

Unde mai folosesc formula fundamentală în afara acestui capitol? La simplificarea expresiilor trigonometrice, la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, în demonstrația teoremei cosinusului și în toate aplicațiile trigonometriei în geometrie. În fizică, ea garantează că un punct în mișcare circulară uniformă rămâne mereu la aceeași distanță de centru.