Evenimente disjuncte. Diagrame Venn

Diriginta face o statistică rapidă: din cei $30$ de elevi ai clasei, $18$ merg la un sport, $12$ cântă la un instrument, iar $7$ fac amândouă. Un coleg calculează pe loc: „deci $18+12=30$, toată clasa face ceva". Altul îl contrazice: „ba nu, sunt și colegi care nu fac nimic din astea". Cine are dreptate? Și cum se decide, fără să ceri lista nominală a clasei?

Aici intervine un desen inventat de logicianul John Venn: două cercuri care se suprapun, într-un dreptunghi. El arată dintr-o privire ce se pierde în adunarea grăbită de mai sus — cei $7$ elevi care fac și sport, și muzică au fost numărați de două ori. Lecția de față îți dă operațiile cu evenimente (reuniune, intersecție, diferență), noțiunea de evenimente disjuncte și desenul care le face vizibile. Programa cere explicit diagramele Venn, iar tu vei descoperi de ce: sunt situații în care desenul rezolvă problema mai repede decât orice formulă.

Ce vei învăța

• Vei ști să formezi reuniunea $A\cup B$ și intersecția $A\cap B$ a două evenimente și să le traduci în limbaj obișnuit („sau", „și").
• Vei ști să desenezi o diagramă Venn cu dreptunghiul $\Omega$ și cercurile evenimentelor și să identifici cele patru regiuni ale ei.
• Vei ști ce înseamnă evenimente disjuncte (incompatibile) și cum se recunosc într-un enunț.
• Vei ști să folosești formula de numărare $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$ și să explici de ce se scade.
• Vei ști să completezi o diagramă Venn cu date dintr-o problemă practică, începând întotdeauna din intersecție.
• Vei ști să nu confunzi „disjunct" cu „contrar" și nici „disjunct" cu „independent".

Hai să descoperim împreună

1. De ce combinăm evenimente

În lecția Experiment aleator. Evenimente am învățat să traducem o propoziție într-o submulțime a lui $\Omega$. Propozițiile din viața reală sunt însă rareori simple: ele conțin „și", „sau", „nu". „Vreau o carte roșie sau un as." „Elevul face sport și muzică." „Zarul nu a dat un număr par."

Pentru că evenimentele sunt mulțimi, aceste cuvinte au deja un corespondent matematic exact — operațiile cu mulțimi. Toată lecția constă în a folosi corect dicționarul următor:

2. Reuniunea: cuvântul „sau"

Definiție. Reuniunea evenimentelor $A$ și $B$ este evenimentul $A\cup B$, format din rezultatele care aparțin lui $A$, lui $B$ sau amândurora. El se realizează dacă se realizează cel puțin unul dintre evenimentele $A$ și $B$.

Exemplu, la aruncarea unui zar cu $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$:

$$A=\text{„numa˘r par"}=\{2,4,6\},B=\text{„multiplu de }3\text{"}=\{3,6\},$$ $$A\cup B=\{2,3,4,6\},\mathrm{card}(A\cup B)=4.$$

Observă că $6$ apare o singură dată în reuniune, deși e și în $A$, și în $B$ — într-o mulțime nu scriem un element de două ori.

Atenție la „sau". În matematică, „sau" este neexclusiv: „a apărut un număr par sau un multiplu de $3$" e adevărat și când apare $6$, care e și una, și alta. În vorbirea curentă, „sau" e adesea exclusiv („mergem la munte sau la mare"). Când un enunț cere explicit „exact unul dintre ele", asta e altă mulțime, $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

3. Intersecția: cuvântul „și"

Definiție. Intersecția evenimentelor $A$ și $B$ este evenimentul $A\cap B$, format din rezultatele care aparțin și lui $A$, și lui $B$. El se realizează dacă se realizează amândouă evenimentele.

Pentru exemplul de mai sus, $A\cap B=\{6\}$ — singurul număr de pe zar care e și par, și multiplu de $3$. Deci $\mathrm{card}(A\cap B)=1$.

Un exemplu cu cărți de joc: dintr-un pachet de $52$ de cărți extragem una și considerăm $A$ = „carte de inimă roșie" ($13$ cazuri) și $B$ = „as" ($4$ cazuri). Atunci $A\cap B$ = „asul de inimă roșie", cu un singur caz favorabil.

4. Diagrama Venn — desenul care organizează totul

Regula de desen e simplă: dreptunghiul reprezintă $\Omega$ (toate rezultatele posibile), fiecare cerc reprezintă un eveniment, iar zona comună reprezintă intersecția. Se formează patru regiuni, care nu se suprapun deloc și care, împreună, acoperă tot dreptunghiul:

1. doar $A$, adică $A\setminus B$;
2. $A$ și $B$, adică $A\cap B$;
3. doar $B$, adică $B\setminus A$;
4. nici $A$, nici $B$, adică ce rămâne în afara ambelor cercuri.

Pentru zarul de mai sus, regiunile conțin: doar $A$: $\{2,4\}$; $A\cap B$: $\{6\}$; doar $B$: $\{3\}$; în afară: $\{1,5\}$. Verificare: $2+1+1+2=6=\mathrm{card}(\Omega )$ ✓. Această verificare — suma celor patru regiuni dă numărul cazurilor posibile — e cel mai bun control al unei diagrame completate.

5. Evenimente disjuncte (incompatibile)

Definiție. Două evenimente $A$ și $B$ se numesc disjuncte (sau incompatibile) dacă nu se pot realiza simultan, adică dacă $$A\cap B=\varnothing .$$

În diagrama Venn, două evenimente disjuncte se desenează ca două cercuri care nu se ating.

Exemple, la aruncarea unui zar:

• „număr par" $\{2,4,6\}$ și „număr impar" $\{1,3,5\}$ — disjuncte;
• „număr par" $\{2,4,6\}$ și „număr mai mic decât $2$" $\{1\}$ — disjuncte;
• „număr par" $\{2,4,6\}$ și „multiplu de $3$" $\{3,6\}$ — nu sunt disjuncte, pentru că $6$ le realizează pe amândouă.

La aruncarea a două zaruri, evenimentele „suma fețelor este $7$" (cu $6$ cazuri favorabile) și „ambele fețe sunt egale" (tot $6$ cazuri) sunt disjuncte: nicio dublă nu are suma $7$, pentru că sumele dublelor sunt $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ — toate pare. În schimb, „suma fețelor este $8$" și „ambele fețe sunt egale" nu sunt disjuncte: perechea $(4,4)$ le realizează pe amândouă.

6. Diferența și evenimentul contrar

Diferența $A\setminus B$ conține rezultatele care realizează $A$, dar nu $B$ („par, dar nu multiplu de $3$" $=\{2,4\}$). În diagramă e „semiluna" din stânga.

Un caz special, foarte des folosit, este evenimentul contrar $\overline{A}$: mulțimea rezultatelor din $\Omega$ care nu realizează $A$, adică $\overline{A}=\Omega \setminus A$. În desen, contrarul lui $A$ este tot ce se află în dreptunghi, în afara cercului $A$. Două proprietăți se citesc direct de pe figură:

$$A\cup \overline{A}=\Omega ,A\cap \overline{A}=\varnothing .$$

A doua spune că un eveniment și contrarul lui sunt întotdeauna disjuncte. Reciproca este falsă și e o capcană clasică: „par" și „mai mic decât $2$" sunt disjuncte, dar nu sunt contrare, pentru că reuniunea lor, $\{1,2,4,6\}$, nu acoperă tot $\Omega$. Contrar = disjunct + acoperă tot. Vom folosi această distincție în lecția Evenimentul contrar și probabilitatea lui.

7. Numărarea pe diagramă: formula reuniunii

Revenim la întrebarea de la începutul lecției. Dacă adunăm $\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)$, elementele din intersecție sunt numărate de două ori — o dată în $A$, o dată în $B$. Ca să reparăm, le scădem o dată:

Formula de numărare a reuniunii. $$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B).$$

Este exact principiul folosit în unitatea de numărare, la Regula sumei și combinarea regulilor. Verificăm pe zar: $\mathrm{card}(A)=3$, $\mathrm{card}(B)=2$, $\mathrm{card}(A\cap B)=1$, deci $3+2-1=4$ — exact câte elemente are $\{2,3,4,6\}$ ✓.

Cazul particular al evenimentelor disjuncte. Dacă $A\cap B=\varnothing$, termenul care se scade e zero și formula devine

$$\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B).$$

Iată de ce merită să știi dacă evenimentele sunt disjuncte: la ele se adună pur și simplu. Aceeași structură va reapărea, cu probabilități în loc de cardinale, în lecția Probabilitatea reuniunii a două evenimente.

8. Cum se completează o diagramă cu date dintr-o problemă

Regula de aur: începe din intersecție și înaintează spre exterior. Dacă începi din cercuri, vei număra de două ori zona comună.

Să rezolvăm problema dirigintei. Clasa are $30$ de elevi; $18$ fac sport, $12$ fac muzică, $7$ fac amândouă.

1. Intersecția: scriem $7$ în zona comună.
2. Doar sport: $18-7=11$.
3. Doar muzică: $12-7=5$.
4. Nici, nici: $30-(11+7+5)=30-23=7$.

Verificare: $11+7+5+7=30$ ✓. Deci $23$ de elevi fac cel puțin una dintre activități — nu $30$, cum spunea colegul grăbit — iar $7$ elevi nu fac niciuna. Formula confirmă: $\mathrm{card}(A\cup B)=18+12-7=23$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Operații pe zar

Se aruncă un zar. Fie $A$ = „număr par" și $B$ = „număr mai mare decât $3$". Determinați $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ și $\overline{A}$, precizând de fiecare dată numărul cazurilor favorabile.

Rezolvare. $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{2,4,6\}$, $B=\{4,5,6\}$.

• $A\cup B=\{2,4,5,6\}$, cu $4$ cazuri favorabile. Verificare cu formula: $\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)=3+3-2=4$ ✓.
• $A\cap B=\{4,6\}$, cu $2$ cazuri favorabile.
• $A\setminus B=\{2\}$, un singur caz („par, dar nu mai mare decât $3$").
• $\overline{A}=\{1,3,5\}$, cu $3$ cazuri favorabile.

$A$ și $B$ nu sunt disjuncte, pentru că au două elemente comune.

Exemplul 2 — Două zaruri, evenimente disjuncte

Se aruncă două zaruri, unul roșu și unul albastru. Fie $A$ = „suma fețelor este $7$" și $B$ = „ambele zaruri arată aceeași față". Sunt $A$ și $B$ disjuncte? Câte cazuri favorabile are $A\cup B$?

Rezolvare. $\mathrm{card}(\Omega )=36$.

$$A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\},\mathrm{card}(A)=6;$$ $$B=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\},\mathrm{card}(B)=6.$$

Nicio pereche nu apare în ambele liste: sumele dublelor sunt $2,4,6,8,10,12$, toate pare, iar $7$ e impar. Deci $A\cap B=\varnothing$ — evenimentele sunt disjuncte, iar

$$\mathrm{card}(A\cup B)=6+6=12.$$

Comparație instructivă: dacă înlocuim $A$ cu „suma este $8$", lucrurile se schimbă. Atunci $A^{\prime }=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$ cu $5$ cazuri, iar $A^{\prime }\cap B=\{(4,4)\}$, deci evenimentele nu mai sunt disjuncte și $\mathrm{card}(A^{\prime }\cup B)=5+6-1=10$.

Exemplul 3 — Diagramă cu date practice

Într-o școală, dintr-un grup de $40$ de elevi, $22$ studiază engleza, $18$ studiază franceza, iar $9$ studiază ambele limbi. Câți elevi studiază cel puțin o limbă? Câți nu studiază niciuna?

Rezolvare. Completăm diagrama pornind din intersecție:

• ambele: $9$;
• doar engleza: $22-9=13$;
• doar franceza: $18-9=9$;
• cel puțin o limbă: $13+9+9=31$ (sau, cu formula, $22+18-9=31$);
• niciuna: $40-31=9$.

Verificare: $13+9+9+9=40$ ✓.

Răspuns: $31$ de elevi studiază cel puțin o limbă, iar $9$ nu studiază niciuna.

Exemplul 4 — Cărți de joc

Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage o carte. Fie $A$ = „carte de inimă roșie" și $B$ = „as". Câte cazuri favorabile are $A\cup B$? Sunt evenimentele disjuncte?

Rezolvare. $\mathrm{card}(A)=13$ (toate cărțile de inimă roșie), $\mathrm{card}(B)=4$ (câte un as de fiecare culoare). Există o carte care le realizează pe amândouă — asul de inimă roșie — deci $\mathrm{card}(A\cap B)=1$ și evenimentele nu sunt disjuncte.

$$\mathrm{card}(A\cup B)=13+4-1=16.$$

Dacă am fi adunat direct, am fi spus $17$ — greșeală tipică, provocată de asul numărat de două ori.

Un exemplu de evenimente disjuncte pe același experiment: „carte roșie" ($26$ de cazuri) și „carte neagră" ($26$ de cazuri) nu se pot realiza simultan, deci reuniunea lor are $26+26=52$ de cazuri — adică tot pachetul. Ele sunt chiar contrare unul altuia.

Exemplul 5 — Disjunct nu înseamnă contrar

La aruncarea unui zar se consideră $A$ = „număr par" și $B$ = „a apărut $1$". Arătați că $A$ și $B$ sunt disjuncte, dar nu sunt contrare.

Rezolvare. $A=\{2,4,6\}$, $B=\{1\}$, deci $A\cap B=\varnothing$: evenimentele sunt disjuncte, nu se pot realiza simultan.

Nu sunt însă contrare, pentru că reuniunea lor nu acoperă $\Omega$:

$$A\cup B=\{1,2,4,6\}\ne \Omega .$$

Rezultatele $3$ și $5$ nu realizează niciunul dintre cele două evenimente. Contrarul lui $A$ este $\overline{A}=\{1,3,5\}$, care e altceva decât $B$.

De reținut din acest exemplu: două evenimente contrare sunt întotdeauna disjuncte, dar două evenimente disjuncte nu sunt neapărat contrare. Condiția suplimentară este ca reuniunea lor să fie tot $\Omega$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Fie $A$ = „numărul ales este multiplu de $3$" și $B$ = „numărul ales este pătrat perfect". Determinați $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$, $\mathrm{card}(A\cap B)$ și $\mathrm{card}(A\cup B)$.

Rezolvare. Scriem mulțimile:

$$A=\{3,6,9,12,15,18\},\mathrm{card}(A)=6;$$ $$B=\{1,4,9,16\},\mathrm{card}(B)=4.$$

Elementul comun este $9$ (singurul care e și multiplu de $3$, și pătrat perfect, dintre primele $20$ de numere), deci $\mathrm{card}(A\cap B)=1$ și evenimentele nu sunt disjuncte. Atunci

$$\mathrm{card}(A\cup B)=6+4-1=9.$$

Verificare prin listă: $A\cup B=\{1,3,4,6,9,12,15,16,18\}$ — nouă elemente ✓.

Să exersăm

1. La aruncarea unui zar, fie $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{3,4\}$. Scrie $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ și $\overline{A}$.

2. Pentru evenimentele de la exercițiul anterior, verifică formula $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$.

3. La aruncarea unui zar, precizează care perechi de evenimente sunt disjuncte: a) „număr par" și „număr impar"; b) „număr par" și „număr prim"; c) „mai mic decât $3$" și „mai mare decât $4$"; d) „multiplu de $2$" și „multiplu de $3$".

4. Desenează o diagramă Venn pentru $\Omega =\{1,2,\dots ,10\}$, $A$ = „număr par" și $B$ = „număr mai mare decât $6$", și scrie ce conține fiecare dintre cele patru regiuni.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două evenimente sunt disjuncte, atunci unul este contrarul celuilalt."

6. Într-o clasă de $28$ de elevi, $15$ joacă fotbal, $11$ joacă baschet, iar $6$ joacă amândouă. Câți elevi joacă cel puțin un sport? Câți nu joacă niciunul?

7. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage o carte. Câte cazuri favorabile are evenimentul „carte roșie sau figură (valet, damă, rege)"? (Indicație: figurile roșii sunt $6$.)

8. Se aruncă două zaruri. Sunt disjuncte evenimentele „suma fețelor este $5$" și „ambele fețe sunt egale"? Justifică.

9. Se aruncă două zaruri. Câte cazuri favorabile are evenimentul „suma este $7$ sau suma este $11$"? De ce se pot aduna direct cazurile?

10. La aruncarea unui zar, scrie evenimentul „număr par sau multiplu de $3$" și numără-i elementele în două feluri: prin listă și cu formula reuniunii.

11. Fie $A$ un eveniment cu $\mathrm{card}(A)=8$ într-un experiment cu $\mathrm{card}(\Omega )=20$. Câte cazuri favorabile are $\overline{A}$?

12. (Problemă aplicată.) Într-un sondaj pe $50$ de familii, $32$ au abonament la internet, $28$ au abonament la televiziune, iar $19$ au ambele abonamente. Completează diagrama Venn și spune câte familii nu au niciun abonament.

13. Dă exemplu de două evenimente disjuncte la extragerea unei cărți dintr-un pachet de $52$ și de două evenimente care nu sunt disjuncte.

14. Se aruncă trei monede. Sunt disjuncte evenimentele „apar exact două steme" și „apar exact trei steme"? Dar „apar cel puțin două steme" și „apar exact trei steme"?

15. Într-o diagramă Venn cu două cercuri s-au scris: $9$ în zona comună, $4$ în zona proprie a lui $A$, $6$ în zona proprie a lui $B$ și $11$ în afara cercurilor. Determină $\mathrm{card}(\Omega )$, $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$ și $\mathrm{card}(A\cup B)$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,30\}$. Fie $A$ = „numărul este multiplu de $4$" și $B$ = „numărul este multiplu de $6$". Determină $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$, $\mathrm{card}(A\cap B)$ și $\mathrm{card}(A\cup B)$.

17. Explică, în două-trei rânduri, de ce în formula reuniunii se scade intersecția și ce s-ar întâmpla dacă am uita să o scădem.

18. (Provocare.) Într-o școală, $100$ de elevi practică sporturi: $60$ fotbal, $45$ baschet, $30$ volei; $25$ fac fotbal și baschet, $15$ baschet și volei, $20$ fotbal și volei, iar $10$ le fac pe toate trei. Câți elevi practică cel puțin unul dintre cele trei sporturi? Câți nu practică niciunul? (Desenează o diagramă cu trei cercuri și completează din centru spre exterior.)

Răspunsuri și explicații

1. $A\cup B=\{1,2,3,4\}$; $A\cap B=\{3\}$; $A\setminus B=\{1,2\}$; $\overline{A}=\{4,5,6\}$.

2. $\mathrm{card}(A)=3$, $\mathrm{card}(B)=2$, $\mathrm{card}(A\cap B)=1$, deci $3+2-1=4=\mathrm{card}(A\cup B)$ ✓.

3. Disjuncte: a) ($\{2,4,6\}\cap \{1,3,5\}=\varnothing$) și c) ($\{1,2\}\cap \{5,6\}=\varnothing$). Nu sunt disjuncte: b) — numărul $2$ e și par, și prim; d) — numărul $6$ e multiplu și de $2$, și de $3$.

4. $A=\{2,4,6,8,10\}$, $B=\{7,8,9,10\}$. Regiunile: doar $A$: $\{2,4,6\}$; $A\cap B$: $\{8,10\}$; doar $B$: $\{7,9\}$; în afară: $\{1,3,5\}$. Verificare: $3+2+2+3=10$ ✓.

5. Fals. Evenimentele contrare sunt disjuncte, dar nu invers. Contraexemplu la zar: $\{2,4,6\}$ și $\{1\}$ sunt disjuncte, dar reuniunea lor, $\{1,2,4,6\}$, nu este $\Omega$, deci nu sunt contrare. Condiția lipsă e ca reuniunea să acopere toate rezultatele posibile.

6. Cel puțin un sport: $15+11-6=20$ de elevi. Niciunul: $28-20=8$ elevi. (Regiunile diagramei: $9$ doar fotbal, $6$ ambele, $5$ doar baschet, $8$ niciunul; suma $28$ ✓.)

7. Cărți roșii: $26$; figuri: $12$; figuri roșii (comune): $6$. Deci $26+12-6=32$ de cazuri favorabile.

8. Sunt disjuncte. Suma $5$ se obține din $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ — nicio dublă printre ele. Explicația generală: o dublă $(k,k)$ are suma $2k$, deci întotdeauna pară, iar $5$ este impar; prin urmare orice sumă impară este disjunctă de evenimentul „ambele fețe egale".

9. Suma $7$: $6$ cazuri; suma $11$: $2$ cazuri, $(5,6)$ și $(6,5)$. Cele două evenimente sunt disjuncte — o aruncare nu poate avea două sume deodată — deci cazurile se adună: $6+2=8$.

10. Prin listă: $\{2,3,4,6\}$, deci $4$ elemente. Cu formula: $\mathrm{card}(\{2,4,6\})+\mathrm{card}(\{3,6\})-\mathrm{card}(\{6\})=3+2-1=4$ ✓.

11. $\mathrm{card}(\overline{A})=20-8=12$, pentru că $A$ și $\overline{A}$ împart între ele toate cele $20$ de rezultate posibile.

12. Ambele: $19$; doar internet: $32-19=13$; doar televiziune: $28-19=9$; cel puțin unul: $13+19+9=41$; niciunul: $50-41=9$ familii. Verificare: $13+19+9+9=50$ ✓.

13. Disjuncte: „carte roșie" și „carte neagră" (nicio carte nu e și una, și alta). Nu sunt disjuncte: „as" și „carte de pică" — asul de pică le realizează pe amândouă.

14. „Exact două steme" $=\{SSB,SBS,BSS\}$ și „exact trei steme" $=\{SSS\}$ sunt disjuncte. În schimb „cel puțin două steme" $=\{SSS,SSB,SBS,BSS\}$ și „exact trei steme" $=\{SSS\}$ nu sunt disjuncte — a doua este chiar inclusă în prima, deci intersecția e $\{SSS\}$.

15. $\mathrm{card}(\Omega )=4+9+6+11=30$; $\mathrm{card}(A)=4+9=13$; $\mathrm{card}(B)=9+6=15$; $\mathrm{card}(A\cup B)=4+9+6=19$. Control cu formula: $13+15-9=19$ ✓.

16. Multiplii de $4$ până la $30$: $4,8,12,16,20,24,28$, deci $\mathrm{card}(A)=7$. Multiplii de $6$: $6,12,18,24,30$, deci $\mathrm{card}(B)=5$. Intersecția înseamnă multiplii de $12$: $12$ și $24$, deci $\mathrm{card}(A\cap B)=2$. Atunci $\mathrm{card}(A\cup B)=7+5-2=10$. (Atenție: intersecția „multiplu de $4$ și de $6$" nu înseamnă multiplu de $24$, ci multiplu de $12$ — cel mai mic multiplu comun.)

17. Pentru că rezultatele din zona comună aparțin și lui $A$, și lui $B$, deci apar în ambele numărători; adunând, ele sunt numărate de două ori. Scăzând o dată intersecția, fiecare rezultat ajunge numărat exact o dată. Dacă am uita scăderea, am obține un număr prea mare — de exemplu $17$ în loc de $16$ la „inimă roșie sau as".

18. Completăm din centru: toate trei $10$; doar fotbal și baschet $25-10=15$; doar baschet și volei $15-10=5$; doar fotbal și volei $20-10=10$; doar fotbal $60-15-10-10=25$; doar baschet $45-15-5-10=15$; doar volei $30-5-10-10=5$. Cel puțin un sport: $25+15+5+15+5+10+10=85$ de elevi, iar $100-85=15$ nu practică niciunul. Aceeași cifră se obține din formula extinsă a reuniunii: $60+45+30-25-15-20+10=85$.

De reținut

• Reuniunea $A\cup B$ traduce „cel puțin unul", intersecția $A\cap B$ traduce „amândouă", iar în matematică „sau" este întotdeauna neexclusiv.
• Diagrama Venn are dreptunghiul $\Omega$ și cercurile evenimentelor; cele patru regiuni (doar $A$, $A\cap B$, doar $B$, în afară) însumate dau $\mathrm{card}(\Omega )$ — cel mai bun control al unei diagrame.
• Evenimentele sunt disjuncte (incompatibile) când $A\cap B=\varnothing$, adică nu se pot realiza simultan; în desen, cercurile lor nu se ating.
• $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$; la evenimente disjuncte, termenul care se scade este zero.
• Contrar = disjunct + acoperă tot $\Omega$. Evenimentele contrare sunt disjuncte, dar evenimentele disjuncte nu sunt neapărat contrare.

Greșeli frecvente

• Aduni direct cazurile favorabile. „Inimă roșie sau as" nu are $13+4=17$ cazuri, ci $16$: asul de inimă roșie a fost numărat de două ori. Scade întotdeauna intersecția, sau verifică întâi dacă evenimentele sunt disjuncte.
• Completezi diagrama începând din cercuri. Dacă scrii $18$ în cercul „sport", nu mai ai loc pentru intersecție. Începe din zona comună și scade din ea spre exterior.
• Confunzi disjunct cu contrar. Contrarul are o cerință în plus: reuniunea trebuie să fie tot $\Omega$. „Par" și „egal cu $1$" sunt disjuncte fără să fie contrare.
• Confunzi disjunct cu independent. Sunt noțiuni complet diferite: disjunct înseamnă „nu se pot întâmpla împreună", iar independent (noțiune studiată în lecția Evenimente independente) înseamnă „realizarea unuia nu schimbă șansele celuilalt". Nu le amesteca și nu presupune că una o atrage pe cealaltă.
• Citești „sau" ca exclusiv. „Număr par sau multiplu de $3$" include și pe $6$, care e amândouă. Dacă enunțul chiar vrea „exact unul dintre ele", el o spune explicit.

Aplică acasă

1. Diagrama clasei tale. Alege două activități pe care le fac colegii tăi (un sport și un instrument, două limbi străine, două aplicații de pe telefon). Numără câți fac fiecare și câți le fac pe amândouă, apoi desenează diagrama Venn completă. Verifică la final că suma celor patru regiuni dă numărul total de elevi.

2. Sertarul cu tricouri. Ia zece tricouri și clasifică-le după două criterii (de exemplu „are mâneci lungi" și „este de culoare închisă"). Completează diagrama, apoi găsește un tricou care se află în intersecție și unul care se află în afara ambelor cercuri.

3. Două zaruri, cinci minute. Aruncă două zaruri de $36$ de ori și notează de câte ori s-a realizat „suma este $7$", de câte ori „ambele fețe egale" și de câte ori măcar unul dintre ele. Confirmă practic faptul că ultimele numărători se adună — pentru că evenimentele sunt disjuncte.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce operațiile cu evenimente și diagramele Venn, cerute explicit de programa de trunchi comun pentru reprezentarea mulțimii evenimentelor. Miza pedagogică nu este desenul în sine, ci disciplina de completare: se pornește din intersecție, se scade spre exterior, iar la final suma regiunilor se compară cu $\mathrm{card}(\Omega )$. Elevii care își însușesc acest algoritm rezolvă corect și problemele de probabilitate compusă din lecțiile următoare, unde formula reuniunii apare din nou, cu probabilități în locul cardinalelor.

Ce verifică lecția: dacă elevul traduce corect „sau" (neexclusiv) și „și"; dacă recunoaște evenimentele disjuncte prin verificarea intersecției, nu din intuiție; dacă aplică formula reuniunii fără să uite scăderea; dacă distinge „disjunct" de „contrar". Întrebări bune de control: „De ce se scade intersecția?"; „Dați un exemplu de evenimente disjuncte care nu sunt contrare"; „Ce număr trebuie să dea suma celor patru regiuni?". Semne că a înțeles: desenează spontan dreptunghiul $\Omega$ înainte de cercuri și verifică singur totalul la finalul fiecărei diagrame.

La Bacalaureat, exercițiile cu reuniuni și intersecții apar aproape întotdeauna sub forma „câte numere din mulțimea… sunt divizibile cu … sau cu …", iar baremul urmărește exact cele trei numere: $\mathrm{card}(A)$, $\mathrm{card}(B)$ și $\mathrm{card}(A\cap B)$. O capcană clasică din barem: intersecția „multiplu de $4$ și de $6$" înseamnă multiplu de $12$, nu de $24$. Continuarea firească este Diagrame arborescente pentru experimente în mai multe etape.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două evenimente sunt disjuncte? Înseamnă că nu se pot realiza simultan, adică intersecția lor este mulțimea vidă: $A\cap B=\varnothing$. La aruncarea unui zar, „număr par" și „număr impar" sunt disjuncte, pentru că niciun rezultat nu le realizează pe amândouă. În diagrama Venn, cercurile lor nu se ating.

Cum se desenează o diagramă Venn pentru evenimente? Desenezi un dreptunghi care reprezintă mulțimea rezultatelor posibile $\Omega$ și, în interiorul lui, câte un cerc pentru fiecare eveniment; cercurile se suprapun dacă evenimentele au rezultate comune. Se formează patru regiuni: doar $A$, $A\cap B$, doar $B$ și zona din afara cercurilor.

De ce se scade intersecția în formula reuniunii? Pentru că rezultatele comune sunt numărate o dată în $A$ și încă o dată în $B$, deci de două ori. Scăzând o dată $\mathrm{card}(A\cap B)$, fiecare rezultat rămâne numărat exact o singură dată. Când evenimentele sunt disjuncte, intersecția e vidă și scăderea nu mai schimbă nimic.

Care este diferența dintre evenimente disjuncte și evenimente contrare? Evenimentele contrare sunt disjuncte și acoperă împreună toate rezultatele posibile: $A\cap \overline{A}=\varnothing$ și $A\cup \overline{A}=\Omega$. Evenimentele disjuncte îndeplinesc doar prima condiție, deci pot lăsa rezultate neacoperite — cum sunt $\{2,4,6\}$ și $\{1\}$ la zar, care lasă pe dinafară $3$ și $5$.

„Sau" în matematică include și cazul în care se întâmplă amândouă? Da. „$A$ sau $B$" se traduce prin reuniune și înseamnă „cel puțin unul dintre ele", deci este adevărat și când amândouă se realizează. Dacă un enunț vrea să excludă cazul comun, o spune explicit, prin formulări de tipul „exact unul dintre evenimente".

Cum completez o diagramă Venn dintr-o problemă cu elevi? Începi întotdeauna din zona comună, unde scrii numărul celor care fac amândouă activitățile. Apoi scazi acest număr din fiecare total ca să afli zonele proprii, iar la final scazi suma celor trei zone din numărul total de elevi ca să afli câți nu fac niciuna. Controlul final: suma celor patru regiuni trebuie să dea totalul.

Sunt evenimentele disjuncte și independente în același timp? Nu, sunt noțiuni complet diferite și nu trebuie confundate. Disjunct înseamnă că evenimentele nu se pot produce împreună; independent înseamnă că realizarea unuia nu schimbă șansele celuilalt. Noțiunea de independență se studiază separat, mai târziu în capitol.

Câte cazuri favorabile are evenimentul „carte roșie sau figură"? Într-un pachet de $52$ de cărți sunt $26$ de cărți roșii și $12$ figuri, dintre care $6$ figuri sunt roșii. Aplicând formula reuniunii, obținem $26+12-6=32$ de cazuri favorabile — nu $38$, cât ar da adunarea directă.