Ce este un polinom. Forma algebrică și gradul

Timp de aproape patru mii de ani, matematica a avut o obsesie: rezolvarea ecuațiilor. Tăblițele babiloniene arată metode pentru ecuația de gradul al doilea încă din anul 1800 înainte de Hristos. În secolul al IX-lea, matematicianul persan al-Khwarizmi scrie o carte al cărei titlu conține cuvântul al-jabr — de acolo vine cuvântul „algebră". Abia în 1545, Gerolamo Cardano publică în Ars Magna formula de rezolvare a ecuației de gradul al treilea (obținută de Scipione del Ferro și de Tartaglia) și, alături de ea, metoda elevului său Ferrari pentru gradul al patrulea. Trei secole mai târziu, Niels Abel (1824) și Évariste Galois (1832) demonstrează ceva neașteptat: de la gradul al cincilea încolo nu mai există o formulă generală care să dea rădăcinile folosind doar cele patru operații și radicali.

Ca să poți vorbi despre „ecuații de gradul $n$" în general, ai nevoie de un obiect matematic care să le cuprindă pe toate: polinomul. Iar ca să poți vorbi despre rădăcinile lui fără excepții jenante, ai nevoie de mulțimea $\mathbb{C}$, construită în capitolul despre numerele complexe — chiar formula lui Cardano a fost prima care a obligat matematicienii să scrie rădăcini pătrate din numere negative, cu mult înainte ca acestea să fie acceptate. Lecția de față îți dă obiectul: ce este un polinom, cum se scrie și care este singura lui caracteristică numerică fundamentală — gradul.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un polinom și să explici de ce $\frac{3}{X}$, $\sqrt{X}$ sau $2^X$ nu sunt polinoame.
• Vei ști să scrii forma algebrică a unui polinom cu coeficienți complecși și să numești fiecare piesă: coeficienți, termen liber, coeficient dominant.
• Vei ști să determini gradul unui polinom și să explici de ce polinomul nul face excepție.
• Vei ști să folosești notațiile $\mathbb{C}[X]$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{Q}[X]$, $\mathbb{Z}[X]$ și să spui în care dintre ele „locuiește" un polinom dat.
• Vei ști să discuți gradul unui polinom care depinde de un parametru, pe cazuri.
• Vei ști să deosebești nedeterminata $X$ de o variabilă numerică și să înțelegi de ce polinomul este un obiect formal.

Hai să descoperim împreună

1. De la ecuație la polinom: ce anume păstrăm

Privește trei ecuații studiate până acum: $2x-6=0$, $x^2-5x+6=0$, $x^3+1=0$. Ce au în comun? În fiecare, în membrul stâng, apare o expresie construită doar din puteri ale lui $x$ cu exponenți numere naturale, înmulțite cu numere și adunate între ele. Nicio împărțire prin $x$, niciun radical din $x$, niciun $x$ la exponent.

Dacă uităm pentru o clipă întrebarea „pentru ce $x$?" și păstrăm doar expresia, obținem un obiect nou. Iar acest obiect este descris complet de lista numerelor care înmulțesc puterile. Expresia $x^2-5x+6$ înseamnă exact lista $(6,-5,1)$: șase de $x^0$, minus cinci de $x^1$, unu de $x^2$. Nimic altceva. Aceasta este ideea centrală a capitolului: un polinom este o listă finită de numere, așezată pe puteri.

De aceea, în locul lui $x$ vom scrie o literă mare, $X$, numită nedeterminată. Diferența nu e cosmetică: $x$ este un număr necunoscut, pe care încercăm să-l aflăm; $X$ este un simbol care nu reprezintă niciun număr, ci ține locul poziției în listă. Când vom vrea totuși să „punem un număr în locul lui $X$", vom face un pas separat și bine definit, în lecția Valoarea unui polinom. Funcția polinomială.

2. Definiția și forma algebrică

Definiție. Se numește polinom cu coeficienți complecși o expresie de forma

$$f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0,$$

unde $n\in \mathbb{N}$, iar $a_0,a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{C}$ sunt numere complexe numite coeficienții polinomului. Această scriere se numește forma algebrică a polinomului.

Mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți complecși se notează $\mathbb{C}[X]$ (se citește „ce de X"). Un termen de forma $a_k{X}^k$ se numește monom; un polinom este, așadar, o sumă finită de monoame.

⚠️ Convenții de scriere folosite în tot capitolul. Nedeterminata se notează cu literă mare, $X$; numerele cu care o înlocuim se notează cu litere mici ($x$, $a$, $\alpha$, $z$). Polinoamele se notează $f,g,h$. Gradul se notează $\mathrm{grad}f$. Mulțimile de polinoame: $\mathbb{C}[X]$, $\mathbb{R}[X]$, $\mathbb{Q}[X]$, $\mathbb{Z}[X]$. Coeficientul lui $X^k$ se notează $a_k$.

Fiecare piesă are numele ei:

• $a_0$ se numește termenul liber (coeficientul lui $X^0=1$);
• dacă $a_n\ne 0$, atunci $a_n$ se numește coeficient dominant;
• un polinom cu coeficientul dominant egal cu $1$ se numește monic (sau unitar).

Un polinom se scrie de obicei ordonat descrescător după puteri, iar puterile care lipsesc au, pur și simplu, coeficientul $0$. De exemplu, în

$$f=7X^5-2X^3+X^2-4$$

coeficienții sunt $a_5=7$, $a_4=0$, $a_3=-2$, $a_2=1$, $a_1=0$, $a_0=-4$. Lipsa termenilor în $X^4$ și în $X$ nu e o scăpare: înseamnă că acei coeficienți sunt nuli.

3. Coeficienți complecși — exemplul care dă tonul capitolului

Programa clasei a X-a cere explicit polinoame cu coeficienți complecși, deci coeficienții nu sunt neapărat numere reale. Iată un exemplu:

$$g=(1-i)X^4+3i{X}^3-5X+(2+4i).$$

Citim direct: $a_4=1-i$ (coeficient dominant), $a_3=3i$, $a_2=0$, $a_1=-5$, $a_0=2+4i$ (termen liber). Observă că un coeficient complex se pune, de regulă, în paranteză atunci când e o sumă, ca să nu se confunde cu restul expresiei: scriem $(2+4i)$, nu $2+4i$ lipit de termenul precedent.

Nimic din ce urmează nu se complică din cauza acestor coeficienți: adunarea, înmulțirea și gradul funcționează identic, pentru că $\mathbb{C}$ are aceleași reguli de calcul ca $\mathbb{R}$. Singura schimbare este că avem la dispoziție mult mai multe numere — iar exact asta ne va salva mai târziu, când vom căuta rădăcini.

4. Gradul unui polinom

Definiție. Fie $f\in \mathbb{C}[X]$, $f\ne 0$. Se numește gradul lui $f$, notat $\mathrm{grad}f$, cel mai mare exponent $k$ pentru care coeficientul $a_k$ este nenul.

Cu alte cuvinte: gradul este poziția ultimului sertar nevid, numărând de la $0$ în sus. Pentru $f=7X^5-2X^3+X^2-4$ avem $\mathrm{grad}f=5$; pentru $g$ de mai sus, $\mathrm{grad}g=4$.

Cazurile mici merită numite:

• polinoamele de grad $0$ sunt constantele nenule: $f=5$, $f=-i$, $f=2+3i$;
• polinoamele de grad $1$ se numesc de gradul întâi: $f=aX+b$, cu $a\ne 0$;
• polinoamele de grad $2$ sunt cele pe care le cunoști din studiul funcției de gradul al doilea.

Excepția care trebuie reținută pe viață: polinomul nul nu are grad. Polinomul nul este cel cu toți coeficienții egali cu zero, notat simplu $0$. Definiția cere „cel mai mare $k$ cu $a_k\ne 0$" — dar la polinomul nul nu există niciun asemenea $k$, deci nu avem ce alege. Manualele scriu uneori, prin convenție, $\mathrm{grad}0=-\infty$, tocmai ca formulele despre grade să funcționeze fără excepții; noi vom spune, mai simplu, că polinomul nul nu are grad, iar de fiecare dată când vom enunța o proprietate despre grade vom cere explicit ca polinoamele să fie nenule.

Atenție la confuzia cea mai frecventă din acest capitol: polinomul $0$ și polinoamele de grad $0$ sunt lucruri diferite. Grad $0$ înseamnă „constantă nenulă".

5. Familii de polinoame: $\mathbb{Z}[X]\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$

După natura coeficienților, deosebim:

Incluziunile $\mathbb{Z}[X]\subset \mathbb{Q}[X]\subset \mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$ se citesc firesc: orice polinom cu coeficienți întregi este, în particular, un polinom cu coeficienți complecși, pentru că $\mathbb{Z}\subset \mathbb{C}$. Reciproc nu: $iX+1$ nu are coeficienți reali.

Distincția nu este un moft de notație. Ea va deveni esențială când vom descompune polinoame în factori: același polinom se poate descompune „mai mult" în $\mathbb{C}[X]$ decât în $\mathbb{R}[X]$. De pildă $X^2+1$ nu se poate scrie ca produs de doi factori de gradul întâi cu coeficienți reali, dar în $\mathbb{C}[X]$ se scrie $(X-i)(X+i)$.

6. Ce NU este polinom

Trei categorii de expresii seamănă cu polinoamele, dar nu sunt:

1. Puteri cu exponent negativ: $\frac{3}{X}=3X^{-1}$. Definiția cere exponenți numere naturale, deci $\frac{3}{X}+X^2$ nu este polinom (este o funcție rațională).
2. Radicali din nedeterminată: $\sqrt{X}$ înseamnă $X^{1/2}$, iar $\frac{1}{2}$ nu este număr natural. Atenție însă: $\sqrt{2}X$ este polinom — radicalul stă în coeficient, nu în exponent.
3. Nedeterminata la exponent: $2^X$ nu este polinom, ci o expresie exponențială.

Regula practică, în trei cuvinte: exponenții trebuie să fie numere naturale. Coeficienții, în schimb, pot fi orice numere complexe.

7. Gradul unui polinom cu parametru

Aici se ascunde cea mai productivă categorie de exerciții din lecție. Când coeficientul dominant depinde de un parametru, gradul nu este același pentru toate valorile parametrului, iar rezolvarea cere o discuție pe cazuri.

Fie, pentru $m\in \mathbb{C}$,

$$f_m=(m^2-4)X^3+(m+2)X^2+3X-1.$$

Ne uităm de sus în jos, la coeficienți, și ne oprim la primul nenul:

• dacă $m^2-4\ne 0$, adică $m\notin \{-2,2\}$, atunci $\mathrm{grad}{f}_m=3$;
• dacă $m=2$: primul coeficient devine $0$, iar $m+2=4\ne 0$, deci $f_2=4X^2+3X-1$ și $\mathrm{grad}{f}_2=2$;
• dacă $m=-2$: se anulează și $m^2-4$, și $m+2$, deci $f_{-2}=3X-1$ și $\mathrm{grad}{f}_{-2}=1$.

Metoda, de reținut ca rețetă: anulează pe rând coeficienții, începând cu cel de rang maxim, și verifică de fiecare dată care este primul coeficient rămas nenul. Nu sări peste verificare — capcana clasică este să scrii „pentru $m=2$ gradul scade la $2$" fără să te asiguri că noul coeficient dominant chiar este nenul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citirea completă a unui polinom

Pentru $f=7X^5-2X^3+X^2-4$, precizați gradul, coeficientul dominant, termenul liber și toți coeficienții.

Rezolvare. Cel mai mare exponent care apare efectiv este $5$, deci $\mathrm{grad}f=5$. Coeficientul dominant este $a_5=7$, iar termenul liber este $a_0=-4$. Lista completă, de la rangul $0$ la rangul $5$:

$$a_0=-4,a_1=0,a_2=1,a_3=-2,a_4=0,a_5=7.$$

Un polinom de grad $5$ are $6$ coeficienți — în general, un polinom de grad $n$ are $n+1$ coeficienți, pentru că numărătoarea începe de la $0$.

Exemplul 2 — Un polinom cu coeficienți complecși

Pentru $g=(1-i)X^4+3i{X}^3-5X+(2+4i)$, precizați gradul, coeficientul dominant, termenul liber și coeficientul lui $X^2$. Aparține $g$ mulțimii $\mathbb{R}[X]$?

Rezolvare. $\mathrm{grad}g=4$, coeficient dominant $a_4=1-i$, termen liber $a_0=2+4i$. Coeficientul lui $X^2$ este $a_2=0$, pentru că monomul în $X^2$ lipsește din scriere.

$g\notin \mathbb{R}[X]$, pentru că are coeficienți nereali (de exemplu $3i$). În schimb $g\in \mathbb{C}[X]$.

Exemplul 3 — Discuția gradului după un parametru

Determinați gradul polinomului $f_m=(m^2-4)X^3+(m+2)X^2+3X-1$, unde $m\in \mathbb{C}$.

Rezolvare. Rezolvăm $m^2-4=0$, adică $m\in \{-2,2\}$.

• Pentru $m\notin \{-2,2\}$: coeficientul dominant $m^2-4$ este nenul, deci $\mathrm{grad}{f}_m=3$.
• Pentru $m=2$: $f_2=0\cdot X^3+4X^2+3X-1=4X^2+3X-1$, deci $\mathrm{grad}{f}_2=2$.
• Pentru $m=-2$: $f_{-2}=0\cdot X^3+0\cdot X^2+3X-1=3X-1$, deci $\mathrm{grad}{f}_{-2}=1$.

Observă că polinomul nu poate avea gradul $0$: coeficientul lui $X$ este $3$, care nu depinde de $m$ și nu se anulează niciodată.

Exemplul 4 — Care expresii sunt polinoame

Stabiliți care dintre expresiile următoare sunt polinoame și justificați: a) $2X^3-\sqrt{5}X+1$; b) $\frac{3}{X}+X^2$; c) $i{X}^2-(1+i)X$; d) $\sqrt{X}+4$; e) $-7$.

Rezolvare. a) Da. Exponenții sunt $3$, $1$, $0$, toți naturali; faptul că un coeficient este $-\sqrt{5}$ nu deranjează, coeficienții pot fi orice numere complexe. b) Nu. $\frac{3}{X}=3X^{-1}$, iar $-1$ nu este număr natural. c) Da. Coeficienții $i$ și $-(1+i)$ sunt complecși, exponenții sunt naturali; deci $\in \mathbb{C}[X]$, dar $\notin \mathbb{R}[X]$. d) Nu. $\sqrt{X}=X^{1/2}$, exponent nenatural. e) Da, este un polinom constant nenul, de grad $0$.

Exemplul 5 — Determinarea unor coeficienți din condiții

Determinați $a,b\in \mathbb{C}$ astfel încât polinomul $f=(a-2i)X^3+(b+1)X^2-3X$ să aibă gradul $2$ și coeficientul dominant egal cu $4$.

Rezolvare. Gradul $2$ înseamnă două cerințe simultane: coeficientul lui $X^3$ să fie nul și coeficientul lui $X^2$ să fie nenul. Prima cerință dă $a-2i=0$, deci $a=2i$. A doua cerință este acoperită de condiția suplimentară: coeficientul dominant trebuie să fie $4$, adică $b+1=4$, de unde $b=3$.

Verificare: pentru $a=2i$ și $b=3$ obținem $f=4X^2-3X$, care are într-adevăr gradul $2$ și coeficientul dominant $4$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f=(m^2-3m+2)X^3+(m-1)X^2+2X-5$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\mathrm{grad}f=2$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\mathrm{grad}f=1$.

Rezolvare. Descompunem coeficientul dominant: $m^2-3m+2=(m-1)(m-2)$, care se anulează pentru $m=1$ și $m=2$.

a) Pentru $\mathrm{grad}f=2$ avem nevoie de $(m-1)(m-2)=0$ și $m-1\ne 0$. Din prima condiție $m\in \{1,2\}$, iar a doua elimină $m=1$. Rămâne $m=2$, caz în care $f=X^2+2X-5$, de grad $2$. ✓

b) Pentru $\mathrm{grad}f=1$ avem nevoie de $(m-1)(m-2)=0$ și $m-1=0$, adică $m=1$. Atunci $f=2X-5$, de grad $1$. ✓

Observă structura răspunsului: la fiecare cerință am scris o egalitate și o inegalitate, nu doar egalitatea. Baremul punctează exact această disciplină. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La exercițiile cu parametru, scrie de fiecare dată toate cazurile, chiar dacă unele par evidente — la Bacalaureatul M1, cazul uitat costă exact atâtea puncte cât valorează.

1. Pentru $f=4X^5-X^3+2X-9$ precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber.

2. Scrie coeficienții $a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$ ai polinomului $g=3X^4-2X+7$.

3. Care dintre expresii sunt polinoame? a) $2X^3-\sqrt{5}X+1$; b) $\frac{3}{X}+X^2$; c) $i{X}^2-(1+i)X$; d) $\sqrt{X}+4$.

4. Pentru $h=(2-i)X^3+5i{X}^2-X+(3+i)$ precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber. Aparține $h$ mulțimii $\mathbb{R}[X]$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Polinomul nul are gradul $0$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice polinom cu coeficienți reali este și polinom cu coeficienți complecși."

7. Determină $m\in \mathbb{C}$ pentru care polinomul $f=(m-3)X^4+2X^2-1$ are gradul $2$.

8. Discută, după $m\in \mathbb{C}$, gradul polinomului $f_m=(m^2-1)X^3+(m+1)X^2+4$.

9. Scrie polinomul monic de gradul al treilea care are coeficientul lui $X^2$ egal cu $-2i$, coeficientul lui $X$ nul și termenul liber $5$.

10. Ordonează descrescător după puteri polinomul $f=3X-5X^4+2-X^2$ și precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber.

11. Câți coeficienți are un polinom de gradul $n$? Justifică.

12. (Problemă aplicată.) Costul lunar, în mii de lei, al producerii a $X$ mii de caiete într-un atelier este descris de polinomul $C=X^3-6X^2+20X+50$. Precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber, apoi explică ce semnificație are termenul liber pentru atelier.

13. Determină $a,b\in \mathbb{C}$ astfel încât polinomul $f=a{X}^3+b{X}^2+3X$ să aibă gradul $2$ și coeficientul dominant $-i$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\mathrm{grad}f=4$ și $\mathrm{grad}g=4$, atunci $\mathrm{grad}(f+g)=4$."

15. Scrie forma algebrică a polinomului ai cărui coeficienți sunt $a_0=i$, $a_1=0$, $a_2=-3$, $a_3=1+i$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^3+(m-2)X^2-mX+1$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Arată că $\mathrm{grad}f=3$ pentru orice $m$ real. b) Determină $m$ pentru care coeficientul lui $X^2$ este egal cu coeficientul lui $X$. c) Scrie polinomul obținut pentru valoarea găsită.

17. Fie $f$ de gradul $5$ și $g$ de gradul $3$, ambele din $\mathbb{C}[X]$. Ce grad are $f+g$? Justifică răspunsul privind coeficientul de rang maxim.

18. (Provocare.) Câte polinoame de grad cel mult $2$ au toți coeficienții în mulțimea $\{0,1,2\}$? Dintre acestea, câte au gradul exact $2$, câte gradul $1$, câte gradul $0$ și câte sunt polinomul nul?

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{grad}f=5$; coeficient dominant $4$; termen liber $-9$.

2. $a_0=7$, $a_1=-2$, $a_2=0$, $a_3=0$, $a_4=3$. Coeficienții monoamelor care lipsesc din scriere sunt nuli.

3. a) Da — exponenți naturali, coeficientul $-\sqrt{5}$ este permis. b) Nu — $\frac{3}{X}=3X^{-1}$, exponent negativ. c) Da — coeficienți complecși, exponenți naturali. d) Nu — $\sqrt{X}=X^{1/2}$, exponent nenatural.

4. $\mathrm{grad}h=3$; coeficient dominant $2-i$; termen liber $3+i$. $h\notin \mathbb{R}[X]$, pentru că are coeficienți nereali ($2-i$, $5i$, $3+i$); dar $h\in \mathbb{C}[X]$.

5. Fals. Polinomul nul nu are grad: definiția cere cel mai mare rang cu coeficient nenul, iar la polinomul nul nu există niciunul. Gradul $0$ îl au constantele nenule, ca $f=5$.

6. Adevărat. Deoarece $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$, orice coeficient real este și complex, deci $\mathbb{R}[X]\subset \mathbb{C}[X]$.

7. Trebuie ca $m-3=0$ (ca să dispară $X^4$), iar coeficientul rămas de rang maxim, $2$, este nenul. Deci $m=3$, caz în care $f=2X^2-1$, de grad $2$.

8. $m^2-1=0\iff m\in \{-1,1\}$. Dacă $m\notin \{-1,1\}$: $\mathrm{grad}{f}_m=3$. Dacă $m=1$: $f_1=2X^2+4$, deci gradul este $2$. Dacă $m=-1$: se anulează ambii coeficienți și rămâne $f_{-1}=4$, deci gradul este $0$.

9. $f=X^3-2i{X}^2+5$. (Monic înseamnă coeficient dominant $1$; coeficientul lui $X$ fiind nul, monomul respectiv nu se scrie.)

10. $f=-5X^4-X^2+3X+2$; $\mathrm{grad}f=4$; coeficient dominant $-5$; termen liber $2$.

11. Are $n+1$ coeficienți: $a_0,a_1,\dots ,a_n$. Numărătoarea începe de la rangul $0$, deci de la $0$ la $n$ sunt $n+1$ numere.

12. $\mathrm{grad}C=3$; coeficient dominant $1$; termen liber $50$. Termenul liber este costul corespunzător producției nule ($X=0$), adică costul fix al atelierului — chirie, salarii, întreținere — de $50$ de mii de lei pe lună, pe care îl are chiar dacă nu produce niciun caiet.

13. Gradul $2$ cere $a=0$; coeficientul dominant devine atunci $b$, deci $b=-i$. Răspuns: $a=0$, $b=-i$, iar $f=-i{X}^2+3X$.

14. Fals. Gradul poate scădea, dacă termenii de rang maxim se reduc. Contraexemplu: $f=X^4$ și $g=-X^4+X$ au ambele gradul $4$, dar $f+g=X$, de gradul $1$. Regula corectă (demonstrată în lecția următoare despre adunare) este $\mathrm{grad}(f+g)\le \max (\mathrm{grad}f,\mathrm{grad}g)$, pentru $f$, $g$ și $f+g$ nenule.

15. $f=(1+i)X^3-3X^2+i$. (Monomul de rang $1$ lipsește, pentru că $a_1=0$.)

16. a) Coeficientul lui $X^3$ este $1\ne 0$, indiferent de $m$, deci gradul este $3$ pentru orice $m$ real. b) $m-2=-m\iff 2m=2\iff m=1$. c) Pentru $m=1$: $f=X^3-X^2-X+1$.

17. $\mathrm{grad}(f+g)=5$. Coeficientul de rang $5$ al sumei este $a_5+0=a_5\ne 0$ (polinomul $g$ nu are termen de rang $5$), iar peste rangul $5$ ambele polinoame au coeficienți nuli. Când gradele sunt diferite, gradul sumei este întotdeauna cel mai mare dintre ele — reducerea de grad se poate produce doar la grade egale.

18. Un polinom de grad cel mult $2$ este determinat de tripletul $(a_0,a_1,a_2)$, fiecare cu $3$ alegeri, deci $3^3=27$ polinoame în total (regula produsului). Dintre acestea: cu gradul exact $2$ sunt cele cu $a_2\ne 0$, adică $2\cdot 3\cdot 3=18$; cu gradul $1$: $a_2=0$, $a_1\ne 0$, adică $1\cdot 2\cdot 3=6$; cu gradul $0$: $a_2=a_1=0$, $a_0\ne 0$, adică $2$; polinomul nul: $1$. Control: $18+6+2+1=27$ ✓.

De reținut

• Un polinom din $\mathbb{C}[X]$ este o expresie $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu coeficienți complecși și exponenți numere naturale; el este determinat complet de lista coeficienților.
• Nedeterminata $X$ nu este un număr: e simbolul care marchează poziția în listă. Numerele se pun în locul ei abia la evaluare.
• Gradul este cel mai mare rang cu coeficient nenul; coeficientul de acel rang se numește coeficient dominant, iar $a_0$ este termenul liber. Un polinom de grad $n$ are $n+1$ coeficienți.
• Polinomul nul nu are grad și nu trebuie confundat cu polinoamele de grad $0$, care sunt constantele nenule.
• La un polinom cu parametru, gradul se determină prin discuție: anulezi coeficienții de sus în jos și verifici care este primul rămas nenul.

Greșeli frecvente

• „Polinomul nul are gradul $0$." Nu. Gradul $0$ înseamnă constantă nenulă; polinomul nul nu are grad deloc.
• Confuzia dintre coeficient și exponent. În $\sqrt{2}{X}^3$ radicalul este coeficient (permis), în $\sqrt{X}$ el afectează nedeterminata (interzis). Regula: exponenții — naturali; coeficienții — orice număr complex.
• Uitarea coeficienților nuli. În $3X^4-2X+7$, coeficienții $a_3$ și $a_2$ există și sunt $0$. Cine îi sare greșește numerotarea la toate operațiile care urmează.
• Discuție incompletă la parametru. După ce anulezi coeficientul dominant, trebuie să verifici dacă următorul este nenul. Fără această verificare, „gradul scade cu exact $1$" este o presupunere, nu un rezultat.
• Scrierea neordonată. $3X-5X^4+2-X^2$ este corect matematic, dar te expune la erori de citire a gradului. Ordonează întotdeauna descrescător înainte de a răspunde.

Aplică acasă

1. Polinomul din buzunar. Ia un bon fiscal cu cel puțin patru produse și construiește polinomul $f=a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$, unde coeficienții sunt prețurile (rotunjite la lei) primelor patru produse. Precizează gradul, coeficientul dominant și termenul liber, apoi scrie ce ai obține dacă unul dintre prețuri ar fi $0$ lei.

2. Vânătoarea de non-polinoame. Caută în caietul de matematică sau într-o carte de fizică cinci expresii care conțin o literă și decide, pentru fiecare, dacă este polinom în acea literă. Formulele cu $\frac{1}{t}$, cu $\sqrt{t}$ sau cu $2^t$ sunt exemple bune de expresii care nu sunt polinoame.

3. Cronologia algebrei. Realizează o axă a timpului cu cinci repere: tăblițele babiloniene (~1800 î.Hr.), al-Khwarizmi (~820), Cardano și Ars Magna (1545), Abel (1824), Galois (1832). Scrie sub fiecare, într-o propoziție, ce ecuație s-a putut rezolva atunci sau ce s-a demonstrat că nu se poate rezolva.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide ultimul capitol mare de algebră al clasei a X-a la matematică-informatică și are un rol de fundație: introduce obiectul cu care se va lucra în următoarele douăzeci de lecții. Verifică trei lucruri: (1) elevul spune corect ce este un polinom (listă finită de coeficienți, exponenți naturali) și nu îl confundă cu o funcție sau cu o ecuație; (2) determină gradul fără greșeală, inclusiv când lipsesc monoame din scriere; (3) tratează separat polinomul nul.

Întrebări bune de control: „Care este coeficientul lui $X^2$ în $3X^4-2X+7$?" (răspuns: $0$); „Ce grad are polinomul $5$?" (răspuns: $0$); „Dar polinomul $0$?" (răspuns: nu are grad); „De ce $\sqrt{2}X$ este polinom, dar $\sqrt{X}$ nu?". Semne că elevul a înțeles: face singur discuția pe cazuri la un polinom cu parametru și verifică, după anularea coeficientului dominant, dacă următorul este nenul.

La Bacalaureat M1, această lecție nu apare singură, ci ca prim pas al oricărei probleme de polinoame din subiectul al treilea: identificarea gradului și a coeficienților este pasul care deschide rezolvarea. Cerințele de tip „determinați $m$ astfel încât polinomul să aibă gradul $k$" apar și ca subpunct de sine stătător, cu punctaj integral pentru discuția completă.

Întrebări frecvente

Ce este un polinom, pe scurt? Este o expresie de forma $a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$, în care exponenții sunt numere naturale, iar coeficienții $a_k$ sunt numere (la clasa a X-a, numere complexe). Practic, un polinom este o listă finită de numere așezate pe puteri; tot ce faci cu el se reduce la operații cu acea listă.

Care este diferența dintre $X$ și $x$ la polinoame? $X$ este nedeterminata: un simbol care nu reprezintă niciun număr și care marchează poziția în lista de coeficienți. $x$ este un număr, folosit atunci când înlocuim efectiv nedeterminata pentru a calcula o valoare. De aceea polinomul se scrie $f=X^2-5X+6$, iar ecuația asociată se scrie $x^2-5x+6=0$.

Ce grad are polinomul nul? Polinomul nul nu are grad. Definiția cere cel mai mare rang cu coeficient nenul, iar polinomul nul are toți coeficienții zero. Unele manuale folosesc convenția $\mathrm{grad}0=-\infty$, tocmai pentru ca formulele despre grade să nu aibă excepții.

Un număr, cum ar fi $7$, este polinom? Da. Este un polinom constant, de gradul $0$, cu $a_0=7$. Singura constantă care face excepție este $0$, care este polinomul nul și nu are grad.

De ce lucrăm cu coeficienți complecși, nu doar reali? Pentru că programa de matematică-informatică cere polinoame cu coeficienți complecși și, mai ales, pentru că în $\mathbb{C}$ orice polinom nenul de grad cel puțin $1$ are rădăcini. Lucrând în $\mathbb{C}[X]$ nu mai avem cazuri în care „ecuația nu are soluții", iar descompunerea în factori merge întotdeauna până la capăt.

Cum aflu gradul unui polinom care depinde de un parametru? Anulează coeficienții începând cu cel de rang maxim și verifică pentru fiecare valoare a parametrului care este primul coeficient rămas nenul. Răspunsul este o discuție pe cazuri, nu un singur număr.

De ce $\frac{1}{X}$ nu este polinom, dar $\frac{1}{2}X$ este? Pentru că $\frac{1}{X}=X^{-1}$, iar $-1$ nu este număr natural, deci exponentul nu respectă definiția. În schimb, în $\frac{1}{2}X$ fracția este doar coeficient, iar exponentul lui $X$ este $1$ — perfect valid.

Unde apar polinoamele la Bacalaureat M1? În subiectul al treilea, aproape în fiecare an: se dă un polinom, adesea cu un parametru, și se cer rădăcinile, relațiile lui Viète, resturi la împărțiri sau descompuneri în factori. Toate încep cu pasul din această lecție — citirea corectă a gradului și a coeficienților.