Câte metode de ridicare la putere se numără la clasa a 11-a și care sunt?

cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode

trei: inducția, binomul lui Newton și ecuația Hamilton-Cayley

patru: calculul direct, inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente

șase: cele cinci de mai sus, la care se adaugă calculul direct

Care este $$A^{n}$$ pentru $$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$$, $$n \in \mathbb{N}^{*}$$?

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2n \cdot 5^{n-1} \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2 \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2n \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 5^{n} & 2 \cdot 5^{n-1} \\ 0 & 5^{n} \end{pmatrix}$$

Care este condiția fără de care binomul lui Newton nu se poate aplica la matrice?

cele două matrice trebuie să comute, adică $$XY = YX$$

cele două matrice trebuie să fie inversabile

cele două matrice trebuie să aibă același determinant

nu există nicio condiție: binomul se aplică oricăror două matrice

Cum alegi metoda de ridicare la putere: pe scurt

Lecția nu adaugă nicio metodă nouă; adaugă criteriul de alegere. Numărătoarea este fixă: cele patru metode elementare sunt inducția matematică, binomul lui Newton, șirurile recurente și matricea de rotație, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea metodă. Calculul direct al lui $A^{2}$ nu se numără printre metode — este procedeul de bază, reflexul care le precedă pe toate.

Pasul zero: calculează $A^{2}$ și privește. Patru situații se rezolvă pe loc: $A^{2} = O_{n}$ dă $A^{n} = O_{n}$ pentru $n \geq 2$ ; $A^{2} = I_{n}$ dă puteri care alternează; $A^{2} = α A$ dă $A^{n} = α^{n - 1} A$ ; $A^{2} = α I_{n}$ dă puteri pare multipli de $I_{n}$ și impare multipli de $A$ .

Semnalele metodelor. Inducția: din primele puteri se vede un tipar pe care îl poți scrie cu $n$ — dar el trebuie și demonstrat. Binomul lui Newton: matricea se scrie $A = α I_{n} + N$ , cu $N$ nilpotentă; formula se aplică numai pentru că cele două comută ( $I_{n}$ comută cu orice), iar suma se oprește după două-trei termene. Șirurile recurente: puterile păstrează forma, dar numerele se schimbă. Matricea de rotație: forma $(a b - b a)$ , adică $A = r R (θ)$ cu $r = a^{2} + b^{2}$ , de unde $A^{n} = r^{n} R (n θ)$ ; o matrice cu același semn în afara diagonalei nu este o rotație. Hamilton-Cayley: metoda universală a ordinului $2$ , când nimic altceva nu se potrivește — dar numai la ordinul $2$ .

Adesea Hamilton-Cayley este poarta către metoda scurtă: din ea poate ieși o nilpotență ascunsă, $(A - α I_{2})^{2} = O_{2}$ , iar de acolo binomul rezolvă totul în trei rânduri.

Exerciții din această mini-lecție

Câte metode de ridicare la putere se numără la clasa a 11-a și care sunt?
- a) trei: inducția, binomul lui Newton și ecuația Hamilton-Cayley
- b) patru: calculul direct, inducția, binomul lui Newton și șirurile recurente
- c) cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode
- d) șase: cele cinci de mai sus, la care se adaugă calculul direct
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cinci: cele patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus ecuația Hamilton-Cayley; calculul direct nu se numără printre metode

Numărătoarea este fixată de lecțiile despre puterile unei matrice: patru metode elementare, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea. Calculul direct al lui $A^{2}$ este procedeul de bază, pasul zero de la care pornesc toate — de aceea nu figurează în listă.
Care este $A^{n}$ pentru $A = (5025)$ , $n \in N^{*}$ ?
- a) $(5^{n} 0 2 5^{n})$
- b) $(5^{n} 0 2 n 5^{n})$
- c) $(5^{n} 0 2 \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$
- d) $(5^{n} 0 2 n \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(5^{n} 0 2 n \cdot 5^{n - 1} 5^{n})$

Semnalul este limpede: $A = 5 I_{2} + N$ , cu $N = (0020)$ și $N^{2} = O_{2}$ , deci se aplică binomul lui Newton (cele două comută, pentru că $I_{2}$ comută cu orice). Dezvoltarea se oprește după al doilea termen: $A^{n} = 5^{n} I_{2} + C_{n}^{1} \cdot 5^{n - 1} N$ . Control pentru $n = 2$ : formula dă $(2502025)$ , exact cât dă înmulțirea directă.
Care este condiția fără de care binomul lui Newton nu se poate aplica la matrice?
- a) cele două matrice trebuie să comute, adică $X Y = Y X$
- b) cele două matrice trebuie să fie inversabile
- c) cele două matrice trebuie să aibă același determinant
- d) nu există nicio condiție: binomul se aplică oricăror două matrice
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) cele două matrice trebuie să comute, adică $X Y = Y X$

Pentru două matrice oarecare, $(X + Y)^{2} = X^{2} + X Y + Y X + Y^{2}$ , iar cei doi termeni din mijloc nu se pot aduna în $2 X Y$ dacă produsele diferă. În scrierea $A = α I_{n} + N$ condiția e îndeplinită automat, pentru că $I_{n}$ comută cu orice matrice — motiv pentru care metoda funcționează exact în acest tipar.

Cum alegi metoda de ridicare la putere: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu