Elementele parabolei și graficul: pe scurt

Toate elementele parabolei $y^2=2px$ ies dintr-un singur număr, coeficientul lui $x$, care este $2p$: vârful $O$, axa $Ox$, parametrul $p$, focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}$. Raza focală a punctului $M(x,y)$ este $MF=x+\frac{p}{2}$, iar coarda dusă prin focar perpendicular pe axă are lungimea $2p$ și capetele $\left(\frac{p}{2},\pm p\right)$ — dacă desenul nu trece prin ele, forma curbei e greșită, oricât de frumos ar fi trasată.

Cele patru orientări sunt $y^2=\pm 2px$ și $x^2=\pm 2py$, cu regula de citire: pătratul spune axa, semnul spune sensul. Variabila de la pătrat dă axa de simetrie, semnul celeilalte dă sensul deschiderii, iar focarul stă întotdeauna de partea în care se deschide curba, la distanța $\frac{p}{2}$ de vârf. Deci $x^2=-12y$ se deschide în jos, cu focarul $(0,-3)$.

Graficul funcției de gradul al doilea de la gimnaziu este aceeași curbă, doar cu reperul ales altfel: $y=a{x}^2$, cu $a>0$, se scrie $x^2=2py$ cu $p=\frac{1}{2a}$, are focarul $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$ și directoarea $y=-\frac{1}{4a}$. Forma $x^2=\pm 2py$ este, de altfel, singura orientare care este grafic de funcție. Cei cinci pași ai trasării: parametrul și orientarea, vârful cu focarul și directoarea punctată, coarda din dreptul focarului, două-trei puncte de control cu $x=\frac{k^2}{2p}$, apoi curba netedă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Parabola $x^2=-12y$:

   • a) se deschide la stânga
   • b) se deschide la dreapta
   • c) se deschide în sus
   • d) se deschide în jos, cu focarul $(0,-3)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) se deschide în jos, cu focarul $(0,-3)$

   Pătratul spune axa: variabila $x$ este la pătrat, deci axa de simetrie este $Oy$. Semnul spune sensul: coeficientul lui $y$ fiind negativ, curba se deschide în jos. Din $2p=12$ rezultă $p=6$, deci focarul este $\left(0,-\frac{p}{2}\right)=(0,-3)$, iar directoarea $y=3$.

2. Lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă, la parabola $y^2=14x$ este:

   • a) $14$
   • b) $28$
   • c) $3,5$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $14$

   Coarda din dreptul focarului are lungimea $2p$, iar aici $2p=14$, deci coarda măsoară $14$. Capetele ei sunt $\left(\frac{p}{2},\pm p\right)=(3,5;\pm 7)$, obținute punând $x=\frac{p}{2}$ în ecuație. Varianta $7$ dă parametrul $p$, nu coarda; varianta $3,5$ dă abscisa focarului.

3. Scrisă sub forma $x^2=2py$, parabola $y=\frac{x^2}{8}$ are focarul:

   • a) $(0,4)$
   • b) $(0,8)$
   • c) $(0,2)$
   • d) $(2,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(0,2)$

   Ecuația se rescrie $x^2=8y$, deci $2p=8$ și $p=4$; curba se deschide în sus, iar focarul este $\left(0,\frac{p}{2}\right)=(0,2)$, cu directoarea $y=-2$. Este chiar parabola de gimnaziu $y=a{x}^2$ cu $a=\frac{1}{8}$, pentru care focarul are ordonata $\frac{1}{4a}=2$.