Margini, dreapta reală încheiată, vecinătăți: pe scurt

Dintre toți majoranții unei mulțimi nevide și majorate există unul cel mai mic: el se numește margine superioară și se notează $\sup A$. În practică se verifică prin două condiții: (i) $x\le \sup A$ pentru orice $x\in A$; (ii) pentru orice $\epsilon >0$ există în $A$ un element mai mare decât $\sup A-\epsilon$. Analog, $\inf A$ este cel mai mare minorant. Marginea nu este totuna cu maximul: $\max A$ există doar când $\sup A\in A$ — capătul închis dă maxim, capătul deschis dă doar margine.

Faptul că marginea superioară există întotdeauna este axioma lui Cantor (completitudinea lui $\mathbb{R}$); $\mathbb{Q}$ nu are această proprietate.

Pe dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, cu $-\infty <x<+\infty$, orice mulțime nevidă are margini: $\sup A=+\infty$ dacă nu e majorată. Operațiile permise sunt doar cele din tabel ($a+(+\infty )=+\infty$, $\frac{a}{\pm \infty }=0$ și celelalte), iar $\frac{a}{0}$ nu este operație. Cele șapte nedeterminări, în ordine, sunt $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. În fine, $V$ este vecinătate a lui $x_0$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$; vecinătățile lui $+\infty$ conțin un interval $(a,+\infty ]$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left\{2-\frac{3}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Care afirmație este adevărată?

   • a) $\inf A=0$ și $\sup A=2$
   • b) $\sup A=2$ și $\max A=2$
   • c) $\sup A=2$, iar $\max A$ nu există
   • d) $\sup A=+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\sup A=2$, iar $\max A$ nu există

   Din $0<\frac{3}{n}\le 3$ rezultă $-1\le x<2$, deci $2$ este majorant. Este cel mai mic: pentru orice $\epsilon >0$, condiția $\frac{3}{n}<\epsilon$ se realizează pentru $n>\frac{3}{\epsilon }$. Cum $\frac{3}{n}>0$ pentru orice $n$, valoarea $2$ nu se atinge niciodată, deci maximul nu există. (Marginea inferioară este $-1$, atinsă la $n=1$.)

2. Care dintre expresiile următoare nu este caz de nedeterminare?

   • a) $\frac{0}{+\infty }$
   • b) $0\cdot (+\infty )$
   • c) $(+\infty )-(+\infty )$
   • d) $1^{+\infty }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{0}{+\infty }$

   Rândul $\frac{a}{\pm \infty }=0$ din tabelul operațiilor se aplică pentru orice $a\in \mathbb{R}$, deci și pentru $a=0$: rezultatul este $0$. Celelalte trei sunt exact nedeterminările $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$ și $1^{\infty }$ din lista canonică — expresii care trebuie prelucrate înainte de a primi o valoare.

3. Care dintre mulțimile următoare este vecinătate a punctului $-2$?

   • a) $\{-2\}$
   • b) $[-2,0)$
   • c) $(-\infty ,-2]$
   • d) $(-5,-1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(-5,-1)$

   Trebuie ca $-2$ să stea în interiorul mulțimii: intervalul deschis $(-5,-1)$ îl conține pe $-2$ și e inclus în el însuși. În $[-2,0)$ și în $(-\infty ,-2]$ punctul $-2$ stă pe margine, fără loc de o parte, iar o mulțime cu un singur element nu poate conține niciun interval deschis.