Sisteme cu ecuații de gradul al doilea: substituție, omogene, simetrice

Un proprietar vrea să împrejmuiască o grădină dreptunghiulară. Știe două lucruri: are exact $26$ de metri de gard și vrea o suprafață de $40$ de metri pătrați. Cât trebuie să măsoare laturile? Dacă notezi cu $x$ și $y$ dimensiunile, cele două informații devin $2(x+y)=26$ și $xy=40$. Ai două ecuații și două necunoscute — dar una dintre ele nu mai este de gradul întâi. Nu mai poți aduna ecuațiile ca la sistemele liniare din gimnaziu: produsul $xy$ refuză să dispară.

Aici începe capitolul de față. Programa de matematică-informatică cere exact trei tipuri de sisteme cu ecuații de gradul al doilea, fiecare cu metoda lui: sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea, sisteme omogene și sisteme simetrice. Vei vedea că, oricât de diferit ar arăta, fiecare tip se reduce în final la o singură ecuație de gradul al doilea cu o necunoscută — cea pe care ai învățat să o rezolvi în lecția despre deducerea formulelor de rezolvare. Iar la sistemele simetrice, cheia va fi chiar teorema lui Viète.

Ce vei învăța

• Vei ști ce înseamnă soluția unui sistem cu două necunoscute și de ce se scrie ca pereche ordonată $(x,y)$.
• Vei ști să rezolvi prin substituție sistemele formate dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea.
• Vei ști să recunoști un sistem omogen și să-l rezolvi eliminând termenii liberi, apoi trecând la necunoscuta $t=\frac{x}{y}$.
• Vei ști să rezolvi un sistem simetric cu substituția $s=x+y$, $p=xy$ și să revii la $x$ și $y$ prin ecuația $z^2-sz+p=0$.
• Vei ști să discuți numărul de soluții reale ale unui sistem, folosind discriminantul.
• Vei ști să verifici soluțiile găsite și să elimini valorile parazite apărute pe parcurs.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi un sistem cu două necunoscute

Un sistem de două ecuații cu necunoscutele $x$ și $y$ cere să găsim toate perechile de numere reale care verifică simultan ambele ecuații. O soluție se scrie ca pereche ordonată $(x,y)$ — ordinea contează: $(2,3)$ și $(3,2)$ sunt soluții diferite, chiar dacă folosesc aceleași numere.

Când cel puțin una dintre ecuații conține $x^2$, $y^2$ sau $xy$, spunem că sistemul conține ecuații de gradul al doilea. Spre deosebire de sistemele liniare, aici numărul soluțiilor poate fi $0$, $1$, $2$, $3$ sau $4$ — și fiecare metodă trebuie să se încheie cu o verificare, pentru că pe drum putem introduce soluții care nu convin.

2. Tipul 1: o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea

Acesta este cazul cel mai simplu și cel mai frecvent la examen. Forma generală:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ (\text{ecuație de gradul al doilea ıˆn }x\text{ și }y)\end{array}$$

Metoda substituției. Din ecuația de gradul întâi exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă (alegi necunoscuta cu coeficientul cel mai comod) și înlocuiești în a doua ecuație. Rămâi cu o singură ecuație de gradul al doilea, cu o singură necunoscută. O rezolvi, apoi pentru fiecare valoare găsită revii în prima ecuație și afli perechea.

Exemplu complet.

$$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x^2+y^2=13\end{array}$$

Din prima ecuație, $y=5-x$. Înlocuim în a doua:

$$x^2+(5-x{)}^2=13⟺x^2+25-10x+x^2=13⟺2x^2-10x+12=0⟺x^2-5x+6=0.$$

Discriminantul este $\Delta =25-24=1$, deci $x_1=3$ și $x_2=2$. Revenim: pentru $x=3$ avem $y=2$; pentru $x=2$ avem $y=3$. Soluțiile sistemului sunt $(3,2)$ și $(2,3)$. Verificare: $3+2=5$ ✓ și $9+4=13$ ✓.

Numărul de soluții este dat de discriminantul ecuației finale: $\Delta >0$ dă două soluții, $\Delta =0$ dă una singură, $\Delta <0$ înseamnă că sistemul nu are soluții reale. Interpretarea geometrică a acestei discuții — dreaptă secantă, tangentă sau exterioară față de o parabolă — este subiectul lecției despre dreaptă și parabolă.

3. Tipul 2: sisteme omogene

Un polinom în $x$ și $y$ se numește omogen de gradul al doilea dacă toți termenii lui au gradul $2$: $a{x}^2+bxy+c{y}^2$. Un sistem omogen are forma

$$\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\end{array}$$

cu $d_1$ și $d_2$ numere reale. Ideea centrală: dacă am scăpa de termenii liberi, ne-ar rămâne o ecuație omogenă egală cu zero — iar aceea se poate rezolva ușor, pentru că spune doar în ce raport se află $x$ și $y$.

Metoda, în patru pași:

1. Elimini termenii liberi. Înmulțești prima ecuație cu $d_2$, a doua cu $d_1$ și le scazi. Obții o ecuație omogenă $A{x}^2+Bxy+C{y}^2=0$.
2. Tratezi separat cazul $y=0$. Dacă $y=0$, ecuația devine $A{x}^2=0$; verifici dacă perechile obținute satisfac sistemul inițial.
3. Împarți la $y^2$ (acum ai voie, căci $y\ne 0$) și notezi $t=\frac{x}{y}$. Rămâne ecuația de gradul al doilea $A{t}^2+Bt+C=0$, cu soluțiile $t_1$ și $t_2$.
4. Revii. Fiecare valoare a lui $t$ dă o relație $x=t\cdot y$, pe care o înlocuiești într-una dintre ecuațiile inițiale. Obții valorile lui $y$, apoi pe cele ale lui $x$.

Exemplu complet.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=3\\ x^2+xy=6\end{array}$$

Pasul 1. Înmulțim prima ecuație cu $6$ și a doua cu $3$, apoi scădem:

$$6(x^2-y^2)-3(x^2+xy)=18-18=0⟺3x^2-3xy-6y^2=0⟺x^2-xy-2y^2=0.$$

Pasul 2. Dacă $y=0$, prima ecuație dă $x^2=3$, iar a doua $x^2=6$ — contradicție. Deci $y\ne 0$.

Pasul 3. Împărțim la $y^2$ și notăm $t=\frac{x}{y}$: $t^2-t-2=0$, cu $\Delta =1+8=9$, deci $t_1=2$ și $t_2=-1$.

Pasul 4. Pentru $t=2$, adică $x=2y$, prima ecuație devine $4y^2-y^2=3$, deci $y^2=1$ și $y=\pm 1$; obținem perechile $(2,1)$ și $(-2,-1)$. Pentru $t=-1$, adică $x=-y$, prima ecuație devine $y^2-y^2=3$, adică $0=3$ — imposibil, această ramură nu dă soluții.

Verificare pe $(2,1)$: $4-1=3$ ✓ și $4+2=6$ ✓. La fel pentru $(-2,-1)$: $4-1=3$ ✓ și $4+2=6$ ✓. Soluțiile sistemului sunt $(2,1)$ și $(-2,-1)$.

Cazul particular, cel mai comod: dacă una dintre ecuații are deja termenul liber zero, pasul 1 nu mai e necesar. De exemplu, în sistemul

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-3xy+2y^2=0\\ x+y=6\end{array}$$

prima ecuație se factorizează direct: $x^2-3xy+2y^2=(x-y)(x-2y)=0$, deci $x=y$ sau $x=2y$. În primul caz, $2y=6$ dă $(3,3)$; în al doilea, $3y=6$ dă $(4,2)$. Ambele verifică sistemul.

4. Tipul 3: sisteme simetrice

Un sistem se numește simetric dacă rămâne neschimbat când schimbi între ele necunoscutele $x$ și $y$. Exemple: $x+y=7$, $xy=10$, $x^2+y^2=13$, $x^3+y^3=35$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}$ — fiecare arată identic după interschimbare.

Ideea. Orice expresie simetrică în $x$ și $y$ se scrie folosind doar două mărimi:

$$s=x+y,p=xy.$$

Sunt aceleași $S$ și $P$ din lecția despre relațiile lui Viète — și nu întâmplător. Iată dicționarul de traducere, pe care îl vei folosi mereu:

Metoda, în trei pași:

1. Rescrii ambele ecuații numai cu $s$ și $p$. Obții un sistem nou, de obicei mult mai simplu.
2. Îl rezolvi și găsești perechile $(s,p)$.
3. Pentru fiecare pereche, revii la $x$ și $y$: ele sunt rădăcinile ecuației

$$z^2-sz+p=0,$$

care are soluții reale exact când $s^2-4p\ge 0$. Perechile $(s,p)$ care nu trec acest test se elimină.

Exemplu complet.

$$\{\begin{array}{l}x+y=7\\ xy=10\end{array}$$

Aici sistemul e chiar în forma $s=7$, $p=10$. Condiția $s^2-4p=49-40=9\ge 0$ e îndeplinită, deci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-7z+10=0$: $z_1=5$, $z_2=2$. Soluțiile sistemului sunt $(5,2)$ și $(2,5)$ — mereu în pereche, o consecință directă a simetriei.

Un caz cu mai multe ramuri. Pentru sistemul

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=13\\ xy=6\end{array}$$

traducem: $s^2-2p=13$ și $p=6$, deci $s^2=25$ și $s=\pm 5$. Avem două ramuri. Pentru $s=5$, $p=6$: $z^2-5z+6=0$ dă $2$ și $3$, deci perechile $(2,3)$ și $(3,2)$. Pentru $s=-5$, $p=6$: $z^2+5z+6=0$ dă $-2$ și $-3$, deci $(-2,-3)$ și $(-3,-2)$. Sistemul are patru soluții, toate verificate: $4+9=13$ ✓ și $(-2)(-3)=6$ ✓.

5. Cum recunoști tipul și de ce contează ordinea pașilor

Înainte de orice calcul, citește sistemul și pune-ți trei întrebări:

1. Există o ecuație de gradul întâi? Dacă da, substituția e aproape întotdeauna cel mai scurt drum. Nu căuta metode exotice.
2. Toți termenii au gradul $2$? Atunci sistemul e omogen: elimini termenii liberi și treci la $t=\frac{x}{y}$.
3. Sistemul rămâne același dacă schimbi $x$ cu $y$? Atunci e simetric: treci la $s$ și $p$.

Unele sisteme se încadrează în două categorii simultan — de exemplu $\{xy=2,x^2+y^2=5\}$ este și omogen, și simetric. În astfel de cazuri poți alege metoda care ți se pare mai rapidă; rezultatul e același, iar compararea celor două drumuri e un exercițiu excelent (îl vei face în Exemplul 4).

De ce e obligatorie verificarea. La pasul de substituție putem înmulți sau ridica la pătrat, operații care uneori adaugă soluții străine. La sistemele omogene, împărțirea la $y^2$ e permisă doar după ce am tratat separat cazul $y=0$. Iar la sistemele simetrice, o pereche $(s,p)$ cu $s^2-4p<0$ arată corect algebric, dar nu produce niciun număr real. Un rezultat neverificat nu este un rezultat.

6. Când sistemul nu are soluții reale

Fiecare dintre cele trei metode se poate încheia cu un discriminant negativ, iar concluzia e aceeași: sistemul nu are soluții reale. De exemplu,

$$\{\begin{array}{l}x+y=3\\ xy=5\end{array}$$

ar cere ca $x$ și $y$ să fie rădăcinile ecuației $z^2-3z+5=0$, cu $\Delta =9-20=-11<0$. Nu există două numere reale cu suma $3$ și produsul $5$ — exact condiția $s^2\ge 4p$ pe care ai întâlnit-o la Viète. Aceasta nu e o eroare de calcul, ci un răspuns legitim, care trebuie scris ca atare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Substituție, cu o soluție fracționară

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x^2+y^2=10\end{array}$.

Rezolvare. Din prima ecuație, $x=2y+1$. Înlocuim:

$$(2y+1{)}^2+y^2=10⟺4y^2+4y+1+y^2=10⟺5y^2+4y-9=0.$$

$\Delta =16+180=196$, $\sqrt{\Delta }=14$, deci $y_1=\frac{-4+14}{10}=1$ și $y_2=\frac{-4-14}{10}=-\frac{9}{5}$.

Pentru $y=1$: $x=3$, deci $(3,1)$. Verificare: $3-2=1$ ✓, $9+1=10$ ✓. Pentru $y=-\frac{9}{5}$: $x=-\frac{18}{5}+1=-\frac{13}{5}$, deci $\left(-\frac{13}{5},-\frac{9}{5}\right)$. Verificare: $\frac{169}{25}+\frac{81}{25}=\frac{250}{25}=10$ ✓. $■$

Exemplul 2 — Substituție într-o ecuație cu produs

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ xy=3\end{array}$.

Rezolvare. Din prima ecuație, $y=5-2x$. Înlocuim în a doua: $x(5-2x)=3$, adică $-2x^2+5x-3=0$, echivalent cu $2x^2-5x+3=0$.

$\Delta =25-24=1$, deci $x_1=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$ și $x_2=\frac{5-1}{4}=1$.

Pentru $x=\frac{3}{2}$: $y=5-3=2$, pereche $\left(\frac{3}{2},2\right)$, cu $\frac{3}{2}\cdot 2=3$ ✓. Pentru $x=1$: $y=3$, pereche $(1,3)$, cu $1\cdot 3=3$ ✓. $■$

Exemplul 3 — Sistem omogen cu patru soluții

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}xy=8\\ x^2+16y^2=80\end{array}$.

Rezolvare. Ambele ecuații au numai termeni de gradul $2$, deci sistemul este omogen.

Eliminăm termenii liberi: înmulțim prima ecuație cu $80$, a doua cu $8$ și scădem:

$$80xy-8(x^2+16y^2)=640-640=0⟺-8x^2+80xy-128y^2=0⟺x^2-10xy+16y^2=0.$$

Cazul $y=0$: prima ecuație ar da $0=8$, fals. Deci $y\ne 0$.

Substituția $t=\frac{x}{y}$: împărțim la $y^2$ și obținem $t^2-10t+16=0$, cu $\Delta =100-64=36$, deci $t_1=8$ și $t_2=2$.

Revenim. Pentru $x=8y$, prima ecuație devine $8y\cdot y=8$, adică $y^2=1$, deci $y=\pm 1$ și $x=8y=\pm 8$: perechile $(8,1)$ și $(-8,-1)$. Pentru $x=2y$, prima ecuație devine $2y\cdot y=8$, adică $y^2=4$, deci $y=\pm 2$ și $x=2y=\pm 4$: perechile $(4,2)$ și $(-4,-2)$.

Verificare pe $(4,2)$: $4\cdot 2=8$ ✓ și $16+16\cdot 4=16+64=80$ ✓. Pe $(8,1)$: $8$ ✓ și $64+16=80$ ✓. Sistemul are patru soluții: $(8,1)$, $(-8,-1)$, $(4,2)$, $(-4,-2)$. $■$

Exemplul 4 — Același sistem, două metode

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}xy=2\\ x^2+y^2=5\end{array}$ atât ca sistem omogen, cât și ca sistem simetric.

Rezolvare — ca sistem simetric. Cu $s=x+y$ și $p=xy$: $p=2$ și $s^2-2p=5$, deci $s^2=9$ și $s=\pm 3$. Pentru $s=3$, $p=2$: $z^2-3z+2=0$ dă $z\in \{1,2\}$, deci perechile $(1,2)$ și $(2,1)$. Pentru $s=-3$, $p=2$: $z^2+3z+2=0$ dă $z\in \{-1,-2\}$, deci $(-1,-2)$ și $(-2,-1)$.

Rezolvare — ca sistem omogen. Eliminăm termenii liberi: $5\cdot xy-2(x^2+y^2)=10-10=0$, adică $2x^2-5xy+2y^2=0$. Cazul $y=0$ ar da $0=2$ în prima ecuație, deci $y\ne 0$; cu $t=\frac{x}{y}$ obținem $2t^2-5t+2=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $t_1=2$ și $t_2=\frac{1}{2}$. Pentru $x=2y$: $2y^2=2$, deci $y=\pm 1$ și perechile $(2,1)$, $(-2,-1)$. Pentru $x=\frac{y}{2}$: $\frac{y^2}{2}=2$, deci $y=\pm 2$ și perechile $(1,2)$, $(-1,-2)$.

Aceleași patru soluții, pe două drumuri diferite. ✓ $■$

Exemplul 5 — Sistem simetric mascat

Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\ xy=6\end{array}$.

Rezolvare. Condiții de existență: $x\ne 0$ și $y\ne 0$ (altfel fracțiile n-ar avea sens); a doua ecuație le garantează oricum.

Traducem prima ecuație: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{s}{p}$. Cum $p=6$, obținem $\frac{s}{6}=\frac{5}{6}$, deci $s=5$.

Testul $s^2-4p=25-24=1\ge 0$ ✓. Rezolvăm $z^2-5z+6=0$: $z_1=3$, $z_2=2$. Soluțiile sunt $(3,2)$ și $(2,3)$. Verificare: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$ ✓ și $3\cdot 2=6$ ✓. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x^3+y^3=35\end{array}$.

Rezolvare. Sistemul este simetric. Notăm $s=x+y=5$ și $p=xy$. Folosim identitatea $x^3+y^3=s^3-3ps$:

$$125-3p\cdot 5=35⟺125-15p=35⟺15p=90⟺p=6.$$

Verificăm existența: $s^2-4p=25-24=1\ge 0$ ✓. Atunci $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-5z+6=0$, adică $2$ și $3$.

Soluțiile sistemului sunt $(2,3)$ și $(3,2)$. Verificare: $2+3=5$ ✓ și $8+27=35$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu verificarea fiecărei soluții. Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, ce tip de sistem ai în față.

1. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ xy=10\end{array}$.

2. Rezolvă prin substituție $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ x^2+y^2=2\end{array}$.

3. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x^2-y^2=12\end{array}$. (Indicație: factorizează a doua ecuație.)

4. Rezolvă sistemul simetric $\{\begin{array}{l}x+y=6\\ x^2+y^2=20\end{array}$.

5. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy=-6\end{array}$ și explică de ce soluțiile apar în pereche.

6. Rezolvă sistemul omogen $\{\begin{array}{l}{x}^2+xy=6\\ y^2+xy=3\end{array}$.

7. Rezolvă sistemul simetric $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ xy=12\end{array}$. Câte soluții are?

8. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x^2+y^2=17\end{array}$.

9. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x^3+y^3=28\end{array}$.

10. Rezolvă $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\\ xy=6\end{array}$, precizând condițiile de existență.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice sistem simetric cu soluții reale are un număr par de soluții."

12. Rezolvă $\{\begin{array}{l}{x}^2-4xy+3y^2=0\\ x+y=8\end{array}$.

13. Rezolvă $\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ xy=3\end{array}$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ xy=5\end{array}$ are două soluții reale."

15. (Problemă aplicată.) Suma a două numere este $12$, iar suma pătratelor lor este $80$. Află numerele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x^2+y^2=25\end{array}$.

17. (Raționament.) Demonstrează că sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=s\\ xy=p\end{array}$ are soluții reale dacă și numai dacă $s^2-4p\ge 0$, iar în acest caz soluțiile sunt rădăcinile ecuației $z^2-sz+p=0$, luate în ambele ordini.

18. (Provocare.) Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+xy=11\\ x^{2}y+x{y}^2=30\end{array}$. (Indicație: notează $s=x+y$, $p=xy$ și observă că a doua ecuație este $ps$.)

Răspunsuri și explicații

1. Sistem simetric: $s=7$, $p=10$, cu $s^2-4p=9\ge 0$. Ecuația $z^2-7z+10=0$ are rădăcinile $5$ și $2$, deci soluțiile sunt $(5,2)$ și $(2,5)$. Verificare: $5+2=7$ ✓, $5\cdot 2=10$ ✓.

2. Substituție: $x^2+(2x-1{)}^2=2$, adică $5x^2-4x-1=0$, cu $\Delta =16+20=36$. Rezultă $x_1=1$ și $x_2=-\frac{1}{5}$, deci soluțiile $(1,1)$ și $\left(-\frac{1}{5},-\frac{7}{5}\right)$. Verificare pentru a doua: $\frac{1}{25}+\frac{49}{25}=\frac{50}{25}=2$ ✓.

3. $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=2(x+y)=12$, deci $x+y=6$. Cu $x-y=2$ obținem $x=4$, $y=2$. Soluția unică: $(4,2)$. Verificare: $16-4=12$ ✓.

4. $s=6$ și $s^2-2p=20$, deci $36-2p=20$ și $p=8$. Testul: $36-32=4\ge 0$ ✓. Din $z^2-6z+8=0$: $z\in \{2,4\}$, deci soluțiile $(2,4)$ și $(4,2)$.

5. $z^2-z-6=0$ are $\Delta =1+24=25$, deci $z\in \{3,-2\}$: soluțiile sunt $(3,-2)$ și $(-2,3)$. Apar în pereche pentru că sistemul e simetric: dacă $(x_0,y_0)$ îl verifică, atunci și $(y_0,x_0)$ îl verifică.

6. Sistem omogen. Eliminăm termenii liberi: $3(x^2+xy)-6(y^2+xy)=18-18=0$, adică $3x^2-3xy-6y^2=0$, echivalent cu $x^2-xy-2y^2=0$. Dacă $y=0$, a doua ecuație ar da $0=3$, fals. Cu $t=\frac{x}{y}$: $t^2-t-2=0$, deci $t\in \{2,-1\}$. Pentru $x=2y$: prima ecuație dă $4y^2+2y^2=6$, deci $y=\pm 1$ și perechile $(2,1)$, $(-2,-1)$. Pentru $x=-y$: $y^2-y^2=0\ne 6$, fără soluții. Verificare pe $(2,1)$: $4+2=6$ ✓ și $1+2=3$ ✓.

7. $p=12$ și $s^2-2p=25$, deci $s^2=49$ și $s=\pm 7$. Pentru $s=7$: $z^2-7z+12=0$ dă $3$ și $4$ → $(3,4)$, $(4,3)$. Pentru $s=-7$: $z^2+7z+12=0$ dă $-3$ și $-4$ → $(-3,-4)$, $(-4,-3)$. Patru soluții.

8. $s=5$, $25-2p=17$, deci $p=4$; $s^2-4p=9\ge 0$ ✓. Din $z^2-5z+4=0$: $z\in \{1,4\}$, soluțiile $(1,4)$ și $(4,1)$.

9. $s=4$ și $s^3-3ps=28$, adică $64-12p=28$, deci $p=3$. Testul: $16-12=4\ge 0$ ✓. Din $z^2-4z+3=0$: $z\in \{1,3\}$, soluțiile $(1,3)$ și $(3,1)$. Verificare: $1+27=28$ ✓.

10. Condiții: $x\ne 0$, $y\ne 0$. Prima ecuație devine $\frac{s}{p}=\frac{5}{6}$; cu $p=6$ rezultă $s=5$. Din $z^2-5z+6=0$: $z\in \{2,3\}$, deci $(2,3)$ și $(3,2)$, ambele cu componente nenule ✓.

11. Fals. Sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ xy=1\end{array}$ conduce la $z^2-2z+1=0$, cu rădăcina dublă $z=1$: singura soluție este $(1,1)$, un număr impar de soluții. Perechile $(x_0,y_0)$ și $(y_0,x_0)$ coincid exact când $x_0=y_0$, adică atunci când $s^2-4p=0$.

12. Prima ecuație e omogenă și egală cu zero: $x^2-4xy+3y^2=(x-y)(x-3y)=0$, deci $x=y$ sau $x=3y$. Pentru $x=y$: $2y=8$, deci $(4,4)$. Pentru $x=3y$: $4y=8$, deci $(6,2)$. Verificare pe $(6,2)$: $36-48+12=0$ ✓ și $6+2=8$ ✓.

13. $y=5-2x$, deci $x(5-2x)=3$, adică $2x^2-5x+3=0$, cu $\Delta =1$. Rezultă $x\in \left\{\frac{3}{2},1\right\}$ și soluțiile $\left(\frac{3}{2},2\right)$, $(1,3)$.

14. Fals. Ar trebui ca $x$ și $y$ să fie rădăcinile ecuației $z^2-3z+5=0$, care are $\Delta =9-20=-11<0$. Sistemul nu are soluții reale (condiția $s^2\ge 4p$ nu e îndeplinită: $9<20$).

15. $s=12$ și $s^2-2p=80$, deci $144-2p=80$ și $p=32$. Din $z^2-12z+32=0$, cu $\Delta =144-128=16$: $z=\frac{12\pm 4}{2}$, adică $8$ și $4$. Numerele sunt $8$ și $4$. Verificare: $8+4=12$ ✓ și $64+16=80$ ✓.

16. Din prima ecuație, $x=y+1$. Înlocuim: $(y+1{)}^2+y^2=25$, adică $2y^2+2y-24=0$, echivalent cu $y^2+y-12=0$, cu $\Delta =1+48=49$. Rezultă $y_1=3$ și $y_2=-4$, deci soluțiile $(4,3)$ și $(-3,-4)$. Verificare: $16+9=25$ ✓ și $9+16=25$ ✓.

17. „$\Rightarrow$": dacă $(x_0,y_0)$ e soluție reală, atunci $x_0$ și $y_0$ sunt numere reale cu suma $s$ și produsul $p$, deci verifică ambele ecuația $z^2-sz+p=0$ (înlocuiește și folosește relațiile lui Viète). O ecuație de gradul al doilea cu rădăcini reale are $\Delta =s^2-4p\ge 0$. „$\Leftarrow$": dacă $s^2-4p\ge 0$, ecuația $z^2-sz+p=0$ are rădăcinile reale $z_1,z_2$, iar din Viète $z_1+z_2=s$ și $z_1{z}_2=p$; deci $(z_1,z_2)$ și $(z_2,z_1)$ sunt soluții ale sistemului. $■$

18. Cu $s=x+y$ și $p=xy$, sistemul devine $\{\begin{array}{l}s+p=11\\ ps=30\end{array}$ — el însuși un sistem simetric, în necunoscutele $s$ și $p$! Ele sunt rădăcinile ecuației $u^2-11u+30=0$, cu $\Delta =121-120=1$, deci $u\in \{5,6\}$. Ramura $s=5$, $p=6$: testul $25-24=1\ge 0$ ✓, iar $z^2-5z+6=0$ dă $(2,3)$ și $(3,2)$. Ramura $s=6$, $p=5$: testul $36-20=16\ge 0$ ✓, iar $z^2-6z+5=0$ dă $(1,5)$ și $(5,1)$. Sistemul are patru soluții. Verificare pe $(1,5)$: $1+5+5=11$ ✓ și $xy(x+y)=5\cdot 6=30$ ✓.

De reținut

• O soluție a unui sistem cu două necunoscute este o pereche ordonată $(x,y)$; toate metodele se încheie cu verificarea ei în ambele ecuații.
• Gradul I + gradul II: exprimi o necunoscută din ecuația liniară și substitui; rămâne o ecuație de gradul al doilea, iar semnul lui $\Delta$ dă numărul soluțiilor.
• Sistem omogen (toți termenii de grad $2$): elimini termenii liberi, tratezi separat $y=0$, apoi rezolvi $A{t}^2+Bt+C=0$ cu $t=\frac{x}{y}$ și revii prin $x=ty$.
• Sistem simetric (neschimbat la interschimbarea lui $x$ cu $y$): treci la $s=x+y$ și $p=xy$, rezolvi sistemul obținut, apoi revii prin $z^2-sz+p=0$.
• Perechea $(s,p)$ produce numere reale doar dacă $s^2-4p\ge 0$; altfel ramura respectivă se elimină, iar sistemul poate rămâne fără soluții reale.

Greșeli frecvente

• Uiți a doua soluție a perechii. La sistemele simetrice, dacă $(2,3)$ e soluție, atunci și $(3,2)$ este. Se pierd jumătate din puncte scriind doar una.
• Împarți la $y^2$ fără să verifici $y=0$. La sistemele omogene, împărțirea la $y^2$ e legitimă doar după eliminarea explicită a cazului $y=0$ — altfel poți pierde soluții sau poți scrie o justificare incompletă.
• Revii la $x$ și $y$ înlocuind în ecuația greșită. După ce afli $t=\frac{x}{y}$, înlocuiește $x=ty$ într-una dintre ecuațiile inițiale, nu în ecuația omogenă obținută la pasul 1 (aceea e verificată automat și nu-ți dă nimic nou).
• Accepți o pereche $(s,p)$ fără testul $s^2-4p\ge 0$. De exemplu $s=3$, $p=5$ pare o soluție corectă a sistemului intermediar, dar nu produce numere reale.
• Confunzi „omogen" cu „simetric". $x^2+xy=6$ este omogenă, dar nu simetrică (schimbând $x$ cu $y$ obții $y^2+xy=6$, altă ecuație). Citește sistemul înainte de a alege metoda.

Aplică acasă

1. Grădina cu gard fix. Măsoară o cameră sau o curte și notează perimetrul disponibil. Alege o arie-țintă și rezolvă sistemul $\{2(x+y)=P,xy=A\}$. Încearcă apoi arii tot mai mari, până când sistemul nu mai are soluții reale — vei descoperi experimental că aria maximă la perimetru dat se obține pentru pătrat, exact când $s^2-4p=0$.

2. Detectorul de tip. Scrie pe fișe zece sisteme luate din culegere, amestecate. Fără să le rezolvi, notează pe verso tipul fiecăruia (substituție / omogen / simetric) și metoda în trei cuvinte. Recitește fișele peste două zile: dacă recunoști tipul în sub cinci secunde, ai automatizat partea grea.

3. Verificatorul. Alege trei sisteme rezolvate în clasă și verifică fiecare soluție într-un program de calcul (sau într-un tabel) înlocuind valorile în ambele ecuații. Notează dacă vreo soluție „scăpată" pe hârtie nu trece verificarea — de obicei acolo se ascunde un caz $y=0$ tratat superficial.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă exact cele trei tipuri de sisteme prevăzute în programa de matematică-informatică: gradul I cu gradul al doilea, omogene și simetrice. Elevul trebuie să plece de aici cu capacitatea de a recunoaște tipul înainte de a calcula și cu cele trei algoritme scrise corect, inclusiv discuțiile obligatorii: cazul $y=0$ la sisteme omogene și condiția $s^2-4p\ge 0$ la cele simetrice. Legătura cu relațiile lui Viète este esențială — sistemele simetrice sunt, de fapt, Viète citit invers.

Întrebări bune de control: „Ce tip de sistem este $\{x^2+y^2=13,xy=6\}$ și de ce?"; „De ce, la un sistem simetric, soluțiile apar în perechi?"; „Ce se întâmplă dacă $s^2-4p<0$?". Semne că a înțeles: scrie tipul sistemului înainte de rezolvare, nu uită soluția simetrică, verifică rezultatele în ambele ecuații și formulează corect concluzia „sistemul nu are soluții reale" atunci când e cazul.

La Bacalaureatul M1, sistemele apar în subiectul al II-lea și în probleme aplicate (dimensiuni, sume și produse de numere), iar interpretarea lor geometrică — intersecția unei drepte cu o parabolă — este cerută explicit de programă și dezvoltată în lecția următoare, despre dreaptă și parabolă.

Întrebări frecvente

Cum rezolv un sistem format dintr-o ecuație de gradul întâi și una de gradul al doilea? Prin substituție: exprimi o necunoscută din ecuația de gradul întâi, o înlocuiești în cea de-a doua și obții o ecuație de gradul al doilea cu o singură necunoscută. Pentru fiecare rădăcină găsită revii și afli cealaltă componentă a perechii.

Ce este un sistem omogen? Un sistem în care toți termenii care conțin necunoscutele au gradul $2$: $a{x}^2$, $bxy$, $c{y}^2$. Se rezolvă eliminând termenii liberi între cele două ecuații, apoi împărțind la $y^2$ și notând $t=\frac{x}{y}$.

Ce este un sistem simetric și cum îl recunosc? Un sistem care rămâne identic dacă schimbi între ele $x$ și $y$. Se rezolvă cu substituția $s=x+y$, $p=xy$; la final, $x$ și $y$ sunt rădăcinile ecuației $z^2-sz+p=0$.

De ce soluțiile sistemelor simetrice apar în perechi? Pentru că, dacă $(x_0,y_0)$ verifică un sistem simetric, atunci și $(y_0,x_0)$ îl verifică — ecuațiile arată la fel după interschimbare. Cele două coincid doar când $x_0=y_0$.

Ce înseamnă că un sistem nu are soluții reale? Că nu există nicio pereche de numere reale care să verifice simultan ambele ecuații. Se recunoaște după un discriminant negativ în ecuația finală, de exemplu $s^2-4p<0$ la sistemele simetrice.

Câte soluții poate avea un sistem cu ecuații de gradul al doilea? De la zero până la patru, în cazurile studiate la clasa a IX-a. Sistemele cu o ecuație de gradul întâi au cel mult două soluții, în timp ce cele omogene sau simetrice pot avea patru, câte două pentru fiecare ramură.

De ce trebuie să tratez separat cazul $y=0$ la sistemele omogene? Pentru că pasul următor este împărțirea la $y^2$, iar împărțirea la zero nu e permisă. Dacă sari peste această verificare, riști să pierzi soluții sau să scrii o rezolvare incompletă, penalizată la corectare.

Se poate rezolva același sistem prin două metode diferite? Da, și e un exercițiu foarte bun. Sistemul $\{xy=2,x^2+y^2=5\}$ este și omogen, și simetric: ambele drumuri conduc la aceleași patru soluții. Dacă rezultatele diferă, ai o eroare de calcul pe unul dintre ele.