Acasă · Lecții · clasa a X-a · Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom

Binomul lui Newton: dezvoltarea puterii unui binom

Formula $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ o știi din gimnaziu. Poate știi și $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Dar dacă cineva îți cere acum $(a + b)^{5}$ ? Ai putea, teoretic, să înmulțești cinci paranteze una câte una — un sfert de oră de muncă, cu toate șansele să greșești un semn pe drum. Iar dacă cineva îți cere $(a + b)^{12}$ , metoda „înmulțesc pe rând" pur și simplu se prăbușește.

Ceea ce urmează este una dintre cele mai frumoase economii de efort din toată matematica de liceu. Se dovedește că nu trebuie să înmulțești nimic: structura dezvoltării e mereu aceeași, iar coeficienții ei sunt exact combinările pe care le-ai studiat în lecțiile trecute — adică numerele de pe linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal. Legătura aceasta, dintre o înmulțire de paranteze și o problemă de numărare, poartă numele de binomul lui Newton și este punctul în care întreg capitolul „Metode de numărare" își arată rostul.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți formula binomului lui Newton și să descrii structura dezvoltării: câți termeni are, cum se mișcă exponenții, de unde vin coeficienții.
Vei ști de ce apar combinările în dezvoltare — explicația prin numărarea parantezelor din care alegi pe $b$ .
Vei ști să scrii pe de rost dezvoltările lui $(a + b)^{2}$ , $(a + b)^{3}$ , $(a + b)^{4}$ și $(a + b)^{5}$ .
Vei ști să dezvolți binoame cu semnul minus, $(a - b)^{n}$ , fără să greșești alternanța semnelor.
Vei ști să dezvolți binoame în care termenii au coeficienți sau radicali, de tipul $(2 x - 3)^{4}$ sau $(2 + 1)^{4}$ .
Vei ști să verifici rapid o dezvoltare, prin înlocuirea lui $x$ cu $1$ , și să folosești binomul la calcule numerice precum $9 9^{4}$ .

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă când înmulțim parantezele

Începem cinstit, prin calcul direct. Pentru $n = 2$ :

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} .$

Pentru $n = 3$ , înmulțim rezultatul de mai sus încă o dată cu $(a + b)$ :

$(a + b)^{3} = (a^{2} + 2 ab + b^{2}) (a + b) = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} .$

Și, cu răbdare, pentru $n = 4$ :

$(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} .$

Așază coeficienții unul sub altul:

$1, 2, 11, 3, 3, 11, 4, 6, 4, 1.$

Sunt exact liniile $2$ , $3$ și $4$ ale triunghiului lui Pascal. Coincidență? Nu. Următoarea secțiune explică de ce.

2. De ce apar combinările

Scriem puterea desfășurat, ca produs de $n$ paranteze identice:

$(a + b)^{n} = n paranteze (a + b) (a + b) \dots (a + b) .$

Când desfacem parantezele, obținem o sumă uriașă de produse. Fiecare produs se formează astfel: din fiecare paranteză alegem fie $a$ , fie $b$ , și le înmulțim pe cele $n$ alese. Nu există altă posibilitate.

Să ne întrebăm acum: de câte ori apare produsul $a^{n - k} b^{k}$ , adică termenul în care am ales de $k$ ori pe $b$ și de $n - k$ ori pe $a$ ? Ca să obținem un asemenea produs, trebuie să hotărâm din care $k$ paranteze luăm pe $b$ — restul contribuie automat cu $a$ . Iar alegerea a $k$ paranteze dintre cele $n$ , fără ca ordinea alegerii să conteze, se face în exact $C_{n}^{k}$ moduri.

Deci termenul $a^{n - k} b^{k}$ apare de $C_{n}^{k}$ ori, iar după reducerea termenilor asemenea coeficientul lui este $C_{n}^{k}$ . Aceasta este întreaga demonstrație a formulei — o problemă de numărare, rezolvată exact cu metoda din lecția Contează ordinea sau nu?: ordinea parantezelor alese nu contează, deci combinări.

Verifică pe $n = 3$ : termenul $a^{2} b$ ( $k = 1$ ) apare de $C_{3}^{1} = 3$ ori, într-adevăr $ab \cdot a$ , $a \cdot ab$ și $ba \cdot a$ — trei produse care se reduc la $3 a^{2} b$ . ✓

✏️Ilustrație: trei paranteze (a+b)(a+b)(a+b) desenate una lângă alta; sub ele, trei rânduri în care este încercuit b într-o singură paranteză de fiecare dată, cu eticheta „3 = C(3,1) moduri de a alege paranteza din care iau b"

3. Formula binomului lui Newton

Teoremă (binomul lui Newton). Pentru orice numere $a$ și $b$ și orice număr natural $n \geq 1$ :

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n} .$

Prescurtat, cu semnul de sumă, aceeași egalitate se scrie $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Reține structura, pentru că ea îți spune imediat dacă ai scris ceva greșit:

Dezvoltarea are $n + 1$ termeni (nu $n$ !), pentru că indicele $k$ ia valorile $0, 1, \dots, n$ .
Exponentul lui $a$ coboară de la $n$ la $0$ ; exponentul lui $b$ urcă de la $0$ la $n$ .
În fiecare termen, suma exponenților este $n$ . Aceasta e cea mai rapidă verificare: dacă undeva suma nu dă $n$ , ai greșit.
Coeficienții sunt $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ , adică linia $n$ a triunghiului lui Pascal; ei sunt simetrici, pentru că $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ .

Programa clasei a X-a cere dezvoltarea binomului cu exponent cel mult egal cu $5$ , așa că exercițiile de aici lucrează cu $n \leq 5$ . Formula generală rămâne însă valabilă pentru orice $n$ , iar felul în care se găsește un anumit termen al dezvoltării — termenul liber, termenul cu un exponent dat — fără a scrie toată dezvoltarea, este subiectul lecției următoare, Termenul general al dezvoltării binomiale.

4. Cele cinci dezvoltări de bază

Pe acestea merită să le știi pe de rost; oricum le poți reconstrui în zece secunde din triunghiul lui Pascal.

$(a + b)^{1} = a + b$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

$(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Rețeta de scriere, pas cu pas: (1) scrii linia $n$ a triunghiului; (2) sub fiecare coeficient pui $a$ la puterea care coboară de la $n$ ; (3) adaugi $b$ la puterea care urcă de la $0$ . Gata.

5. Când semnul este minus

Nu există o formulă separată pentru $(a - b)^{n}$ . Se folosește tot binomul lui Newton, scriind $a - b = a + (- b)$ :

$(a - b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} - C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} - \dots$

Semnele alternează, începând cu plus: la termenul de rang $k$ apare factorul $(- 1)^{k}$ , pentru că $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ . Concret:

$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}, (a - b)^{4} = a^{4} - 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + b^{4} .$

Observă tiparul: la exponent impar, ultimul termen este negativ; la exponent par, ultimul termen este pozitiv. Este exact ce trebuie să iasă, pentru că ultimul termen este $(- b)^{n}$ .

Verificare simplă, pentru $a = b = 1$ : $(1 - 1)^{4} = 0$ , iar suma coeficienților $1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0$ . ✓

6. Când termenii nu sunt simpli: metoda parantezelor

Cea mai frecventă greșeală la binom nu ține de formulă, ci de neatenție: în $(2 x - 3)^{4}$ , „primul termen" nu este $x$ , ci $2 x$ , iar „al doilea" nu este $3$ , ci $- 3$ . Metoda sigură are trei pași:

Numește clar $a$ și $b$ , cu semnul lor cu tot: aici $a = 2 x$ , $b = - 3$ .
Scrie dezvoltarea cu $a$ și $b$ în paranteze, fără să calculezi nimic încă.
Calculează apoi fiecare termen, ridicând la putere paranteza întreagă.

Pentru $(2 x - 3)^{4}$ , cu linia $4$ a triunghiului ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

$(2 x)^{4} + 4 (2 x)^{3} (- 3) + 6 (2 x)^{2} (- 3)^{2} + 4 (2 x) (- 3)^{3} + (- 3)^{4} .$

Acum calculăm, pe rând: $(2 x)^{4} = 16 x^{4}$ ; $4 \cdot 8 x^{3} \cdot (- 3) = - 96 x^{3}$ ; $6 \cdot 4 x^{2} \cdot 9 = 216 x^{2}$ ; $4 \cdot 2 x \cdot (- 27) = - 216 x$ ; $(- 3)^{4} = 81$ . Deci

$(2 x - 3)^{4} = 16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81.$

Verificare pentru $x = 1$ : membrul stâng este $(2 - 3)^{4} = (- 1)^{4} = 1$ ; membrul drept, $16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1$ . ✓

7. Verificarea în două secunde

Orice dezvoltare se verifică înlocuind necunoscuta cu un număr comod, de obicei $1$ . Motivul: dacă egalitatea de polinoame e adevărată, ea trebuie să fie adevărată pentru orice valoare a variabilei.

Un caz important: pentru $a = b = 1$ formula dă

$2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n},$

adică proprietatea sumei unei linii din triunghiul lui Pascal, pe care ai întâlnit-o deja. Concret, aceasta înseamnă că suma coeficienților dezvoltării lui $(x + 1)^{n}$ este $2^{n}$ . Pentru $(x + 2)^{5}$ , suma coeficienților se obține punând $x = 1$ : $(1 + 2)^{5} = 3^{5} = 243$ .

Alte identități de acest tip — suma alternantă, sume cu coeficienți binomiali — se obțin tot prin particularizări isteței ale formulei și sunt strânse în lecția Identități cu coeficienți binomiali.

8. Binomul ca instrument de calcul numeric

Formula nu servește doar la algebră. Scriind un număr ca sumă sau diferență de două numere „rotunde", poți calcula puteri fără calculator:

$10 1^{3} = (100 + 1)^{3} = 10 0^{3} + 3 \cdot 10 0^{2} + 3 \cdot 100 + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030 301.$

$9 9^{4} = (100 - 1)^{4} = 10 0^{4} - 4 \cdot 10 0^{3} + 6 \cdot 10 0^{2} - 4 \cdot 100 + 1 = 100000000 - 4000000 + 60000 - 400 + 1 = 96059 601.$

Aceeași idee funcționează și cu radicali, unde binomul e adesea singura cale rezonabilă:

$(2 + 1)^{4} = (2)^{4} + 4 (2)^{3} + 6 (2)^{2} + 42 + 1 = 4 + 82 + 12 + 42 + 1 = 17 + 122 .$

(Am folosit $(2)^{2} = 2$ , $(2)^{3} = 22$ , $(2)^{4} = 4$ .) Verificare numerică: $17 + 12 \cdot 1, 41421 \dots \approx 33, 97$ , iar $(1, 41421 + 1)^{4} \approx 33, 97$ . ✓

✏️Ilustrație: schema de scriere a unei dezvoltări — un rând cu coeficienții 1, 4, 6, 4, 1 din triunghiul lui Pascal, sub ei o săgeată descrescătoare cu exponenții lui a (4, 3, 2, 1, 0) și o săgeată crescătoare cu exponenții lui b (0, 1, 2, 3, 4), iar dedesubt eticheta „suma exponenților = 4 în fiecare termen"

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dezvoltare simplă

Dezvoltați $(x + 1)^{4}$ .

Rezolvare. Aici $a = x$ , $b = 1$ , $n = 4$ . Linia $4$ a triunghiului lui Pascal este $1, 4, 6, 4, 1$ . Cum toate puterile lui $1$ sunt $1$ , coeficienții rămân neschimbați:

$(x + 1)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1.$

Verificare pentru $x = 1$ : stânga $2^{4} = 16$ ; dreapta $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$ . ✓

Exemplul 2 — Semne alternante

Dezvoltați $(x - 2)^{4}$ .

Rezolvare. Scriem $a = x$ , $b = - 2$ , iar coeficienții sunt $1, 4, 6, 4, 1$ :

$x^{4} + 4 x^{3} (- 2) + 6 x^{2} (- 2)^{2} + 4 x (- 2)^{3} + (- 2)^{4} .$

Calculăm puterile lui $- 2$ : $(- 2)^{2} = 4$ , $(- 2)^{3} = - 8$ , $(- 2)^{4} = 16$ . Deci

$(x - 2)^{4} = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16.$

Verificare pentru $x = 1$ : stânga $(1 - 2)^{4} = 1$ ; dreapta $1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1$ . ✓ Observă că semnele alternează și că ultimul termen e pozitiv, fiindcă exponentul e par.

Exemplul 3 — Coeficient la primul termen

Dezvoltați $(2 x + 1)^{5}$ .

Rezolvare. Punem $a = 2 x$ , $b = 1$ , iar linia $5$ a triunghiului este $1, 5, 10, 10, 5, 1$ :

$(2 x)^{5} + 5 (2 x)^{4} + 10 (2 x)^{3} + 10 (2 x)^{2} + 5 (2 x) + 1.$

Calculăm: $(2 x)^{5} = 32 x^{5}$ ; $5 \cdot 16 x^{4} = 80 x^{4}$ ; $10 \cdot 8 x^{3} = 80 x^{3}$ ; $10 \cdot 4 x^{2} = 40 x^{2}$ ; $5 \cdot 2 x = 10 x$ . Deci

$(2 x + 1)^{5} = 32 x^{5} + 80 x^{4} + 80 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 1.$

Verificare pentru $x = 1$ : stânga $3^{5} = 243$ ; dreapta $32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243$ . ✓ Observă că, spre deosebire de exemplele anterioare, coeficienții nu mai sunt simetrici — puterile lui $2$ strică simetria, deși coeficienții binomiali de la care am pornit erau simetrici.

Exemplul 4 — Amândoi termenii „complicați"

Dezvoltați $(3 x - 2)^{3}$ .

Rezolvare. $a = 3 x$ , $b = - 2$ , iar linia $3$ este $1, 3, 3, 1$ :

$(3 x)^{3} + 3 (3 x)^{2} (- 2) + 3 (3 x) (- 2)^{2} + (- 2)^{3} = 27 x^{3} + 3 \cdot 9 x^{2} \cdot (- 2) + 3 \cdot 3 x \cdot 4 - 8.$

Deci

$(3 x - 2)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8.$

Verificare pentru $x = 1$ : stânga $(3 - 2)^{3} = 1$ ; dreapta $27 - 54 + 36 - 8 = 1$ . ✓

Exemplul 5 — Calcul numeric fără calculator

Calculați $2 1^{3}$ și $(3 + 1)^{4}$ folosind binomul lui Newton.

Rezolvare. Pentru primul, scriem $21 = 20 + 1$ și folosim linia $3$ :

$2 1^{3} = 2 0^{3} + 3 \cdot 2 0^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 20 \cdot 1 + 1 = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261.$

Pentru al doilea, $a = 3$ , $b = 1$ , linia $4$ ( $1, 4, 6, 4, 1$ ), folosind $(3)^{2} = 3$ , $(3)^{3} = 33$ , $(3)^{4} = 9$ :

$(3 + 1)^{4} = 9 + 4 \cdot 33 + 6 \cdot 3 + 43 + 1 = 9 + 123 + 18 + 43 + 1 = 28 + 163 .$

Verificare numerică: $28 + 16 \cdot 1, 732 \approx 55, 71$ , iar $(1, 732 + 1)^{4} \approx 55, 71$ . ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră expresia $E (x) = (x + 2)^{5}$ . a) Scrieți dezvoltarea expresiei $E (x)$ . b) Determinați suma coeficienților dezvoltării. c) Determinați coeficientul lui $x^{3}$ .

Rezolvare. a) Punem $a = x$ , $b = 2$ , cu linia $5$ a triunghiului lui Pascal ( $1, 5, 10, 10, 5, 1$ ):

$x^{5} + 5 x^{4} \cdot 2 + 10 x^{3} \cdot 2^{2} + 10 x^{2} \cdot 2^{3} + 5 x \cdot 2^{4} + 2^{5},$

adică

$(x + 2)^{5} = x^{5} + 10 x^{4} + 40 x^{3} + 80 x^{2} + 80 x + 32.$

b) Suma coeficienților se obține înlocuind $x = 1$ în dezvoltare, ceea ce este același lucru cu a calcula $E (1)$ :

$E (1) = (1 + 2)^{5} = 3^{5} = 243.$

Verificare directă: $1 + 10 + 40 + 80 + 80 + 32 = 243$ . ✓

c) Coeficientul lui $x^{3}$ este $C_{5}^{2} \cdot 2^{2} = 10 \cdot 4 = 40$ , adică exact ce se citește în dezvoltare. (Atenție: exponentul lui $x$ este $3$ , deci exponentul lui $2$ este $5 - 3 = 2$ , iar coeficientul binomial corespunzător este $C_{5}^{2}$ , nu $C_{5}^{3}$ — deși, prin simetrie, cele două sunt egale.)

Să exersăm

Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, cine este $a$ , cine este $b$ (cu semn cu tot) și ce linie din triunghiul lui Pascal folosești. La final, verifică dezvoltarea înlocuind $x = 1$ .

1. Dezvoltă $(x + 1)^{3}$ .

2. Dezvoltă $(x + 1)^{5}$ .

3. Scrie dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ folosind linia $5$ a triunghiului lui Pascal.

4. Dezvoltă $(x - 1)^{4}$ .

5. Dezvoltă $(x + 3)^{3}$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ are $n$ termeni."

7. Dezvoltă $(2 x + 1)^{3}$ .

8. Dezvoltă $(x - 2)^{5}$ .

9. Calculează suma coeficienților dezvoltării lui $(2 x - 1)^{5}$ , fără să scrii dezvoltarea.

10. (Problemă aplicată.) Calculează $2 1^{3}$ și $10 1^{3}$ folosind binomul lui Newton, fără calculator.

11. Dezvoltă $(3 x - 2)^{3}$ și verifică rezultatul pentru $x = 1$ .

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În dezvoltarea lui $(a - b)^{5}$ , toți termenii au semnul minus."

13. Calculează $(2 + 1)^{4}$ și scrie rezultatul sub forma $p + q 2$ , cu $p$ și $q$ numere întregi.

14. Dezvoltă $(2 x - 3)^{4}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $E (x) = (x + 2)^{4}$ . a) Scrieți dezvoltarea. b) Calculați suma coeficienților dezvoltării. c) Determinați coeficientul lui $x^{2}$ .

16. Calculează $9 9^{4}$ folosind binomul lui Newton.

17. În dezvoltarea lui $(x + 1)^{5}$ , verifică egalitatea pentru $x = 2$ , calculând ambii membri.

18. (Provocare.) Arată că numărul $(1 + 3)^{4} + (1 - 3)^{4}$ este întreg și calculează-l. Explică de ce, în general, la o astfel de sumă radicalii dispar.

Răspunsuri și explicații

1. $a = x$ , $b = 1$ , linia $3$ ( $1, 3, 3, 1$ ): $(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ . Verificare la $x = 1$ : $8 = 1 + 3 + 3 + 1$ . ✓

2. Linia $5$ ( $1, 5, 10, 10, 5, 1$ ): $(x + 1)^{5} = x^{5} + 5 x^{4} + 10 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x + 1$ . Verificare la $x = 1$ : $32 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1$ . ✓

3. $(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ . În fiecare termen suma exponenților este $5$ , iar coeficienții sunt simetrici.

4. $a = x$ , $b = - 1$ : $(x - 1)^{4} = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ . Verificare la $x = 1$ : stânga $0$ ; dreapta $1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0$ . ✓

5. $a = x$ , $b = 3$ , linia $3$ : $x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 9 + 27$ , adică $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ . Verificare la $x = 1$ : $4^{3} = 64$ și $1 + 9 + 27 + 27 = 64$ . ✓

6. Fals. Dezvoltarea are $n + 1$ termeni, pentru că indicele $k$ parcurge valorile $0, 1, \dots, n$ . De exemplu, $(a + b)^{4}$ are cinci termeni, nu patru.

7. $a = 2 x$ , $b = 1$ , linia $3$ : $(2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} + 3 (2 x) + 1 = 8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$ . Verificare la $x = 1$ : $27 = 8 + 12 + 6 + 1$ . ✓

8. $a = x$ , $b = - 2$ , linia $5$ : $x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 32$ . Verificare la $x = 1$ : stânga $(- 1)^{5} = - 1$ ; dreapta $1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = - 1$ . ✓

9. Suma coeficienților este valoarea expresiei pentru $x = 1$ : $(2 \cdot 1 - 1)^{5} = 1^{5} = 1$ .

10. $2 1^{3} = (20 + 1)^{3} = 8000 + 3 \cdot 400 + 3 \cdot 20 + 1 = 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261$ . Și $10 1^{3} = (100 + 1)^{3} = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301$ .

11. $(3 x - 2)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8$ . Verificare la $x = 1$ : stânga $1^{3} = 1$ ; dreapta $27 - 54 + 36 - 8 = 1$ . ✓

12. Fals. Semnele alternează: $(a - b)^{5} = a^{5} - 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} - 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} - b^{5}$ . Termenii de rang par (numărând de la $0$ ) sunt pozitivi, cei de rang impar sunt negativi, pentru că $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ .

13. $(2 + 1)^{4} = (2)^{4} + 4 (2)^{3} + 6 (2)^{2} + 42 + 1 = 4 + 82 + 12 + 42 + 1 = 17 + 122$ . Deci $p = 17$ , $q = 12$ .

14. $a = 2 x$ , $b = - 3$ , linia $4$ : $(2 x - 3)^{4} = 16 x^{4} - 96 x^{3} + 216 x^{2} - 216 x + 81$ . Verificare la $x = 1$ : stânga $(- 1)^{4} = 1$ ; dreapta $16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1$ . ✓

15. a) Linia $4$ , cu $a = x$ și $b = 2$ : $x^{4} + 4 x^{3} \cdot 2 + 6 x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot 8 + 16$ , adică $(x + 2)^{4} = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ . b) Suma coeficienților este $E (1) = 3^{4} = 81$ ; verificare: $1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81$ . ✓ c) Coeficientul lui $x^{2}$ este $C_{4}^{2} \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 = 24$ .

16. $9 9^{4} = (100 - 1)^{4} = 10 0^{4} - 4 \cdot 10 0^{3} + 6 \cdot 10 0^{2} - 4 \cdot 100 + 1 = 100000000 - 4000000 + 60000 - 400 + 1 = 96059601$ .

17. Pentru $x = 2$ : membrul stâng $(2 + 1)^{5} = 3^{5} = 243$ ; membrul drept $32 + 5 \cdot 16 + 10 \cdot 8 + 10 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 = 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243$ . ✓

18. Dezvoltăm ambele puteri cu linia $4$ . Prima: $(1 + 3)^{4} = 1 + 43 + 6 \cdot 3 + 4 \cdot 33 + 9 = 28 + 163$ . A doua se obține din prima schimbând $3$ în $- 3$ , deci $(1 - 3)^{4} = 28 - 163$ . Suma este $56$ , număr întreg. Explicația generală: în cele două dezvoltări, termenii cu putere pară a radicalului sunt identici (radicalul dispare), iar cei cu putere impară au semne opuse și se anulează la adunare.

De reținut

Formula binomului lui Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$ ; coeficienții sunt exact linia $n$ a triunghiului lui Pascal.
Structura dezvoltării: $n + 1$ termeni; exponentul lui $a$ coboară de la $n$ la $0$ , cel al lui $b$ urcă de la $0$ la $n$ ; în fiecare termen suma exponenților este $n$ .
De ce combinări: desfăcând cele $n$ paranteze, termenul $a^{n - k} b^{k}$ apare o dată pentru fiecare mod de a alege cele $k$ paranteze din care iei pe $b$ — adică de $C_{n}^{k}$ ori.
La $(a - b)^{n}$ semnele alternează, pentru că $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ : ultimul termen e negativ la exponent impar și pozitiv la exponent par.
Verificarea rapidă: înlocuiește $x = 1$ ; suma coeficienților dezvoltării lui $(x + 1)^{n}$ este $2^{n}$ , iar a lui $(x + a)^{n}$ este $(1 + a)^{n}$ .

Greșeli frecvente

„Dezvoltarea are $n$ termeni". Are $n + 1$ . Numără-i de fiecare dată: la $(a + b)^{5}$ trebuie să scrii șase termeni, de la $a^{5}$ până la $b^{5}$ .
Uitarea coeficientului termenului. În $(2 x + 1)^{5}$ , primul termen nu este $x^{5}$ , ci $(2 x)^{5} = 32 x^{5}$ . Scrie întotdeauna $a$ și $b$ în paranteze și ridică la putere paranteza întreagă.
Semnul pierdut la $(a - b)^{n}$ . Un minus în fața lui $b$ nu se pune „doar la ultimul termen": semnele alternează pe toată dezvoltarea. Sigur nu greșești dacă lucrezi cu $b = - 3$ (cu tot cu semn) și calculezi $(- 3)^{k}$ .
Confuzia dintre coeficientul binomial și coeficientul termenului. În $(x + 2)^{5}$ , coeficientul lui $x^{3}$ nu este $C_{5}^{2} = 10$ , ci $C_{5}^{2} \cdot 2^{2} = 40$ : coeficientul binomial se înmulțește cu puterile factorilor numerici.
Suma exponenților care nu dă $n$ . Dacă într-un termen ai scris, de exemplu, $a^{3} b^{3}$ într-o dezvoltare de exponent $5$ , ai greșit sigur. Fă verificarea aceasta la fiecare termen — durează două secunde și prinde majoritatea greșelilor.

Aplică acasă

Cardul cu cinci dezvoltări. Scrie pe un cartonaș mic dezvoltările lui $(a + b)^{n}$ pentru $n$ de la $1$ la $5$ și pune-l în penar. Timp de o săptămână, acoperă una la întâmplare și încearcă s-o reconstruiești din linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal. La final vei descoperi că nu mai ai nevoie de cartonaș.
Calcule fără telefon. Provoacă pe cineva din familie: tu calculezi $10 1^{3}$ și $9 9^{4}$ mintal (cu binomul, pe hârtie), el cu calculatorul de pe telefon. Compară timpii și, mai ales, arată-i cum ai făcut — dacă poți explica metoda altcuiva, înseamnă că ai înțeles-o.
Dobânda compusă, la scară mică. Dacă pui $1000$ de lei într-un depozit cu $5%$ pe an, după $n$ ani ai $1000 \cdot (1, 05)^{n}$ lei. Scrie $1, 05 = 1 + 0, 05$ și dezvoltă cu binomul pentru $n = 3$ : primul termen ( $1$ ) e capitalul, al doilea ( $3 \cdot 0, 05$ ) e dobânda simplă, iar restul e „dobânda la dobândă". Calculează suma finală și compar-o cu $1000 + 3 \cdot 50 = 1150$ lei.

Pentru părinți și profesori

Binomul lui Newton este punctul în care capitolul „Metode de numărare" își arată utilitatea în afara problemelor cu echipe și coduri: o formulă de algebră se demonstrează printr-un raționament de numărare. Pentru mulți elevi, aceasta e prima dovadă că cele două jumătăți ale matematicii de clasa a X-a comunică între ele. Programa de trunchi comun limitează exponentul la cel mult $5$ , deci accentul cade pe corectitudinea scrierii dezvoltării, nu pe calcule lungi.

Ce verifică lecția: (1) enunțul formulei și structura dezvoltării ( $n + 1$ termeni, suma exponenților egală cu $n$ ); (2) preluarea coeficienților din triunghiul lui Pascal; (3) tratarea corectă a semnului la $(a - b)^{n}$ ; (4) metoda parantezelor la binoame de tipul $(2 x - 3)^{4}$ ; (5) verificarea prin înlocuirea lui $x$ cu $1$ . Întrebări bune de control: „Câți termeni are dezvoltarea lui $(a + b)^{5}$ ?", „Cine este $b$ în $(2 x - 3)^{4}$ ?", „Cât este suma coeficienților dezvoltării lui $(x + 2)^{4}$ și de ce?".

Semne că elevul a înțeles: scrie dezvoltarea direct din linia triunghiului, fără să înmulțească paranteze, și își verifică singur rezultatul punând $x = 1$ . La Bacalaureat, binomul apare frecvent la subiectul I, sub forma unei dezvoltări cu exponent mic sau a sumei coeficienților unei expresii; cerințele mai fine — un anumit termen, termenul care nu îl conține pe $x$ — se rezolvă cu formula termenului general, din lecția următoare.

Întrebări frecvente

Care este formula binomului lui Newton? Este $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}$ . Coeficienții sunt combinările $C_{n}^{k}$ , adică exact numerele de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal.

Câți termeni are dezvoltarea binomului lui Newton? Exact $n + 1$ termeni, pentru că indicele $k$ ia toate valorile de la $0$ la $n$ . De exemplu, $(a + b)^{4}$ are cinci termeni, iar $(a + b)^{5}$ are șase.

De ce apar combinările în dezvoltarea unui binom? Pentru că $(a + b)^{n}$ înseamnă $n$ paranteze identice, iar din fiecare alegi fie $a$ , fie $b$ . Termenul $a^{n - k} b^{k}$ se obține alegând $k$ paranteze din care iei pe $b$ , ceea ce se poate face în $C_{n}^{k}$ moduri — de aceea acesta este coeficientul lui.

Cum dezvolt $(a - b)^{n}$ ? Folosești aceeași formulă, luând $b$ cu semnul lui: $a - b = a + (- b)$ . Rezultatul are semne alternante, pentru că $(- b)^{k} = (- 1)^{k} b^{k}$ . La exponent impar ultimul termen este negativ, la exponent par este pozitiv.

Cum calculez suma coeficienților unei dezvoltări? Înlocuiești variabila cu $1$ . Pentru $(x + 2)^{5}$ , suma coeficienților este $(1 + 2)^{5} = 243$ ; pentru $(x + 1)^{n}$ este $2^{n}$ , ceea ce e chiar suma numerelor de pe linia $n$ a triunghiului lui Pascal.

Cum dezvolt un binom în care termenii au coeficienți, ca $(2 x - 3)^{4}$ ? Numești clar $a = 2 x$ și $b = - 3$ , scrii dezvoltarea cu $a$ și $b$ păstrate în paranteze, și abia apoi calculezi fiecare putere. Astfel nu uiți nici $2^{4}$ , nici semnul lui $- 3$ .

Pot folosi binomul lui Newton la calcule numerice? Da, și e foarte eficient. Scrii numărul ca sumă sau diferență de numere rotunde: $10 1^{3} = (100 + 1)^{3} = 1030301$ , $9 9^{4} = (100 - 1)^{4} = 96059601$ . La fel funcționează și cu radicali, de exemplu $(2 + 1)^{4} = 17 + 122$ .

Ce exponenți se cer la clasa a X-a? Programa de trunchi comun cere dezvoltarea binomului cu exponent cel mult egal cu $5$ , deci exercițiile lucrează cu $n \leq 5$ . Formula este însă valabilă pentru orice exponent natural, iar pentru dezvoltări mai lungi se folosește formula termenului general, care dă direct termenul căutat.