Aria triunghiului: de la baza·înălțimea/2 la formula lui Heron

Un proprietar are un teren triunghiular și trebuie să-i afle suprafața pentru actele de la cadastru. Formula pe care o știe din gimnaziu, $\mathcal{A}=\frac{\text{baza}\times \text{ıˆna˘lțimea}}{2}$, e corectă — dar inutilizabilă: pe teren nu există nicio înălțime trasată, iar ca s-o măsoare ar trebui să determine piciorul perpendicularei, adică exact ceea ce e greu de făcut printre garduri și pomi. În schimb, poate măsura ușor laturile. Sau două laturi și unghiul dintre ele.

Aici trigonometria schimbă complet regulile jocului. Vom transforma înălțimea — mărimea incomodă — într-o expresie a datelor comode, și vom obține două formule pe care le vei folosi toată viața: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$, când ai două laturi și unghiul dintre ele, și formula lui Heron, care calculează aria doar din cele trei laturi, fără niciun unghi. La final vei avea patru formule pentru același număr și, mai important, criteriul care îți spune care dintre ele e cea potrivită.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci și să aplici formula $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$, în toate cele trei variante ale ei.
• Vei ști de ce formula funcționează la fel și când unghiul este obtuz.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi formula lui Heron, pornind de la teorema cosinusului.
• Vei ști să calculezi aria unui triunghi din orice set complet de date și să alegi formula cea mai scurtă.
• Vei ști să afli înălțimea sau un unghi pornind de la arie, folosind formulele în sens invers.
• Vei ști să calculezi aria unui patrulater sau a unui poligon prin descompunere în triunghiuri.

Hai să descoperim împreună

1. Formula din gimnaziu și limita ei

Pentru orice triunghi $ABC$, cu $h_a$ înălțimea corespunzătoare laturii $a$:

$$\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}.$$

Cele trei scrieri sunt egale pentru că descriu aceeași suprafață, indiferent pe ce latură o „așezi". De aici iese o observație pe care o vom folosi des:

$$a\cdot h_a=b\cdot h_b=c\cdot h_c=2\mathcal{S},$$

adică laturile și înălțimile corespunzătoare sunt invers proporționale: cea mai lungă latură are cea mai scurtă înălțime. Într-un triunghi cu laturile $13$, $14$, $15$, de exemplu, înălțimile vor fi în raportul $\frac{1}{13}:\frac{1}{14}:\frac{1}{15}$.

Formula e adevărată și e chiar definiția de la care pornim. Problema ei este practică: înălțimea nu e o dată naturală a triunghiului. Într-o problemă primești laturi și unghiuri, nu înălțimi; pe un teren măsori distanțe între borne, nu perpendiculare. Ba mai mult, ca să tragi înălțimea trebuie să găsești piciorul perpendicularei — o construcție care, la un unghi obtuz, cade chiar în afara triunghiului. Ideea salvatoare: exprimă înălțimea cu trigonometrie.

2. Aria cu două laturi și unghiul dintre ele

Ducem înălțimea din $A$ pe latura $BC$ și o notăm $h_a$. În triunghiul dreptunghic format de această înălțime și de latura $b=AC$, cateta $h_a$ se vede din unghiul $C$:

$$h_a=b\sin C.$$

Înlocuim în formula de bază, cu baza $a$:

$$\mathcal{S}=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{1}{2}ab\sin C.$$

Formula ariei cu două laturi și unghiul dintre ele. În orice triunghi $ABC$:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B.$$

Citirea corectă: jumătate din produsul a două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele. Spre deosebire de teorema cosinusului, unde unghiul era opus laturii calculate, aici unghiul este între laturile folosite.

Ce se întâmplă dacă unghiul $C$ este obtuz? Atunci piciorul înălțimii cade în afara laturii $BC$, iar în triunghiul dreptunghic apare unghiul suplementar $180^{\circ }-C$. Dar

$$h_a=b\sin (180^{\circ }-C)=b\sin C,$$

pentru că sinusul nu distinge unghiurile suplementare. Formula rămâne neschimbată — o proprietate pe care am folosit-o și la teorema sinusurilor. Iar dacă $C=90^{\circ }$, avem $\sin C=1$ și regăsim $\mathcal{S}=\frac{ab}{2}$, adică semiprodusul catetelor.

3. Trei consecințe imediate

Aria paralelogramului. O diagonală împarte paralelogramul cu laturile $x$, $y$ și unghiul $\theta$ în două triunghiuri congruente, fiecare de arie $\frac{1}{2}xy\sin \theta$. Deci ${\mathcal{S}}_{\text{paralelogram}}=xy\sin \theta$. Verificare: la $\theta =90^{\circ }$ obținem aria dreptunghiului, $xy$ ✓.

Aria triunghiului echilateral. Cu $a=b=\ell$ și $C=60^{\circ }$:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}{\ell }^2\sin 60^{\circ }=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}.$$

Aria maximă. Dacă fixezi două laturi $a$ și $b$ și lași unghiul dintre ele să varieze, aria $\frac{1}{2}ab\sin C$ este maximă atunci când $\sin C$ e maxim, adică pentru $C=90^{\circ }$. Cel mai „încăpător" triunghi cu două laturi date este cel dreptunghic — un rezultat pe care îl folosesc inginerii când optimizează forme.

Merită reținută și o consecință „de citit invers": din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ scoatem

$$\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab},$$

adică, având aria și două laturi, poți recupera unghiul dintre ele. Atenție însă: ecuația are, în general, două soluții pe $(0^{\circ },180^{\circ })$ — un unghi ascuțit și suplementarul lui obtuz — pentru că, așa cum am văzut la rezolvarea triunghiurilor, sinusul nu distinge unghiurile suplementare. Un triunghi „ascuțit" și unul „turtit" pot avea exact aceeași arie.

4. Formula lui Heron: aria doar din laturi

Uneori nu ai niciun unghi — doar cele trei laturi. Există o formulă directă, cunoscută din antichitate și atribuită lui Heron din Alexandria.

Formula lui Heron. Dacă $p=\frac{a+b+c}{2}$ este semiperimetrul triunghiului, atunci

$$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$$

Demonstrație. Pornim de la formula cu sinus și ridicăm la pătrat, ca să scăpăm de radical:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C⟹4{\mathcal{S}}^2=a^2{b}^2{\sin }^{2}C=a^2{b}^2(1-{\cos }^{2}C)=a^2{b}^2-(ab\cos C{)}^2,$$

unde am folosit formula fundamentală a trigonometriei. Din teorema cosinusului, $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$, deci

$$ab\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}.$$

Înlocuim și înmulțim totul cu $4$:

$$16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2.$$

Membrul drept este o diferență de pătrate, deci se descompune:

$$16{\mathcal{S}}^2=\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)=\left[(a+b{)}^2-c^2\right]\left[c^2-(a-b{)}^2\right].$$

Fiecare paranteză e, la rândul ei, o diferență de pătrate:

$$16{\mathcal{S}}^2=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b).$$

Acum traducem în semiperimetru: $a+b+c=2p$, iar $a+b-c=2p-2c=2(p-c)$ și analoagele. Prin urmare

$$16{\mathcal{S}}^2=2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-a)=16p(p-a)(p-b)(p-c),$$

de unde, simplificând cu $16$ și extrăgând radicalul (aria e pozitivă):

$$\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.■$$

Observă un bonus al demonstrației: toate cele patru paranteze sunt strict pozitive exact când triunghiul există (inegalitatea triunghiului). Formula lui Heron „știe" singură dacă datele sunt valide — dacă expresia de sub radical iese negativă, triunghiul nu există.

5. Heron la lucru, cu două verificări

Verificarea 1 (triunghiul dreptunghic $3,4,5$). $p=6$, deci

$$\mathcal{S}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6,$$

exact cât dă semiprodusul catetelor, $\frac{3\cdot 4}{2}=6$ ✓.

Verificarea 2 (triunghiul echilateral de latură $\ell$). $p=\frac{3\ell }{2}$ și fiecare paranteză este $\frac{\ell }{2}$:

$$\mathcal{S}=\sqrt{\frac{3\ell }{2}\cdot \frac{\ell }{2}\cdot \frac{\ell }{2}\cdot \frac{\ell }{2}}=\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}✓.$$

Ambele confirmă formula pe cazuri în care aria e cunoscută pe altă cale — un obicei sănătos ori de câte ori înveți o formulă nouă.

6. Panorama completă: patru formule pentru aceeași arie

Alături de cele de mai sus, mai există două formule de arie, care leagă triunghiul de cercurile lui:

$$\mathcal{S}=p\cdot r\text{și}\mathcal{S}=\frac{abc}{4R},$$

unde $r$ este raza cercului înscris și $R$ raza cercului circumscris. Le vom demonstra în lecția următoare, despre razele cercurilor înscris și circumscris; deocamdată reține doar că ele transformă aria într-o unealtă pentru calculul razelor, sub forma $r=\frac{\mathcal{S}}{p}$ și $R=\frac{abc}{4\mathcal{S}}$.

Așadar, aria are patru „chipuri":

$$\mathcal{S}=\frac{a{h}_a}{2}=\frac{1}{2}ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}.$$

7. Cum alegi formula potrivită

Regula e simplă: alege formula care folosește exact datele pe care le ai, fără pași intermediari.

• Ai o latură și înălțimea corespunzătoare $\to \frac{a{h}_a}{2}$.
• Ai două laturi și unghiul dintre ele (LUL) $\to \frac{1}{2}ab\sin C$.
• Ai cele trei laturi (LLL) $\to$ Heron.
• Ai o latură și două unghiuri (ULU) $\to$ afli o a doua latură cu teorema sinusurilor, apoi $\frac{1}{2}ab\sin C$.
• Ai laturile și raza cercului circumscris $\to \frac{abc}{4R}$; ai perimetrul și raza cercului înscris $\to pr$.

Un sfat de examen: dacă ai cele trei laturi și numerele sunt „urâte", Heron e adesea mai rapid decât drumul prin cosinus și sinus — dar dacă ți se cere oricum un unghi, calculează-l și folosește formula cu sinus, ca să nu faci muncă dublă.

Exemplu de decizie. Se dau $a=12$, $m(\angle B)=30^{\circ }$, $m(\angle C)=45^{\circ }$. Nu ai două laturi, deci formula cu sinus nu pornește direct; nu ai trei laturi, deci nici Heron. Traseul corect: afli $m(\angle A)=105^{\circ }$, apoi cu teorema sinusurilor obții $b=\frac{a\sin B}{\sin A}\approx 6,21$ și abia atunci aplici $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C\approx \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6,21\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 26,35$. Regula generală: la datele de tip ULU sau LUU, un singur pas de teorema sinusurilor te aduce în situația LUL, unde aria se calculează imediat.

8. Aria prin descompunere

Orice poligon convex se descompune în triunghiuri ducând diagonalele dintr-un vârf; aria lui este suma ariilor triunghiurilor. Este metoda standard în topografie: se măsoară laturile și diagonalele, apoi se aplică Heron pe fiecare bucată.

Exemplu. Patrulaterul $ABCD$ are $AB=9$, $BC=12$, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=13$ și $DA=14$. Diagonala $AC$ se calculează cu Pitagora în triunghiul $ABC$: $AC=\sqrt{81+144}=15$. Atunci:

$${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{9\cdot 12}{2}=54,$$

iar în triunghiul $ACD$, cu laturile $13$, $14$, $15$ și $p=21$:

$${\mathcal{S}}_{ACD}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$$

Aria patrulaterului este $54+84=138$.

Metoda are două variante, după datele disponibile: dacă știi laturile bucăților, folosești Heron pe fiecare; dacă știi laturile și unghiurile din vârful comun, folosești $\frac{1}{2}ab\sin C$ pentru fiecare triunghi și aduni. A doua variantă e cea folosită la măsurătorile „în stea": stai într-un punct interior al terenului, măsori distanțele până la fiecare colț și unghiurile dintre direcțiile vecine, apoi însumezi ariile triunghiurilor cu vârful în punctul tău. Un teren cu $n$ colțuri se descompune astfel în $n$ triunghiuri, iar suma unghiurilor măsurate trebuie să dea exact $360^{\circ }$ — o verificare gratuită a măsurătorilor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două laturi și unghiul dintre ele

În triunghiul $ABC$, $a=8$, $b=10$ și $m(\angle C)=30^{\circ }$. Calculați aria.

Rezolvare. Unghiul $C$ este chiar între laturile $a$ și $b$, deci:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \sin 30^{\circ }=40\cdot \frac{1}{2}=20.$$

Compară cu aria maximă posibilă pentru aceste laturi, $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10=40$ (la unghi drept): triunghiul nostru are exact jumătate din ea. $■$

Exemplul 2 — Unghi obtuz

În triunghiul $ABC$, $a=6$, $b=10$ și $m(\angle C)=150^{\circ }$. Calculați aria.

Rezolvare. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \frac{1}{2}=15.$$

Observă contrastul cu teorema cosinusului: acolo unghiul obtuz mărea latura opusă (cosinus negativ), aici sinusul rămâne pozitiv și aria e mică, pentru că triunghiul e „turtit". $■$

Exemplul 3 — Heron pe un triunghi clasic

Calculați aria triunghiului cu laturile $13$, $14$, $15$.

Rezolvare. $p=\frac{13+14+15}{2}=21$, deci

$$\mathcal{S}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$$

Control cu formula trigonometrică: știm din lecțiile anterioare că $\sin C=\frac{12}{13}$ pentru unghiul opus laturii $15$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 14\cdot \frac{12}{13}=84$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Heron cu rezultat irațional

Calculați aria triunghiului cu laturile $7$, $8$, $9$.

Rezolvare. $p=12$, deci

$$\mathcal{S}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26,83.$$

Rezultatele iraționale sunt normale: doar anumite triunghiuri cu laturi întregi („heroniene", ca $13,14,15$) au și aria întreagă. $■$

Exemplul 5 — De la arie la înălțime

Triunghiul $ABC$ are laturile $13$, $14$, $15$. Calculați înălțimea corespunzătoare laturii de $14$.

Rezolvare. Aria este $84$ (Exemplul 3). Din $\mathcal{S}=\frac{b\cdot h_b}{2}$, cu $b=14$:

$$h_b=\frac{2\mathcal{S}}{b}=\frac{168}{14}=12.$$

Formulele de arie se citesc în ambele sensuri: cu aria cunoscută, ele produc înălțimi, unghiuri sau chiar laturi. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. a) Calculați aria triunghiului. b) Calculați $BC$. c) Calculați lungimea înălțimii din $A$.

Rezolvare. a) Unghiul $A$ este între laturile date:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\approx 25,98.$$

b) Teorema cosinusului: $B{C}^2=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=136+60=196$, deci $BC=14$.

c) Din $\mathcal{S}=\frac{BC\cdot h_a}{2}$:

$$h_a=\frac{2\cdot 15\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{7}\approx 3,71.$$

Verificare de plauzibilitate: înălțimea trebuie să fie mai mică decât oricare dintre laturile $AB$ și $AC$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de calcul, scrie ce date ai și ce formulă de arie li se potrivește. Rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $a=6$, $b=8$ și $m(\angle C)=30^{\circ }$. Calculează aria.

2. În triunghiul $ABC$, $a=5$, $b=8$ și $m(\angle C)=45^{\circ }$. Calculează aria.

3. În triunghiul $ABC$, $a=4$, $b=6$ și $m(\angle C)=120^{\circ }$. Calculează aria.

4. Calculează aria unui triunghi echilateral cu latura $6$, folosind formula cu sinus.

5. Calculează, cu formula lui Heron, aria triunghiului cu laturile $3$, $4$, $5$ și verifică rezultatul cu semiprodusul catetelor.

6. Calculează aria triunghiului cu laturile $5$, $12$, $13$.

7. Calculează aria triunghiului cu laturile $9$, $10$, $17$.

8. Calculează aria triunghiului cu laturile $7$, $15$, $20$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dintre două triunghiuri care au aceleași două laturi, cel cu unghiul dintre ele mai mare are aria mai mare."

10. Două laturi ale unui triunghi au $6$ și $10$. Care este aria maximă pe care o poate avea triunghiul și pentru ce unghi se obține?

11. Aria unui triunghi este $20$, iar două dintre laturile sale au $8$ și $10$. Află măsura unghiului dintre ele. Câte răspunsuri există?

12. Un paralelogram are laturile de $5$ și $8$, iar unghiul dintre ele are $60^{\circ }$. Calculează aria paralelogramului.

13. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are două laturi de $50$ m și $80$ m, iar unghiul dintre ele are $60^{\circ }$. Calculează suprafața terenului.

14. (Problemă aplicată.) Terenul $ABCD$ are $AB=9$ m, $BC=12$ m, $m(\angle B)=90^{\circ }$, $CD=13$ m și $DA=14$ m. Calculează suprafața lui.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=10$ și $m(\angle A)=120^{\circ }$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Triunghiul $ABC$ are $AB=13$, $BC=14$ și $CA=15$. a) Calculați aria triunghiului. b) Calculați lungimea înălțimii din $A$.

17. Demonstrează că, dacă două laturi ale unui triunghi sunt fixate, aria este maximă exact când unghiul dintre ele este drept.

18. (Provocare.) Pornind de la relația $16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2$, demonstrează identitatea

$$16{\mathcal{S}}^2=2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2-a^4-b^4-c^4$$

și verific-o pe triunghiul cu laturile $3$, $4$, $5$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30^{\circ }=24\cdot \frac{1}{2}=12$.

2. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14$.

3. $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39$.

4. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \sin 60^{\circ }=18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx 15,59$ (adică $\frac{{\ell }^2\sqrt{3}}{4}$ pentru $\ell =6$).

5. $p=6$ și $\mathcal{S}=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6$. Cu catetele: $\frac{3\cdot 4}{2}=6$ ✓ (triunghiul e dreptunghic, pentru că $9+16=25$).

6. $p=15$ și $\mathcal{S}=\sqrt{15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{900}=30$. Verificare: $25+144=169$, deci triunghiul e dreptunghic, iar $\frac{5\cdot 12}{2}=30$ ✓.

7. $p=18$ și $\mathcal{S}=\sqrt{18\cdot 9\cdot 8\cdot 1}=\sqrt{1296}=36$. (Triunghiul e obtuzunghic: $17^2=289>81+100$.)

8. $p=21$ și $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42$.

9. Fals. Aria este $\frac{1}{2}ab\sin C$, iar sinusul nu crește pe tot intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$: crește până la $90^{\circ }$, apoi scade. Contraexemplu: cu $a=b=10$, unghiul de $90^{\circ }$ dă aria $50$, iar unghiul de $150^{\circ }$ (mai mare!) dă aria $25$. Afirmația e adevărată doar dacă ambele unghiuri sunt cel mult drepte.

10. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin C=30\sin C\le 30$, cu egalitate pentru $\sin C=1$, adică $m(\angle C)=90^{\circ }$. Aria maximă este $30$.

11. $20=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \sin C=40\sin C$, deci $\sin C=\frac{1}{2}$ și $m(\angle C)\in \{30^{\circ },150^{\circ }\}$ — două răspunsuri, ambele valabile: un triunghi „ascuțit" și unul „turtit" au aceeași arie. Este aceeași ambiguitate a sinusului pe care am întâlnit-o la rezolvarea triunghiurilor.

12. $\mathcal{S}=5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\approx 34,64$ (dublul ariei triunghiului format de cele două laturi).

13. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 80\cdot \sin 60^{\circ }=2000\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1000\sqrt{3}\approx 1732$ m².

14. Diagonala: $AC=\sqrt{81+144}=15$ m. Triunghiul $ABC$ e dreptunghic, cu aria $\frac{9\cdot 12}{2}=54$ m². Triunghiul $ACD$ are laturile $13$, $14$, $15$, deci $p=21$ și aria $\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$ m². Total: $54+84=138$ m².

15. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 120^{\circ }=30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\approx 25,98$.

16. a) $p=21$, $\mathcal{S}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$. b) Înălțimea din $A$ cade pe $BC=14$, deci $h_a=\frac{2\cdot 84}{14}=12$.

17. Fie $a$ și $b$ laturile fixate și $C\in (0^{\circ },180^{\circ })$ unghiul dintre ele. Atunci $\mathcal{S}(C)=\frac{1}{2}ab\sin C$, iar $\frac{1}{2}ab$ este o constantă pozitivă. Cum $\sin C\le 1$ pentru orice unghi, avem $\mathcal{S}\le \frac{1}{2}ab$, cu egalitate dacă și numai dacă $\sin C=1$. Pe intervalul $(0^{\circ },180^{\circ })$, singura soluție a ecuației $\sin C=1$ este $C=90^{\circ }$. Deci aria maximă, egală cu $\frac{ab}{2}$, se atinge exact în triunghiul dreptunghic. $■$

18. Notăm $u=a^2+b^2-c^2$. Atunci

$$u^2=a^4+b^4+c^4+2a^2{b}^2-2a^2{c}^2-2b^2{c}^2,$$

deci

$$16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-u^2=4a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4-2a^2{b}^2+2a^2{c}^2+2b^2{c}^2,$$

adică exact $16{\mathcal{S}}^2=2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2c^2{a}^2-a^4-b^4-c^4$. Verificare pe $3,4,5$: $2\cdot 144+2\cdot 400+2\cdot 225-81-256-625=288+800+450-962=576$, iar $16{\mathcal{S}}^2=16\cdot 36=576$ ✓. Identitatea arată că aria depinde simetric de cele trei laturi — nicio latură nu are un rol special. $■$

De reținut

• $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ — jumătate din produsul a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele; formula e valabilă și pentru unghi obtuz, pentru că $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$.
• Formula lui Heron: $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, cu $p=\frac{a+b+c}{2}$ — aria din laturi, fără niciun unghi.
• Cele patru chipuri ale ariei: $\frac{a{h}_a}{2}=\frac{1}{2}ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr=\frac{abc}{4R}$.
• Formulele se citesc în ambele sensuri: din arie afli o înălțime ($h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$) sau un unghi ($\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$, cu două soluții posibile).
• Aria unui poligon se calculează prin descompunere în triunghiuri, iar dintre două laturi fixate aria e maximă la unghi drept.

Greșeli frecvente

• Unghiul care nu e între laturi. Se scrie $\frac{1}{2}ab\sin A$, deși $A$ nu este unghiul dintre $a$ și $b$. Formula cere unghiul cuprins între cele două laturi folosite — exact invers față de teorema cosinusului, unde unghiul e opus.
• Uitarea lui $\frac{1}{2}$. Produsul $ab\sin C$ este aria paralelogramului, nu a triunghiului. Verifică pe cazul dreptunghic: $\frac{3\cdot 4}{2}=6$, nu $12$.
• Semiperimetrul confundat cu perimetrul. În Heron intră $p=\frac{a+b+c}{2}$, nu suma laturilor. O eroare aici multiplică aria cu un factor mare.
• Radical negativ ignorat. Dacă sub radicalul lui Heron iese un număr negativ, nu e o eroare de calcul de corectat „prin modul": triunghiul pur și simplu nu există.
• Rotunjirea prea devreme. La Heron, calculează întâi produsul exact de sub radical și abia apoi extrage rădăcina; rotunjirile intermediare pot schimba complet rezultatul.

Aplică acasă

1. Suprafața unei camere neregulate. Măsoară un colț de cameră, un balcon sau o curte care nu e dreptunghiulară. Împarte-o în triunghiuri, măsoară laturile fiecăruia (inclusiv „diagonalele" de separare) și calculează aria totală cu formula lui Heron. Compară cu estimarea din planul apartamentului, dacă îl ai.

2. Aceleași laturi, arii diferite. Taie două bețe de lungimi diferite (sau două creioane) și prinde-le cu degetele într-un vârf comun. Deschide unghiul dintre ele treptat, de la aproape $0^{\circ }$ până la aproape $180^{\circ }$, și calculează aria triunghiului format la $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$, $150^{\circ }$. Fă un tabel: la ce unghi e aria maximă și de ce scade după $90^{\circ }$?

3. Terenul de pe hartă. Alege pe o hartă digitală un parc sau un teren cu formă aproximativ triunghiulară din orașul tău. Măsoară cele trei laturi cu instrumentul hărții și calculează suprafața cu Heron. Compară cu valoarea afișată de aplicație (multe hărți au opțiune de măsurare a suprafeței) — cât de aproape ești în procente?

Pentru părinți și profesori

Lecția reunește într-un sistem coerent formulele de arie: cea de gimnaziu, cea trigonometrică și formula lui Heron. Accentul cade pe două lucruri: deducerea formulelor (nu memorarea lor) și criteriul de alegere — care formulă se potrivește setului de date. Demonstrația formulei lui Heron, pornind de la teorema cosinusului și de la formula fundamentală, este un exercițiu de calcul algebric de bună calitate, cerut la nivelul curriculumului de specialitate (CS), și merită parcursă pas cu pas, mai ales descompunerea în diferențe de pătrate.

Întrebări bune de control: „Unde stă unghiul în formula $\frac{1}{2}ab\sin C$?" (între cele două laturi); „De ce formula merge și la unghi obtuz?" ($\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$); „Ce este $p$ din formula lui Heron?" (semiperimetrul); „Cum afli înălțimea dacă știi cele trei laturi?" (aria cu Heron, apoi $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$). Semne că a înțeles: alege singur formula potrivită, verifică rezultatul pe un caz cunoscut (triunghi dreptunghic sau echilateral) și folosește formulele și în sens invers, pentru înălțimi și unghiuri.

La Bacalaureatul M1, aria triunghiului apare aproape la fiecare sesiune, cel mai des în lanțul „calculați o latură cu teorema cosinusului $\to$ calculați aria $\to$ calculați o înălțime sau o rază". Exercițiile 15 și 16 reproduc exact acest tipar. Continuarea firească este lecția despre razele cercurilor înscris și circumscris, unde aria devine unealta principală de calcul.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele pentru aria unui triunghi? Cele patru esențiale: $\mathcal{S}=\frac{a{h}_a}{2}$ (latură și înălțime), $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$ (două laturi și unghiul dintre ele), $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (formula lui Heron, doar din laturi) și $\mathcal{S}=pr=\frac{abc}{4R}$ (prin razele cercurilor înscris și circumscris).

Cum calculez aria unui triunghi dacă știu doar cele trei laturi? Cu formula lui Heron: calculezi semiperimetrul $p=\frac{a+b+c}{2}$, apoi $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Nu ai nevoie de niciun unghi și nici de înălțime.

De unde vine formula lui Heron? Din formula cu sinus, ridicată la pătrat, combinată cu teorema cosinusului și cu ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$. Se obține $16{\mathcal{S}}^2=4a^2{b}^2-(a^2+b^2-c^2{)}^2$, expresie care se descompune în două diferențe de pătrate și devine $16p(p-a)(p-b)(p-c)$.

Formula $\frac{1}{2}ab\sin C$ funcționează și pentru triunghiuri obtuzunghice? Da, pentru orice triunghi. Când unghiul e obtuz, piciorul înălțimii cade în afara laturii, dar în calcul apare $\sin (180^{\circ }-C)$, care este egal cu $\sin C$ — formula rămâne identică.

Ce înseamnă $p$ în formula lui Heron? Semiperimetrul, adică jumătate din perimetru: $p=\frac{a+b+c}{2}$. Confundarea lui cu perimetrul este cea mai frecventă greșeală la această formulă.

Cum aflu înălțimea unui triunghi dacă știu laturile? Calculezi aria (cu Heron), apoi folosești formula în sens invers: $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$, unde $a$ este latura pe care cade înălțimea căutată.

Când are un triunghi arie maximă, dacă două laturi sunt fixate? Când unghiul dintre ele este drept: aria $\frac{1}{2}ab\sin C$ este maximă pentru $\sin C=1$, adică $C=90^{\circ }$, și valoarea maximă este $\frac{ab}{2}$.

Cum calculez aria unui teren cu mai multe laturi? Îl descompui în triunghiuri, ducând diagonale dintr-un vârf, calculezi aria fiecărui triunghi (cu Heron sau cu formula trigonometrică) și le aduni. Este metoda folosită în topografie și în cadastru.